專(zhuān)題02《三角形》壓軸題真題分類(lèi)-高分必刷題（解析版）

專(zhuān)題簡(jiǎn)介：本份資料包含《三角形》這一章中求角度的的四種類(lèi)型的常考?jí)狠S題，所選題目源自各名校期

中、期末試題中的典型考題，具體包含的題型有：與內(nèi)角外角平分線有關(guān)的壓軸題、與8字模型有關(guān)的壓

軸題、與燕尾模型有關(guān)的壓軸題、與動(dòng)角有關(guān)的壓軸題。適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時(shí)使用

或者學(xué)生考前刷題時(shí)使用。

題型一：與內(nèi)角外角平分線有關(guān)的壓軸題

1.（上海）（1）在銳角AABC中，AC邊上的高所在直線和AB邊上的高所在直線的交點(diǎn)為尸，ZBPC=110°,

求NA的度數(shù).

（2）如圖，AF和CE分別平分Z&4D和ZBCD,當(dāng)點(diǎn)O在直線AC上時(shí)，且8、P、D三點(diǎn)共線，ZAPC=100°,

貝/=.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)O在直線AC外時(shí)，如下圖：ZADC=130°,ZAPC=100°,求DB的度數(shù).

【詳解】（1）如圖AC邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點(diǎn)為尸

ZBDA=ZCEA=90°,X.-ZBPC=110°,：./EPD=/BPC=110。，1?在四邊形AEPD中，內(nèi)角和為360。

ZA=360°-l10o-90°-90o=70°.

(2)AF和CE分別平分和ZBC￡>,二NBAP=NFAC,NBCE=ZACE,

X-.-ZAPC=100°,ZFAC+ZACE=180°-100°=80°,ZBAC+ZBCA=160°ZB==20°.

B,

E.

ADc

(3)法一：如圖：連接AC

ZAZ>C=130°,ZAPC=100°,二NDAC+Nr)C4=180°—130°=50°,NPAC+NPC4=180°—100°=80°,

：./2+/4=30。，又,「AF和CE分別平分ZR4D和/BCD,；.Zl+Z3=Z2+Z4-30°,ZBAC+ZBCA=11O°,

ZB=180°-110°=70°-

2.NMOQ=90。，點(diǎn)A,8分別在射線OM、。。上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)。重合).

⑴如圖1,A/平分NBAO,BI平分NABO,若NBAO=40。，求N43的度數(shù).

(2)如圖2,A/平分NB4O,8C平分NA8M,BC的反向延長(zhǎng)線交A/于點(diǎn)D

①若NBAO=40°,則NADB=°；

②點(diǎn)A、8在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，NADB是否發(fā)生變化，若不變，試求NAO8的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明變化規(guī)

律.

【詳解】,NAOB=90°,,??NBAO=40。，NABO=90°-NOAB=50°,,「4/平分NBA。,

8/平分NAB。，ZIBA=^ABO=25°,ZIAB=gNOAB=20°,：.ZA/B=180°-(ZIBA+N￡42)=135°.

(2)①ZMBA=ZAOB+Z840=90*40。=130。,「A/平分NBAO,BC平分NABM,.'.ZCBA=^ZMBA

=65。，NBA/=JN840=20。，?：NC84=NO+N84。，；.N0=45。，故答案為：45.

②不變，理由：ZD=ZCBA-ZBAD=ZMBA-ZBAO=(ZMBA-ZBAO)=|ZAOB=x90°

=45。，.,.點(diǎn)A、2在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，ZADB=45°.

3.(江蘇)直線MN與直線尸。垂直相交于點(diǎn)。，點(diǎn)A在直線尸。上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)8在直線MN上運(yùn)動(dòng).

(1)如圖1,已知AE、3E1分別是/BAO和NABO角的平分線，點(diǎn)A3在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，ZAEB的大小是

否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出NA￡B的大小.

(2)如圖2,已知A3不平行CD,AD.8C分別是ZB4P和的角平分線，又。區(qū)CE分別是NZDC

和/BCD的角平分線，點(diǎn)A3在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，NCED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

若不發(fā)生變化，試求出NCED的度數(shù).

(3)如圖3,延長(zhǎng)胡至G,已知NA4O、NQ4G的角平分線與NBOQ的角平分線及反向延長(zhǎng)線相交于

E、F,在‘ABF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則/ABO的度數(shù)為(直接寫(xiě)答案)

【詳解】解：(1)NAEB的大小不變，?.?直線MN與直線PQ垂直相交于O,N408=90。，

ZOAB+AOBA=90°,-：AE,BE分別是N用40和NABO角的平分線，,NOAB,

zABE=|zABO,ZBAE+ZABE=^-(ZOAB+ZABO)=45。，ZAEB=135°；

(2)NCEO的大小不變.延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)H?.?直線MN與直線尸。垂直相交于NAOB=90。，

ZOAB+ZOBA^90°,ZPAB+AMBA=270°,-：AD,8C分別是NB4P和N的角平分線，

；.NBAD=gNBAP,AABC^AABM,；./BAD+NABC=g(ZPAB+AABM}=135°,/.ZF=45°,

ZFDC+ZFCD=135°,:.ZCDA+ZDCB=225。,「DE、CE分別是NADC和NBCD的角平分線，

ZCDE+NDC￡=112.5°,二ZCED=67.5°；

(3)「NBA。與NB。。的角平分線相交于E,NEAO=3NA4。，NEOQJNBOQ,

：.ZE=ZEOQ-AEAO=g(ZBOQ-ZBAO)^AABO,-：AE,AF分別是NBAO和NOAG的角平分線,

ZEAF=90°.在AAEB中，?.?有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，故有：

①NEAF=3NE,NE=30°,NABO=60°；(2)ZEAF-3ZF,NE=60°,ZABO-1200(舍棄)；

(3)ZF=3ZE,ZE=22.5°,ZABO=45°；④NE=3N凡NE=67.5°,N480=135°(舍棄).

NAB。為60。或45。.

4.已知AABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，滿足：點(diǎn)A在y軸正半軸上移動(dòng)，點(diǎn)8在x軸負(fù)半軸上移動(dòng)，點(diǎn)C

為y軸右側(cè)一動(dòng)點(diǎn).

(1)若點(diǎn)A(0,a)和點(diǎn)B(b,0)坐標(biāo)恰好滿足：(a-2)2+|?+Z>+l|=0,直接寫(xiě)出a、b的值.

(2)如圖①，當(dāng)點(diǎn)C在第四象限時(shí)，若AM、A。將NBAC三等分，BM、8。將/ABC三等分，在A、

B、C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試求出NC和的大小.

探究：

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在第四象限時(shí)，若AM平分/CAO,BM平分/CBO,在A、B、C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,

NC和是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，且在(1)中的條件不變的前提下，/C和又有何數(shù)量關(guān)系？

證明你的結(jié)論.

【解答】解:(1)*/(a-2)2+\a+b+\\=G,又；(a-2)2^0,|a+b+l|20,

$-2=0解得卜=2

Ia+b+l=0Ib=_3

(2)如圖①中，

ZOAB+ZOBA=90°,平分/BAO,MB平分NABO,/.ZMAB+ZMBA=^ZBAO+^ZABO=

22

AX90°=45°,/.ZM=180°-CZMAB+ZMBA)=135°.'JAM,AO將/BAC三等分，BM、

2

8。將/ABC三等分，?.ZCAB+ZCBA=3(ZMAB+ZMBA)=135°,AZC=180°-(ZCAB+Z

CBA)=45°.

探究：(1)如圖②中，結(jié)論：2/M-/C=90°.

J)

4:

理由：?..AA/平分/CAO,BM平分NCBO,.?.可以假設(shè)NCAM=NK40=尤，ZCBM=ZMBO=y,

VZAOB=ZM+ZMAO+ZMBO,ZAOB=ZC+ZCAO+ZCBO,：.9Q°=x+y+ZM?,90°=2x+2y+

NC②，.?.①X2-②可得：2/M-NC=90。.

(2)如圖③中，結(jié)論：2NM-/C=90°.

③

理由：平分NC4。，平分/CB。，.?.可以假設(shè)/C4M=無(wú)，ZCBM=ZMBO=y,

VZAOB+ZOBM=ZM+ZMAO,ZAOB+ZOBC=ZC+ZCAO,.".90°+y=x+ZM?,

90°+2y=2x+ZC@,.?.①X2-②可得：2ZM-ZC=90°.

題型二：與8字模型有關(guān)的壓軸題

5.（江蘇）圖1,線段AB、C。相交于點(diǎn)。，連接A。、CB,我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之為"8字形如圖

2,在圖1的條件下，ZDAB和NBCD的平分線AP和“相交于點(diǎn)P,并且與CD、AB分別相交于M、N.試

解答下列問(wèn)題：

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出NA、ZB、NC、之間的數(shù)量關(guān)系：;

（2）仔細(xì)觀察，在圖2中"8字形"的個(gè)數(shù)：個(gè)；

（3）圖2中，當(dāng)/。=50度，N8=40度時(shí)，求NP的度數(shù).

（4）圖2中N。和N2為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)N尸與ND、N2之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.（直

接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）.

D

D

A

cB滬----B

圖1圖2

【詳解】解：(1)「ZA+ND+ZAOD=AC+ZB+N500=180。，ZAOD=NBOC,ZA+ZO=NC+ZB,

故答案為：ZA+ZZ)=ZC+ZB；

(2)①線段AB、CO相交于點(diǎn)O,形成"8字形"；②線段AN、CM相交于點(diǎn)0,形成"8字形"；

③線段AB、CP相交于點(diǎn)N,形成"8字形"；④線段A3、CM相交于點(diǎn)。，形成"8字形"；

⑤線段AP、CD相交于點(diǎn)形成"8字形"；⑥線段AN、CO相交于點(diǎn)。，形成"8字形"；

故"8字形"共有6個(gè)，

(3)ZDAP+ZD=ZP+ZDCP,(1)ZPCB+ZB=ZPAB^Z.P,②

ZDAB和NBCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,；.ZDAP=NPAB,ZDCP=NPCB,

①+②得：ZDAP+ZD+NPCB+NB=ZP+ZDCP+APAB+AP,即2ZP=ND+ZB,

又￡>=50度,NB=40度，...2N尸=50°+40°,.IN尸=45°；

(4)關(guān)系：2NP=ZD+NB.NO+N1=NP+N3①，NB+N4=NP+N2②，

①+②得：ZD+Z1+Z4+ZB=ZP+Z3+Z2+ZP,NZMB和N￡>CB的平分線A尸和CP相交于點(diǎn)P,

/.Z1=Z2,Z3=Z4,2ZP=Z￡>+ZB.

6.（四川）（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為"8字形"，請(qǐng)說(shuō)理證明NA+NB=NC+NZ）.

（2）（可直接使用問(wèn)題（1）中的結(jié)論）如圖2,BP、OP分別平分N48C、NADC；

①若NA=36。，NC=28。，求NP的度數(shù)；

②NA和NC為任意角時(shí)，其他條件不變，猜想NP與NA、NC之間數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

（3）在圖3中，點(diǎn)E為CQ延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BQ、DP分別是NABC,ZADE的四等分線,且NCBQ=:ZABC,

NEDP,NADE,的延長(zhǎng)線與。尸交于點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫(xiě)出NP與NA、NC的關(guān)系，無(wú)需證明.

4

【詳解】解：(1)...NA+NB+N402=180°,NC+N￡>+/COD=180°,ZAOB=ZCOD,

NA+N8=NC+ND;

(2)①設(shè)NABP=NCBP=尤，ZADP^ACDP^y,則有尤+/A=y+NP,x+zP=y+zC,

；.NP-NA=NC-NP,：.NP=g(ZA+zC)=；(28°+36°)=32°；

②設(shè)NABP=NCBP=x,ZADP=^CDP=y,則有X+NA=y+zP,X+NP=y+zC,

；.NP-NA=NC-NP,；.NP=g(NA+NC)；

(3)延長(zhǎng)AB交PD于點(diǎn)M,

,/ZCBQ=；NABC,ZEDP—；NADE,設(shè)NCBQ=x,ZEDP=y,則NABC=4x,ZADE=^y,

由(1)可知：NA+4x=NC+180。-4y①，,/ZAMP-Z.A+ZADP-Z.A+3y,ZAMD-Z.P+ZMBP-Z.P+3x,

，NA+3y+NP+3尤=180°②，，聯(lián)立①②得：ZA+3ZC+4ZP=180°.

(1)如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為"8字形"，則NA、NB、NC、ND之間的數(shù)量關(guān)系為;

(2)如圖2,AP,CP分別平分NBA。、ZBCD.若N8=36。，N。=44。，則NP的度數(shù)=°；

(3)如圖3,NBAD和N8C。的三等分線AP和CP相交于點(diǎn)P,Z2=|zBAD,Z4=^ZBCD,試探究N2、

ND、NP三者之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

⑷如圖4,CP、AG分別平分N8CE、ZFAD,AG反向延長(zhǎng)線交CP于點(diǎn)P,請(qǐng)猜想NP、NB、NO之間

的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)丫ZA+ZB+ZAOB=180°,ZC+ZD+NDOC=180°,而NAOB=Z.DOC,：.ZA+ZB=ZD+ZC；

故答案為：zA+ZB=NQ+NC

(2)NZMB和NBC。的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,N1=N2,N3=N4,/Z1+Z3+ZP,

N2+NP=N4+ZD,：.ZB-NP=ZP-ND,即N(N￡>+N2).：N2=36°,Z￡)=44°,/.ZP=40"；

故答案為：40。

(3)2N8+NZ)=3NP,理由如下：Z2=-ZBAD,Z4=-ZBCD:.zBAD=3Z2,ZBCD=3Z4,

33

Z1=2Z2,Z3=2Z4,由(1)中結(jié)論得：Z1+ZB=Z3+ZP?,Z4+ZD=Z2+ZP0,

①+②X2,得：ZB+2ND=3NP.

(4)22P=NB"D.理由：?；CP、AG分別平分NBCE、NFAD,：.ZECP=NPCB,ZFAG^GAD,

-：ZPAB=Z.FAG,ZGAD=NPAB,'：ZP+NPAB=Z.B+ZPCB,：.ZP+ZGAD=NB+NPCB,

'：ZP+ZB4D=ZD+ZPCD,：.ZP+(180°-ZGA￡?=ZD+(180°-ZECP),：.2ZP=ZB+ZD.

6.如圖①，已知線段A8,CD相交于點(diǎn)O,連接AC,BD,我們把形如圖①的圖形稱(chēng)之為"8字形如

圖②，NC4B和NBOC的平分線AP和。尸相交于點(diǎn)尸，并且與CD,AB分別相交于M,N.試解答下列

問(wèn)題：

圖①圖②圖③

⑴在圖①中，寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于NA、NB、ZC,N。的關(guān)系的等式.

（2）在圖②中，若N8=96。，ZC=100°,求NP的度數(shù)；

⑶在圖②中，若設(shè)NC=a,ZB=p,zCAP=|zCAB,NCDP"aCDB,試問(wèn)NP與NC,NB之間

存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（用a,4表示NP）,并說(shuō)明理由；

（4汝口圖③，則NA+zB+zC+zO+NE+NF的度數(shù)為.

【解答】解：（1）解：結(jié)論：ZA+zC=ZB+ZD.理由：如圖中，

NA+NC+NAOC=N5+NO+N￡>08=180°,「NAOC=N003,NA+NC=NB+NZ).

故答案為：ZA+ZC=NB+ZD-,

(2)解：NC4B和N2￡>C的平分線AP和。尸相交于點(diǎn)P,：.NCAP=Z.BAP,ZBDP=ZCDP,

■：ZCAP+ZC=ZCDP+ZP,ZBAP+ZP=NBDP+ZB,NC-NP=NP-N8,即NP=J(ZC+ZB),

---ZC=100°,ZB=96°,Zp=y(100°+96°)=98°；

1119

(3)解：結(jié)論：ZP=-(4+2a).理由：/ZCAP=-ACAB,ZCDP=-ACDB,：.^BAP=-ABAC,

ZBDP=|zBDC,-：ZCAP+NC=ZCDP+ZP,ZBAP+NP=ZBDP+NB,

1122

ZC-ZP=-4BDC-—4BAC,ZP-ZB=—NBDC--iBAC,/.2(ZC-ZP)=ZP-ZB,

3333

/.Z尸二g(ZB+2ZC),,「ZC=a,ZB=0,Z尸二;(尸+2儀)；

(4)解：,/ZB+NA=Z1,ZC+ZD=Z2,

/.NA+ZB+ZC+ZD=Z1+Z2,/Z1+Z2+ZF+ZE=360°,:ZA+ZB+NC+ZD+ZE+Z尸=360°.

8.（江蘇）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為"8字形"，顯然有NA+/3=NC+/D；

閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問(wèn)題：

圖4圖5

（1）如圖2,AP,CP分別平分㈤D、ZBCD,若NABC=36。，ZADC=16°,求ZP的度數(shù)；

（2）①在圖3中，直線AP平分的外角CP平分/BCD的外角/BCE,猜想N尸與々、/￡）的

關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②在圖4中，直線AP平分ZB4D的外角NE4D,CP平分N3CD的外角ZBCE,猜想/尸與々、/￡）的

關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由.

③在圖5中，4尸平分NB4D,C尸平分/BCD的外角4CE,猜想NP與4、/￡）的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論,

無(wú)需說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）?.?AP、CP分別平分NBA。、ZBCD,：.Z1=Z2,N3=N4,N2+N3=N1+N4,

由（1）的結(jié)論得：ZP+Z3=Z1+ZABC?,ZP+Z2=Z4+ZADC（2）,①+②，得

2ZP+Z2+Z3=Z1+Z4+ZABC+Z.ADC,：.2ZP=NABC+Z.ADC,

：.ZP=^（NABC+NAOC）=[（36°+16°）=26。.

(2)ZP=-(ZB+ZD),理由如下：

2

①：AP平分NBAD的外角NRID,CP平分NBCD的外角/BCE,;N1=N2,Z3=Z4.

由(1)的結(jié)論得：NMD+NP=NPCD+ND③,ZPAB+AP=Z4+ZB(4),

,/ZPAB=Z.1,Z1=Z2,ZB4B=Z2,/.ZB4D=ZB4B+ZBAD=A2+180°—2Z2=180°—Z2,

/.Z2+ZP=Z3+Z5⑤，③+⑤得N2+ZP+ZB4D+NP=Z3+ZB+NPCD+ND,

Z2+Z尸+180°—N2+ZP=Z3+Z3+180°—N3+ZD,即2ZP+180°=ZB+N0+180°,「.ZP=-(ZB+ZD).

2

@ZP=180°-1(ZB+ZD),理由如下：

如圖4,?；AP平分N84。的外角NFAD,CP平分NBCD的外角NBCE,：.Z1=Z2,Z3=N4,Z840=180。

-2Z1,Z8C￡)=180°-2N3,由題干可知：ZBAD+ZB=NBCD+ND,：.(180°-2Z1)+ZB=(180°-2Z3)

+ZD,在四邊形APCB中，ZBAP+NP+Z3+Z8=360。，即(180°-Z2)+ZP+Z3+Z8=360°,⑥

在四邊形APCD中，N2+N尸+NPCD+N￡)=360°,即N2+NP+(180。-N3)+Z0=360°,⑦

⑥+⑦得：2ZP+ZB+ND+Z2-Z2+Z3-Z3=360°,/.2ZP+ZB+Z￡)=360°,.1ZP=180°-1(ZB+ZD)；

理由如下：如圖5,TAP平分NBAD,CP平分NBCD的外角NBCE,

Z1=Z2,Z3=N4,由題干結(jié)論得：ZBAD+ZB=NBCD+ND,即2N2+ZB=(180°-2Z3)+Z。⑧,

Z2+ZP=ZPCD+ZD,即N2+ZP=(180°-Z3)+ZD@,⑨x2-⑧得：2N尸-NB=180°+ZD,

ZP=90°+-(ZB+ZD).

題型三：與燕尾模型有關(guān)的壓軸題

9.利用"模型"解決幾何綜合問(wèn)題往往會(huì)取得事半功倍的效果.

幾何模型：如圖(1),我們稱(chēng)它為"A"型圖案，易證明：NEDF=NA+NB+NC.

運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問(wèn)題：

(1)如圖(2),"五角星"形，求NA/+NA2+NA3+N4+N4=?

分析：圖中是"A"型圖，于是NA2n45=N4+NA3+N4,所以NA/+NA2+NA?+N4+N4=

(2)如圖(3),"七角星”形,求NA/+NA2+NA3+NA4+NA?+N4+N人7的度數(shù).

由三角形外角的性質(zhì)可得，Z1=ZA/+ZA4,---ZA2DA5=Z.1+ZA.3,ZA2D45=ZA1+Z.4+NA?,

---ZA2DA5+ZA2+ZA5=180°,ZA/+NA2+ZA?+N4+NAS=180°,故答案為：180°；

(2)如圖(5),

由(1)得，Z1=ZA1+Z.A4+Z.As,N2=NA2+NA?+NAs,Z1+Z2+ZA7=180°,

ZAi+Z,A2+ZA3+NA/+NA5+ZAe+Z47=180°.

10.(山西晉中)請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù):

有趣的“飛鏢圖"

如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱(chēng)它為"飛鏢圖".當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四

邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一

個(gè)角"凹"進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和.

（即如圖1,zADB=AA+ZB+ZC）理由如下：

方法一：如圖2,連接AB,貝I」在AABC中，ZC+ZCAB+ZCBA=180°,即N1+Z2+Z3+Z4+ZC=180°,

文：在AABD中，Z1+Z2+ZADB=1SO°,ZADB=N3+Z4+ZC,即NADB=NCAD+^CBD+aC.

方法二：如圖3,連接CD并延長(zhǎng)至F,N1和N3分別是△AC。和"CZ）的一個(gè)外角，.....

大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？

任務(wù)：

⑴填空："方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是—；

（2）探索：根據(jù)"方法二”中輔助線的添加方式，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分；

⑶應(yīng)用：如圖4,AE是NCAD的平分線，BF是NCBD的平分線，AE與BF交于G,若N402=150。,

ZAGB=110°,請(qǐng)你直接寫(xiě)出NC的大小.

【詳解】解：（1）解：三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180。）

（2）證明：連接CD并延長(zhǎng)至F,

-：Z1和N2分別是△ACD和小BCD的一個(gè)外角，，Z1=Z2+ZA,Z3=Z4+ZB,

Z1+Z3=Z2+ZA+Z4+ZB,即NADB=Z.A+ZB+NACB；

(3)解：由(2)得：ZADB=NCAD+ZCBD+ZC,ZAGB=NCAE+ZCBF+NC,'：ZADB=150°,ZAGB=1W°,

ZCAD+ZCBD+NC=150°,ZCAE+ZCBF+NC=110°,/.ZCAE+ZCBF=110°-ZC,

ZCAD+ZCBD=150°-ZC,：AE是NCAD的平分線，BF是NCBD的平分線，

ZCAD=2ZCAE,ZCBD=2ZCBF,ZCAD+ZCBD=2(ZCAE+NCBF),150°-ZC=2(110°-ZC),

解得：ZC=70°.

IL（江蘇）模型規(guī)律：如圖1,延長(zhǎng)CO交于點(diǎn)則/3OC=Z1+/B=NA+NC+/B.因?yàn)榘妓倪?/p>

形ABOC形似箭頭，其四角具有"/30。=/4+/3+/。”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角

形”.

模型應(yīng)用

(1)直接應(yīng)用：

①如圖2,ZA=60°,ZB=20°,ZC=30°,貝|N3OC=

②如圖3,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=°；

(2)拓展應(yīng)用:

①如圖4,乙鉆0、4復(fù)0的2等分線（即角平分線）2。［、（30］交于點(diǎn)。］,已知NBOC=120。，ZBAC=50°,

則4QC=。；

②如圖5,BO、CO分別為/ABO、NACO的10等分線0=1,2,3,…,8,9）.它們的交點(diǎn)從上到下依次為Q、

。2、。3、…、0§,已知/3OC=120°,ZA4C=50°,則/8。7。=°;

③如圖6,ZABO.Zfl4c的角平分線比＞、AD交于點(diǎn)。，已知ZBOC=120。,/。=44。，貝I」

ZADB=°；

④如圖7,ZBAC,/BOC的角平分線A。、OD交于點(diǎn)。，貝恰8、NC、/￡＞之同的數(shù)量關(guān)系為.

【詳解】解：（1）①NBOCUNA+NB+NCuGoo+ztr+BO-uno。；

②NA+ZB+ZC+ZD+N￡+ZF=ZBOC+NDOE=2xl30°=260°；

(2)①NBOiC=ABOC-ZOBOi-zLOCO尸NBOC-1-(ZABO+AACO)=ZBOC-](ZBOC-AA)

=ZBOC-^(120°-50°)=120°-35°=85°；

33

@ZBOC=^BOC—(ZBOC-ZA)=120°—(120°-50°)=120o-21°=99°；

~71010

3

(3)ZADB=180°-(ZABO+ZBAD)=180°-—(N8OC-NC)=180°-1(120--44°)=142°；

102

④NBOO=：NBOC=NB+NBAC,ZBOC=ZB+ZC+ZBAC,聯(lián)立得：NB-NC+2ND=0.

12.(福建)如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)一一箭號(hào).我們不妨把這樣圖形叫做"箭頭四角形

探究：

（1）觀察"箭頭四角形"，試探究N9C與44、DB、NC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

應(yīng)用：

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊三角尺屹放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊XV、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)8、C,若

ZA=60°,則ZABX+NACX=。；

②如圖3,ZABE,NACE的2等分線（即角平分線）BF、CT相交于點(diǎn)尸，若N￡WC=60。，

/BEC=130。，求ZBbC的度數(shù)；

拓展：

（3）如圖4,BOt,C。，分別是NAB。、NACO的2020等分線（/=1,2,3,,2018,2019）,它們的交點(diǎn)從上

到下依次為。i、。2、。3、…、O20i9.已知4OC=m°,NBAC=n。,則/反兒居二度.

【詳解】（1）如圖，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E

NBDE=NBAD+NB,NCDE=NCAD+NC,又：NBDC=NBDE+NCDE/BAC=NBAD+NCAD,

：.ZBDC=ABAC+ZB^Z.C

(2)①由(1)可知ZBXC=ZA+ZABX+ZACX,vZA=60°,ZBXC=90°,

ZABX+ZACX=ZBXC-ZA=90°-60°=30°；

②由(1)ZBEC=ZBAC+ZABE+ZACE,-：ZBAC=60°,/BEC=130°,

.-.ZABE+ZACE=ZBEC-ABAC=130°-60°=70°,BF平分ZABE,CF平分NACE,

ABF=|ABE,ACF=|ACE,NBFC=ABAC+ZABF+ZACF=ABAC+1(ZABE+NACE)=95°

(3)由(1)ZBOC=ZBAC+ZABO+ZACO,:/BOC=m°,/BAC="。,

,ZABO+ZACO^ZBOC-ZBAC^rrP-rf,-：BO,,CO,分別是ZAB。、ZACO的2020等分線

加°—n°50——50H°

(i=1,2,3,,2018,2019),，ZABO+ZACO=--------x1000=---------------,

I0001o00ro02020101

50,71°+5bz°

^BOiW0C=ZBAC+ZAB。,0m+ZACO1000=———。

題型四：與動(dòng)角有關(guān)的壓軸題

13.(江蘇泰州)直線AB、CD相交于點(diǎn)。，ZAOC^a,點(diǎn)尸在直線AB上且在點(diǎn)。的右側(cè)，點(diǎn)E在直線

C。上(點(diǎn)E與點(diǎn)。不重合)，連接ER直線EM、FN交于點(diǎn)G.

(1)如圖1,若點(diǎn)E在射線0c上，a=60。，EM、尸N分別平分NC所和NAFE,求NEGF的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)E在射線0c上，ZMEF=mZCEF,ZNFE=(1-2m)ZAFE,若NEGP的度數(shù)與NAFE

的度數(shù)無(wú)關(guān)，求相的值及NEG尸的度數(shù)(用含有a的代數(shù)式表示)；

(3)如圖3,若將(2)中的"點(diǎn)E在射線OC上"改為"點(diǎn)E在射線。。上"，其他條件不變，直接寫(xiě)出NEGF

的度數(shù)(用含有。的代數(shù)式表示)

圖1

【詳解】(1)「EM、MV分別平分NCE尸和NAFE,ZMEF=gNCEF,ZEFG=^NAFE,

???ZEGF=NMEF-ZEFG,：.ZEGF=[ZCEF-gZAFE=[(ZCEF-ZAFE)=；NCOF,

而NAOC=a=60°,，ZCOF=180°-60°=120°,ZEGF=60°；

(2)???ZCEF-ZAFE=NCOF=180°-a,：.ZC￡F=180°-ct+ZAFE,-：ZMEF=mNCEF,

ZMEF—m(180°-oc+ZAFE),ZEGF=/MEF-ZNFE,

ZEGF=m(180°-a+ZAFE)-(1-2m)ZAFE=m(180°-a)+(3m-1)ZAFE,

：NEGF的度數(shù)與NAFE的度數(shù)無(wú)關(guān)，,3m-1=0,即〃?=§,二N(180。-a)=60。-ga；

(3)「NBOC—Z.CEF+NA尸E=180°-a,ZCEF=180°-?-ZAFE,ZMEF=CEF—m(180°

-a-NAFE),而NNFE=(1-2m)ZAFE,

/.ZEGF—180°-ZMEF-ZNFE=180°-m(180°-a-ZAFE)-(1-2m)ZAFE=180°-m(180°-a)

+(3m-1)NAFE,「NEG尸的度數(shù)與NAbE的度數(shù)無(wú)關(guān)，「.3加-1=0,即加=；,

/.ZEGF=180°--(180°-a)=120°+-a.

33

14.如圖1,含30。角的直角三角板。EF（NEDF=30。）與含45。角的直角三角板的斜邊在同一直線上，。為2C

的中點(diǎn)，將直角三角板DEF繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)/研0°＜。＜180。），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：

(1)如圖2,當(dāng)N(z=_________。時(shí)，DEHAB-,當(dāng)4z=_______。時(shí)，DELAB-,

(2)如圖③，當(dāng)直角三角板DE尸的邊。尸、DE分別交54、C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N時(shí)；

①/I與N2度數(shù)的和是否變化？若不變，求出/I與N2度數(shù)的和；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若使得4=2N2,求出Nl、N2的度數(shù)，并直接寫(xiě)出此時(shí)/。的度數(shù)；

③若使得421/2,求Nc的度數(shù)范圍.

【詳解】解：(1)N8=45。，.,.當(dāng)NEDC=NB=45。時(shí)，DE//AB,而/應(yīng)加=30。，

.?.30°+a=45°,解得<z=15。；當(dāng)DE7/AC時(shí)，DELAB,此時(shí)NC+NEDC=180。，

.?.30°+a+45°=180°,解得&=105。；

(2)①N1與N2度數(shù)的和不變.連接MN,如圖3,在AAWN中，ZANM+ZAMN+ZMAN=180°,

：.ZANM+ZAMN=90°,在AMZVD中，ZDNM+ZDMN+ZMDN=1SO°,

即Z2+ZANM+ZAMN+Zl+ZMDN=180°,/.Zl+Z2=180°-90o-30o=60°；

21+/2=60°"1=40。

②根據(jù)題意得《”c八，解得Lc”。；.^C+ZMDC=Z1+ZMAC,即45。+a=40。+90。，

[Nl=2ZZ[ZZ=ZU

:.a=S5°；

③Zl>-Z2,Nl+N2=60。，Zl>-(60°-Zl),/.Z1>24O,ZC+ZMZX?=Z1+ZM4C,

33

即45。+2=4+90。，/.Zl=cr-45°,.\^-45o>24°,解得aN69。，Na的度數(shù)范圍為69。4&<90。.

D

圖3

15.（河南鄭州）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,。是A3邊上的中點(diǎn)，三角板OMN的直角頂點(diǎn)與。重

臺(tái)，NMON=90。，直角三角形板MON繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)使邊。M交AC于點(diǎn)。，邊ON交BC于點(diǎn)、E(D、E不

與A、B重合)，連接。E.

(1)如圖①，當(dāng)CA=CB=4時(shí)，

①請(qǐng)直接寫(xiě)出OE的取值范圍：

②判斷△OOE的形狀并說(shuō)明理由；

③判斷四邊形0DC2的面積在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中是否變化，若不變，求出該四邊形的面積；若變化，請(qǐng)說(shuō)明

變化的范圍；

(2)如圖②，判斷并說(shuō)明線段AD,。"和BE的數(shù)量關(guān)系.

解：①?.?CA=CB=4,AB=V42+42=472-當(dāng)。時(shí)，DE有最小值，；NA=45。，ZADO=9Q°,

：.44。。=90。-45。=45。，ZA=ZAOD=45°,AD=OD,」。是A8邊上的中點(diǎn)，

OA=-AB^2y/2,:.OD=AD=2,：.CD=AC-AD=4-2=2