重難點04三角恒等變換

(3種考向)

【目錄】

考向1：給值求值問題

考向2：給值求角問題

考向3：利用三角恒等變換判斷三角形的形狀

J二、命題規律與備考策略

本專題是高考常考內容，結合往年命題規律，命制三角函數恒等變換題目，諸如“給值求角”“給值求值”

“給角求值”三種考向進行分類講解。

1.同角三角函數的基本關系

(1)平方關系:sin2a+cos2a=1.

(2)商數關系：s'"」=tana.

cosCI

2.誘導公式

公式一：sin(a+2Zn)=sina,cos(a+2E)=cosa,tan(a+2E)=tana,其中蛇Z.

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

公式四:sin(71-a)=sina,cos(n-a)=-cosa,tan(n-a)=-tana.

兀/兀、(2L-)

公式五:sin(-a)=cosa，cos(----a)=sina,tana=cota.

T22

兀/兀、/兀、

公式六:sin(+a)=二cosa,cos(---+a)=-sina,tan(——+a)=二-cota.

T22

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(a-p)：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp；

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacosP-sinasinp；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp；

(4)S<a-P)：sin(a-0)=sinacosP-cosasinp；

tanCt+tan

(5)T(a+p)：tan(a+0)=^.

1-tanQtanP

(6)TQ"tan(a-p)=tan。七嗎.

1+tanCltanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2a*sin2a=2sinacosa；

(2)C2a:cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

(3)T2a:tan2a=-.

l-tan2a

Q三、題型方法

考向1:給值求值問題

一、單選題

1.(2022?上海?高三專題練習)若tan〃=-2,則吧，口土吧型=()

sin8+cos8

6226

A.——B.——C.-D.-

5555

2.(2023?上海奉賢?統考一模)已知〃，b,a,/yeR,滿足sine+cos4=a,cosa+sin4=b,

0<a2+b2<4,有以下2個結論:

①存在常數a,對任意的實數beR,使得sin（a+夕）的值是一個常數；

②存在常數匕，對任意的實數aeR,使得cos（。-/）的值是一個常數.

下列說法正確的是（）

A.結論①、②都成立

B.結論①不成立、②成立

C.結論①成立、②不成立

D.結論①、②都不成立

二、填空題

3.（2022?上海?高三專題練習）已知sine+sin,+g]=l,貝依畝,+。|=.

4.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中校考階段練習）已知sin26+sine=0,共修萬],貝Utan2g=

5.（2023?上海普陀?曹楊二中校考模擬預測）已知$也"￡|=-孚則sin2e的值為

cin/y4-CCSCi

6.（2022?上海?高三專題練習）若ma十3，a=3,tan（a-￡）=2,則tan（￡-2a）=______.

sina-cosa

7.（2022秋?上海普陀?高三統考期中）若sin[c_3j=T，則血2]=；

8.（2022?上海?高三專題練習）若sina=！，則cos（l一2a）=.

3------

TTJT

9.（2022春?上海浦東新?高三校考階段練習）已知—<a<一,若tana+cota=3,則cos2a=

42

10.（2022春?上海寶山?高三上海市行知中學校考期中）已知0<。<三，若sin（2a-工）=-也，貝U

2410

sina+cosa=.

三、解答題

11.（2022春?上海浦東新?高三上海市實驗學校校考開學考試）已知函數/（x）=2cos2x+cos（2x+mj.

⑴若/（a）=1+l,0<?<^,求sin2a的值；

（2）在銳角回ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若/（A）=-；,c=3,回ABC的面積

S.ABC=36，求.的值?

12.（2022秋?上海嘉定?高三校考期中）在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為6、C,且

,1

cosA=—.

3

⑴求sir?'；0+cos2A的值；

⑵若Q=石，求。。的最大值.

13.(2022,上海?高三專題練習)已知a=(sina,l),b—(cosa,2),ex.Gf0,—

（1）若〃///?,求sin2a的值;

（2）在（1）的條件下，若cos（a+/）=尚，求s比￡的直

14.（2023?上海松江?校考模擬預測）設/（x）=2sirucosx-2sin[x

（1）求“力的單調遞增區間及對稱中心；

⑵當時，+=求cos2x的值.

TT

15.（2022?上海局三專題練習）已知函數〃尤）=國11（8+9（。＞0）的最小正周期為萬.

6

（1）求①與八九）的單調遞增區間；

A

（2）在ABC中，若/（萬）=1,求sin3+sinC的取值范圍.

16.（2023春?上海松江?高三上海市松江二中校考階段練習）已知/（x）=cosx（、/§sinx-cosx）+；.

⑴求在[0,句上的單調遞減區間；

⑵若，求sin2a的直

jkJbJ

考向2：給值求角問題

一、單選題

1.（2022春?上海寶山?高三上海交大附中校考開學考試）已知a、夕都是銳角，且3sin2a+2sin2夕=1,

3sin2c-2sin2尸=0,那么a、夕之間的關系是（）

?71?71

A.a+°=—B.a-B

兀jr

C.a+2,=ID.cc+=—

2.（2021秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學校考階段練習）將方程sinxcosx+行投不了;3的所有正

3

數解從小到大組成數列{%},記a〃=cos（x“+i—x〃），貝！］%+%+…+%。21=（）

A.一3B.一也c.一3D.一交

4466

二、填空題

3.（2022?上海?高三專題練習）已知tana=3,tan尸=2（。、尸均是銳角），則。+尸的值為.

4.（2022秋?上海楊浦?高三上海市控江中學校考階段練習）把5sina+12coso■化成

Asin（a+協（A>0,0e（0,2萬））的形式，則常數夕的值為.

5.（2022春?上海虹口?高三上海市復興高級中學校考階段練習）已知xe（0,1），則方程海：'1=。的

212cosx

解集是.

6.（2022春?上海黃浦?高三上海市大同中學校考開學考試）若ee（O,%）,且cos2a=,則a的

值為.

7.（2022秋?上海嘉定?高三校考期中）若上廣為銳角，sina=述,cos（a+0=-U,則角￡=

7、,14

8.(2023?上海,高三專題練習)費馬點是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形

三個內角都小于9時，費馬點與三角形三個頂點的連線構成的三個角都為告.已知點尸為ABC的費馬

點，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若cosA=2sin[cq卜osB,且戶=(a-c)?+6,則

PAPB+PBPC+PAPC的值為.

三、解答題

9.(2022?上海?高三專題練習)設常數1￡尺，函數/(x)=Gsin2x+〃cos2x.

(1)若A幻為奇函數，求。的值；

(2)若=求方程〃x)=2在區間。同上的解.

10.(2022春?上海虹口?高三上海市復興高級中學校考階段練習)己知函數

/(x)=sin2x+sinxcosx-^-(xeR).

(1)求函數/(x)的最小正周期T與單調增區間；

(2)在中，若〃4)=〃可=；,求角C的值.

11.(2021秋?上海寶山?高三上海市行知中學校考開學考試)已知b、c是一ABC中/A、ZB./C的

對邊，a=4后'b—6,cosA―――

⑴求c邊長;

(2)求23—A的值.

考向3：利用三角恒等變換判斷三角形的形狀

一、單選題

cosAcosBcosC,

1.(2022?上海?高三專題練習)對于AASC,若存在AAgG,滿足「~=一1=-^=1,則稱AABC

smAsin與sinCj

為“V類三角形”.“V類三角形”一定滿足.

A.有一個內角為30°B.有一個內角為45°

C.有一個內角為60°D.有一個內角為75°

2.(2020秋?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習)在ASC中，若cosAcosB-sinAsin8>0,則

這個三角形一定是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.以上都有可能

二、解答題

3.(2022春?上海浦東新?高三上海市進才中學校考階段練習)已知函數

/(x)=sin(2.x+y)+sin(2.x-^)+>/3cos2x-m,xdR,且火x)的最大值為1.

(1)求機的值，并求式無)的單調遞增區間；

(2)在△ABC中，角A、B、C的對邊a、b、c,若=且出a=6+c,試判斷△ABC的形狀.

U四、刷真題與模擬

一.選擇題(共3小題)

1.(2022?北京)已知函數/(%)=cos*2x-sin2x,貝!J()

A./(x),--)上單調遞減

26

B./（無）在（-，上）上單調遞增

412

C.f（x）在（0,—）上單調遞減

3

D.f（尤）在（2L,I2L）上單調遞增

412

2.（2023?虹口區二模）對于函數f（x）-/§sinxcosx+sin2x4，給出下列結論:

（1）函數y=/（x）的圖像關于點（需，0）對稱；

（2）函數y=/（x）在區間嚎，弓L］上的值域為［蔣，1］；

（3）將函數y=/（x）的圖像向左平移三個單位長度得到函數尸-cos2x的圖像

3

（4）曲線＞=/（無）在處的切線的斜率為L

4

則所有正確的結論是（）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.（2）（4）D.（1）（3）

3.（2019?上海）已知tana?tan0=tan（a+p）.有下列兩個結論：

①存在a在第一象限，0在第三象限；

②存在a在第二象限，0在第四象限；

則（）

A.①②均正確B.①②均錯誤C.①對②錯D.①錯②對

二.填空題（共6小題）

4.（2022?上海）若tana=3,則tan（a+e-）=.

4

5.（2020?浦東新區校級二模）函數y=sin2x-sin2x的最小正周期為.

6.（2020?上海）已知3sin2x=2sinx,xG.（0,n）,貝!Jx=.

7.（2023?上海）已知tana=3,則tan2a=.

8.（2002?上海）已知/（x）=4I',ae（^-,皿），則/（cosa）4/（-cosa）可化簡為.

9.（2023?嘉定區校級三模）若關于尤的方程ZsirA-ysin2x+〃z-1=0在（工■,it）上在實數根，則實數

2

m的取值范圍是.

三.解答題（共11小題）

10.（2021?浙江）設函數/（x）=siru+cosx（尤6R）.

（I）求函數y=［f（x+；）產的最小正周期;

（II）求函數y=/（x）/（x-」L）在［0,上的最大值.

42

11.（2023?青浦區二模）己知函數y=/（無）的表達式為

（1）求函數y=/（x）的最小正周期及圖像的對稱軸的方程;

（2）求函數y=/（x）在（0,號-）上的值域.

12.（2022?崇明區一模）己知f（x）=J§sin2x-2cos?x-1。

（1）求函數y=/（無）的單調遞增區間；

（2）設△ABC的內角A滿足/（A）=0,且思?沃=&求BC邊長的最小值.

13.（2021?青浦區二模）已知函數/（x）=2-/2sin—cos—+2-'./2cos2—-\［2.

222

（1）求函數/（X）在區間［0,TT］上的值域；

（2）若方程/（3X）=F（3>0）在區間［0,TT］上至少有兩個不同的解，求3的取值范圍.

14.（2018?上海）已知y=cosx.

(1)若f(a)空■，且ae[o,TT],求f(a=)的值;

(2)求函數y=/(2x)-2f(x)的最小值.

15.(2018?上海)設常數函數/(x)=?sin2x+2cos2x.

(1)若/(%)為偶函數，求〃的值；

(2)若/(三)=V3+b求方程/(%)=1-在區間［-11,n］上的解.

4

16.（2023?寶山區二模）已知函數f（x）=sinxcosxH^co32x也-

XXA/oXllAVU'wUoA'Q

(1)求函數y=/(x)的最小正周期和單調區間;

(2)若關于x的方程/(x)=0在x€［0,卷］上有兩個不同的實數解，求實數機的取值范圍.

17.(2022?奉賢區模擬)已知函數/(無)=J§sin23x+cos23x+l(0<(o<5),將函數的圖像向右平移卷個

單位，得到函數y