平行線拐點模型必考五大類型（40題）

【類型1平行線中單拐點模型】.................................................................1

【類型2平行線中單拐點+角平分線模型】.......................................................9

【類型3平行線中雙拐點模型】...............................................................24

【類型4平行線中雙拐點+角平分線模型】......................................................32

【類型5平行線中多拐點模型】...............................................................38

【類型1平行線中單拐點模型】

1.（2024秋?安寧區(qū)校級期末）如圖，若AB〃CD,/B=50°,ZD=65°,則/尸=（）

A.45°B.50°C.65°D.115°

【分析】過P作平行于的直線，根據(jù)內(nèi)錯角相等可得出三個角的關(guān)系，然后將/8=50°,ZD=

65°代入，即可求N8PD的度數(shù).

【解答】解：如圖，過P點作尸

'：AB//CD,

J.CD//PO//AB,

：.ZBPO=ZB,ZOPD=ZD,

:NBPD=ABPO+ZOPD,

:.NBPD=/B+/D.

VZ5=50°,ZD=65°,

AZBPD=ZB+ZD=500+65°=115°.

故選：D.

2.（2024春?泰興市月考）如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中測得N5=130°,ZD=

110°,則NC的度數(shù)是（）

【分析】過點。作。/〃45,由平行線性質(zhì)可得NSZZ）,/BCF,NQW的關(guān)系，進而求得N5CD.

【解答】解：如圖所示：過點。作反

C.AB//DE//CF,

，/B+NBCF=180°,ZD+ZDCF=180°,

VZ5=130°,ZZ）=110°,

ZBCF=1SO°-/B=50°,ZZ）CF=180°-Z￡>=70°,

AZBCD=ZBCF+ZDCF=120°.

故選：A.

3.（2024秋?豐澤區(qū)期末）泉州某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”（如圖）可抽象為如圖所示模型.已

知45垂直于水平地面4E當(dāng)車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的5c段將繞點5緩慢向上抬高，CD

段則一直保持水平狀態(tài)上升（即CQ與4E始終平行），在該運動過程中N45C+N3CZ）的度數(shù)始終為

()

CD

A.270°C.230°D.180°

【分析】過點3作8G〃/應(yīng)根據(jù)鉛筆模型進行計算，即可解答.

【解答】解：過點5作BG〃力￡,

AZBAE+ZABG=\S0°,

^CD//AE,

：.CD//BG,

：.ZDCB+ZCBG=1SO°,

:./BAE+NABG+/DCB+/CBG=360°,

^9ZDCB+ZCBA+ZBAE=360°,

*：BALAE,

：.ZBAE=90°,

：?/ABC+/BCD=270°,

故選：A.

4.（2024春?臨淄區(qū)期末）如圖，CD//BE,則N2+N3-Z1的度數(shù)等于（）

A.90°B.120°C.150°D.180°

【分析】過點4作4/〃AE,利用平行線的性質(zhì)可得NA4尸=N3,從而可得NC4/=N3-N1,然后利

用平行于同一條直線的兩條直線平行可得力/〃CD從而可得NC4/+N2=180。，進而可得N3-N1+

Z2=180°,即可解答.

【解答】解：過點4作4/〃

:./BAF=/3,

?：NCAF=NBAF-Zl,

：.ZCAF=Z3-Zl,

■:CD//BE,

J.AF//CD,

AZG4F+Z2=180°,

AZ3-Zl+Z2=180°,

即N2+N3-Zl=180°,

故選：D.

5.（2024秋?長安區(qū)校級期末）如圖，直線/1〃小線段45交/1，6于。，8兩點，過點/作交

直線（于點G若Nl=15°,則N2=（）

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理可得的N4OC度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可得N3的度數(shù)，即可解答.

【解答】解：如圖，

AZA=90°,

VZ1=15°,

AZADC=180°-90°-15°=75

：.Z3=ZADC=75°,

AZ2=180°-75°=105°.

故選：A.

6.（2024秋?新縣期中）某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時有一個發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖

所示.已知/5〃CZ）,/BAE=82°,ZDCE=120°,則NE的度數(shù)是（）

A.38°B.44°C.46°D.48°

【分析】延長。。交ZE于尸，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可得NCF￡=NA4E=82°,再根據(jù)三角

形外角性質(zhì)，即可得到NE=NQCE-NCFE.

【解答】解：如圖，延長。。交4￡于尸，

：.ZCFE=ZBAE=S2°,

VZDCE=120°,

Z.ZE=ZDCE-ZCFE=120°-82°=38°,

故選：A.

7.（2024春?江津區(qū)校級月考）如圖，AB//CD,BE1EF,DFLCD,Z5=40°,則NEED的度數(shù)是（）

AB

CD

A.120°B.130°C.140°D.150

【分析】過月作放〃45,過/作m〃45,得到尸N〃畫/〃CD,推出NMEB=NB=40°,ZEFN=X

MEF,DFLFN,求出NME尸=90°-40°=50°，得到NEWV=50°，即可求出/瓦切=/瓦小葉/。網(wǎng)

=140°.

【解答】解：過￡作近0〃/5,過/作7W〃/5,

■:AB〃CD,

：.FN//EM//CDf

：.ZMEB=ZB=40°,/EFN=NMEF,

■:BE2EF,DFLCD,

:?/BEF=9G°,DF1FN,

:?/MEF=90°-40°=50°,

AZEFN=50°,

AZEFD=ZEFN+ZDFN=500+90°=140°.

故選：C.

8.（2024?華釜市模擬）如圖，已知/5〃Z）E,ZABC=l50°,ZCDE=70°,則N5CZ）的度數(shù)為

A.30°B.40°C.35°D.45°

【分析】過點。作CF//AB,貝UZ8〃OE〃CR根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到NBC尸=N4BC=150°,ZDCF

=180°-NCDE=110°,即可求得N5CZ）=N5CF-NOCF=40°.

【解答】解：如圖，過點。作

F

則45〃O￡〃CF.

：?/BCF=NABC=150°,ZDCF+ZCDE=180°.

ZCDE=70°，

：.ZDCF=180°-70°=110°.

：.ZBCD=ZBCF-ZDCF=150°-110°=40°.

故選：B.

9.（2024秋?青山區(qū)期末）如圖，若AB〃CD,則a、0、丫之間的關(guān)系為（）

B.a-p+y=180°

C.a+p-y=180°D.a+p+y=180°

【分析】作跖〃/反利用平行線的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：作斯〃4反

'：AB//CD,AB//EF,

：.CD//EF,

AZBAE+ZFEA=1SO°，ZC=ZFEC=yf

a+(p-y)=180°，

故選：C.

10.（2024春?瓊山區(qū)校級月考）下列結(jié)論：①如圖1,AB//CD,則N4+NE+NC=180°；②如圖2,

AB//CD,則N尸=N4-NC；③如圖3,AB//CD,則NE=N/+N1；④如圖4,直線

點。在直線環(huán)上，則Na-NB+NY=180°.正確的個數(shù)有()

圖1

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①過點E作直線E尸〃NB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得出結(jié)論；②

如圖2,先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出N1=/C+NP,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷；③

如圖3,過點￡作直線E/〃由平行線的性質(zhì)可得出//+N4EC-/1=180°,即得//￡C=180°+

Nl-N4；④如圖4,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/式=/8。尸,ZY+ZCOF=180°,再利用角的關(guān)系解答

即可.

①如圖1,過點E作直線即〃48,

"JAB//CD,

C.AB//CD//EF,

1=180°,Z2+ZC=180°,

：.ZT4+Z1+Z2+ZC=360°,

：.ZA+ZAEC+ZC=360°,

故①錯誤；

②如圖2,

VZ1是的外角，

.*.Z1=ZC+ZP,

,JAB//CD,

:.NZ=N1,

即N尸=N4-ZC,

故②正確；

③如圖3,過點E作直線跖〃48,

'JAB//CD,

：.AB//CD//EF,

???N4+N3=180°，Z1=Z2,

AZA+ZAEC-Zl=180°,

BPZAEC=1SO°+Z1-NZ,

故③錯誤；

④如圖4,

■:AB〃EF,

:./a=/BOF,

,:CD〃EF,

Zy+ZCOF=180°,

'：ZBOF=ZCOF+Z^,

：.ZCOF=Za-Zp,

/.Zy+Za-Zp=180°,

故④正確；

綜上結(jié)論正確的個數(shù)為2,

故選：B.

【類型2平行線中單拐點+角平分線模型】

1.（2024春?醴陵市校級期末）如圖，AB//CD,BF、。尸分別為//8M、/CDM的平分線，/BFD=

C.80D.90°

【分析】作用〃43,MN//AB,得出AB〃EF〃CD〃MN,先求出/1+N2=135°,得出

=270°,再根據(jù)平行線性質(zhì)得出曲"NBAm/CZ加什NDVW=360°,進而得出結(jié)論.

【解答】解：蚱FE〃AB,MN//AB,

A

1

\E/

2A/

C----------------------D

,:AB〃CD,

J.AB//EF//CD//MN,

：.ZBFE=Z1,ZDFE=Z2

?:/BFD=135°=NBFE+NDFE,

.?.Zl+Z2=135°,

?:BF、Z）方分別為N45M、NCZ）M的平分線，

11

Azi=5乙ABM,Z2=5乙CDM,

：.ZABM+ZCDM=2X135°=270°,

'：AB//CD//MN,

：.ZABM+ZBMN=1S0°,/CDM+/DMN=180。,

ZABM+ZBMN+ZCDM+ZDMN=360°,

:?/BMN+/DMN=360°-270°=90°,

AZBMD=90°,

故選：D.

2.（2024春?江北區(qū)期末）如圖，AB//CD,NOC￡的角平分線CG的反向延長線和的角平分線5/

A.3aB.60°+aC.60°+2aD.60°+3a

【分析】過/作FK〃/得到FK〃CD,推出ZCFK=ZDCG,由角平分線定義得到

/ABF=NEBF,ZECG=ZDCG,^ZABF=x°,ZDCG=y°,求出/BFC=/BFK-/CFK=x0-

y°,ZECF=180°-y°,由四邊形內(nèi)角和是360°,得到NE+N57P=360°-QNEBF+NECF）,

因此NE+2NB7P=180°，而NE-NBFC=3a,即可求出NE=60°+2a.

【解答】解：過方作用〃45,

,：AB//CD,

:?FK〃CD,

:?/BFK=/ABF,ZCFK=ADCG,

?：BF平分/ABE,CG平分/DCE,

：.NABF=/EBF,ZECG=ZDCG,

設(shè)N48/=x0,/DCG=y°,

:?NEBF=NBFK=x°,ZCFK=ZECG=y°,

：.ZBFC=ZBFK-ZCFK=x°-y°,NEC尸=180°-y°,

?：NE+NBFC=360°-(/EBF+/ECF),

:?NE+NBFC=360°-(x°+180°-y°)=180°-ZBFC,

：.ZE+2Z5FC=180°,

VZE-/BFC=3a,

；?/E=60°+2a.

故選：C.

3.（2024春?陽信縣期末）如圖，已知4B〃CZ）,點RG分別在直線CD上，N5FE的平分線方。

所在直線與NCGE的平分線相交于點尸，若/BFE=50°,ZCGE=140°,則NG尸。的度數(shù)為（

A.30°B.40°C.45°D.50°

一1

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NBMG=NCG?，根據(jù)角平分線的定義得：ZBFQ=~ZBFE,ZCGP=

1

-ACGE,由三角形的外角的性質(zhì)得：ZGPQ=ZGMF-ZPFM=ZCGP-ABFQ,代入計算即可得到

答案.

【解答】解：如圖：

???/BMG=/CGP,

?:FQ平分/BFE,GP平分/CGE,ZBFE=50°,ZCGE=140°,

11

AZBFQ=-ZBFE=25°,ZCGP=-ZCGE=70°,

：.ZGPQ=ZBMG-ZPFM=ZCGP-ZBFQ=70°-25°=45°.

故選：C.

4.（2024春?銀州區(qū)校級期末）如圖，AB〃CD,點、E為AB上方一點,FB,HG分別為NEFG,NEHD的

【分析】過G作GM〃/8,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N2=N5,N6=N4,進而可得/取汨=N2+N4,

再利用平行線的性質(zhì)進行等量代換可得3/1=150。，求出N1的度數(shù)，然后可得答案.

【解答】解：過G作GM7/4B,

???N2=N5,

U：AB//CD,

：.MG//CD,

，N6=N4,

???ZFGH=N5+N6=Z2+Z4,

?:FB,HG分別為NEFG,NEHZ）的角平分線,

11

：.Z1=Z2=~ZEFG,Z3=Z4=~^EHDf

：.Z￡+Z1+Z2+Z￡/TO=15O°,

'：AB//CD,

：./ENB=/EHD,

AZE+Z1+Z2+Z￡7VS=15O°,

■:/\=/E+/ENB,

.?.Zl+Zl+Z2=150°,

A3Z1=15O°,

???N1=5O°,

AZEFG=2X50°=100°.

故選：C.

B

5.（2024春?武昌區(qū)期末）如圖，AB//CD,ME平分/AMF,NF平令/CNE.若NE+54°=2NR則N

4M歹的度數(shù)是（）

A.32°B.36°C.40°D.44°

【分析】過點E作EG〃48,根據(jù)豬腳模型可得：/MEN=—CNE,/F=/AMF+/4,再利用角

平分線的定義可得N4MF=2N1,ZCNE=2Z4,從而可得N1+2N4+54。=2（2Z1+Z4）,然后進行

計算即可解答.

【解答】解：如圖：過點E作EG〃/8,

*：AB//CD,

:?EG〃CD,

：.ZGEN=ZCNE,

???NMEN=ZMEG+ZGEN,

：.NMEN=Z1+NCNE,

同理可得：ZF=ZAMF+Z4,

???"E平分N4MF,NF平分/CNE,

：.ZAMF=2Z1,ZCNE=2Z4,

:./MEN=/\+2/4,N尸=2N1+N4,

VZMEN+540=2/F,

AZ1+2Z4+540=2（2Z1+Z4）,

/.Zl=18°,

AZAMF=2Z1=36°,

故選：B.

6.（2024春?海淀區(qū)校級期中）如圖，直線AB〃CD,點、E,b分別是直線/》，CO上的點，點G為直線

AB,CD之間的一點，連接￡G,FG,N4EG的平分線交CD于點X,若NDFG=38°,3ZEHD+2ZG

=372°,則NC/汨的度數(shù)為（）

【分析】過G作GM〃45,得到MG〃CD,推出NMGE=N5EG,ZMGF=ZDFG,得到NEG/=N

BEG+/DFG=/BEG+38°,由角平分線定義得到N4EH=NGEH由平行線的性質(zhì)推出48〃8,得

至“乙4EH=NDHE,由3NE/遼）+2NG=372°,得至U3N4E7升2（NBEG+38。）=372°,由鄰補角的

性質(zhì)得到N2/比升NB￡G=180°,求出N4E〃=64°,得到/。〃￡=64°,即可求出NCHE=180°-

64°=116°.

【解答】解：過G作GM〃48,

■:AB〃CD,

:?MG〃CD,

：.ZMGE=ZBEG,ZMGF=ZDFG,

：.ZMGE+ZMGF=ZBEG+ZDFG,

：.ZEGF=ZBEG+ZDFG=NBEG+38。,

?：EH平分/AEG,

：./AEH=/GEH,

■:AB〃CD,

：./AEH=NDHE,

?：3/EHD+2/G=372°,

：.3ZAEH+2（N5￡G+38°）=372°,

VZ2AEH+ZBEG=1SO°,

：?/AEH=64°,

:?NDHE=64°,

AZC/ffi=180°-64°=116°.

故選：A.

7.（2024春?西湖區(qū)校級期中）如圖所示，已知48〃。。，點。廠分別在直線C。上，點。在直線

AB,CD之間，ZEOF=100°.分別在和NO9。的平分線上取點M,N,連結(jié)；W,則N5EO+

ZDFO=°,ZEMN-ZMNF=°.

AEB

M

X

CFD

【分析】過點。作OG〃/瓦易得/B〃OG〃CD,過點M作小〃48,由N8EO+NEOF+NDn9=

360°,結(jié)合/EO尸=100°,得到48后0+/。尸。=260°,過點、N作NH〃CD,由角平分線的定義可設(shè)

ZBEM=ZOEM=x,ZCFN=ZOFN=y,由/3石0+/。90=260°,可求x-y=40°,進而求解.

【解答】解：過點。作OG〃48,過點M作小〃/瓦過點N作NH//CD,如圖：

'CAB//CD,OG//AB,

：.AB//OG//CD,

：.ZBEO+ZEOG^1^,0°,尸O+NFOG=180°,

：.ZBEO+ZEOG+ZDFO+ZFOG=360°,即NBEO+/EO尸+/。尸0=360°,

VZEOF=lOO°,

:./BEO+/DFO=260°,

,:EM平分4BE0,FN平分NCFO,

設(shè)/BEM=/OEM=x,ZCFN=ZOFN=y,

BEO+NDFO=260°；

ZBEO+ZDFO=2x+1800-2y=260°,

：.x-y=40°,

,JMK//AB,NH//CD,AB//CD,

C.AB//MK//NH//CD,

：.ZEMK=ZBEM=x,/HNF=NCFN=y,ZKMN=ZHNM,

：.ZEMN-ZFNM=ZEMK+ZKMN-QHNM+/HNF)=x+ZKMN-ZHNM-y=x-y=40°,

ZEMN-ZFNM的值為40°,

故答案為：260；40.

8.（2024?萍鄉(xiāng)模擬）如圖，ZAEC=S0°,在N4EC的兩邊上分別過點/和點。向同方向作射線45和

CD,且48〃CD,若NE4B和NEC。的角平分線所在的直線交于點尸（尸與。不重合），則N4PC的

大小為.

【分析】根據(jù)題意作圖，過點E作跖〃48,過點尸作尸0〃45,利用平行線的性質(zhì)可得NEC。-NE45

=ZAEC=80°,再分情況討論即可求得答案.

【解答】解：當(dāng)尸在NEC。的角平分線時，過點E作所〃45,過點尸作尸0〃45,

■:AB〃CD,

：.AB//CD//EF//PQ9

?:EF〃AB,EF//CD,

：.ZEAB+ZAEC+ZCEF=1SO°,ZCEF+ZECZ)=180°,

：?/EAB+NAEC=NECD,即NEC。-N"B=N/￡C=80°,

■:PQ//AB,PQ//CD,

：.ZPAB+ZAPC+ZCPQ=180°,NCPQ+NPCQ=180°,

:.ZPAB+ZAPC=/PCD,即ZPCD-NPAB=NAPC,

又???點、P為NEAB和ZECD的角平分線所在的直線的交點，

11

工NPAB=-ZEAB,ZPCD=~ZECD,

111

???ZAPC=ZPCD-ZPAB=-ZECD-萬/EAB=-ZAEC=40°,

當(dāng)尸在NECD的角平分線的反向延長線上時，過點E作E尸〃48,過點尸作尸

":AB〃CD,

：.AB//CD//EF//PQ,

■:EF〃AB,EF〃CD,

；?NEAB+NAEC+NCEF=180°，ZCEF+ZECD=1SQ°，

/EAB+/AEC=/ECD,即NEC。-N￡/8=NZEC=80°,

■:PQ〃AB,PQ//CD,

???NPAB=NQPA,ZPCD=ZQPC,

：.ZAPC=ZQPA+ZQPC=/PAB+/PCD,

?:點P為/EAB的角平分線和NEC。的角平分線的反向延長線的交點，

111

AZPAB=-ZEAB,ZPCD=~(360°-AECD)=180°--ZECD,

：./APC=/PAB+NPCD

11

=-ZEAB+lS0°--ZECD

1

=180°(/EAB-/ECD)

=180°+(-40°)

=180°-40°

=140°.

故答案為：40°或140°.

9.（2024春?涼州區(qū)校級期末）已知EF〃GH,/和〃分別是直線石歹和GH上的點，。是這兩條直線之間

的一點.

(1)如圖1,①已知NC4E+NC5G=110°,那么NZC5=.

②在①的條件下，作/。￡與/。56的平分線/。與5。相交于點。，求N4D5的度數(shù).

（2）如圖2,作NC4/與NC8”的平分線4。與5。相交于點。，若NACB=a,求N/Q3的度數(shù)（用

含a的代數(shù)式表示)，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,作/C4E的平分線與NC8”的平分線所在的直線4。與3。相交于點。，若N4CB=cc,

請直接寫出的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示).

【分析】(1)①作CP〃斯，利用平行線的性質(zhì)可得NC4E=N/C尸和/C2G=/8CP,再進行角的和

差運算即可；

②作。0〃斯，利用①的結(jié)論可得N4DBU/CE+/O3G,結(jié)合角平分線的定義求解即可；

(2)由(1)①的方法可得：ZACB=ZCAE+ZCBG,ZADB=ZDAF+ZDBH,結(jié)合角平分線的定義

求解即可；

(3)作?！啊‥R根據(jù)平行線的性質(zhì)可得利用①的結(jié)論可得/4D5=NG4E+

/DBG,結(jié)合角平分線的定義和鄰補角的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：(1)①作CP〃ER如圖所示，

圖1

■:EF//GH,CP//EF

J.CP//GH,/CAE=/ACP,

:"CBG=/BCP,

：.ZACB=ZACP+ZBCP=ZCAE+ZCBG,

'：ZCAE+ZCBG=11O°,

ZACB=110°,

故答案為：110°；

②作。。〃即，如圖所示，

圖1

'：AD與BD分別是NC/E與NCBG的平分線,

11

AADAE=-ACAE,/DBG=/CBG,

1

：.ZDAE+ZDBG=-(ZCAE+ZCBG)=55°,

同①的方法可得：/ADB=/DAE+/DBG=55°；

1

(2)ZADB=\SO°--a,證明如下：

9CAD與BD分別平分NC4廠與NC8〃，

11

???/DAF=-ZCAF,NDBH=~ZCBH,

1

AZDAF+ZDBH=~(/CAF+NCBH),

由(1)①的方法可得：NACB=/CAE+/CBG,NADB=/DAF+/DBH,

*.*/ACB=a,

：./ACB=/CAE+/CBG』,

：.ZCAF+ZCBH=(180°-/CAE)+(180°-ZCBG)=360°-QCAE+/CBG)=360°-a

111

AADB=~QCAF+/CBH)=-(360°-a)=180°--a,

(3)悴DM〃EF,如圖所示，

圖3

9：EF//GH,DM//EF

C.DM//GH.ZMDA=ZEAN,

：./MDB=NDBH,

：.ZADB=ZMDB-ZMDN=/DBH-/EAN,

?:AD與BD分別是NC4后與NC5”的平分線,

11

AZEAN=~ZCAE,ZDBH=~ZCBH

1

：.ZADB=-(ZCBH-ZCAE)

由（1）①得：NACB=NCAE+NCBG,

'：ZACB=a,

：.ZCAE=a-ZCBG,

11

Z.ZADB=-(ZCBH-ZCAE)=-(ZCBH-a+ZCBG),

'：ZCBH+ZCBG=ISO°,

11

/.ZADB=—(180°-a)=90°--a

10.(2024春?泰興市期中)如圖1,ZACB^90°,MA//BN.

(1)①如果NM4c=30°,求/CBN的度數(shù)；

②設(shè)NM4C=a,/CBN=S，直接寫出a、0之間的數(shù)量關(guān)系：;

(2)如圖2,/MAC、/C瓦V的角平分線交于點尸，當(dāng)NM4c的度數(shù)發(fā)生變化時，N4P5的度數(shù)是否

發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出N/P8的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若4c=40°,點E為射線BN上的一個動點，過點E作即〃8C交直線4P

于點尸，連接EP已知/莊尸=10°,求的度數(shù).

圖1圖2備用圖

【分析】(1)①過點。作CO〃/A/,則有M4〃CD〃8N,然后得到N/CZ)=N/=30°,ZDCB+ZB

=180°,然后計算解題；②過點C作CD〃/則有N/CZ)=//=a,ZZ)CS=180°-Z5=180°-

B，再根據(jù)直角得到結(jié)論：

(2)由②可得/圖C=a,NCBN=6=9Q°+a,然后根據(jù)角平分線的定義得到/朋4P=萬/他4。=5

a,ZNBP=-ZNBC=~(90°+a)=45°+-a,然后利用同②的推導(dǎo)過程得到結(jié)論；

1

(3)由(2)可得尸=4c=20°,ZCBN=900+40°=130°,NAPB=135°,然后分點尸

在點P的左側(cè)和點尸在點尸的右側(cè)兩種情況進行解題.

【解答】解：⑴①過點C作CD〃/跖

'JMA//BN,

J.MA//CD//BN,

：.ZACD=ZA=30°,NZ)CB+NB=180°,

又,；NACB=90°,

：./DCB=90°-ZACD=90°-30°=60°,

???NB=180°-ZDC5=180°-60°=120°；

圖1

②過點。作

■:MA//BN,

：.MA//CD//BN,

：.ZACD=ZA=afZDCB=lS0°-Z5=180°-0,

又,：/ACB=90°,

Aa+180°-0=90°,

???B=a+90°,

故答案為：P=a+90°；

(2)不發(fā)生變化，135。，理由為：

由②可得NM4C=a,NC5N=0=9O°+a,

?:/MAC、NC5N的角平分線交于點尸，

11111

ZMAP=-ZMAC="a,Z.NBP=-^ANBC=~(90°+a)=45°+-a,

過點P作PE//MA,同MA〃PE〃BN,

111

AZEPA=ZMAP=~a,NEPB=180°-NNBP=180°-(45°+~a)=135°--a

11

：.ZAPB=ZEPA+ZEPB=~a+1350--a=135°；

MA

(3)由(2)得/小尸=5C=20°,ZCBN=900+40°=130°,N/尸5=135°,

■:EF〃BC,

：?/FEB=180°-ZCBE=180°-130°=50°,

過點尸作尸G〃//,

■:MA〃BN,

：.MA//CD//BN,

：.ZAPG=ZMAF=20°,/GPN=/PEB,

：.ZAPN=ZAPG+ZGPN=20°+/PEB,

當(dāng)點方在點尸的左側(cè)時，如圖，

則NP￡B=N^E5+NFEP=500+10°=60°,

AZAPN=2Q°+NPEB=20°+60°=80°,

：./BPE=/APB-/APE=135°-80°=55°,

當(dāng)點尸在點P的右側(cè)時，如圖，

則NPEB=NFEB-NFEP=50°-10°=40°,

AZAPN=20°+ZPEB=20°+40°=60°,

:.NBPE=ZAPB-NAPE=135°-60°=75

【類型3平行線中雙拐點模型】

1.（2024春?阿榮旗期末）直線/1〃如44=125°,NB=85°,Zl=15°,則/2=（）

A

【分析】先利用三角形外角性質(zhì)得Nl+N3=125°,N2+N4=85°,把兩式相加得到/1+N3+N2+N4

=210°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)，由乙〃/2得到/3+/4=180。，然后通過角度的和差計算得到N1+N2

的度數(shù)，進一步即可求解.

【解答】解：延長兩端，如圖所示：

：/1+/3=125°,N2+N4=85°,

...Nl+N3+/2+/4=210°,

AZ3+Z4=180°,

.,.Zl+Z2=210°-180°=30°,

VZ1=15°,

.,.Z2=30°-15°=15°.

2.（2024秋?沈丘縣期末）如圖，AB//CD,用含Nl,Z2,N3的式子表示/4,則/4的值為（）

AB

A.Z1+Z2-Z3B.Z1+Z3-Z2

C.180°+Z3-Z1-Z2D.Z2+Z3-Z1-180°

【分析】先過點E作EG〃N5,過點歹作FH〃CD,利用平行線的性質(zhì)求得NG￡b和/屏H最后根據(jù)

ZCFH=Z3-/EFH,求得N4即可.

【解答】解：過點E作EG〃/8,過點/作W〃CQ,

■:AB〃CD,

：.AB//CD//EG//FH,

：.Zl=ZAEG,

：.ZGEF=Z2-Zl,

,:EG〃FH,

：.ZEFH=\S0°-ZGEF=180°-(Z2-Zl)=180°-Z2+Z1,

AZCFH=Z3-ZEFH=Z3-(180°-Z2+Z1)=Z3+Z2-Zl-180°,

■:FH〃CD,

：.Z4=Z3+Z2-Zl-180°,

故選：D.

3.（2024春?在平區(qū)期末）越野滑雪是冬奧會的一個重要比賽項目，是借助滑雪用具，運用登山，滑降，

轉(zhuǎn)彎滑行等基本技術(shù)，滑行于雪山、雪原的運動項目.為了保證運動員的安全，在修建賽道時要避開冰

帶，陡角和狹窄地帶.如圖在修建賽道時為了避開冰帶需拐彎繞之，如果第一次拐的角N4是120。，

第二次拐的角N5是150。，第三次拐的角是NC,這時道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則NC

是（)

A

C

?n-RB

E/

A.120°B.130°C.140°D.150°

【分析】首先根據(jù)題意作輔助線：過點B作BD〃AE,即可得/E〃BZ）〃CF,則可求得：ZA=Zl,Z

2+ZC=180°,則可求得NC的值.

【解答】解：過點B作BD〃4E,如圖：

VAE//CF

：.AE//BD//CF,

：.Zv4=Zl,N2+NC=180°,

VZA=120°,Nl+N2=N/BC=150°,

AZ2=30°,

AZC=180°-Z2=180°-30°=150°.

故選：D.

/D

/

E/

4.（2024春?福田區(qū)期中）中華武術(shù)，博大精深.小明把如圖1所示的武術(shù)動作抽象成數(shù)學(xué)問題.如圖2,

已知N3〃CZ）,ZC=90°,Z5=78°,NE=98°,則N歹的度數(shù)是（）

cD

圖1

A.106°D.120

【分析】過點E作EG〃45,過點F作從而可得4B〃刖/EG〃CD,然后利用平行線的性質(zhì)

可得NB+NHFB=180°,AEFH=GEF,ZC+ZC^G=180°,從而可得NHF5=102°,/CEG=

90°,進而可得N￡W=NGW=8°,最后利用角的和差關(guān)系進行計算，即可解答.

【解答】解：過點￡作EG〃45,過點F作FH〃AB,

■:ABII3,

：.AB//FH//EG//CDf

；?/B+NHFB=180°,/EFH=GEF,NC+NCEG=180°,

AZHFB=iS0°-ZB=102°,ZCEG=180°-ZC=90°,

ZGEF=ZCEF-ZCEG=98°-90°=8°,

AZEFH=ZGEF=S°,

AZEFB=ZEFH+ZHFB=102°+8°=110°,

故選：B.

5.（2024春?章丘區(qū)期末）如圖是一款長臂折疊護眼燈示意圖，M與桌面垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管

恰好與面"N平行時，ZDEF=nO°,NBCD=110：則NCOS的度數(shù)為（）

A.90B.110°C.80°D.100

【分析】過點。作。G〃48,過點、E作EH〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【解答】解:?:EF工MN,

；?NMFE=90°,

如圖，過點。作OG〃45,過點￡作

9：AB//MN,

：.AB//DG//EH//MN,

：.ZACD+ZCDG=1SO°,/GDE=NDEH,ZHEF=ZMFE=90°,

VZDEF=120°,NBCD=110°,

/.ZGDE=ZDEH=120°-90°=30°,ZCDG=180°-110°=70°,

AZCDE=ZCDG+ZGDE=100°,

6.(2024春?江西校級月考)如圖，AB//EF,ZC=90°,若Na=30°,Zy=40°,則N0=()

A.90°B.100°C.110°D.120°

【分析】首先構(gòu)造輔助線，再利用三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系即可得解,

解題的關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造了三角形以及由平行線構(gòu)成的內(nèi)錯角.

【解答】解：如圖，延長。。交48于點G,延長CD交EF于點H,

在RtZXMGC中，Zl=90°-a,

在△NHD中，Z2=p-y,

9：AB//EF,

???N1=N2,

/.90°-a=p-y,

VZa=30°,Zy=40°

.e.90°-30°=0-40°,

.*.zp=ioo°.

故選：B.

7.（2024春?瓦房店市期末）如圖，已知NZ=30°,ZC=112°,AB//CD,則NG-NE的值為,

【分析】過E作￡N〃45,過G作GW〃/瓦得到NEWGM”。。，推出N4EN=N4,/NEG=/

MGE,ZC+ZCGA/=180°,得到NZ￡G=NMGE+30。，NCGE=68°+/MGE,求出NCG￡-N4￡G

=68°-30°=38°.

【解答】解：過E作EN〃AB,過G作GW〃48,

：.NE//GM//CD,

：.ZAEN=ZA,ZNEG=ZMGE,ZC+ZCGAf=180°,

:.ZAEN+ZNEG=ZA+ZMGE,

：.NAEG=NMGE+30°,

VZC=112°,

：.ZCGM=\S0°-112°=68°,

AZCGE=68°+/MGE,

：.ZCGE-ZAEG=6S°-30°=38°.

故答案為：38

8.（2024春?武威月考）如圖，已知AB//EF,/5=40°,NE=30°,則NC-N。的度數(shù)為

【分析】過點C作CG〃/3,過點。作?！ā牛鶕?jù)鋸齒模型可得N5CZ）+/E=/3+/CDE,然后進

行計算即可解答.

【解答】解：過點C作CG//AB,過點D作DH//EF,

：.Z1=ZB,NE=/4,

'：AB//EF,

J.CG//DH,

/.Z2=Z3,

/BCD+NE=Zl+/2+NE=ZS+Z3+Z4=ZB+ZCDE,

：.ZBCD-ZCDE=ZB-ZE=40°-30°=10°,

故答案為：10°.

9.（2024春?海淀區(qū)校級期中）如圖，AB//CD,則//、"/E、/斤滿足的等量關(guān)系式是

【分析】運用對頂角，內(nèi)角和等知識點建立//、ZC>NE、之間的關(guān)系.

【解答】解：連接2。，

,."AB//CD,

N5和/。為互補角,

AZB+ZD=180°,

???五邊形內(nèi)角和是540°,

AZA+ZE+ZEOD=540°-ZB-Z￡>=540°-180°=360°,

ZA+ZE=360°-ZEOD,

:對頂角相等，

NEOD=ZCOF,

又：三角形內(nèi)角和是180°,

：.ZCOF=1800-ZC-ZF,

；.//+/￡=360°-(180°-ZC-ZF)=180°+ZC+ZF,

：.ZA+ZE=1S0