專題08平面向量小題全面梳理與精細分類

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧...........................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講?題型突破............................................................7

題型一：平面向量基本定理及其應用7

題型二：平面向量共線的充要條件及其應用8

題型三：平面向量的數(shù)量積9

題型四：平面向量的模與夾角11

題型五：等和線問題12

題型六：極化恒等式13

題型七：矩形大法15

題型八：平面向量范圍與最值問題16

題型九：等差線'等商線問題17

題型十：奔馳定理與向量四心19

題型十一：阿波羅尼斯圓問題21

題型十二：平行四邊形大法22

重難點突破：向量對角線定理24

差情;奏汨?日標旦祐

平面向量的數(shù)量積、模和夾角是高考中的重點和熱點內(nèi)容，它們通常以選擇題或填空題的形式被考察。

這類題目經(jīng)常以平面圖形作為背景，來測試學生對數(shù)量積、夾角以及向量垂直條件的理解和應用。此外，

這些內(nèi)容還容易與平面幾何'三角函數(shù)、解析幾何以及不等式等其他數(shù)學知識相結(jié)合，作為解題的工具或

手段。近年來，高考中主要圍繞平面向量的坐標運算、模的最大或最小值問題，以及向量的夾角等問題進

行考察。這些問題與三角函數(shù)'解析幾何等知識點緊密相關(guān)，難度適中。

考點要求目標要求考題統(tǒng)計考情分析

2025年高考中，平面向

平面向量基本定理及

理解定理，掌握應用2022年I卷第3題，5分量的數(shù)量積預計將繼續(xù)成

其應用

為重點考察內(nèi)容，可能會單

獨出現(xiàn)，也可能與平面圖形

2024年II卷第3題，5分

2023年北京卷第3題，4分等其他知識點相結(jié)合。考察

平面向量的數(shù)量積、理解概念，應用解決

2023年甲卷第4題，5分內(nèi)容將涵蓋平面向量數(shù)量

模、夾角實際問題

2023年I卷第3題，5分積的定義、性質(zhì)及其應用，

2023年II卷第13題，5分特別是利用數(shù)量積來計算

向量的夾角、模以及判斷向

2024年天津卷第14題，5分

量的垂直關(guān)系等問題。這些

2023年天津卷第14題，5分

掌握范圍求解，最值題目的難度可能會涵蓋基

平面向量范圍與最值2022年北京卷第10題，4分

方法，提升解題能力礎(chǔ)題、中檔題乃至難題，并

2022年浙江卷第17題，4分

2022年天津卷第14題，5分且以選擇題或填空題的形

式呈現(xiàn)。

〃用識導圖?思維引航\\

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

1、平面向量的應用考向主要是平面幾何問題，往往涉及角和距離，轉(zhuǎn)化成平面向量的夾角、模的問題，

總的思路有：

(1)坐標法：把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校瑒t有關(guān)點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相

應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.

(2)基向量法：適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程

進行求解.

2、平面向量中有關(guān)范圍最值問題的求解通常有兩種思路：

①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖

形的特征直接進行判斷；

②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.

0

心真題砒標?精御皿\\

1.（2024年北京高考數(shù)學真題）設(shè)a，?是向量，貝『'（方+町（，-3）=0”是5=。或2=戶的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024年天津高考數(shù)學真題）已知正方形/8O的邊長為1,15s=辰,若前=疝2+屈,其中4〃

為實數(shù)，則/+〃=;設(shè)尸是線段BE上的動點，G為線段/月的中點，則萬.云的最小值為.

3.（2024年新課標全國n卷數(shù)學真題）已知向量滿足忖=1,|。+2?=2,且則忖=（）

A.；B.—C.—D.1

222

4.（2023年北京高考數(shù)學真題）已知向量B滿足）+彼=（2,3）而-石=（-2,1）,則⑷2_b『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.（2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）正方形/BCD的邊長是2,E是N8的中點，則比?詼=（

A.V5B.3C.275D.5

6.（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知向量。=（3,1）1=（2,2）,貝I]cos（a+及。-可=（）

A.—B.叵C.—D.2

171755

7.（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知向量落行忑滿足同=忖=1洞=也，且3+3+1=0,則

cos（a-c,b-c）=（）

4224

A.―一B.――C.-D.-

5555

8.（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知O。的半徑為1,直線P/與OO相切于點4,直線尸5與O。

交于8,C兩點，。為8C的中點，若歸。|=&,則用.而的最大值為（）

.1+V2口1+2立

22

C.1+72D.2+V2

9.（2023年天津高考數(shù)學真題）在ZUBC中，BC=\,//=60。，AD=^AB,CE=^CD,記

7B=a,AC=b,用落石表示彳g=；若而=g苑，則彳g./的最大值為.

10.（2023年新課標全國II卷數(shù)學真題）已知向量I,B滿足歸-可=石，可=a-同，則歸卜

題型一：平面向量基本定理及其應用

—.1—■——

【典例1-1】如圖，在△NBC中，AN^-AC,P是8N的中點，^AP=mAB+nAC＞則機+"=（）

【典例1-2】（2024?河南商丘?三模）如圖，在△4BC中，點。，E分別在邊48,2C上，且均為靠近8的四

等分點，CD與AE交于點、F,若麗=x^+y就，則3無+y=（）

國國國巧

應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘

運算.

2、用基底表示某個向量的基本方法：（1）觀察各向量的位置；（2）尋找相應的三角形或多邊形；（3

運用法則找關(guān)系；（4）化簡結(jié)果.

【變式1-1］（2024?廣東?模擬預測）已知等邊A/BC的邊長為1,點分別為N民的中點，若

DF=3EF,則萬=()

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2426

1—?—?1—>3—>

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【變式1-2］（2024?新疆?模擬預測）在平行四邊形ABCD中，MN分別在邊CD.AD±^,DM=嬴,AN=2ND，

/MBN相交于點尸，則而=()

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

4224

1―??—?3—?1—?

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

3343

命題預測$

1.如圖，在平行四邊形45CD中，點E滿足=點尸為CD的中點，則瓦+靜=（)

3—?5―?1―?5—?

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

23242424

題型二：平面向量共線的充要條件及其應用

【典例2-1】在△45。中，M、N分別在邊45、4C上，且冠=2萬7，就=4不，。在邊8。上（不

__,___,__.12

包含端點).若4D=xW+y/N,則一+一的最小值是()

xy

A.2B.4C.6D.8

【典例2-2】已知是平面內(nèi)兩個不共線的向量，AB=a+Ab,AC=jUa+b,A,〃eR,則4瓦。三點共線

的充要條件是（）

21

A.2—〃=1B.幾+〃=2C.九〃二1D.一=1

A

巧

1、平面向量共線定理：已知方=彳歷+〃面，若2+〃=1,則42,C三點共線；反之亦然.

2、兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：（1）若向量N=（x“J,b=（x2,y2y則方/石的充要條件

是X1%-々乂=0;(2)若1//B(BwO),則1=萬?

【變式2-1］如圖，已知點G是△NBC的重心，過點G作直線分別與/C兩邊交于M,N兩點，設(shè)

~AM=xAB>AN^yAC,則x+9y的最小值為（）

D.3

【變式2-2］如圖所示，△ZBC中，點。是線段的中點,E是線段上的動點，若崩=x^2+曲,

21

則一+一的最小值（）

xy

命題預測T

1.已知。是ZUBC所在平面內(nèi)一點，若9+礪+雙=6,而=*行,國=丁%，荻=彳礪,X）均為正數(shù),

則xy的最小值為（）

題型三：平面向量的數(shù)量積

【典例3-1］如圖，在平行四邊形中，QE分別為/C,8C的中點，尸為/￡上一點，且K4=FB,

AD=2AB=4,貝!］萬礪=.

【典例3-2】已知向量入.滿足*24=忸-4=2,且忖=1,則二刃=.

國國國巧

1、向量的數(shù)量積：設(shè)兩個非零向量落3的夾角為夕，則同.出「COS。叫做萬與B的數(shù)量積，記作小加.

2、數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積石石等于1的長度|刈與B在方的方向上的投影|B|cos。的乘積.

3、設(shè)向量3=（M,乂），［優(yōu),%），則展3=斗%2+必%,由此得到：

⑴若］=（%/）,則工2+,2或?刈=舊+.

（2）設(shè)4（%,必）,5（々/2），則4，5兩點間的距離=|方|=J（——看"+（%—弘丫

（3）設(shè)兩個非零向量癡,且1=（項/1）,b=（x2,y2），則萬。ox/+乂％=0

（4）若用B都是非零向量，。是a與B的夾角，貝：cose=gg=/J"：#2

【變式3-1］如圖，在△NBC中，NC=W，力=2麗，尸為O上一點，且滿足后=〃?K+；次，若因=2,

網(wǎng)=3,則不麗的值為.

【變式3-2］如圖，在平面四邊形45CD中，。為的中點，且04=3,"=5.若方.粉=一7，則

BC?DC=■

BC

命題預測

I.己知△NBC是邊長為4的等邊三角形，點。，￡分別是邊/B,8c的中點，連接DE并延長到點尸.使

得DE=2EF，貝I萬?數(shù)=.

題型四：平面向量的模與夾角

【典例4-1］（2024?黑龍江佳木斯?模擬預測）已知向量日，B滿足3=（3,4）,展分=6,|”,=7,則村=

【典例4-2】（2024?全國?模擬預測）如圖，在中，乙402=120。，08=2。4=2百，尸在以。為圓心,

半徑為1的圓上運動，則當力.而取最大值時，cos乙4PB=.

巧

⑴向量的夾角要求向量“共起點”，其范圍為［0,淚.

（2）求非零向量扇B的夾角一般利用公式cose=旦2=/%%+?爐一先求出夾角的余弦值,然后求

夾角.也可以構(gòu)造三角形，將所求夾角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角求解，更為直觀形象.

/\TT/\'Q

【變式4-1］（2024?高三?重慶?期末）已知非零向量凡不滿足：=S.［a+b,a-b）=-7i,則亍=

【變式4-2］已知平面內(nèi)兩個向量。=（2后,1）,若萬與B的夾角為鈍角，則實數(shù)左的取值范圍

是.

命題預測T

1.平面向量￡,否滿足2同=跖a±b＞若3+區(qū)+"=6，則COS伍葉=

題型五：等和線問題

【典例5-1】已知在△NBC中，點尸滿足3成_益=就，動點初在AAPC的三邊及內(nèi)部運動，設(shè)

~AM=xAC+yAB,則6x+3y的取值范圍為.(用區(qū)間表示)

【典例5-2】如圖，已知4B,C是圓。上不同的三點，C。與NB交于點。(點。與點。不重合)，若

OC=2OA+〃OB(九〃eR),則彳+〃的取值范圍是.

巧

等和線

平面內(nèi)一組基底次，礪及任一向量而，OP=AOA+tuO6(A,JueR),若點尸在直線N8上或者在平行

于N8的直線上，則彳+〃=左(定值)，反之也成立，我們把直線N8以及與直線平行的直線稱為等和線.

①當?shù)群途€恰為直線N3時，k=l-

②當?shù)群途€在。點和直線AB之間時，左e(O,l)；

③當直線48在點。和等和線之間時，左e(l,+8)；

④當?shù)群途€過O點時，k=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點對稱，則定值a互為相反數(shù);

【變式5-1】己知點C為扇形405的弧”上任意一點，且4408=60。，若反=2況+〃礪(X,〃eR),則

2+〃的取值范圍是.

27r

【變式5-2】如圖所示，/B/C=q-,圓M與/瓦NC分別相切于點/。=1,點尸是圓M及其內(nèi)

部任意一點，且/P=x4D+y/E（x,yeR）,則x+y的取值范圍是.

命題碩測J

1.己知。為△48C內(nèi)一點，且4方+8無+5標=0，點"■在△03C內(nèi)（不含邊界），若

JM=MB+]LIAC,則2+〃的取值范圍是.

題型六：極化恒等式

【典例6-1】（2024?江西?模擬預測）已知圓C的半徑為2,點/滿足|就|=4,E,尸分別是C上兩個動點,

且同=2百，則而簫的取值范圍是（）

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【典例6?2】已知正六邊形48cZ）石尸的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的中心，圓。的半徑為2,圓。

的直徑〃N〃C。，點夕在正六邊形的邊上運動，則聞7.麗的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

巧

極化恒等式

(1)平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

|a+S|2+|a-&|2=2(|a|2+|&|2)

證明：不妨設(shè)4B=a,AD=石,貝!］/C=a+g,DB=a-b

22222

|^c|=^c=p+s)=|a|+2a-s+|s|①

網(wǎng)丁麗2=旅_(=中_2屋加+麻②

①②兩式相加得：

附+M=2(問2+件卜2(畫2+悶］

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：叫〔-------極化恒等式

①平行四邊形模式：a-b=^\AC^-\DB^

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差

的L

4

②三角形模式：a-b=\AM^-^DB^為的中點)

【變式6-1］已知圓。的半徑為2,弦長/B=26,C為圓。上一動點，則k?數(shù)的最大值為.

【變式6-2］在△4BC中，AB=2,AC=6,/4BC=/,P,。是BC邊上的兩個動點，且尸0=4,則刀.兩

6

的最大值為.

命題預測

1.已知點。為坐標原點，WBC為圓M：（X-I）2+3-6）2=1的內(nèi)接正三角形，則力?（礪+灰）的最小

值為.

2.如圖所示，正方形ABCD的邊長為V13，正方形EFGH邊長為1,則荏.怒的值為.若在線段AB

上有一個動點V,則指.話的最小值為.

題型七：矩形大法

【典例7-1］已知圓。］：%2+/=9與。2：/+/=36,定點尸（2,0）,/、8分別在圓G和圓。2上，

滿足PALPB,則線段AB的取值范圍是.

【典例7-2】在平面內(nèi)，已知福，麗，西=礫=1,AP=ABt+ABl，若|而|<g,貝/刀|

的取值范圍是（）

力.（0,B.卓瑪U（亭回D咚，拘

巧

矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點。是矩形/3CO與所在平面內(nèi)任一點

證明：OA2+OC-=OB2+OD2.

【變式7-1］（2023?全國?高三專題練習）已知圓。：—+/=16,點尸（1,2）,M、N為圓。上兩個不同的點,

且兩.麗=0若麗=而+而，則|網(wǎng)|的最小值為

【變式7-2](2023?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第一中學校校考期中)已知向量入不是平面內(nèi)兩個互相垂

直的單位向量，若向量日滿足他-己＞,-23=0,則同的最大值是()

A.41B.好C.6D.在

225

命題預測J

1.已知向量2、9滿足忖=W=a*=2且(a-c).0-c)=O,則忸-目的最大值為.

題型八：平面向量范圍與最值問題

【典例8-1]若同=1,忖=3,則P+可+|乙可的最大值是；最小值是.

【典例8-2】(2024?全國?模擬預測)如圖，在四邊形N8CZ)中，已知=4D=1,C8=CD=G,/C=2,點

P在邊CZ＞上，則方.而的最小值為.

巧

平面向量范圍與最值問題常用方法:

(1)定義法

第一步：利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應的等式關(guān)系

第二步：運用基木不等式求其最值問題

第三步：得出結(jié)論

(2)坐標法

第一步：根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳c的坐標

第二步：將平面向量的運算坐標化

第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量

第二步：根據(jù)向量運算律化簡目標

第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論

(4)幾何意義法

第一步：先確定向量所表達的點的軌跡

第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式

第三步：解得結(jié)果

【變式8-1］(2024?高三?上海?期中)在平面上，己知兩個單位向量￡、g的夾角為120。，向量￡=九2+〃幾

其中3+4=1則同的最大值為.

【變式8-2】設(shè)向量標滿足同=忖=2,莉=-2,二與力二的夾角為60°,則同的最大值為

命題預測S

1.已知向量刃滿足忖=2任=2,則|。+4+|”可的最大值與最小值之和為.

2.已知向量33滿足|口=2,|22+司+|同=6,則|@+石］的取值范圍為________.

題型九：等差線、等商線問題

【典例9-1］如圖，在“BC中，麗=；前r，點E在線段4D上移動(不含端點)，若荏=彳荏+〃％,

則。——‘分-〃的最小值為——.

A

【典例9-2】（多選題）給定兩個單位向量力，礪，且刀./=-白，點C在以。為圓心的圓弧A8上運動,

OC=xOA+yOB,則瓜-y的可能取值為（）

A.-73B.-1C.2D.0

巧

1、如圖設(shè)荏=芻，%=e?是平面內(nèi)兩個不共線向量，若於=工。+眸2，反向延長就到E,使荏=-左,

_AQ

當尸位于直線2E上時，一定有x-y=l,若且x，+V=左，則有左==?.

AP

2、如圖所示’令詈=器=*=人若而="a+〃礪’根據(jù)等和線定理可得（=得=耨'所

以直線OC就是一條等商線.

【變式9-1］（多選題）在A43c中，點。滿足麗=皮，當點￡在線段上（不含A點）移動時，記

AE=AAB+juAC,貝!]()

A.2=2〃B.X=〃

14

C.77+〃的最小值為1D.不+〃的最小值為4

4Z/I

—>3—?

【變式9-2］（2023?山西?高一統(tǒng)考期末）己知在中，點。滿足點￡在線段（不含端點

A,。）上移動，^AE=AAB+juAC,則勺=____.

4

命題預測

1.（多選題）已知。8C中，48=/。=&,8。=2,。是邊3。的中點，動點P滿足

PD=1,AP=xAB+yAC,貝！I（）

A.x+y的值可以等于2

B.工-了的值可以等于2

C.2x+y的值可以等于一1

D.x+2y的值可以等于3

題型十：奔馳定理與向量四心

【典例10-1】“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定

理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：己知M是△4BC內(nèi)一點,

△⑷四的面積分別為邑,與,凡，且S/疝+S??礪+S。?標=6.以下命題錯誤的是（）

A.若S/SB：SC=1：1：1，則"為"3C的重心

B.若M為△ABC的內(nèi)心，則8c.疝+/（?.礪+A8?前=0

C.若/8/。=45。,/48。=60。，M為△NBC的外心，貝！J:S":S°=g:2:1

D.若M為△ZBC的垂心，3疝+4蕨+5荻=0，貝！!cos//Affi=-逅

6

【典例10-2】平面向量中有一個非常優(yōu)美的結(jié)論：已知。為AZBC內(nèi)的一點，BOC,AAOC,△ZOB的

面積分別為%,SB，SC,貝iJS/E+Sg.礪+Sc.反=6.因其幾何表示酷似奔馳的標志，所以稱為“奔馳

定理”.已知。為ZUBC的內(nèi)心，三個角對應的邊分別為a,b,c,己知a=3,b=2拒,c=5^\BO-AC=

()

A.273-8B.-2C.V6-7D.372-9

巧

1、重心定理：①在A42C中，若G為重心，貝1|善=+；*.

西+工2+工3

X=

3

@G2+GS+GC=6.

%+%+為

y=

3

④三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.

2、奔馳定理：若S-E+Sq?加+S「?a=G,則必小S/OC：S"C=SC：S5：SN；

DLziCZDzlCZL-OCZV-VZl

3、垂心定理：三角形三邊上的高相交于一點

故點。是A45c的垂心，

則一定有次?歷=礪?次^=反?次.

OAOB=OC-OB^OB(S)A-OC)=Q^OBCA=Q,即礪以此類推即可證明.

4、夕卜心向量定理:

⑴擊.萬=；畫\AO-AC=^ACf2；麗.就=；|西二

(2)茄.萬=；畫園2,死屏函電、國2+J園2

222

(3)^o.5c=l|^c|-|p|\團.％=；國Lg網(wǎng)2,CO.^=||5C|-||^C|

5、內(nèi)心定理

①角平分線的交點，到三條邊的距離相等；

@OA-a+OBb+OC-c=0；

③AO?(a+6+c)=AB-b+AC-c

【變式10-1］在平面上有LABC及內(nèi)一點。滿足關(guān)系式：SAOBC-OA+S^OAC-OB+S^OABOC=0即稱為經(jīng)典

的“奔馳定理"，若△NBC的三邊為a,b,c,現(xiàn)有eE+6.赤+c?芯=0貝1JO為△工8。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【變式10-2］設(shè)A48c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,P是“BC所在平面上的一點,

—?—?c—?—?h—c--2c—?—?a—c—-2

PAPB=-PAPC+——PA=-PBPC+--PB,則點尸是A/8C的()

bbaa

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

命題預測T

TT

1.在銳角△48C中，內(nèi)角4及C的對邊分別為a,b,c,N4=《,。為其外心.若△ABC外接圓半徑為R,

且90?萬+要￡.n=_!_.加:而，則加的值為（）

cb2R

向

A.1B.V3C.2D.—

4

2.己知"SC的外心為G,內(nèi)角4B,C的對邊分別為。，4c,且a：6：c=5:5:8.若0.赤=一28,則M?而=

()

25l

A.—B.50C.25D.2572

2

題型十一：阿波羅尼斯圓問題

【典例11-11（2024?高三?上海?期中）平面上到兩個定點距離之比為常數(shù)2。>0,2-1）的動點的軌跡為圓,

且圓心在兩定點所確定的直線上，結(jié)合以上知識，請嘗試解決如下問題：已知萬萬忑滿足

\a\=\c\=l,\b\=2,a-b=l,則己+3+/_閘的取值范圍為.

【典例11-2】古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A、B

的距離之比為定值幾（2>0且421）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼

斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標系xQy中，/（-2,0）、8（2,0）,點尸滿足扁=3,則強.而的最小值

為.

國國目巧

在平面上給定兩點4,5,設(shè)點尸在同一平面上且滿足一=2,當幾＞0且2-1時，尸點的軌跡是個圓,

PB

稱之為阿波羅尼斯圓（X=1時尸點的軌跡是線段N8的中垂線）.

【變式11-1］已知平面向量b-c，滿足卜卜力=2,且|Z+B|=2攻，|Z+否+4=1,則:忸+4+卜+4

的最小值為（）

A.巫B.V15C.—D.V17

22

【變式11-2］（2024?全國?模擬預測）已知平面向量2，b，c^aLb,且