熱點04平面向量

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2022年，第10題，考察向量的數量積與三角函數向量的數量積是北京高考的必考內容，除了數量積的

2023年，第3題，考察向量的模長坐標表示運算及應用，還應多留意數量積與其他知識的綜合考

2024年，第5題，考察向量的垂直運算察

熱點題型解讀

用基底表示向量

----------運-------------------------------------------------------T

aaae

用基底表示向量的兩種方法：(i)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直至用基底表示為止；

(2)通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.

1.(2023?五京施向?二檢在“BC中，M,N分別是48,/C自吊晟?若次=3或+〃麗(2,〃eR),則

%+〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【詳解】CM^AM-AC=-AB-AC,BN=AN-14B=-AC-AB,

22

故次=/1加+〃麗=2］；存_就)+〃〔3%_方)

故;，解得，

—//—2=0

24

所以4+〃=_§_§=_2.

故選:A.

A

M/\N

BC

2.(2023?北京豐臺?二模)如圖，在ZUBC中，4。為3C邊上的中線，若石為40的中點，則赤=()

1—?3—?

B.——AB——AC

44

1—、3—?

D.-AB——AC

44

【答案】D

【詳解】CE=CA+AE=CA+^AD=CA+^(CD-CA)=^CA+^CD

1—1―?

=-CA+-CB

24

1—?1/—?—

=-CA+-(AB-AC

24、

3—?1—?

二——AC+-AB.

44

故選：D

3.(2023?北京海淀?一模)在中，ZC=90°,ZB=30°,/9。的平分線交8C于點。.若

AD=AAB+iuAC(A,//eR),則一=()

【答案】B

【詳解】設NC=1,因為NC=90。，N8=30。，所以月3=2,

CDAC11

又4D是NR4c的平分線，所以==*=CD弓BC,

BDAB23

AD=AC+CD=AC+^CB=AC+^(AB-AC)=^AB+^AC,

__k,]2

又AD=尢AB+〃AC,所以幾=§,〃=§,

所以*■

故選：B.

4.（2023?北京西城?一■模）已知P為△/BC所在平面內一點，BC=2CP,()

—>1—>3—>

A.AP=——AB+—ACB.AP=-AB+-AC

2233

C.AP=-AB--ACD.AP=-AB+-AC

2233

【答案】A

【詳解】由題意作出圖形，如圖，則

AP=AC+CP=AC+^JC=AC+^(AC-AB)

1―?3―?

=——AB+-AC,

22

故選：A.

—,、A

5.（2024?北京?三模）已知向量落在正方形網格中的位置如圖所示,c=Za+jLtb(2,//GR),貝!J——的

值_____.

【答案】-4

【詳解】根據題意建立如圖所示的平面直角坐標系,

則a=(0,4)-(1,6)=(-1,-2),b=(7,2)-(1,6)=(6,-4),c=(2,0)-(7,2)=(-5,-2),

所以蘇+〃=2(-1,-2)+〃(6,-4)=(-2+6〃,-22-4〃)，

因為工=23+(2,〃eR),

所以(-5,-2)=(-2+6//,-22一4〃)，

A+6/z=-5]

所以:。，解得2=2,//=--,

[一24-4〃=一22

所以"=一4.

故答案為：-4

題型2向量的共線問題

(1)當4>0時,X。與。同向;當4<0時，與。反向

(2)點4民。共線的充要條件是存在唯一實數f,使得太=/方

1.(2023?北京?三模)已知向量￡=。,2屹=(30,￡與￡共線，則*可=()

A.6B.20C.275D.5

【答案】C

【詳解】由題意知，a+b=(4,2+x)

又Q〃(Q+B),所以1X(2+%)=2X4,所以％=6,

所以1=(3,6),所以H(—2,—4),

所以||=J(-2)2+(-4)2=2也.

故選：C

2.(2023?北京?模擬預測)已知向量方=(〃?/)，5=(3,m+2).若/〃小則優=

【答案】1或-3

【詳解】因為向量。=("?/)，3=(3,機+2),a//b>

所以有加（加+2）=1x3n加=1,或加=一3,

故答案為：1或-3

3.（2023?北京海淀?模擬預測）已知%3為平面向量，若萬=（1,加）石=（-2,加+1）,若5〃3，則實數加=

()

11

A.——B.-C.1D.-2

33

【答案】A

【詳解】因為向量值=(1,加),3=(-2,加+1),且Q//B，

所以1x(加+1)_機x(—2)=0,解得加=

故選：A

4.(2024?北京朝陽?二模)已知向量3=(3,4),b=(-k,2),且G+B)〃Z,則實數4____.

3

【答案】一'/-L5

【詳解】因為2=(3,4),1=(-左,2),

所以Q+6=(3,4)+(—后,2)=(3—k,6),

又G+制〃所以(3—左)x4—6x3=0,解得后=—1

3

故答案為：

5.(2023?北京石景山?一模)向量a=(2sin<9,cose),加=(1,1),若2〃石，則tan<9=.

【答案】1/0.5

【詳解】向量。=(2sin6,cose),6=(1,1),若［〃石，貝！J2sin6—cose=0,所以cos9=2sin9

故答案為：

題型3向量的數量積運算

混

向量數量積的求法：（1）求兩個向量的數量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角,其中準確求出兩個向

量的夾角是求數量積的關鍵；（2）根據數量積的運算律，向量的加、減與數量積的混合運算類似于多項式的

乘法運算.

I

1.（2024?北京?高考真題）設"，加是向量，則“僅+研@-3）=0"是“￡=/或1尸的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】因為心+孫（”彼）=求一廬=°，可得/=片，即同=w，

可知?孫伊-彼）=0等價于同明，

若0=3或。=一?？傻猛?W，即,+4,-3=0,可知必要性成立；

若（々+孫,-彼）=0,即同明,無法得出3=3或￡=/，

例如a=（i,o）石=（0,1）,滿足同=W，但且力與，可知充分性不成立；

綜上所述，“,+孫（”3=0”是“力刃且i3”的必要不充分條件.

故選：B.

2.（2022?北京西城?二模）己知工是單位向量，向量1滿足;41工41,則口的取值范圍是（）

A.(0,+oo)B.(0,1]C.[|,+?)D.1,1

【答案】C

【詳解】設Z,工的夾角為。，由;VeeVl及單位向量配得gw|a|cos（941,

顯然|。上0,且。直。,1）,于是"WcosOW嚴，而期日式?！?，

因此解得內2上

2\a\2

所以H的取值范圍是［g,+8）.

故選：c

3.（2022?北京海淀?三模）在△4BC中，/C=4,8C=3,點p是48的中點，則強.而=（）

77

A.-B.7C.—D.—7

22

【答案】A

【詳解】在A/BC中，點P是的中點，所以3=+在），茄=第一而，

所以說?萬=（0-而）'（而+而）=/寸-而2）=g（42-32）=：

故選：A

4.（2023?北京朝陽?一模）如圖，圓E為△/BC的外接圓，AB=4,AC=6,。為邊5。的中點，則赤?冠=

()

A

【答案】B

—1——

【詳解】由于。是3c邊的中點，可得+

???E是△4BC的外接圓的圓心，

I4E-35=|AE||l45|cosZ5^￡=||2B|2=1x42=8,

同理可得冠?就=?太「=18,

AD-AE=-（AB+AC）-AE=-AE-AB+-AE-AC=-xS+-xl8=13.

22222

故選：B

5.（2023?北京通州?三模）已知等邊三角形/2C的邊長為2,。/的半徑為1,尸。為。/的任意一條直徑,

則麗.詼_芥豆=________.

【答案】1

【詳解】

=BA-CA+BA-AQ+AP-CA+APAQ-APAB+AP-AC

=^-(M-~BA-AP+AP-CA-AP-AP-APAB+APAC

=|^HC3|COS60°-A4-1P+2P-C4-12-2P-Z8-ZP-C3

=2X2X-+AB-AP+AP-CA-12-APAB-AP-CA

2

2X2X--12+(AB-AP-AP-AB)+(AP-CA-AP-CA)

=2

=2X2X!-F

2

=1.

故答案為：L

題型4向量的垂直

!00?百

兩向量垂直，數量積為0

I________________________________________________________「一二一二一;_____________________________

1.(2023?全國?高考真題)已知向量￡=(1,1)1=(1,-1),若(￡+蘇)乂"+悶，則()

A.4+//=1B.X+/J,=—\

C.沏=1D.沏=-1

【答案】D

［詳角軍］因為Q=,所以4+丸石=(1+丸,1_丸)，Q+4g=(l+//J_"),

由(Q+_L(Q+〃否)可得，(Q+4可?(〃+=0,

即(1+幾)(1+4)+(1-幾)(1—〃)=0,整理得：〃/=—1.

故選：D.

2.(2024?北京?模擬預測)已知向量@=(1,2)3=(7,-i),(a-附，a,則斤=.

【答案】1

【詳解】由題意己=(1,2)3=(7,-1)口一瘍=(1,2)-(7左,-左)=(1-7左,2+左)，

因為-%)J_?,

所以“,(a—粉)=1—7斤+2(2+左)=5—5k=0,解得k=\.

故答案為：1.

3.(2022?北京?模擬預測)已知點4-2,0),3(0,2),動點M滿足而.標=0，貝U點M到直線N=x-2的

距離可以是.(寫出一個符合題意的整數值)

【答案】1(答案不唯一)

【詳解】由題設知而_L標，即“在以48為直徑的圓上，且圓心為(-U),半徑為2,

所以M的軌跡為(x++3-1)?=4,

而(一1,1)至l］〉=x-2的距離為d=g=2后＞2,即直線與圓相離，

所以M到直線P=x-2的距離范圍［2(72-1),2(V2+1)］,

故答案為：1(答案不唯一)

4.(2023?北京順義?二模)設向量之=(%,3)花=(1,2),工=(1,-1),若0-初L北則實數加=.

【答案】2

【詳解】由向量的坐標運算得：a-6=(m-l,l),

因為所以("4C=0,即：(m-l)xl+(-l)xl=m-2=0,解得機=2.

故答案為：2

【點睛】方法點睛：已知。=(%,必)3=(馬,%),若￡_1_3,則75=翦+%%=0

5.(2023?北京?模擬預測)已知點5(1,1).若點C在函數了=-3/+2的圖象上，則使得△ZBC

為直角三角形的點。的個數為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【詳解】???點N(TT)，如果點C在函數夕=一3/+2的圖象上，則設點C(a,-3/+2),旦△NBC

為直角三角形，分以下情況討論：

①若A為直角頂點，則有28=(2,2),就=(a+1,-3/+3),

貝!J15?%=24+2-6a2+6=—6a2+2a+8=0，即3/一。-4=0，

4

因為點A在曲線了=-3/+2上，貝/3-1,解得。="

②若B為直角頂點，則有8CL48,SC=(a-l,-3?2+l),石=(2,2),

則漏灰=2"2一6。2+2=-6/+2。=0，求得。=0或。=；；

③若C為直角頂點，則有/CL8C,就=(。+1,-3/+3),SC=(a-l,-3a2+l),

此時，ACBC=(a+l)(a-l)+(-3a2+3)(-3?2+1)=(a2-l)+3(a2-l)(3a2-1)

=(a2-l)(9a2-2)=0,

2

因為點A在曲線y=-3尤2+2上，貝！JaW-l,解得。=1、±-.

故滿足。的不同的值共有6個，

此時，點C共有6個.

故選：C.

題型5向量的模

00e圖

(1)求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數量積聯系，并靈活應用f=同［勿忘記開方.

(2)若Z=(x，"則茄=7叩『=/+「于是有KF了；

1.(2024?北京門頭溝一模)在△N2C中，AB=4,AC=3,且回+狗=|運-就則益衣=

()

A.16B.-16C.20D.-20

【答案】B

【詳解】因為|萬+74=|萬一所以(存+就『=(在一就『，

即45+2AB-AC+AC=AB-2ABAC+AC，

所以益???？=()，即/，

所以君.反;\萬國_砌二方.元_希=0-4?=76.

故選：B

2.(2022?北京東城?三模)已知a,5是兩個非零向量，貝產存在實數4,使得書=彳7'是“|￡+,=問-同的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】解：當存在實數3使得%笳，口+相(1+彳問=|1+叫，同第=(1-彳洞,顯然|1+川同與

(1-⑷時不一定相等，故充分性不成立；

反之，當B+*同-W時，2。％=-2砸所以cos?,*T,即*B共線反向，故“存在實數彳，使得

b=Aa，故必要性成立.

故“存在實數彳，使得石=彳7’是"。+4=忖-忖的必要而不充分條件

故選：B

3.(2023?北京豐臺?三模)已知屋務、工都是平面向量，且同=隨-+1,若(詞吟貝中-1的最小

值為().

A.1B.V3C.2D.3

【答案】A

【詳解】依題意可設￡=而=(1,0),b=OB=(x,y),c=OC，

貝1]4"方=(4一x，r),又拒一*1,

所以](4-x『+(-才=1,BP(X-4)2+/=1,則點8在以。(4,0)為圓心，半徑廠=1的圓上運動，

因為所以點。在了=±[工(%>0)上運動，根據對稱性不妨令點C在了=fx(x>0)上，

則|?|表示圓。上的點B與y=(x>0)上的點C連線段的長度忸C|,

/7d=____-____=2

因為圓心。到y=]x(X>0)的距離-J向+F-，

所以=\BC\的最小值為15cLn=d-r=\,即B的最小值為1.

O^A

故選：A

4.(2024?北京海淀?三模)已知點/(1,2),8(2,0),。(2,2),|舒卜|君-就|,。為坐標原點，則而.方的取

值范圍是.

【答案】[5-275,5+275]

【詳解】設點尸(2)/萬口詞=J()2+(o-2『=2,

所以加_1)2+(—)2=2,即(X+()-2)2=22,

所以x=2cos6+1,y=2sin0+29

OPOA=(x,^)-(l,2)=x+2>=2cos6+1+2(2sin<9+2)=5+4sin。+2cos0

=5+2V^sin(6+9)

因為sin(O+e)e[-1,1],

所以OPOAe[5-26,5+2V5].

故答案為：[5-275,5+275]

5.(2024?北京?模擬預測)已知向量。=(1,-石)，￡在刃上的投影向量為白邛+@=近，則問=.

【答案】歷

2

【詳解】向量方=(1,-出)，同=2,

_一1-晨-|_.2

.在6上的投影向量為萬6,貝1^下「同=5°，得2展6=卜|,

\a+b\=^i,則,+耳^a2+2a-b+b2=時+2同=4+2麻=7,

解得忖卜手.

故答案為：近

2

題型6向量的夾角

100混

（1）求向量的夾角的關鍵是計算7B及|磯耳，在此基礎上結合數量積的定義或性質計算c0s'=帝，最

后借助。€[0,刈,求出。值；

（2）在個別含有問,W與黑B的等量關系式中,常利用消元思想計算cos0的值.

J■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一

1.（2024?北京?三模）若⑷=1,向=2,5-應17,則向量8與B的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【詳解】因為所以（方-3）園=0,

即7一75=0,所以鼠5=7=1，

又0°4落石4180°,

所以向量a與B的夾角為60。.

故選：B.

2.（2023?北京?模擬預測）平面向量￡,g滿足口=3M，且口-可=4,則￡與屋g夾角的正弦值的最大值為

（）

A.；B.|C.yD.|

【答案】B

【詳解】如圖所示：設2=力，b=OB^則H詼，設慟=能，忖=3加，1＜加＜2,

A

當;=二，即加=亞時等號成立，故NO/B/O，M，

33m\27

當cos/CMB最小時，sin/CM5最大，

故。與aJ夾角的正弦值的最大值為人）=;.

故選：B

3.（2024?北京海淀?一模）已知向量Z3滿足@=23=（2,0）,S.\a+b\=2,則&花〉=（）

71712兀5兀

A.—B.一C.—D.

633~6

【答案】C

【詳解】由已知團=2荊=2,

所以(Q+B)=a+2b-a+"b=4+2x2x2xcos〈〃,B〉+4=4,

得cos〈a》〉=-g,又〈〃，楊武。,兀］,

―—?71

所以〈0,6〉=1

故選：C.

4.（2024?北京?模擬預測）已知扇B為不共線的兩個單位向量，為非零實數，設12+以,則“4”

是“伍可=（瓦司”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】已知方石為不共線的兩個單位向量，4〃為非零實數，設"而+//B,

Za+jua'b2+jua?b

則此時4=4=cos（G,己）=二

同E?同￡[

〃+荷?Bpib+Aa-b

同同

而向量夾角范圍是［o,兀］,當6e［0,可時，cos。嚴格單調遞減，

從而cos〈或己）=cos（b,c^=（扇3）=（彼,己），

綜上所述，在題設條件下“％=〃”是“伍己〉=但寸”的充要條件.

故選：C.

5.（2023?北京延慶一模）。為坐標原點，點A,B的坐標分別為（2,-1）,（-1,3）,則tan乙408等于（）

A.1B.-1C.—D.--

55

【答案】B

【詳解】由已知點A,B的坐標分別為(2,-1),(-1,3),

則刀=(2,-1),05=(-1,3),

OA-OB2X(-1)+(-1)X3_V2

所以…EM+E…

37r

[0,^-1,所以403二一，tan4O8=—1,

4

故選：B.

題型7投影向量

"ul'

將已知量代入）在3方向上的投影向量公式同cos夕工6是與各方向相同的單位向量，且工=力）中計算

即可.

1.（2024?黑龍江二模）已知同=5,^=（-1,2）,￡在讓的投影向量為碗=（-2,4）,則向量"與否夾角余弦

值為（）

A.坡B."C.-D.一正

5555

【答案】A

一f

【詳解】z在石上的投影向量為|。卜麗a-b附b故配干/今‘八）'

a-bplplcos

而B=故喬=2,故

,5COS(6Z,M/一一、7A/?

故———二2即cos(a,b\=會&

V5'/5

故選：A.

2.（2023?北京?模擬預測）已知。是△"C的外心，外接圓半徑為2,且滿足2萬=方+就，若瓦I在前

3—?

上的投影向量為V。，則與友=（）

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【詳解】^2AO=AB+AC，故。為BC中點，又。是"BC的外心，

易知：ABAC=90°,且所=4,

I--IBC3—?|^|cos53

由加在前上的投影向量EHcosB?扇=%3。，即

所以說.數=|強卜數cosB=:數『=12,

由圖，AdBC^（Bd-BA）BC^BOBC-BABC^S-n^-4.

故選：A

3.（2023?北京?模擬預測）在平面直角坐標系工。中，單位圓上三點4,B,C滿足：4點坐標為（1,0）并且

AB=BC,05在。4上的投影向量為，，。［，則.

【答案】J7

【詳解】根據題意可知如下圖所示:

=1,設OB與OA的夾角為ZAOB=0,

八1^111

所以cos6=-——p=-

\OB\3

又因為=所以N4OC=26,

_7

由二倍角公式可得cosZAOC=2cos20-1=

9

所以O4?GC=|ft4|-|oc|cosZAOC7

9

故答案為：-七7

4.（202323-24高一下?湖北武漢?期中）已知向量1=（0,1）,彼=（1,石），貝頻在B上的投影向量為（）

B.JbD.序

4

【答案】B

【詳解】設3與B的夾角為巴

a-bba-bbA/3

則）在另上的投影向量為：口b

儂叫我網TH同4

故選：B.

5.（2022?北京通州?一模）在矩形48。中，AB=2,8C=6,點P在邊上，則向量靜在向量在上

的投影向量的長度是—，屈.麗的最大值是.

【答案】百-2

【詳解】由題意可得||四|-cosNPC8|=|。|=6,

即向量而在向量在上的投影向量的長度是6；

如圖，以/為坐標原點，為x軸，為y軸，建立平面直角坐標系,

設尸（X,0）,（0VxW2）,則40,0）,3（2,0）,。（2,6）,。（0,6）,

%

D

A

故屈=（x-2,-行），麗=（一x,6），

則聲與=_尤2+2工_3=_屏_1)2_2,

當x=le[0,2]時，近.而取最大值為-2,

故答案為：V3;-2

題型8平面幾何與數量積的最值

!一工

!0O后?

基底法：①利用基底轉化向量；②根據向量運算律化簡目標；③運用適當的數學方法如二次函數的思想、

基本不等式的思想，三角函數思想等得出結論；

坐標法：①根據題意建立適當的直角坐標系并寫出相應點的坐標；②將平面向量的運算坐標化；

!③運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想，三角函數思想等求解

I_____________________________________________________________________________________________________-_______\

1.（2024?北京?三模）已知點N在邊長為2的正八邊形4,4,…,4的邊上，點M在邊44上，則A^M-A^N

B.[-4,4+272

C.[-272,4+272]D.[-272,4]

【答案】C

【詳解】以4為原點，44為x軸，44為了軸建立平面直角坐標系,

設N（XQJ,M（X2，。），則4初=（々⑼，4N去（玉,%）,

所以A{M?A[N=xxx2,

TT

由于正八邊形的每個外角都為7;

則々￡[0,2],國￡]一行,2+收],

所以麗.旃=玉々?[-2后,4+2a]

故選：C

2.（2023?北京豐臺?二模）已知4B,C是單位圓上的三個動點，則次.就的最小值是（）

1

A.0B.——C.-1D.-2

2

【答案】B

【詳解】以8。的垂直平分線為V軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則/+/=l,m2+n2=1,

2

i^LAB'AC=^m-a,n-by^-m-a,n-b^=a1-m2+n2-2nb+b2=2n2-2bn=2

~2

當”時，方.就=2（〃一。1一且取得最小值，最小值為一

212）22

A121

由于故當6=±1時，最小，故最小值為-

此時〃=土;，滿足要求,

故選：B

【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：

①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的

特征直接進行求解；

②數化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域，不等式的解集，方程有解

等問題，然后利用函數，不等式，方程的有關知識進行求解.

3.(2023?北京東城?一模)己知正方形N8CD的邊長為2,P為正方形內部(不含邊界)的動點，且

滿足沙屈=0，則而.而的取值范圍是()

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

【答案】D

【詳解】以中點為原點建立如下直角坐標系；

則4(f0),3(l,0),C(l,2),2)(-1,2),

設尸(x,y),則尸/=PB=(\-x,-y},

則莎?麗/=0,

BPx2+y2=1,則/一1=-丁，其中0<J<1,

貝Q=(X_1J_2)M=(X+1J_2),0<y<l

貝！]而?麗=x2_]+(")2=_/+(")2=_4j,+4e[0,4),

故選：D.

4.(2022?北京?模擬預測)窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術.圖1是一張

由卷曲紋和回紋構成的正六邊形前紙窗花.圖2中正六邊形跖的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊

形的中心，圓。的半徑為2,圓。的直徑CD,點P在正六邊形的邊上運動，則可7.麗的最小值為

()

AF

D.8

【答案】D

【詳解】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質可知，△049、AOBC.AOCD、.ODE、AOEF、均

為邊長為4的等邊三角形，

當點P位于正六邊形/BCDEV的頂點時，F4取最大值4,

當點尸為正六邊形各邊的中點時，|麗|取最小值，即『而L=4sin2=2VL

所以，PA7-P2V=(PO+OAf)(PO+O2V)=(PO+OA7)(PO-OA7)=FO2-4e[8,12].

麗?麗的最小值為8.

故選：D.

【點睛】方法點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：

(1)利用定義：

(2)利用向量的坐標運算；

(3)利用數量積的幾何意義.

具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用.

5.(2022?北京?三模)△4BC為等邊三角形，且邊長為2,則衣與數的夾角大小為120°，若阿|=1,屈=9,

^AD-BE的最小值為.

【答案】-3-6

【詳解】因為△/8C是邊長為2的等邊三角形，且。=成，則E為NC的中點，故8EL/C,

以點B為坐標原點，礪、方分別為x、y軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，

則/（月,1）、E（6,0）、5（0,0）,設點。（cos。,sin。）,

星=（g,0）,ZD=（cos6?-V3,sin<9-l）,

所以，石灰=E（cos。-匈2-出-3,當且僅當cos6=T時，等號成立，

因此，近?赤的最小值為-3.

故答案為：-6-3.

限時提升練

1.（2024?北京?模擬預測）已知單位向量1和3,若〃卜+2行），貝乖+耳=（）

A.2B.1C.V2D.V3

【答案】B

【詳解】因為+東=I,片=I，

所以展,+2B）=齊+2展彼=0,

所以2az=-1，

所以歸+可=（H+B）=a2+b2+2a-b=1,

所以B+q=i,

故選：B

2.（2024?北京大興?三模）已知平面向量￡=（1,加），5=（2,-2m）,則下列結論一定錯誤的是（）

A.a//bB.albC.慟=2卜|D.a-b

【答案】D

【詳解】對于A：若"〃小則1x（-2加）=2%解得加=0,故A正確；

對于B：若￡_1刃，則73=1x2—2加2=0，解得加=±1,故B正確；

對于C：因為1|=J1+冽2,W="2+（—2加）2=,4+4—2=2川+川,

顯然W=2同，故C正確；

對于D：a-b=（l,m）-（2,-2m）=（-1,3m）,故D錯誤.

故選：D

3.（2024?北京海淀?二模）在△N8C中，NC=］,C4=CB=2五，點尸滿足壇=40+（1-刈屈，且

CP-AB=4,貝1M=（）

1133

A.—B.-C.—D.—

4444

【答案】B

【詳解】由題可知，CACB=0,

故聲而=［宓+（1-彳）赤］?（而-可=-文同+（1-初可=-82+8（l-A）=-162+8,

故一162+8=4,解得彳=」.

4

故選：B.

4.（2024?北京豐臺?一模）已知向量￡,否滿足加=（6」），S=^（2eR）,且力=1，貝葭=（）

C.2D.4

【答案】D

【詳解】-：a-b=\,

Gw0，

又?焉=然石=（百,1）,

「.4=4.

故選：D.

5.（2024?北京延慶一模）已知正方形Z8CD的邊長為2,點尸滿足萬5=g（/+詬），貝U萬.就=（

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【詳解】建立坐標系如圖，正方形43。的邊長為2,

則4（0,0）,C（2,2）,0（0,2）,可得起=（2,2）,石=（0,2）,

點P滿足萬=；（*+亦）=（1,2）,所以后.就=卜2+2、2=6.

故選：C.

6.（2023?北京海淀?二模）已知標是平面內兩個非零向量，那么“￡〃『'是"存在2力0,使得

1+疝|=|）+|瘍的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】若￡〃九則存在唯一的實數〃wo,使得Z=

故舊+萬|=|而+4|=|〃+刈|司,

而后+4I=I//S?+1is|=（|A?+m）?^?-

存在/Iwo使得l〃+2H〃l+IR成立,

所以2功力是“存在彳=0,使得|￡+萬|=|2|+|萬I'的充分條件,

若彳w0且|”+加上⑷+1泥I,則￡與沈方向相同，

故此時所以“工〃斤’是"存在存在4*0,使得|￡+力|=0+1旎「'的必要條件，

故“2〃否”是“存在4*0,使得|Z+4|=|Z|+1與］”的充分必要條件.

故選：c.

7.（2024?北京通州?二模）在梯形中，AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=4,則在.衣

A.4百B.8C.12D.8A/3

【答案】C

【詳解】

如圖，取48的中點￡,則/E//DC,且NE=7X?=2,

所以四邊形4ECO為平行四邊形，

則/O=EC=8E=3C=2,所以ACEB為正三角形，

過C作于/，

則/尸=3,

所以益.衣=|刀口就|?《?/。8=|萬口萬卜4乂3=12.

故選：C.

8.(2024?北京東城?二模)已知平面向量I，1

e3,04是單位向量，且G_Le2，貝！］“q-03=e2-64”是

呢￡=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】因為平面向量,，e2,e3,e”是單位向量，且1

不妨設4=(l,0),e2=(0,1),

,.,一(V2V2V2V2

el-e3=e2-e4,例如63二—5

I22.V2

滿足q-Cm=e?，但=1w0,即充分性不成立;

V2V2

若例如也包1

e?-e4=0,63=T2

滿足=0,但q=-孝,02=1；，即q-03Ne?，即必要性不成立；

綜上所述：”是“AW=0”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

9.(2024?北京朝陽一模)在△4BC中，AB=AC=2,BC=2日點尸在線段2c上.當蘇.而取得最小

值時，PA=()

A."B.aC.-D.-

2244

【答案】B

【詳解】如圖，以3c所在直線為x軸，以sc的垂直平分線建立了軸，建立平面直角坐標系，

由/8=/C=2,5C=2^/3,則。/=/22-

所以B（-V3,o）,C（V3,0）,設尸（無,0）,

則用=（-x,i）,詼=3

3

則方.方=_尤?（一百一x=f+y[^X一，

2J4

、

―日時’萬屈取得最小值,此時"二+1=]

當

\7

故選：B

10.（2024?北京順義?二模）若非零向量