七年數學（二）北師大

一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.下列計算中，正確是（）

A.a-cT=a3B.（/，二4C.a6a2—a3D.a2+a5=o'

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查同底數暴的乘法和除法，塞的乘方，合并同類項，掌握整式的混合運算是解題的關鍵.

【詳解】解：A、々"2="1+2=/,原選項正確，符合題意；

B、（a2）3=a2x3=a6,原選項計算錯誤，不符合題意；

C、/+/=46-2=4,原選項計算錯誤，不符合題意；

D、/與/不是同類項，不能合并，原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：A.

2.奧密克戎是新型冠狀病毒，其直徑為140納米（1納米=0.000000001米）.“140納米”用科學記數法

表示為（）

A.1.4x10B.0.14x1010C.1.4X107D.0.14xW6^

【答案】C

【解析】

【分析】科學記數法的表示形式為oxi。"的形式，其中1（同＜10，〃為整數.確定〃的值時，要看把原數

變成a時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值》10時，”是正數;

當原數的絕對值＜1時，”是負數.

【詳解】解：140納米=0.000000001x140米=0.00000014米=1.4x10-7米，

故選：C.

【點睛】此題考查科學記數法，注意〃的值的確定方法，當原數大于等于10時，〃等于原數的整數數位個

數減1,當原數小于1時，九等于原數的第一個不為0的數字前的0的個數的相反數.

3.若M?（%—%）=/一12,則多項式〃為（）

A.一（尤+y）B.x+yc.-y+xD.%-丁

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了平方差公式以及因式分解.將等式右邊因式分解，比較即可求解.

【詳解】解：：丁2—=—（爐―y2）=—y）,而y）=y2—12,

M=_（x+y）,

故選：A.

4.如圖，要在河堤兩岸搭建一座橋，搭建方式中最短的是線段PN,理由是（）.

B.兩點之間的所有連線中線段最短

C.垂線段最短

D.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了垂線的性質，屬于基礎題，掌握相關概念即可.根據垂線段最短即可得出答案.

【詳解】解：??.PNLQM,

???要在河堤兩岸搭建一座橋，搭建方式中最短的是線段PN,理由是垂線段最短.

故選：C.

5.一副三角板按如圖所示的方式擺放，則N1余角的度數為（）

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得4=N3CD-NACD=45。-30。=15。，再利用余角的定義即可求解.

【詳解】解：由題意知：NACD=30。，/BCD=45。,

得Z1=ZBCD—ZACD=45°—30°=15°,

D

所以N1的余角為90°-/l=90°-15°=75°.

故選：D.

【點睛】本題主要考查余角及角的和差關系，解答的關鍵是由圖形得到N1的度數.

6.如圖，將矩形直尺的一個頂點與三角尺的直角頂點重合放置，測得N2=58°,則N1的度數為（）

A.22°B.32°C.42°D.62°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質和矩形的性質，熟知：兩直線平行，同位角相等，矩形的性質結合已知條

件即可求出1的度數為32。，

【詳解】解：如圖，先標注字母，

\?矩形AGEE,

：.AE//FG,

Z2=58°,ZC4B=90°,

:.ZEAB=Z2=58°,

AZl=90°-58°=32°;

故選B.

7.在某次綜合與實踐活動中，小華同學了解到鞋號（碼）與腳長（毫米）的對應關系如下表:

鞋號（碼）???3334353637???

腳長（毫米）???215+2220±2225±2230±2235±2???

若小華的腳長為259毫米，則他的鞋號（碼）是（）

A.39B.40C.41D.42

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了一次函數的應用，理解題意，正確獲得函數解析式是解題關鍵.根據題意，可知

鞋號x與腳長y的對應關系為一次函數，設鞋號與腳長的關系式為,=履+"左/0）,利用待定系數法解

得函數解析式，即可獲得答案.

【詳解】解：根據題意，可知鞋號x與腳長y對應關系為一次函數，

設鞋號與腳長的關系式為y=kx+b（k^O）,

215=33次+bk=5

根據題意，可得《c“，＞解得＜

220=34k+bb=50'

所以鞋號與腳長的關系式為y=5%+5。，

若小華的腳長為259毫米，可令y=26。，

則有260=5x+50,

解得3=41,

所以，他的鞋號（碼）是41.

故選：C.

8.如圖，在1tA中，CD是NACB的角平分線，點E在AC上，DE//BC,若14=62。,

A.37°B.32°C.22°D.44°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，角平分線的定義，根據三角形內角和定理得出

ZACB=44°,進而根據角平分線的定義，以及平行線的性質，即可求解.

【詳解】解：：Z4=62。，ZB=74°,

ZACB=180°-ZA-ZB=180°-62°-74°=44°,

VCD是ZACB的角平分線，

ZACD=ZBCD=22°

'：DE//BC,

：.ZEDC=ZBCD=22°,

故選：C.

9.如圖，已知BC=CE>,那么添加下列一個條件后不能證明A4BC/"DC的是（）

B

D

AAB=ADB.ZBCA=ZDCAC.ZB=ZD=90。D.ABAC=ADAC

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS,

HL.由全等三角形的判定，即可判斷.

【詳解】解：A、AB=AD,又BC=CD,AC=AC,由SSS判定△/"<7四八!。。，故此選項不符合

題意；

B、ZBCA=ZDCA,又BC=CD,AC=AC,由SAS判定絲八位七，故此選項不符合題意；

C、4=ND=90°,又BC=CD,AC=AC,由HL判定"BC四△ADC,故此選項不符合題意；

D、ABACADAC,又BC=CD,AC^AC,兩組對應邊及其中一組對應邊的對角對應相等不能判

定三角形全等，故此選項符合題意.

故選：D.

10.如果犬+（l）x+9是一個完全平方式，那么m的值是（）

A.7B.-7C.-5或7D.-5或5

【答案】c

【解析】

【分析】根據完全平方公式，中間項等于首項和尾項底數乘積的±2倍列式即可得出m的值.

【詳解】解：???x2+(m-l)x+9是一個完全平方式，

(m-1)x=±2?x?3,

.'.m-l=±6,

m=-5或7,

故選：C.

【點睛】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方式的特點是解此題的關鍵，注意：完全平方公式有

(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2兩個.

二.填空題(共5小題，滿分15分，每小題3分)

11.比較兩個數的大小：3以

【答案】=

【解析】

【分析】本題考查了負整數指數累，乘方運算，先根據3-2=L，Lk]=L,再比較大小即可，本題的關

9(3)9

鍵是熟練掌握負整數指數塞，乘方運算法則.

2

【詳解】解：3-2=-,=1,

9(LL3)]9

故答案為：=.

12.已知長方形的面積為6儲+18ab，長為3a,則該長方形的周長為

【答案】10a+12b##12b+10a

【解析】

【分析】根據長方形的面積公式求出長方形的寬，再根據周長公式求出即可.

【詳解】?.?長方形的面積為6a2+18必，長為3a,

??.長方形的寬為：（6/+18ab）+3。=2a+6Z?,

，長方形的周長為：2x(3a+2a+6Z?)=10a+12〃，

故答案為：10a+12).

【點睛】本題考查了多項式除以單項式，根據面積公式求出長方形的寬，正確化簡多項式都是解決此題的

關鍵.

13.已知一根彈簧秤不掛物體時彈簧的長度為7cm,在彈性限度內，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm,

則掛重后彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質量Mkg)之間的函數表達式是.

【答案】y=O5x+7

【解析】

【分析】彈簧總長=掛上xkg的重物時彈簧伸長的長度+彈簧原來的長度，把相關數值代入即可.本題考查

了根據實際問題列一次函數關系式；得到彈簧總長的等量關系是解決本題的關鍵.

【詳解】解：：每掛1kg重物彈簧伸長0.5cm,

掛上尤kg的物體后，彈簧伸長0.5%cm,

...彈簧總長y=0$x+7.

故答案為：y=0.5x+7.

14.如圖，點N分別在A3,AC上，MN//BC,將ABC沿肱V折疊后，點A落在點A'處，若

NA=28。,ZB=120。，則ZANC=_。.

【答案】116

【解析】

【分析】本題考查了折疊的性質，三角形內角和定理，平行線的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.先

根據折疊的性質得出NA=28。，ZANM=ZA'NM,再由三角形內角和定理得出/C,再根據平行線的

性質得出N/WM=NC=32°,進而求解即可.

【詳解】VZAr=28°,將.ABC沿MN折疊后，點A落在點A'處，

/.ZA=28°,ZANM=ZANM,

"：ZB=120°,

AZC=180°-ZA-ZB=32°,

?：MN//BC,

：.ZANM=ZC=32°,

：.ZANM=ZANM=32°,

ZANC=180°-ZANM-ZANM=116°,

故答案為：116.

15.圖1是一盞可調節臺燈，圖2為示意圖.固定底座于點。，與C8是分別可繞點A和8旋

轉的調節桿.在調節過程中，燈體C。始終保持平行于OE,臺燈最外側光線QM,ON組成的NMZW始終

保持不變.如圖2,調節臺燈使光線DV〃癡，此時N8AO=130°,且CD的延長線恰好是NMDN的

角平分線，則=.

【答案】800##80度

【解析】

【分析】此題主要考查了平行線的判定和性質，過點A作AbOE,過點B作5G|A尸交。N于點

根據平行線的判定和性質，求出NFDN的度數，利用角平分線的性質，即可得解.

【詳解】解:

M

過點A作AbOE,過點B作3GAF交DN于點、H,

AOLOE,

：.ZAOE=90°,

?：AFOE,

ZOAF=9Q0,

ZBAF=ZBAO-AOAF=40°,

VBGAF,

：.ZBAF=ZHBA=4Q°,

?.-DNBA,

：.ZDHB=NHBA=40。,

AFOE,CDOE,BG\AF,

BGCD,

：.ZDHB=/PDN=%。,

VCD的延長線恰好是ZMDN的角平分線，

ZMDN=2ZPDN=80°；

故答案為：80°.

三.解答題(共9小題，滿分75分)

16.計算下列各題.

(1)/.Q+(2Q2)

42384

(2)a+(-2a)-a^a

(3)(〃+1)(〃—1)——3)

(4)2-1—(萬—3)。+—g

【答案】(1)5a4

(2)-8a6

⑶3a-l

(4)0

【解析】

【分析】本題考查的是整式的混合運算，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

(1)根據整式的混合運算和指數基的運算法則計算即可；

(2)根據整式的混合運算和指數幕的運算法則計算即可；

(3)根據整式的混合運算法則計算即可；

(4)根據整式的混合運算和負整數指數幕，零指數幕的運算法則計算即可.

【小問1詳解】

解：〃3.Q+(2Q2)

—+〃+4a,

=a4+4〃4

=5a4;

【小問2詳解】

2

/+(-2a)3-Q8+Q4

="+(-8〃6)_14

=—Sa6.

【小問3詳解】

(〃+1)(〃-1)一—3)

=Q?-1—Q?+3d

=3a—l.

【小問4詳解】

2「i—(萬—3)。+—g

1,1

=1H—

22

=0.

17.先化簡，后求值：[(2a—32—(b+2a)3—2a)]+(4a),其中。=—g,b=2.

【答案】2a—b,-3

【解析】

【分析】本題考查代數式求值、平方差公式和完全平方公式、多項式除以單項式的法則，熟練掌握平方差公

式和完全平方公式是解題的關鍵.

先利用平方差公式和完全平方公式進行計算，再根據多項式除以單項式的法則進行計算，最后把

a=—1力=2代入計算即可.

2

【詳解】解：原式=[44—4a)+/—(/—44)]+(4a)

二(4片-4ab+b2-b2+44)+(4a)

二(8/一4〃Z?)+(4〃)

=2a-b,

當。=—；/=2時，原式=2x1_；1_2=_3.

18.已知：.ABC,過點A畫BC的平行線

（說明：只允許尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

【答案】見詳解

【解析】

【分析】用尺規做平行一般要做角相等；用到的知識點為：內錯角相等，兩直線平行.

可做N3的內錯角NZM5=NB，作直線AD即可.

19.如圖，直線AB〃C。，Nl=70°,ZD=110°,求的度數.

閱讀下面的解答過程，并填空（理由或數學式）.

解：AB//CD（已知），

=（①___）（②）.

又?.?Nl=70°,NZ>=110°（已知），

zi+zn=i80°（等式的性質）.

ZC+ZD=180°（③）.

...（④—）//（⑤）（⑥）.

:.NB=（⑦）（⑧）.

AZfi=70°

【答案】①/C；②兩直線平行，內錯角相等；③等量代換；④AC；⑤3D；⑥同旁內角互補，兩直線平

行；⑦N1；⑧兩直線平行，同位角相等

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質和判定，能正確掌握平行線的嚇著判定定理是解此題的關鍵.

根據平行線的性質得出N1=NC,求出N1+ND=18O°,求出NC+ND=180。，根據平行線的判定得出

AC//BD,根據平行線的性質得出NB=N1即可.

【詳解】解：???A3〃CD（已知），

，N1=NC（兩直線平行，內錯角相等）.

又4=70。,/。=110°（已知），

/1+/。=180。（等式的性質）.

/。+/。=180°（等量代換），

...（同旁內角互補，兩直線平行），

??.N3=N1（兩直線平行，同位角相等），

/.ZB=70°,

故答案為：①NC；②兩直線平行，內錯角相等；③等量代換；④AC；⑤3D；⑥同旁內角互補，兩直

線平行；⑦N1；⑧兩直線平行，同位角相等.

20.如圖，點、B,F,C,E在一條直線上，點A,3在這條直線的兩側，已知N3=NE，

ZBAC=ZEDF,BF=CE.求證：AC//FD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵：先推出

BC=EF,由此證得△ABC且△￡>￡口,得到NACB=NEED,即可推出AC〃ED.

【詳解】證明：：3尸=久,

：.BF+CF=CE+CF,

BC=EF,

在，ABC和川E尸中,

ABAC=ZEDF

<ZB=ZE

BC=EF

AABC^Ar)EF(AAS),

/.ZACB=ZEFD,

AC//FD.

21.現有甲種正方形、乙種長方形卡片各若干張，卡片的邊長如圖所示某同學分別拼出了兩個長

方形(不重疊無縫隙)，如圖1和圖2,其面積分別為耳,邑.

圖1圖2

(1)請用含。的式子分別表示S1,S2;

(2)當a=3時，求S1+S,的值.

2

【答案](1)S1=2a+2a2,S2—a+4a

(2)45

【解析】

【分析】本題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

(1)分別把各部分面積相加即可；

(2)把航與S?相加，再把。=3代入計算即可.

【小問1詳解】

S]—/+。+〃=2〃+2",

S?—I?+〃+〃+〃+〃=I?+4〃；

【小問2詳解】

當a=3時，

S[+S[=(2a+2a~)++4a)

=3ci~+6(7=3x3-+6x3=45?

22.小明由甲地騎自行車前往乙地游玩，1小時后，小剛騎摩托車沿相同路線也從甲地前往乙地.在這個

過程中，小明和小剛兩人離開甲地的距離S(千米)與小明騎車的時間f(小時)之間的關系如圖所示，請

(1)小明騎自行車的速度是千米/小時，甲乙兩地之間的路程為千米；

(2)求小剛騎摩托車的速度是多少千米/時？

(3)圖中a=,b=；

(4)小剛出發后，在到達乙地前，小剛騎摩托車用小時與小明相距10千米.

【答案】(1)20；80；

(2)小剛騎摩托車速度是40千米/時

(3)2；40；(4)0.5或1.5

【解析】

【分析】(1)由圖可得：小明騎自行車的速度為20千米/小時，其4小時共行駛4x20=80(千米)，

所以甲、乙兩地之間的距離是80千米，據此解答即可；

(2)要求小剛騎摩托車的速度，用80千米去除以2小時即可；

(3)依題意及函數圖像進行回答即可；

(4)小剛出發后，在到達乙地前，小剛騎摩托車用f小時與小明相距10千米，分兩種情況：①兩相遇之

前，小剛與小明相距10千米時，②兩相遇之后，小剛與小明相距10千米時，進行解答即可.

【小問1詳解】

由圖可得：小明騎自行車的速度為20千米/小時，其4小時共行駛4x20=80(千米)，

所以甲、乙兩地之間距離是80千米，

故答案為:20；80；

【小問2詳解】

QQ

小剛騎摩托車速度為：一=40（千米/小時）；

2

答：小剛騎摩托車速度是40千米/時.

【小問3詳解】

由題意得：

20a=40（o-l）,

解得：＜3=2,

b=20a=40,

故答案為：2；40；

【小問4詳解】

小剛出發后，在到達乙地前，小剛騎摩托車用/小時與小明相距10千米，

①兩相遇之前，小剛與小明相距10千米時，

20G+1）-40/=10,解得：r=0.5；

②兩相遇之后，小剛與小明相距10千米時，

40r-20（?+1）=10,解得：r=1.5；

小剛出發后，在到達乙地前，小剛騎摩托車用0.5小時或1.5小時與小明相距10千米

【點睛】本題考查了從函數圖像獲取信息，解題的關鍵是從折線圖中提取信息，要特別注意小剛騎摩托車

行駛的時間.

23.概念學習

規定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為''等角三角

形”.從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三

角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角

三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”.

理解概念：

（1）如圖1,在中，NACB=90。，CDLAB,請寫出圖中兩對“等角三角形”；

概念應用：

(2)如圖2,在一A5C中，CD為角平分線，ZA=40°,ZB=60°.求證：CD為.ABC的等角分割

線；

動手操作：

(3)在一ABC中，若NA=50°,CD是的等角分割線，請求出所有可能的/ACB的度數.

【答案】(1).ABC與AACD,ABC與ABCD,ACD與△BCD是“等角三角形”；(2)見解析;

2600310°

(3)100。或H5。或——或——

33

【解析】

【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，等腰三角形的性質與判定，三角形外角的性質等等，正確理

解題意利用分類討論的思想求解是解題的關鍵.

(1)根據垂線的定義和三角形內角和定理分別證明ZACB=AADC=ZBDC=90°,

ZA=NBCD,NB=NACD即可得到結論；

(2)先利用三角形內角和定理求出NAC3=80。，則由角平分線的性質得到NACD=/DGB=40。，則

ZACD=ZA,ZDCB=ZA,可證明CD=QA,再求出NBDC=80°,得到N5DC=NACB,由此

即可證明CD為的等角分割