考點33撇場一洛倫茲力與現代科技帶電粒子

1.能列舉磁現象在生產生活中的應用。了解我國古代在磁現象方面的研究成

果及其對人類文明的影響。關注與磁相關的現代技術發展。

新課程標準2.通過實驗，認識洛倫茲力。能判斷洛倫茲力的方向，會計算洛倫茲力的大

小。

3.能用洛倫茲力分析帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動。

考查的內容主要體現在對科學思維、運動與相互作用觀念等物理學科的核心

素養的要求。考查頻率高，題目綜合性強，會綜合牛頓運動定律和運動學規

命題趨勢

律，注重與電場、磁場的滲透，注重生產、生活、當今熱點、現代科技的聯

系。

生活和科技、回旋加速器、質譜儀、速度選擇器、磁流體發電機、

生活實踐類

試題情境霍爾元件等

學習探究類帶電粒子在磁場、組合場、疊加場中的運動

考向一、質譜儀的原理和分析

考向二、回旋加速器的原理和分析

考向三、速度選擇器、磁流體發電機和電磁流量計

考向四、霍爾元件的原理和分析

考向;

考向一、質譜儀的原理和分析

1.作用

測量帶電粒子質量和分離同位素的儀器。

2.原理(如圖1所示)

7674737270

IIIIIII

2

(1)加速電場：qU=ynvo

2

(2)偏轉磁場：qvB=%,l=2r,由以上兩式可得

_1/2mUqr2B2q2U

尸”丁，m=2U'm=B￥°

【典例1】(2022?山東省泰安市高三下適應性訓練三)對鈾235的進一步研究在核能的開發和利用中具有重要

意義。如圖所示，質量為m、電荷量為q的鈾235離子，從容器A下方的小孔Si不斷飄入加速電場，其初

速度可視為零，然后經過小孔S2垂直于磁場方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中，做半徑為R的勻速圓

周運動，離子行進半個圓周后離開磁場并被收集，離開磁場時離子束的等效電流為I。不考慮離子重力及離

子間的相互作用。

(1)求加速電場的電壓U；

(2)求出在離子被收集的過程中任意時間t內收集到離子的質量M；

(3)實際上加速電壓的大小會在UiAU范圍內微小變化。若容器A中有電荷量相同的鈾235和鈾238兩

種離子，如前述情況它們經電場加速后進入磁場中會發生分離，為使這兩種離子在磁場中運動的軌跡不發

生交疊，得應小于多少？(結果用百分數表示，保留兩位有效數字，鈾235離子的質量可用235mo表示，鈾

238離子的質量可用238mo表示)

qB?R2mlt

【答案】(D2m(2)V(3)0.63%

【解析】(1)設離子經電場加速后進入磁場時的速度為V,由動能定理得qU=1mv2—0①

離子在磁場中做勻速圓周運動，所受洛倫茲力充當向心力，即

v2_

qvB=m^-②

由①②式解得u=^M。③

(2)設在時間t內收集到的離子個數為N,總電荷量為Q,貝I

Q=It④

Q

N=^⑤

M=Nm⑥

由④⑤⑥式解得⑦

⑶由①②式有區=七卡!亙⑧

設好為鈾238離子的質量，由于電壓在U土AU之間有微小變化，鈾235離子在磁場中做圓周運動的最

大半徑為

2mU+AU

⑨

Bq

鈾238離子在磁場中做圓周運動的最小半徑為

12m'U—AU

Rmin'='W

Bq

這兩種離子在磁場中運動的軌跡不發生交疊的條件為Rmax<Rmin'H

由⑨⑩?式聯立得得常烹?

將m=235mo，m，=238mo，代入得-jy<0.63%。

【典例2】(2022?北京市西城區高三下統一測試)一臺質譜儀的工作原理如圖所示.大量的帶電荷量為+q、

質量為2m的離子飄入電壓為Uo的加速電場，其初速度忽略不計，經加速后，通過寬為L的狹縫MN沿著

與磁場垂直的方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中，最后打到照相底片上.圖中虛線為經過狹縫左、右

邊界M、N時離子的運動軌跡.不考慮離子間的相互作用.

—,—1-1-1*-1—底片

Uo:加速電場

(1)求離子打在底片上的位置到N點的最小距離X；

(2)在圖中用斜線標出磁場中離子經過的區域，并求該區域最窄處的寬度d.

【答案】(德牌T

⑵見解析圖t例一7喘T

【解析】(1)設離子在磁場中的運動半徑為口，

在電場中加速時，有qUo=；x2mv2

在勻強磁場中，有qvB=2nT^

解得口=看\然

根據幾何關系x=2n—L,

解得x=aL.

(2)如圖所示，最窄處位于過兩虛線交點的垂線上d=n—

練習1、（多選）（2022?北京海淀區期末）如圖為某種質譜儀的工作原理示意圖。

此質譜儀由以下幾部分構成：粒子源N；PQ間電壓恒為U的加速電場；靜電分析器，即中心線半徑為

R的四分之一圓形通道，通道內有均勻輻射電場，方向沿徑向指向圓心O,且與圓心O等距的各點電場強

度大小相等；磁感應強度為B的有界勻強磁場，方向垂直于紙面向外。當有粒子打到膠片M上時，可以通

過測量粒子打到M上的位置來推算粒子的比荷，從而分析粒子的種類以及性質。由粒子源N發出的不同種

類的帶電粒子，經加速電場加速后從小孔Si進入靜電分析器，其中粒子a和粒子b恰能沿圓形通道的中心

線通過靜電分析器，并經小孔S?垂直磁場邊界進入磁場，最終打到膠片上，其軌跡分別如圖中的SiS2a和

SiS2b所示。忽略帶電粒子離開粒子源N時的初速度，不計粒子所受重力以及粒子間的相互作用。下列說法

中正確的是（）

A.粒子a和粒子b經過小孔Si時速度大小一定相等

B.若只減小加速電場的電壓U,粒子a可能沿曲線Sic運動

C.靜電分析器中距離圓心。為R處的電場強度大小為患

K

D.粒子b的比荷一定大于粒子a的比荷

【答案】CD

【解析】由qU=1mv2,qE=^可得v='^,r=晉，由此可知，所有帶電粒子都可以通過靜電分

析器，即粒子a和粒子b經過小孔Si時速度大小不一定相等，故A錯誤；由A的分析可知，粒子通過靜電

分析器時，徑向電場提供向心力，做圓周運動，半徑為r=音，所以當U減小時，r減小，故B錯誤；由r

=得2U可知，靜電分析器中距離圓心O為R處的電場強度大小為2U巖，故C正確；粒子在磁場中做圓周運動，

EK

由Bqv=?^可得ri=^=!、等,即打在膠片上的位置距O點越遠粒子的比荷越小，所以粒子b的比

門BqDq

荷一定大于粒子a的比荷，故D正確。

練習2、（2022.寧德高三第一次質檢）如圖所示，一個靜止的質量為m、電荷量為q的粒子（不計重力），

經電壓U加速后垂直進入磁感應強度為B的勻強磁場，粒子在磁場中轉半個圓周后打在P點，測出OP距

離為X,下列X-U圖象可能正確的是()

【答案】B

【解析】在加速電場中，由動能定理得qU=1mv2

磁場中，洛倫茲力提供向心力，有qvB=my

"/日1/2mU

解得五

則EI/侍日x=42r=2R勺/2kmU

B、m、q都一定，則由數學知識得到，x—U圖象是開口向右的拋物線。

〈久一《^3=^考向二回旋加速器的原理和分析

回旋加速器的原理和分析

(1)帶電粒子在兩D形盒中的回旋周期等于兩盒狹縫之間高頻電場的變化周期，與帶電粒子的速度無關。

交變電壓的頻率f=4=黑(當粒子的比荷或磁感應強度改變時，同時也要調節交變電壓的頻率)。

(2)將帶電粒子在兩盒狹縫之間的運動首尾連起來是一個初速度為零的勻加速直線運動。

(3)帶電粒子每加速一次，回旋半徑就增大一次，0=常，nqU=|mv￡,n為加速次數。各半徑之比為1：

陋：餡：…。

(4)粒子的最大速度vm=喈，粒子的最大動能￡皿=3%=喋4，可見帶電粒子加速后的能量取決

111乙乙11.1.

于D形盒的半徑R和磁場的強弱。

(5)回旋加速的次數

粒子每加速一次動能增加qU,故需要加速的次數n=黑，轉動的圈數為去

(6)粒子運動時間

粒子運動時間由加速次數n決定，在磁場中的運動時間口=卻；在電場中的加速時間t2=+或t2=

、號其中a=*，d為狹縫的寬度。在回旋加速器中運動的總時間1=匕+12。

【典例3］（多選）（2022?山東省濱州市高三下二模）1932年，勞倫斯和利文斯設計出了回旋加速器。回旋加速

器的工作原理如圖所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R,兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間

可以忽略不計。磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直。A處粒子源產生的粒子，質量為m、電荷量為+q,

在加速器中被加速，加速電壓為Uo實際使用中，磁感應強度和加速電場頻率都有最大值的限制。若某一

加速器磁感應強度和加速電場頻率的最大值分別為Bm、fm，加速過程中不考慮相對論效應和重力作用（）

接交流電源

A.粒子第2次和第1次經過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比為V2：1

B.粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間為喏

C.如果fm＞騫,粒子能獲得的最大動能為252R2彘

2兀m

D.如果fm〈密，粒子能獲得的最大動能為21mt2R2球

271m

（1）粒子第2次和第1次經過D形盒間狹縫后軌道半徑為什么不同？

【答案】ABD

【解析】根據qU=&iv2得，帶電粒子第1次和第2次經過加速后的速度比為娘：2,根據r=普知，帶電

粒子第2次和第1次經過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比n:口=鏡：1,故A正確；設粒子到出口處被加

速了n圈，解得2nqU=1mv2,而qvBf',且T=需，及t=nT,解得：t=啜，故B正確；根據qvB

=11升，知丫=曙，則帶電粒子離開回旋加速器時獲得動能為Ekm=1mv2=嗎等，而￡=黑，解得最大

lx.mzzniZ7irn

動能為2m7r2R2F。如果fm〈我，粒子能獲得的最大動能為2m兀2R2底,故C錯誤，D正確。

Z7im

【典例4】（2016?浙江理綜,25）為了進一步提高回旋加速器的能量，科學家建造了“扇形聚焦回旋加速器”。

在扇形聚焦過程中，離子能以不變的速率在閉合平衡軌道上周期性旋轉。扇形聚焦磁場分布的簡化圖如

圖11所示，圓心為O的圓形區域等分成六個扇形區域，其中三個為峰區，三個為谷區，峰區和谷區相

間分布。峰區內存在方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B,谷區內沒有磁場。質量為m,電

荷量為q的正離子，以不變的速率V旋轉，其閉合平衡軌道如圖中虛線所示。

圖11

(1)求閉合平衡軌道在峰區內圓弧的半徑r,并判斷離子旋轉的方向是順時針還是逆時針;

(2)求軌道在一個峰區內圓弧的圓心角0,及離子繞閉合平衡軌道旋轉的周期T；

(3)在谷區也施加垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為BT新的閉合平衡軌道在一個峰區內的圓心角

0變為90°,求B'和B的關系。已知:sin(a±p)=sinacospicosasinp,cosa=1—Zsin2^

【答案】(1端逆時針⑵竽⑵聯)myf3一1

(3)Br=2L^—B

【解析】(1)峰區內圓弧半徑「=副

旋轉方向為逆時針方向②

(2)由對稱性，峰區內圓弧的圓心角。=空③

每個圓弧的長度1=冬2兀mvc

每段直線長度L=2rcos尹小『嚅卷

3(1+L)

周期T=

v

八、、/pt(2兀+3小)

代入得T=--------最⑦

(3)谷區內的圓心角&=120。一90。=30。⑧

谷區內的軌道圓弧半徑Y

g

由幾何關系rsin]=/sin

由三角關系sinf=sin15。=嚀但

代入得B，=木2%

練習3、（多選）（2022.安徽省合肥市高三上開學考試）CT是醫院的一種檢查儀器，CT的重要部件之一就是回

旋加速器.回旋加速器的結構如圖所示，有一磁感應強度為B的勻強磁場（未畫出）垂直于回旋加速器.在回

旋加速器的O點可逸出初速度為零、質量為m、電荷量為q的粒子，加速電壓為U,D形盒半徑為R.兩D

形盒間的縫隙間距d很小，可忽略不計，不考慮相對論效應和重力影響，則下列說法正確的是（）

A.粒子在回旋加速器中運動的圈數為與俞

B.粒子在回旋加速器中運動的時間為嗒

C.回旋加速器所加交流電壓的頻率為黑

D.粒子第1次與第N次在上方D形盒中運動的軌跡半徑之比為不^

yj2N—l

【答案】AD

【解析】設粒子在磁場中轉動的圈數為n,因每加速一次粒子獲得的能量為qU,每圈有兩次加速，則Ek?1ax

=1m誦ax，R=n^ax,Ekn=2nqU,聯立解得n=喘;，故A正確；粒子在回旋加速器中運動的時間t=nT

=唳岑?煞=喏，故B錯誤；由T=差，f=］知，回旋加速器所加交流電壓的頻率為f=黑，故C

4mLizuiZ7im

錯誤；粒子從o點經電場加速1次后，以速度VI第1次進入上方D形盒，由動能定理得，qU=|mv?,得

口=啜=雋'照，粒子在電場加速3次后，以速度V2第2次進入上方D形盒，3qU=1mv3,得n=需

瑞以此類推，粒子在電場加速（2N—1）次后，以速度VN第N次進入上方D形盒，同理可得

小=而=“—m—'所以考=聲二T'D正確.

練習4、（2015?高考浙江卷）使用回旋加速器的實驗需要把離子束從加速器中引出，離子束引出的方法有磁屏

蔽通道法和靜電偏轉法等.質量為m,速度為v的離子在回旋加速器內旋轉，旋轉軌道是半徑為r的圓，圓

心在O點，軌道在垂直紙面向外的勻強磁場中，磁感應強度為B.

為引出離子束，使用磁屏蔽通道法設計引出器.引出器原理如圖所示，一對圓弧形金屬板組成弧形引

出通道，通道的圓心位于0,點（0,點圖中未畫出）.引出離子時，令引出通道內磁場的磁感應強度降低，從而

使離子從P點進入通道，沿通道中心線從Q點射出.已知0Q長度為L,0Q與0P的夾角為0.

(1)求離子的電荷量q并判斷其正負；

(2)離子從P點進入，Q點射出，通道內勻強磁場的磁感應強度應降為B，，求B1

(3)換用靜電偏轉法引出離子束，維持通道內的原有磁感應強度B不變，在內外金屬板間加直流電壓，

兩板間產生徑向電場，忽略邊緣效應.為使離子仍從P點進入，Q點射出，求通道內引出軌跡處電場強度E

的方向和大小.

【答案】⑴含正電荷

Br(2r—2Lcos0)

⑵r2+L2—2rLcos0

Brv(21一2Lcos1)

⑶沿徑向向外Bv-r2+L2-2rLcos9

2

【解析】⑴離子做圓周運動，貝UBqv=%,得口=器

由左手定則知，離子帶正電.

(2)如圖所示

O'Q=R,OQ=L,O'O=R—r

引出軌跡為圓弧，

2

貝ljB-qv=^

根據幾何關系得

_r2+L2-2rLcos0

R=2r-2Lcos0

,mvBr(2L2LCOSL)

BqRr2+L2—2rLcos0

⑶電場強度方向沿徑向向外

2

引出軌跡為圓弧，則Bqv—Eq=^

Brv(2r—2Lcos0)

E=Bv

i2+L2—2rLcos0

考向三、速度選擇器、磁流體發電機和電磁流量計

1、速度選擇器

++++一一一一

XXXx,??

XXXX???

-zzz++++

(1)平行板中電場強度E和磁感應強度B互相垂直。(如圖7)

(2)帶電粒子能夠沿直線勻速通過速度選擇器的條件是qvB=qE,即v=全

(3)速度選擇器只能選擇粒子的速度，不能選擇粒子的電性、電荷量、質量。

(4)速度選擇器具有單向性。

2、磁流體發電機

(1)原理：如圖所示，等離子體噴入磁場，正、負離子在洛倫茲力的作用下發生偏轉而聚集在B、A板上,

產生電勢差，它可以把離子的動能通過磁場轉化為電能。

(2)電源正、負極判斷：根據左手定則可判斷出圖中的B是發電機的正極。

(3)電源電動勢E：設A、B平行金屬板的面積為S,兩極板間的距離為1,磁場磁感應強度為B,等離子體

的電阻率為P，噴入氣體的速度為v,板外電阻為R。當正、負離子所受電場力和洛倫茲力平衡時，兩極板

間達到的最大電勢差為U(即電源電動勢為U),則q?=qvB,即E=U=Blv。

(4)電源內阻：r=p(。

(5)回路電流：1=1+區。

3、電磁流量計

(1)流量(Q)的定義：單位時間流過導管某一截面的導電液體的體積。

(2)公式：Q=Sv；S為導管的橫截面積，v是導電液體的流速。

(3)導電液體的流速(v)的計算。

XXXqXXy

T

d

'()'XBXX上

XXX,XX。X

b

如圖所示，一圓柱形導管直徑為d,用非磁性材料制成，其中有可以導電的液體向右流動。導電液體中的自

由電荷（正、負離子）在洛倫茲力作用下發生偏轉，使a、b間出現電勢差，當自由電荷所受電場力和洛倫茲

力平衡時，a、b間的電勢差（U）達到最大，由4=qvB,可得v=嬴。

（4）流量的表達式：Q=Sv=^.七=嘿。

（5）電勢高低的判斷：根據左手定則可得cpa＞（pb?

【典例5】（2021?福建高考）一對平行金屬板中存在勻強電場和勻強磁場,其中電場的方向與金屬板垂直，磁

場的方向與金屬板平行且垂直紙面向里，如圖所示。一質子（tH）以速度vo自O點沿中軸線射入，恰沿中軸

線做勻速直線運動。下列粒子分別自O點沿中軸線射入，能夠做勻速直線運動的是（所有粒子均不考慮重力

的影響）（）

+++++++

A.以速度號射入的正電子住）B.以速度vo射入的電子（呢）

C.以速度2Vo射入的笊核價H）D.以速度4Vo射入的a粒子?He）

【答案】B

【解析】質子（舊）在平行板中運動時受到向上的洛倫茲力和向下的電場力，滿足qvoB=qE,解得Vo=^以

速度半射入的正電子（@,所受的洛倫茲力小于電場力，正電子將向下偏轉，故A錯誤；以速度vo射入的電

子（9e）,所受電場力等于洛倫茲力，做勻速直線運動，故B正確；以速度2Vo射入的笊核（汨）和以速度4Vo

射入的a粒子?He）,在平行板中所受的洛倫茲力都大于電場力，故都不能做勻速直線運動，故C、D錯誤。

【典例6】（2021.河北高考）如圖,距離為d的兩平行金屬板P、Q之間有一勻強磁場，磁感應強度大小

為Bi，一束速度大小為v的等離子體垂直于磁場噴入板間。相距為L的兩光滑平行金屬導軌固定在與導軌

平面垂直的勻強磁場中，磁感應強度大小為B2,導軌平面與水平面夾角為0,兩導軌分別與P、Q相連。質

量為m、電阻為R的金屬棒ab垂直導軌放置，恰好靜止。重力加速度為g,不計導軌電阻、板間電阻和等

離子體中的粒子重力。下列說法正確的是（）

A.導軌處磁場的方向垂直導軌平面向上，丫=芍黃：'

D1￡）21^0

mgRsin9

B.導軌處磁場的方向垂直導軌平面向下,

v二B|B2Ld

C.導軌處磁場的方向垂直導軌平面向上，V=黑普

mgRtan6

D.導軌處磁場的方向垂直導軌平面向下,

=B]B2Ld

【答案】B

【解析】由左手定則可知Q板帶正電，P板帶負電，所以金屬棒ab中的電流方向為從a到b,對金屬

棒受力分析可知，金屬棒受到的安培力方向沿導軌平面向上，由左手定則可知導軌處磁場的方向垂直導軌

平面向下，由受力平衡可知B2IL=mgsin0,而1=￡,而對等離子體受力分析有q^=qvBi，解得丫=蕾既：。

故B正確，A、C、D錯誤。

【典例7】（多選K2022?江蘇南通市5月第二次模擬）安裝在排污管道上的流量計可以測量排污流量Q,流量

為單位時間內流過管道橫截面的流體的體積，如圖12所示為流量計的示意圖。左右兩端開口的長方體絕緣

管道的長、寬、高分別為a、b、c,所在空間有垂直于前后表面、磁感應強度大小為B的勻強磁場，在上、

下兩個面的內側固定有金屬板M、N,污水充滿管道從左向右勻速流動，測得M、N間電勢差為U,污水

流過管道時受到的阻力大小f=kLv2,k是比例系數，L為管道長度，v為污水的流速。則（）

A.電壓U與污水中離子濃度無關

B.污水的流量

C.金屬板M的電勢低于金屬板N的電勢

D.左、右兩側管口的壓強差Ap=謹%

【答案】AD

【解析】污水中的離子受到洛倫茲力，正離子向上極板聚集，負離子向下極板聚集，所以金屬板M的

電勢大于金屬板N的電勢，從而在管道內形成勻強電場，最終離子在電場力和洛倫茲力的作用下平衡，即

qvB=qp解得U=cvB,可知電壓U與污水中離子濃度無關，A正確，C錯誤；污水的流量為Q=vbc=S

bc=^,B錯誤；污水流過該裝置受到的阻力為f=kLv2=ka鑒，污水勻速通過該裝置，則兩側的壓力差

,fka品kaU2「一

等于阻力，即Ap-bc=f,則AP=^=一口=器*,D正確。

練習5、（多選X2022?福建泉州4月質量監測）如圖，電磁流量計的測量管橫截面直徑為D,在測量管的上下

兩個位置固定兩金屬電極a、b,整個測量管處于水平向里的勻強磁場中，磁感應強度大小為B。當含有正、

負離子的液體從左向右勻速流過測量管時，連在兩個電極上的顯示器顯示的流量為Q（單位時間內流過的液

體體積），下列說法正確的是（）

液體8\麗.

~I一

U\I顯示器

A.a極電勢高于b極電勢

B.液體流過測量管的速度大小為親

C.a、b兩極之間的電壓為鬻

D.若流過的液體中離子濃度變高，顯示器上的示數將變大

【答案】AC

【解析】由左手定則可知，正離子向上偏轉，負離子向下偏轉，則a極電勢高于b極電勢，A正確；由

于Q=vS=v1nD2,解得液體流過測量管的速度大小為v=^,B錯誤；當達到平衡時^q=qvB,解得a、

b兩極之間的電壓為U=鬻，C正確；因a、b兩極間的電壓與流過的液體中的離子濃度無關，則當粒子

濃度變高時，顯示器上的示數不變，D錯誤。

練習6、（多選）（2022?江蘇省南通市高三下第三次調研汝口圖所示為磁流體發電機的原理圖，將一束等離子體

（帶有等量正、負離子的高速離子流）噴射入磁場，在磁場中有兩塊金屬板A、B,這時金屬板上就會聚集電

荷，產生電壓.如果射入的等離子體速度為v,兩金屬板間距離d,板的正對面積為S,勻強磁場的磁感應

強度為B,方向與速度方向垂直，負載電阻為R.當發電機穩定發電時電動勢為E,電流為I,則下列說法正

確的是（）

A.A板為發電機的正極

B.其他條件一定時，v越大，發電機的電動勢E越大

C.其他條件一定時，S越大，發電機的電動勢E越大

D.板間等離子體的電阻率為看（竿一R）

【答案】BD

【解析】大量帶正電和帶負電的微粒向里進入磁場時，由左手定則可以判斷正電荷受到的洛倫茲力向下，

所以正電荷會聚集的B板上，負電荷受到的洛倫茲力向上，負電荷聚集到A板上，故B板相當于電源的正

極，A板相當于電源的負極，故A錯誤；根據qvB=q。，得E=Bdv,電動勢E與速率v有關，與面積S

無關，故B正確，C錯誤；根據歐姆定律得：r=f-R=1p-R,依據r=p1則有等離子體的電阻率為p

（1）霍爾效應：高為h、寬為d的導體（或半導體）置于勻強磁場B中，當電流通過導體（或半導體）時，在

導體（或半導體）的上表面A和下表面A，之間產生電勢差，這種現象稱為霍爾效應，此電壓稱為霍爾電壓。

（2）電勢高低的判斷：導電的載流子有正電荷和負電荷兩種。以靠電子導電的金屬為例，如圖，金屬導

體中的電流I向右時，根據左手定則可得，下表面A，的電勢高。正電荷導電時則相反。

（3）霍爾電壓的計算：導體中的自由電荷在洛倫茲力作用下偏轉，A、A，間出現電勢差，當自由電荷所受

靜電力和洛倫茲力平衡時，A、A，間的電勢差（UH）就保持穩定。由qvB=qW，I=nqvS,S=hd,聯立得UH

=懸=號'k=看稱為霍爾系數。

【典例8】（2021?天津等級考?節選）霍爾元件是一種重要的磁傳感器,可用在多種自動控制系統中。長方

體半導體材料厚為a、寬為b、長為c,以長方體三邊為坐標軸建立坐標系xyz,如圖所示。半導體中有電荷

量均為e的自由電子與空穴兩種載流子，空穴可看作帶正電荷的自由移動粒子，單位體積內自由電子和空

穴的數目分別為n和p。當半導體材料通有沿+x方向的恒定電流后，某時刻在半導體所在空間加一勻強磁

場，磁感應強度的大小為B,沿+y方向，于是在z方向上很快建立穩定電場，稱其為霍爾電場，已知電場

強度大小為E,沿一z方向。

（1）判斷剛加磁場瞬間自由電子受到的洛倫茲力方向；

（2）若自由電子定向移動在沿+x方向上形成的電流為L，求單個自由電子由于定向移動在z方向上受到

洛倫茲力和霍爾電場力的合力大小Fnzo

【答案】（1）沿+z方向（2）e霜+E）

【解析】（1）自由電子受到的洛倫茲力沿+z方向。

（2）設t時間內流過半導體垂直于x軸某一橫截面自由電子的電荷量為q,由電流定義式，有卜=心

設自由電子在X方向上定向移動速率為Vnx，可導出自由電子的電流微觀表達式為In=neabVnx

單個自由電子所受洛倫茲力大小為F洛=0丫找：6③

霍爾電場力大小為F電=6￡

自由電子在z方向上受到的洛倫茲力和霍爾電場力方向相同，聯立②③④式，其合力大小為Fnz=

【典例9］（多選）（2022?江蘇省淮安市高三下第三次調研）自行車速度計利用霍爾效應傳感器獲知自行車的運

動速率。如圖甲所示，自行車前輪上安裝一塊磁鐵，輪子每轉一圈，這塊磁鐵就靠近傳感器一次，傳感器

會輸出一個脈沖電壓。圖乙為霍爾元件的工作原理圖。當磁場靠近霍爾元件時，導體內定向運動的自由電

荷在磁場力作用下偏轉，最終使導體在與磁場、電流方向都垂直的方向上出現電勢差，即為霍爾電勢差。

下列說法正確的是（）

霍爾連接到

傳感器『速度計

霍爾

電勢差

A.根據單位時間內的脈沖數和自行車車輪的半徑即可獲知車速大小

B.自行車的車速越大，霍爾電勢差越高

C.圖乙中霍爾元件的電流I是由正電荷定向運動形成的

D.如果長時間不更換傳感器的電源，霍爾電勢差將減小

【答案】AD

【解析】根據單位時間內的脈沖數可知車輪轉動的轉速，若再已知自行車車輪的半徑，根據v=2兀m,

即可獲知車速大小，A正確；根據霍爾原理可知，q=Bqv,U=Bdv,即霍爾電壓只與磁感應強度、霍爾元

件的厚度以及電子定向運動的速度有關，與車輪轉速無關，B錯誤；題圖乙中霍爾元件中的電流I是由電子

定向運動形成的，C錯誤；如果長時間不更換傳感器的電源，則會導致電子定向運動的速率減小，故霍爾電

勢差將減小，D正確。

練習7、（多選）（2022?江蘇省徐州市高三下第三次調研）霍爾式位移傳感器的測量原理如圖所示，有一個沿z

軸方向均勻變化的磁場，磁感應強度B=Bo+kz（Bo、k均為常數）.將霍爾元件固定在物體上，保持通過霍

爾元件的電流I不變（方向如圖所示），當物體沿z軸正方向平移時，由于位置不同，霍爾元件在y軸方向的

上、下表面的電勢差U也不同.貝!］（）

I

A.其他條件不變，磁感應強度B越大，上、下表面的電勢差U越大

B.k越大，傳感器靈敏度方越高

C.若圖中霍爾元件是電子導電，則下板電勢高

D.其他條件不變，電流I越大，上、下表面的電勢差U越小

【答案】AB

【解析】最終電子在電場力和洛倫茲力的作用下處于平衡，設霍爾元件的長寬高分別為a、b、c,有

RI

=qvB,電流的微觀表達式為I=nqvS=nqvbc,所以U=^b其他條件不變，B越大，上、下表面的電勢差

U越大.電流越大，上、下表面的電勢差U越大，故A正確，D錯誤；k越大，根據磁感應強度8=：8（）+

kz,知B隨z的增大而增大，根據u=焉知，B隨z的變化越大，即傳感器靈敏度翳越高，故B正確；霍

爾元件中移動的是自由電子，根據左手定則，電子向下表面偏轉，所以上表面電勢高.故C錯誤.

'經典好題］

1.（多選）（2022?浙江省溫州市高三二模）如圖所示，a、b是一對平行金屬板，分別接到直流電源的兩極上，使

a、b兩板間產生勻強電場（場強大小為E）,右邊有一塊擋板，正中間開有一小孔d,在較大空間范圍內存在

著勻強磁場，磁感應強度大小為B,方向垂直紙面向里.從兩板左側中點c處射入一束正離子（不計重力），

這些正離子都沿直線運動到右側，從d孔射出后分成三束，則下列判斷正確的是（）

XX?XXXXX

CX.屋9'_必"'X

xxxslxxx

b-B

XxiXXXXX

A.這三束正離子的速度一定不相同

B.這三束正離子的比荷一定不相同

C.a、b兩板間的電場方向一定由a指向b

D.若這三束離子改為帶負電而其他條件不變，則仍能從d孔射出

【答案】BCD

【解析】因為三束正離子在兩極板間都是沿直線運動的，電場力等于洛倫茲力，可以判斷三束正離子的速

度一定相同，且電場方向一定由a指向b,A錯誤，C正確；在右側磁場中三束正離子運動軌跡半徑不同，

可知這三束正離子的比荷一定不相同，B正確；若將這三束離子改為帶負電，而其他條件不變的情況下分析

受力可知，三束離子在兩板間仍做勻速直線運動，仍能從d孔射出，D正確.

2.（多選）（2022?浙江溫州一模）日本福島核電站的核泄漏事故，使碘的同位素131被更多的人所了解。利用

質譜儀可分析碘的各種同位素。如圖12所示，電荷量均為+q的碘131和碘127質量分別為mi和m2,它

們從容器A下方的小孔Si進入電壓為U的加速電場（入場速度忽略不計），經電場加速后從S2小孔射出，垂

直進入磁感應強度大小為B的勻強磁場中，最后打到照相底片上。下列說法正確的是（）

1311271附

I「I______

'、'、、，::

\、一二，

、、」B

A.磁場的方向垂直于紙面向里

B.碘131進入磁場時的速率為

C.碘⑶與碘127在磁場中運動的時間差值為駕蘆

D.打到照相底片上的碘131與碘127之間的距離為春、青亙一［^）

【答案】BD

1

【解析】根據左手定則知，磁場的方向垂直于紙面向外，選項A錯誤；根據動能定理有qU=，mv2,得v=

/2qU/2qU271m

m，碘131進入磁場時的速率vi=Nmi，選項B正確；由T=%F得，碘131與碘127在磁場中運

TiT2兀mi—m2mv1/2mU

動的時間差值為E—”■=一而一，選項C錯誤；由R=^=H\/飛一得，打到照相底片上的碘131與碘

2/2miU/2m2U

）

127之間的距離為2Ri-2R2=B（V~^T~\-0~~＞選項D正確。

3.（2022?安徽省示范高中考試）如圖所示為一種質譜儀的工作原理示意圖，此質譜儀由以下幾部分構成：

離子源、加速電場、靜電分析器、磁分析器、收集器。靜電分析器通道中心線MN所在圓的半徑為R,通

道內有均勻輻射的電場，中心線處的電場強度大小為E；磁分析器中分布著方向垂直于紙面，磁感應強度為

B的勻強磁場，磁分析器的左邊界與靜電分析器的右邊界平行。由離子源發出一個質量為m、電荷量為十q

的離子（初速度為零，重力不計），經加速電場加速后進入靜電分析器，沿中心線MN做勻速圓周運動，而后

由P點進入磁分析器中，最終經過Q點進入收集器（進入收集器時速度方向與02P平行）。下列說法正確的

是（）

A.磁分析器中勻強磁場的方向垂直于紙面向內

B.加速電場中的加速電壓U=1ER

，mER

C.磁分析器中軌跡圓心。2到Q點的距離d=

D.任何帶正電的離子若能到達P點，則一定能進入收集器

【答案】B

【解析】該離子在磁分析器中沿順時針方向轉動，所受洛倫茲力指向圓心，根據左手定則可知，磁分析器

中勻強磁場的方向垂直于紙面向外，A錯誤；該離子在靜電分析器中做勻速圓周運動，有qE=nrg,在加

速電場中加速有qU=1mv2,聯立解得U=±ER,B正確；該離子在磁分析器中做勻速圓周運動，有qvB=

my,又qE=m。可得『看該離子經Q點進入收集器，故d=r，警號C錯誤；任一初

速度為零的帶正電離子，質量、電荷量分別記為mx、qx,經U=^ER的電場后，在靜電分析器中做勻速圓

周運動的軌跡半徑Rx=R，即一定能到達P點，而在磁分析器中運動的軌跡半徑打=看小普，小的大小

與離子的質量、電荷量有關，不一定有rx=d,故能到達P點的離子不一定能進入收集器，D錯誤。

4.（2022?江蘇鹽城市第三次模擬）如圖所示，寬度為h、厚度為d的霍爾元件放在與它垂直的磁感應強度大小

為B的勻強磁場中，當恒定電流I通過霍爾元件時，在它的前后兩個側面之間會產生電壓，這樣就實現了

將電流輸入轉化為電壓輸出。為提高輸出的電壓，可采取的措施是（）

A.增大dB.減小d

C.增大hD.減小h

【答案】B

U

【解析】當自由電子受力穩定后，受到的電場力和洛倫茲力平衡，故qE=qvB,因為E=R,故U=Bhv,

IB

電流I=neSv=nehdv,聯立可得U=荷，故要使U變大，故需要減小d,與h無關。故選項B正確。

5.（2022?浙江嘉興一中高三測試）如圖所示，Xi、X2,Yi、Y2，Zi、Z?分別表示導體板左、右，上、下，

前、后六個側面，將其置于垂直Zi、Z2面向外、磁感應強度為B的勻強磁場中，當電流I通過導體板時，

在導體板的兩側面之間產生霍爾電壓UH.已知電流I與導體單位體積內的自由電子數n、電子電荷量e、導

體橫截面積S和電子定向移動速度v之間的關系為I=neSv.實驗中導體板尺寸、電流I和磁感應強度B保持

不變，下列說法正確的是（）

/z,

A.導體內自由電子只受洛倫茲力作用

B.UH存在于導體的Zi、Z2兩面之間

C.單位體積內的自由電子數n越大，UH越小

D.通過測量UH，可用R=,求得導體XI、X2兩面間的電阻

【答案】C

【解析】由于磁場的作用，電子受洛倫茲力，向丫2面聚集，在Y1、丫2平面之間累積電荷，在Y1、丫2之間

產生了勻強電場，故電子也受電場力，故A錯誤；電子受洛倫茲力，向丫2面聚集，在Y1、丫2平面之間累

積電荷，在Y1、丫2之間產生了電勢差UH，故B錯誤；電子在電場力和洛倫茲力的作用下處于平衡狀態，

有：qvB=qE,其中：E=^y（d為丫卜丫2平面之間的距離）根據題意，有：I=neSv,聯立得到：UH=Bvd

=B;^d8；,故單位體積內的自由電子數n越大，UH越小，故C正確；由于UH=B;^d,與導體的電阻無

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