第13講兩條直線平行和垂直的判定3種常見考法歸類

----------------------

學習目標

------------------------

能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.

1第基礎知￡

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知識點1兩條直線平行

對于兩條不重合的直線/l，h，其斜率分別為內，人2,有/1〃/2+1=如

注：（1）/1〃/2+1=依成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在.②與/2不重合.

（2）當兩條直線不重合且斜率都不存在時，乙與6的傾斜角都是90。，貝必IIL

（3）兩條不重合直線平行的判定的一般結論是：4||%=42或4，4斜率都不存在.

知識點2兩條直線垂直

如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于一1；反之，如果它們的斜率之積

等于一1,那么它們互相垂直，即/」，小142=-1.

注：（1）飽=一1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在.②%1切且無加.

（2）兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直.

（3）判定兩條直線垂直的一般結論為：

6=匕?&=-1或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零.

||豳解題策略

---------------------UII1IIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1、兩條直線平行的判定及應用

公=近今/1〃/2是針對斜率都存在且不重合的直線而言的，對于斜率不存在或可能不存在的直線，要注

意利用圖形.

2、利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法

(1)一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在只需看另一條直線的兩點

的縱坐標是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進行第二步.

(2)二代：就是將點的坐標代入斜率公式.

(3)三求：計算斜率的值，進行判斷.尤其是點的坐標中含有參數時，應用斜率公式要對參數進行討

論.

3、利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟

l|Q考點剖析？

------------------lllllllllllllillllllillllllllllllllllllll-----------------------

考點一：兩條直線平行的判定及應用

(一)兩條直線平行的概念辨析

例1.(2023?高二課時練習)下列說法正確的是()

A.兩條直線的斜率相等是這兩條直線平行的充要條件

B.兩條直線的傾斜角不相等是這兩條直線相交的充要條件

C.兩條直線平行是這兩條直線的傾斜角相等的充要條件

D.兩條直線平行是這兩條直線的法向量平行的充要條件

【答案】B

【分析】根據直線平行和相交的條件依次判斷即可.

【詳解】當兩條直線的斜率相等且截距也相等時，兩直線重合，故A錯誤;

的傾斜角不相等，則兩直線必定相交，反之也成立，故B正確；

傾斜角相等時，兩直線可能重合，故C錯誤；

法向量平行時，兩直線可能重合，故D錯誤.

故答案為：B

變式1.（2023秋?北京?高二人大附中?？计谥校┤?與6為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為四，%，

斜率分別為左，k2,則下列命題

①若1、〃1，則斜率匕=e；②若斜率尤=心，則4〃小

③若4〃,則傾斜角=?2；④若傾斜角％=%，則4〃，2，

其中正確命題的個數是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據兩條直線平行的判定方法與結論即可判斷.

【詳解】由于4與4為兩條不重合的直線且斜率分別為K，"所以41%=《=占，故①②正確；

由于4與4為兩條不重合的直線且傾斜角分別為四,%,所以4=%=%，故③④正確，

所以正確的命題個數是4.

故選：D.

變式2.【多選】（2023秋?新疆喀什?高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學?？计谥校┤粢遗c4為兩條不重

合的直線，則下列說法中正確的有（）

A.若〃則它們的斜率相等B.若4與4的斜率相等，則

C.若I川2,則它們的傾斜角相等D.若4與4的傾斜角相等，則

【答案】BCD

【分析】由兩直線斜率不存在可知A錯誤；根據兩直線平行與斜率和傾斜角的關系可知BCD正確.

【詳解】對于A,當4和4傾斜角均為|■時，但兩直線斜率不存在，A錯誤；

對于B,若4和4斜率相等，則兩直線傾斜角相等，可知〃〃2,B正確；

對于C,若可知兩直線傾斜角相等，C正確；

對于D,若兩直線傾斜角相等，則兩直線斜率相等或兩直線斜率均不存在，可知4/%，D正確.

故選：BCD.

(二)兩條直線平行關系的判定

例2.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))判斷下列各題中直線4與4是否平行.

(1)4經過點A(-l,—2),8(2,1),'經過點”(3,4),7V(-1-1)；

(2)4經過點A(-3,2),8(-3,10),'經過點M(5,-2),N(5,5).

【答案】(1)不平行

⑵平行

【分析】(1)求出勺、紜，即可判斷；

(2)求出4、4的方程，即可判斷.

-2-1

【詳解】(1)因為4經過點4-1,-2),5(2,1),所以勺=_^=1,

-1—2

-1-45

又4經過點河(3,4),M-1,-1),所以兒=-4=?，

因為先產醺，所以4與4不平行；

(2)直線4經過點A(-3,2),8(-3,10)的方程為％=_3,

直線4經過點M(5,-2),N(5,5)的方程為工=5,

故直線乙和直線4平行;

變式1.(2023秋?高二課前預習)根據下列給定的條件，判定直線4與直線4是否平行或重合:

(1)4經過點4(2,3),3(T,0)；4經過點〃(-3,1),N(-2,2)；(

4的斜率為-;，4經過點A(4,2),以2,3)；(

)

(3)4平行于y軸，4經過點尸(0，-2),<2(0,5)；()

(4)4經過點E(O,1),F(-2,-l),4經過點G(3,4),H(2,3).()

【答案】不平行平行或重合平行重合

【分析】根據過兩點的直線的斜率公式，計算直線的斜率，根據斜率的關系，并注意直線是否重合，可判

斷(1)(2)(4)；當兩直線斜率都不存在時，看它們是否重合，即可判斷(3).

3-012-1

【詳解】(1)kAB==1,

2-(-4)-2'-2-(-3)

kAB*kMN>所以4與4不平行.

13-21

(2)/］的斜率《=-彳，4的斜率右=丁==-不，即匕=%2,無法判斷兩直線是否重合,

22—42

所以4與4平行或重合.

(3)由題意，知4的斜率不存在，且不是y軸，4的斜率也不存在，恰好是y軸，

所以“4.

-1-13-4

(4)由題意，知原尸=不==1,kGH=^—=l,所以4與4平行或重合.

—2—02—3

4-(-1)

需進一步研究E,F,G,H四點是否共線，k=)=1.所以E,F,G,H四點共線，所以《與

FG3-(-2)

6重合.

變式2.【多選】(2023秋?高二課時練習)滿足下列條件的直線4與&一定平行的是()

A.4經過點4-L-2),8(2,1),4經過點M(3,4),M-1-D

B.乙的斜率為1,4經過點ACM),8(2,2)

C.乙經過點AQ1),8(1,0),4經過點M(-l,3),N(2,0)

D.4經過點4一3,2),3(-3,10),/2經過點/(5,-2),N(5,5)

【答案】CD

【分析】求出設直線4的斜率為左，直線4的斜率為心.根據斜率是否相等，即可判斷直線的位置關系；

【詳解】設直線4的斜率為左，直線4的斜率為質.

,1-(-2)-1-45_

對于A.=-一m=l，h=—,k\手k?,/］與4不平行.

對于B,k=1,k=—-=1,k=k,故/J/4或4與6重合

22—1x2

0-10-33-1

對于C，K=-=~^&=不丁X=T，則有又KM==-2力一1,則A,B,M不共線.故

1—02—(—1)—1—0

I川2.

對于D,由已知點的坐標，得4與4均與x軸垂直且不重合，故有“4.

故選：CD

變式3.(2023秋.高二課時練習)過點4(1,2)和點3(-1,2)的直線與直線廣3的位置關系是()

A.相交B.平行C.重合D.以上都不對

【答案】B

【分析】先求出直線方程，再結合斜率直接判斷兩直線位置關系即可.

【詳解】過點4。,2）和點3（-1,2）的直線方程為y=2,斜率為0,

又因為直線'=3斜率為0,所以兩直線平行.

故選：B

變式4.（2023?全國?高二專題練習）判斷出1,3）,8（3,7）,C（4,9）三點是否共線，并說明理由.

【答案】共線，理由見解析.

【分析】根據直線斜率公式進行求解即可.

【詳解】這三點共線，理由如下：

由直線斜率公式可得：kAB=^=2,kAC=^-=2,

直線AB,AC的斜率相同，所以這兩直線平行，但這兩直線都通過同一點41,3）,

所以這三點共線.

（三）已知兩條直線平行求參數

例3.（2023秋?廣東廣州?高二廣州市培正中學?？计谥校┮阎本€4的傾斜角為30。，直線〃上，

則直線4的斜率為（）

A.73B.-73C.BD.-也

33

【答案】C

【分析】利用直線的斜率公式與直線平行的性質求解即可.

【詳解】因為直線4的傾斜角為30。，所以勺=tan30o=3，

43

又“4,所以號=勺=走.

l2n3

故選：C.

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知過4-2,加）和8Q”,4）的直線與斜率為一2的直線平行，則機的值

是（）

A.-8B.0C.2D.10

【答案】A

【分析】由兩點的斜率公式表示出直線AB的斜率右B，再由兩直線平行斜率相等列出等式，即可解出答案.

4—m

【詳解】由題意可知，KB=Y=-2,解得加=-8.

m+2

故選：A

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線4的傾斜角為45。，直線4的斜率為左=m2-3,若h〃％,則

m的值為.

【答案】±2/2或-2/-2或2

【分析】由直線傾斜角由斜率的關系可知直線4的斜率為匕=tan450,再由兩直線平行，斜率相等列出等式，

即可求出答案.

【詳解】由題意知加-3=tan45。，解得加=±2.

故答案為：±2

考點二：兩條直線垂直的判定及應用

（一）兩條直線垂直的概念辨析

注21例也【多選】（2023秋?高二課時練習）下列說法中，正確的有（）

A,斜率均不存在的兩條直線可能重合

B.若直線乙，％則這兩條直線的斜率的乘積為T

C.若兩條直線的斜率的乘積為-1,則這兩條直線垂直

D.兩條直線心4,若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，貝必，4

【答案】ACD

【分析】利用直線重合與垂直的性質，同時考慮直線斜率不存在的情況，對選項逐一分析判斷即可.

【詳解】對于A,若4：x=O，：2x=O,貝I"，斜率均不存在，但兩者重合，故A正確；

對于BD,若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，則這兩條直線互相垂直，但此時乘積不為-1,

故B錯誤；D正確；

對于C,根據直線垂直的性質可知，兩直線的斜率存在，且乘積為-1時，這兩條直線垂直，故C正確.

故選：ACD.

變式1.【多選】（2023秋?高二課時練習）下列說法中正確的有（）

A.若兩直線平行，則兩直線的斜率相等

B.若兩直線的斜率相等，則兩直線平行

C.若兩直線的斜率乘積等于-I,則兩直線垂直

D.若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于-1

【答案】BC

【分析】根據直線斜率與位置關系的相關知識直接判斷即可.

【詳解】對于A,兩直線平行，可以是斜率都不存在，所以A錯誤；

對于B,若兩直線的斜率相等，則兩直線平行，所以B正確；

對于C,若兩直線的斜率乘積等于-1,則兩直線垂直，故C正確；

對于D,若兩直線垂直，可能是一條直線斜率為0,另一條直線斜率不存在，則不是兩直線的斜率乘積等于

-1,故D錯誤；

故選：BC

變式2.（2023?高二課時練習）下列說法中，正確的是（）

A.每一條直線都有傾斜角和斜率

B.若直線傾斜角為a,則斜率為tana

C.若兩直線的斜率左，心滿足尢&=-1,則兩直線互相垂直

D.直線4:尤-2>-1=0與直線4：x-2y+m=0（meR）一定互相平行

【答案】C

【分析】根據直線的傾斜角與斜率的定義及關系，以及兩直線的位置的判定方法，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，每條直線都有傾斜角，當傾斜角為90。，直線的斜率不存在，所以A錯誤；

對于B中，當直線傾斜角為a=90。，此時直線的斜率不存在，所以B錯誤；

對于C中，若兩直線的斜率分別為左，k2,當上的=-1，則兩直線互相垂直，所以C正確；

對于D中，當，"=一1時，直線4：x-2y-l=O與直線/2：x-2y+"?=0為重合直線，所以D錯誤.

故選：C.

（二）兩條直線垂直關系的判定

例5.【多選】（2023秋?浙江杭州?高二杭師大附中?？计谥校┫铝兄本€4,4互相垂直的是（）

A.4的斜率為-：，4經過點A（l,l）,B[Q,I

B.4的傾斜角為45。，'經過點尸（-2,-1）,。（3,-6）

C.4經過點M(L0),N(4,-5),6經過點R(-6,O),S(-1,3)

D.乙的斜率為2,4經過點U(1，2)V(4,8)

【答案】ABC

【分析】由傾斜角與斜率的關系求出直線斜率，由兩點坐標求出直線斜率，分別判斷兩直線斜率之積是否

為-1,從而可選出正確答案.

_J__i23

【詳解】6的斜率為2_3,因為_；x：=T,所以4成立，故A正確；

0-12

4的斜率為區(qū)=tan450=1,Z2的斜率為k2=4/=?=[=-1,由柩2=-1,

則乙，/2成立，故B正確；

-5573-03

4的斜率為勺=/=—；,4的斜率為％2=1(芯=:,由％的=一1

4-13-1一(一”3

則4,4成立，故c正確；

4的斜率為％===2,由2x2w—l,所以《工/?不成立，故D錯誤.

4-1

故選：ABC.

變式1.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由.

(1)4經過點A(-3,-4),8(1,3)4經過點/(T,-3),N(3,1)；

(2乂經過點43,4),8(3,10),右經過點川(-10,40),N(10,40).

【答案】(1)不垂直，理由見解析

(2)垂直，理由見解析

【分析】(1)由題知直線4，4的斜率存在，分別計算出乙、4的斜率，即可判斷(1)組直線不垂直；

(2)由題知4,無軸,6II無軸,即可判斷(2)組直線垂直.

【詳解】(1)由題知直線4，乙的斜率存在，分別設為匕，月，

3-(-4)7

左一匚b"

1-(-3)4

..k、*k?=1,

二/1與4不垂直.

(2)由題意知4的傾斜角為90。,

則4_Lx軸;

由題知直線4的斜率存在，設為小，

40-40

=0,

10-(-10)

則，2吐軸,

/11/2.

變式2.(2023秋?廣東?高二校聯考階段練習)判斷下列直線4與是否垂直：

(1)4的傾斜角為g,4經過M(-4,一百)，N,2石)兩點；

(2)4的斜率為6經過“3,-2),。(-6,4)兩點；

13

(3)4的斜率為-針4的傾斜角為a,a為銳角，且tan2a=-“

【答案】(1)4,4

(2)4與6不垂直

(3)4，4

【分析】(1)4的斜率為tang=-石，根據過兩點的斜率公式可求右的斜率，判斷斜率的乘積是否為-1即

可；

(2)根據過兩點的斜率公式可求4的斜率，判斷斜率的乘積是否為-1即可；

(3)根據二倍角的正切公式求出tan夕的值，判斷斜率的乘積是否為-1即可.

(1)

因為4的傾斜角為2三7r，所以《的斜率為tan2兀^=-右I~.

所以，2的斜率為2?-卜石)=B.

5-(-4)3

因為-gx3=-1,所以口兒

3

(2)

因為乙經過尸(3,-2),。(一6,4)兩點，

所以/，的斜率為上七9=二.

-6-33

因為4的斜率為-1,且＞T,

所以4與4不垂直.

(3)

3

記，2的斜率為上，因為tan2a=-“

所以Dk=3解得左=3或女=一1：

1-k43

因為。為銳角，所以左=3.

因為4的斜率為-g,且3x[-.=-!,

所以㈠和

變式3.(2023秋?福建三明?高二校聯考期中)已知直線4經過A(-3,2),8(1,-2)兩點，直線'傾斜角為45。，

那么4與'()

A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直

【答案】B

【分析】根據兩點求出直線4的斜率，根據傾斜角求出直線'的斜率，可知斜率乘積為-1,從而得到垂直關

系.

【詳解】由題意可得：直線《的斜率勺=三=1=-1,直線。的斜率L=tan450=l,

-3-1

kxk2=-1,則《與12垂直.

故選：B.

變式4.【多選】(2023?江蘇?高二假期作業(yè))以A(-U),5(2,-1)C(1,4)為頂點的三角形，下列結論正確的

有()

2

kAB=~~

B.kBC=-^

C.以A點為直角頂點的直角三角形

D.以8點為直角頂點的直角三角形

【答案】AC

【分析】對于AB,利用斜率公式計算判斷，對于C,通過計算七丁心c判斷，對于D,通過計算第/左吹判

斷.

【詳解】對于A,因為8（2,7）,所以砥^=上甘=-],所以A正確，

—1—23

-1-41

對于B,因為8（2,-l）,C（l,4）,所以=所以B錯誤，

21-4322

對于C,因為=--=-＞所以配此。=-￡￡=-1,

所以AB工AC,所以AABC以A點為直角頂點的直角三角形，所以C正確，

2

對于D,因為左鉆=一§,kBC=-5,所以G,原c^T，所以D錯誤，

故選：AC

變式5.（2023秋?上海奉賢?高二?？茧A段練習）已知直線44的斜率是方程x2-px-2=0的兩個根,則（）

A.l}1/2B./J4

C.4與4相交但不垂直D.4與4的位置關系不確定

【答案】C

【分析】由左右=-2可知兩直線不垂直，且左尸公知兩直線不平行，由此可得結論.

【詳解】設直線hk的斜率為《&，則匕心=-2,

?.飛人2W一1，，/112不垂直，A錯誤；

若占=取,則左/2=620,與左向=一2矛盾，.?.（工后2，，/112不平行，B錯誤；

，2不平行，也不垂直，4相交但不垂直，C正確，D錯誤.

故選：C.

變式6.【多選】（2023春.廣西柳州?高二?？茧A段練習）（多選）若A（T,2）,3（6,Y）,C（12,6）,￡＞（2,12）,

下面結論中正確的是（）

A.AB//CDB.AB±ADC.|AC|=|BD|D.AC//BD

【答案】ABC

【分析】通過點的坐標得到相應直線的斜率，通過直線斜率判斷直線的位置關系即可.

【詳解】-4工-了2=一3￡，kcD=122^-E6=~3T且。不在直線A3上，???AB〃CD，故A正確;

12-25心

又?^AD=2+4=§，***AB?^AD=-1,,,AfiJ_AD,故B正確；

VAC=(16,4),而=(T,16),

.,.|AC|=4A/17,|BD|=4^7,A\AC\=\BD\,故C正確；

T7??76—21j12+4.jj_.

又?'c=12+4=4'%B0=o—6=Y''?卜卷'^BD=一1

AAC±BD,故D錯誤.

故選:ABC.

（三）已知兩直線垂直求參數

例6.（2023春?甘肅蘭州?高二蘭州五十九中?？奸_學考試）已知經過點A（-2,0）和點B（l,3o）的直

線4與經過點P（0,-l）和點。的直線6互相垂直，則實數。的值為（）

A.0B.1C.0或1D.一1或1

【答案】C

【分析】求出直線4的斜率為左=。，分。/0、。=0兩種情況討論，在awO時，由兩直線斜率之積為-1可

求得實數。的值；在。=0時，直接驗證4,4.綜合可得結果.

,3a—0

【詳解】直線4的斜率K=匚d=".

①當aw0時，直線的斜率公=—（T）=….

a-0a

因為/口/,,所以張，=-1,即分上2=一1,解得a=i.

a

②當a=0時，F（O,-1）,<2（0,0）,此時直線6為V軸，

又4（-2,0）、5（1,0）,則直線4為x軸，顯然切

綜上可知，。=0或1.

故選：C.

變式1.（2023秋?高二課時練習）已知直線4經過點A（3,a）,3（。-2,3）,直線&經過點C（2,3）,D（-l,a-2）,

若（J.%則a的值為.

【答案】。或5

【分析】分類討論直線4斜率不存在與存在兩種情況，結合直線垂直的性質即可得解.

【詳解】因為直線4經過點C（2,3）,D（—l,a-2）,且22—1,所以'的斜率存在，

而4經過點A（3,o）,B（o-2,3）,則其斜率可能不存在，

當4的斜率不存在時，a-2=3,即。=5,此時4的斜率為0，貝必，4，滿足題意；

當4的斜率存在時，a-2H3,即aw5,此時直線4%的斜率均存在，

由口6得他=-1,即f3—ci￥a—2—3=_!,解得。=o；

a—2-3-1-2

綜上，a的值為0或5.

故答案為：?；?.

變式2.（2023秋?高二課時練習）已知直線/的傾斜角為135。，直線4經過點43,2）,B（a,-1）,且4與/

2

垂直，直線/,：y=-；x+i與直線4平行，貝以+匕等于（）

b

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】B

【分析】由直線/的傾斜角為135。，4與/垂直可得勺，再由直線4與直線4平行求得人由4過A，8求得。，

進而求。+少.

【詳解】由題意知：^,=tanl35°=-l,而4與/垂直，即勺=1,

92

又直線4：y=-不X+1與直線4平行，貝『7=1，故b=—2,

bb

又4經過點43,2）,B（a-1）,則勺=土2=1,解得。=0,

1a-3

所以〃+/?=-2.

故選：B.

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知AABC的頂點為A（5,-l）,B（l,l）,C（2,⑼，是否存在相"使疑。

為直角三角形，若存在，求出根的值；若不存在，說明理由.

【答案】存在，加=-7或機=3或加=±2

【分析】對AABC的直角進行討論，利用兩直線垂直的斜率關系即可求出結果.

若A為直角，則

**-kAC,kAB=T，

,m+11+1-

Q即rq---=-h斛得根=一7；

2—31—5

若8為直角，則3CLAB,

,?%BC，^AB=-1，

m—11+1rh-n/X=ic

a即ri-—-----=-1,解得力2=3；

2-11-5

若。為直角，則AC15C,

kAC,kjBC=一'，

m+1m—1

即--------------=-1解得MI=i2.

2-52-1

綜上所述，存在“=-7或%=3或機=±2,使AABC為直角三角形.

變式4.（2023秋?青海海東?高二?？计谥校┮阎c人（-2,2）,8（6,4）,打（5,2）,”是“1SC的垂心.則點

C的坐標為（）

A.（6,2）B.（-2,2）C.（工一2）D.（6,-2）

【答案】D

【分析】先設點C的坐標，再求出直線3”，AH的斜率，則可求出直線AC的斜率和直線3c的傾斜角，聯

立方程組求出C的坐標；

2—?

【詳解】設C點標為（x,y）,直線48斜率須H=o=。，

BCLAH,而點2的橫坐標為6,則無=6,

匕=2,

直線5"的斜率須”二

6-5

>-2

二直線AC斜率3c=

6+221

y=-2,

???點C的坐標為（6,-2）.

故選:D.

變式5.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知兩點42,0）,8（3,4）,直線/過點8,交〉軸于點C（O,y）,。是坐

標原點,且0,A,B,C四點共圓，那么y的值是.

%75

【答案】

【分析】由題易知OC_LQ4,即AC為圓的直徑，即ABL3C,由陽B?BC=T列出方程，即可求出答案.

【詳解】由題易知OCLQ4,即AC為圓的直徑，^ABIBC,

,,'&BC=-1>

即「4—0巖4—V=7,解得y=19

T

19

故答案：—.

4

變式6.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知N（2,2）,P（3,0）.

（1）求點。的坐標，滿足PQLMN,PN〃MQ；

⑵若點。在x軸上，旦2NQP=NNPQ,求直線的傾斜角.

【答案】（1）。（0,1）

(2)90°

【分析】（1）根據兩直線的垂直關系和平行關系即可求出結果;

（2）根據條件可得3Q=-左稗即可求出結果.

【詳解】（1）設Q（x,y）,

由已知得配v=與早=3,

2—1

又PQ1MN,可得3N?怎°=T，

即一-—x3=—1(%W3).①

x-3

由已知得怎N=g=-2,

又PN〃MQ,可得%v=32，

即出=-2(尤wl).②

聯立①②解得x=O,y=l,

：.2(0,1).

(2)設。(x,0),

,/ANQP=ZNPQ,

9

又,."N2=—'%=一2,

解得X=1.

2（1,0）,

又：

/.MQ1x軸，

故直線V。的傾斜角為90。.

變式7.【多選】（2023秋?廣西貴港?高二校考階段練習）已知等腰直角三角形ABC的直角頂點為C（3,3）,

點A的坐標為（0,4）,則點8的坐標可能為（）

A.（2,0）B.（6,4）C.（4,6）D.（0,2）

【答案】AC

【分析】根據三角形ABC為等腰直角三角形列方程組，即可求解.

【詳解】設3（%V）,由題意可得

Hx二-1?

3%-y-6=0?

x-30-3,可化為

(X-3)2+(J-3)2=10

解得：｛；［；或［；］：，即3（2,。）或84,6）.

故選：AC

考點三：兩直線平行與垂直的綜合應用

小^例7.【多選】（2023秋?廣西欽州?高二浦北中學統考期末）已知兩條不重合的直線/仆=%》+4,

l2:y=k2x+b2,下列結論正確的是（）

A.若4〃4，則&=&B.若左嚴修,貝必〃4

C.若桃2=1，則D.若H則秘2=-1

【答案】ABD

【分析】根據直線的位置關系與斜率關系即可判斷.

【詳解】對A,若1,〃％,則左=心，故A正確;

對B,若h=右,又兩直線不重合，貝必〃，2,故B正確;

對C,若匕&=1，貝也與4不垂直，故C錯誤;

對D,若則她=-1,故D正確.

故選:ABD.

變式1.【多選】（2023秋?山東濟南?高二?？计谥校┤粢遗c4為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是%,%，

斜率分別為尢，%,則下列命題正確的是（)

A.若斜率匕=網,則B.若上的=T，貝以14

C.若傾斜角a,=a2,則k//12D.若%+a2=7i,貝必_L12

【答案】ABC

【分析】根據兩直線傾斜角和斜率與直線平行和垂直的關系分別判斷選項ABC,舉反例可判斷D.

【詳解】對于A,若兩直線斜率匕=履，則它們的傾斜角%=%，則正確;

對于B,由兩直線垂直的條件可知，若左1履=-1,則4_LZ2,正確;

對于C,由兩直線平行的條件可知，若傾斜角多=%,則4〃和正確；

、712兀

對于D,若%+a?—兀，不妨?。?1，％=9

則左］=tan%=百，攵2=34=-百，不滿足左1左2=-1，4,4不垂直，D錯誤,

故選：ABC

小2|例8.（2023秋?全國?高二期中）已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）三點，則AABC為三角形.

【答案】直角

【分析】根據直線斜率關系即得.

【詳解】如圖，猜想是直角三角形,

由題可得邊AB所在直線的斜率kAB=-1，邊BC所在直線的斜率kBC=2,

由kABkBc=T，得AB，sc,即ZABC=90。，

所以AABC是直角三角形.

故答案為：直角.

變式1.（2023秋?河南商丘?高二校聯考期中）若A（5,-l）,網1,1）,C（2,3）,則AASC的外接圓面積為.

【答案】彳25萬

4

【分析】由斜率得AB13C,從而可得AC是直角三角形的斜邊，也是AABC的外接圓的直徑，求得AC長

后得圓半徑，從而得圓面積.

-1-113-1

【詳解】A《=^^=一彳，k=—=2,k-k=-l,J.AB1BC,AC是直角三角形的斜邊，也是AABC

5-12BC2—1ABBC

的外接圓的直徑,

|AC|=7(5-2)2+*4(-l-3)2=5,外接圓半徑為廠=用=|,

圓表面積為S=4?/=4?X§)2=25?.

故答案為：子25萬.

4

變式2.(2023秋?高二課時練習)以A(-2,-1)](4,2),。(2,6),D(-3,1)為頂點的四邊形是()

A.平行四邊形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形D.直角梯形

【答案】D

【分析】先在坐標系內畫出A8CO點，再根據對邊和鄰邊的位置關系判斷四邊形A8CD的形狀.

【詳解】

1+16-2

在坐標系中畫出A8CD點，大致如上圖，其中您n=-2、k=-2,=k,AD/IBC,

-3+2BC2-4BC

2+11

^AB------=—,k,?*k=_1,AB_LBC,

4+22BCc

\AD\=J(-2+3)2+(-l-l)2:底忸C|二J(4—2『+(2—6)2;而w\AD\,

所以四邊形ABCD是直角梯形;

故選：D.

變式3.(2023?高二課時練習)已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C,。四點構成的四邊形是平行四邊形,

求點D的坐標.

【答案】(7,答或(-1,9)或(3,-3).

【分析】由題意分類討論，根據直線的斜率即可求出點。的坐標.

【詳解】由題，A(1,3),B(5,1),C(3,7),

所以AAC=2,kBC=~3,

設。的坐標為(尤，y),分以下三種情況：

①當BC為對角線時，有kCD=kAB,kBD=kAC,

x—5x-3

得47,y=5,即。(7,5)

②當AC為對角線時，有kCD=kAB,kAD=kBC,

1

所以，KAD=T=_J，KCD=------=--

x-ix-32

得x=-1,產9,即￡>(-1,9)

③當AB為對角線時，有kBD=kAC,kAD=kBC

所以即0=^4=2，kAD==-3,

x—5x-1

得x=3,y=—3,即Z)(3,-3)

所以。的坐標為(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

變式4.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))己知四邊形MNPQ的頂點坐標為M(l,l),N(3,-l),P(4,0),Q(2,2),求證：

四邊形腦VP。為矩形.

【答案】證明見解析

【分析】先利用斜率的關系證明兩組對邊分別平行，可得四邊形為平行四邊形，再由一組鄰邊所在的直線

的斜率乘積為-1,可得一組鄰邊垂直，從而可得結論.

【詳解】因為尸(4,0),。(2,2),

rrpi>_1一(_1)_1I_2_0__1—2__-1-0_

所以《MN--"；~丁__l，kpQ-1，"M2一"i__、_\，kpN->

N

所以%=,kMQ=kPN,

所以腦V〃P。，MQ//NP,

所以四邊形MNP。為平行四邊形，

因為%獷右。=T，

所以

所以四邊形MNP。為矩形.

變式5.(2023秋?廣東廣州,高二廣州市培正中學校考期中)已知四邊形MNP。的頂點

M(l,l),N(3,-l),P(4,0),e(2,2).

⑴求斜率與斜率心°;

(2)求證：四邊形MNPQ為矩形.

【答案】(1)L=T，%=一1

(2)證明見解析

【分析】(1)利用斜率公式求解即可;

(2)利用直線平行與垂直的性質依次證得MN//P。，MQ//NP,MNA.MQ,從而得證.

【詳解】(1)因為M(l,l),N(3,-l),P(4,0),Q(2,2),

_1_19_0

所以上_7=_l，kpQ=\―7=_］，即&WN=_1/PQ=-1

J—1Z—4

(2)因為七N=T，⑥°=T，所以MN//PQ.

2-1-1-0

又因為%"2===1,%稗=^^=1,所以MQUNP,

2—13—4

所以四邊形MNPQ為平行四邊形,

又因為j“2=一1，所以

所以四邊形"NP。為矩形.

變式6.(2023?高二課時練習)(拓廣探索)在平面直角坐標系中，四邊形OPQR的頂點坐標按逆時針順

序依次為0(。，。)，P(U),e(l-2Z,2+f),火(-2r,2),其中f>0.則四邊形0尸。底的形狀為.

【答案】矩形

【分析】根據點的坐標計算斜率，利用斜率相等得到直線平行，再根據矩形的判定，即可得到答案;

【詳解】由斜率公式得心,=f軍-0=乙％RQ2-(2+r)_-t2-0_1

1—0-2t-0t

.2+f—t2_1

2匚耳I

~~2tt

所以卜3=卜股,kQR=kPQ,從而OP//RQ,ORHPQ.所以四邊形OPQR為平行四邊形.

又如k%R=-l,所以OP，。?，故四邊形OPQR為矩形.

故答案為：矩形.

V

變式7.(2023?全國?高二專題練習)用坐標法證明：菱形的對角線互相垂直.

【答案】證明見解析

【分析】建立坐標系，根據得出的C"B0=T，從而證明菱形的對角線互相垂直.

【詳解】以AB為無軸，過A作AB的垂線為y軸，如圖，建立平面直角坐標系，設各點坐標分別為

A(0,0),B(b,0),D(a,c),C(a+b,c),k=—,k,

ACa+bBDa-b

因為四邊形是菱形|AS|=|AD|,所以/+°2=62

所以AC/BD,菱形的對角線互相垂直.

|］總過關檢測門:

-------------------lllllllllllillllllllllllllllllllillllllll------------------------

一、單選題

1.(2023?全國?高二專題練習)下列說法中正確的是()

A.若兩條直線斜率相等，則它們互相平行

B.若4〃4，則勺=醺

C.若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交

D.若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行

【答案】C

【分析】根據直線平行和斜率之間的關系對選項一一判斷即可得出答案.

【詳解】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯誤；

若4〃4,則4="或4，4的斜率都不存在，B錯誤;

若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，c正確;

若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯誤.

故選：c.

2.（2023?高二課時練習）“直線4與4平行''是"直線乙與4的斜率相等''的（）條件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

【答案】D

【分析】根據直線平行與斜率之間的關系，逐個選項進行判斷即可.

【詳解】充分性：直線4與平行，但是4和4都沒有斜率，即當4和4都垂直于無軸時，4與4仍然平行,

但是，此時不滿足直線4與4的斜率相等，故充分性不成立;

必要性：直線4與、的斜率相等，則直線4與4平行或重合，故必要性不成立；

綜上，“直線4與12平行”是“直線4與k的斜率相等”的既非充分又非必要條件.

故選：D

3.（2023?全國?高二專題練習）已知443）,2（2,5）,C（6,3）,3（-3,0）四點,若順次連接A,B,C,3四點,

則四邊形的形狀是（）

A.平行四邊形