第02講基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)法則

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能運(yùn)用公

式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算

2.掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，并能運(yùn)用法則求復(fù)雜素養(yǎng).

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.借助復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的學(xué)習(xí)，提升邏輯推

3.掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

導(dǎo)數(shù).

02思維導(dǎo)圖

k

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

利用四則運(yùn)算求導(dǎo)數(shù)

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值

在某點(diǎn)的切線問題

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則理：

過某點(diǎn)的切線問題

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

切線的平行垂直問題

公切線問題

與切線有關(guān)的最值問題

知識清單

知識點(diǎn)01基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

1.導(dǎo)函數(shù)的概念

一般地，如果函數(shù)y=/(x)在某定義內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)x都可導(dǎo)，則稱/(x)可導(dǎo)。此時(shí)，對定義域內(nèi)的每

一個(gè)值X,都對應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)/'(X)。于是，在/(x)的定義域內(nèi)，/'(x)是一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)通常稱

為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作了'(x)(或歹'，為')，即/6)=y=";lim/(X+一)一/⑶

Ax->0AX

【解讀】/(沏)與/(X)是不同的，/(X)是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，而/(沏)是/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)值.

2,幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/(%)=。其中。為常數(shù)rw=o

/(X)=X/'(無)=i

f(x)=x2八x)=2x

/(x)=x，"X)=3X2

f(x)=-八X)T

X

小戶立

/(x)=4x

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

y=c(c是常數(shù))v=o歹二sinxy1=cosx

y=x"(a為實(shí)數(shù))y1-axa—\y=cosxy1=-sinx

xy,-

y'=a］naxlna

y=ax(a〉0,Qwl)y=log”x(a〉0,aw1)

特別地(/)，=，特別地(lnx)」

X

【即學(xué)即練1](24-25高二上?全國?課后作業(yè))設(shè)函數(shù)〃x)=x1，則/'(x)=()

1--

D.——X4

4

【答案】D

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解.

【詳解】/(X)

v744

故選：D

知識點(diǎn)02導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

⑴加減法：［/(?)土g(x)］，=r(x)±g)x)

(2)乘法：［/(x>g(x)］=/'(x)g(x)+/(x)g，(x)

(3)除法：工也/'(x)g(x)-/(x)g，(x)

(g(xwO))

_g(x)

2.公式推廣與結(jié)構(gòu)特征

(1)公式推廣：函數(shù)和、差的導(dǎo)數(shù)可以推廣到〃個(gè)函數(shù)

設(shè)工（X）,力（X）,…’力（X）在X處可導(dǎo)則

H（X）土力（X）±…±＜（X）］'=＜'（X）土力（X）±…±￡（X）

（2）結(jié)構(gòu)特征：乘法公式中間用“加號”，前導(dǎo)后不導(dǎo)+前不導(dǎo)后導(dǎo)；除法公式分母平方，分子用“減

號”。

【即學(xué)即練2】

1.（23-24高二下?河南洛陽?階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（）

【答案】BC

【分析】

由導(dǎo)數(shù)的除法公式可得出A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；由導(dǎo)數(shù)的加法公式可得出B正確；由導(dǎo)數(shù)的乘法公式可得出C

正確/

【詳解】

由導(dǎo)數(shù)的除法公式可得

由導(dǎo)數(shù)的加法公式可得

由導(dǎo)數(shù)的乘法公式可得（xe）=e*+求才=（x+l）e\

由導(dǎo)數(shù)的除法公式可得（耳1-lnx

X

所以A,D錯(cuò)誤；B,C正確.

故選：BC.

2.（24-25高三上?上海閔行?期中）函數(shù)y=/+x在％=1處的導(dǎo)數(shù)是.

【答案】3

【分析】利用求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則，求得導(dǎo)函數(shù)，代入數(shù)值，可得答案.

【詳解】由＞貝！|y'=2x+l,當(dāng)x=l時(shí)，＞'=2+1=3.

故答案為：3.

知識點(diǎn)03復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)的概念

一般地，已知函數(shù)y=/3）與〃=g（x）,給定X的任意一個(gè)值，就能確定〃的值，如果此時(shí)還能確定V的

值，則》可以看成X的函數(shù)，此時(shí)稱/（g（x））有意義，且稱歹=〃（x）=/（g（x））為函數(shù)＞=/（〃）與〃=g（x）的復(fù)合函

數(shù)，其中〃稱為中間變量.

2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

一般地，對于由函數(shù)＞=#〃)與〃=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=/(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=/(w),w=g(x)

的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為：H=y'/'x，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對"的導(dǎo)數(shù)與〃對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

【解讀】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟

(1)適當(dāng)選定中間變量，正確分清復(fù)合關(guān)系；

⑵分步求導(dǎo)；

(3)把中間變量代回原自變量的函數(shù)，整個(gè)過程可簡記為“分解一一求導(dǎo)一一回代”

【即學(xué)即練3](23-24高二下?北京通州?期中)已知函數(shù)〃x)=ln(2x+3),則/■'(x)=()

1252x

A.-------B.--------C.--------D.--------

2x+32x+32x+32x+3

【答案】B

【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可.

【詳解】由/(x)=ln(2x+3)可得+

乙XIDNX*ID

故選：B

04題型精講

題型01基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【典例1】(24-25高二下?北京通州?期中)下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是()

C.(e“)=e*D.(sinx)=cosx

【答案】A

【分析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逐項(xiàng)判定，可得答案.

【詳解】對于A,W=-4-故A錯(cuò)誤；

)X

,1

對于B,(Inx)=-,故B正確；

對于C,(e1),=e\故C正確；

對于D,(sinx)=cosx,故D正確.

故選：A.

【變式1](23-24高三上?河北邯鄲?階段練習(xí))下列求導(dǎo)運(yùn)算中正確的是()

A.⑷'=2B,（3，）'=x.3iC.（ln4=^^D-（x5）^5x4

【答案】D

【解析】對于A,（4）'=0,故A錯(cuò)誤；

對于B,（3、j=3Fn3，故B錯(cuò)誤；

對于C,（lnx）'=:，故C錯(cuò)誤；

對于D,卜5）'=5/,故D正確.故選：D

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)/（x）=31nx,則/'（x）=（）

13

A.31nxB.----C.3xD.一

31nxx

【答案】D

【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可求解.

【詳解】由/（尤）=31然可得=

故選：D

【變式3】（24-25高三上?山東濱州?開學(xué)考試）（多選）下列結(jié)論正確的是（）

A.若歹=3,則了'=0

B.若＞=耳，貝I

C.若y=6，則

D.若卜=工，則了=1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式運(yùn)算即可得解.

【詳解】對于A,因?yàn)椋?3是常數(shù)函數(shù)，所以了'=0,故A正確；

對于B,斗一/一擊，故B錯(cuò)誤；

對于C,y'=[y/x^3=,故C正確；

對于D,7=x,則y'=l,故D正確.

故選：ACD.

【變式4】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)％（x）=sinx,對任意的正整數(shù)”,定義函數(shù)歹!J{＜（x）},且

=.已知[一〃X)]=-/'(無)，則力023(X)=()

A.COSXB.sinxC.-cosxD.-sinx

【答案】C

【分析】求導(dǎo)，可得｛<(x)｝是以4為周期的周期數(shù)列，即可求解.

[詳解】由定義可得力(x)=(sinx/=cosx,f2(x)=(cos=—sinx,力(x)=(-sinx/=-cosx,

f4(x)=(-cosx)"=sinx=f0(x),

因此｛<(x)｝是以4為周期的周期數(shù)列，故人023(X)=力(X)=-COSX.

故選：C

題型02利用四則運(yùn)算求導(dǎo)數(shù)

【典例2](24-25高三上?陜西咸陽?期中)(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

B.

D.(x2exy=(2x-x2)eI

C.(log23y=0

【答案】ABC

【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則可得選項(xiàng)A,B,C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

(sinx)'-X-sinx-x'尤cos尤-sinx

【詳解】選項(xiàng)正確.

A.?=A

C.log?3為常數(shù)，選項(xiàng)C正確.

D.(Ve")=(f).e*+x2(e*)=2xe，+x2e*=(2》+/)爐，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【變式1](23-24高二下?天津北辰?期中)下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是()

A.\x~2j=-2xB.(xcosx)=cosx+xsinx

C.(InlO)=—D.(2e，)=2F

【答案】D

【分析】根據(jù)求導(dǎo)運(yùn)算法則判斷各選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，卜一2)'=一2xf,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，(尤cosx)=cosx-xsinx,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對于C選項(xiàng)，(in10)=0,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，(2e，)'=2e，，D正確.

故選：D.

【變式2】(24-25高二下?江蘇揚(yáng)州?期中)下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是()

【答案】B

【分析】根據(jù)基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則判斷即可.

【詳解】對于A,(sinx)=cosx＞故A錯(cuò)誤;

對于B,［厘］==直，故B正確;

(xJx

對于C,(24=2*-ln2，故C錯(cuò)誤;

_3

對于D,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式3】(24-25高二上?全國,課后作業(yè))函數(shù)/")=2-：的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=()

C.2+二

A.2

-7x

【答案】D

【分析】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的定義得

f(x)=lim+詞-=Um2一心12一小

'7-oAx垓―。Ax

故選：D.

【變式4】(24-25高三上?北京海淀?期中)已知/(x)=)

A.1B.2C.-1

【答案】B

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得解.

sinx

【詳解】因?yàn)椤▁)=

cosx

cos2x+s?in7x1I

所以/'(x)=

cos2Xcos2X

兀

2

所以n

2

故選：B

【變式5](23-24高二下?福建龍巖?期中)若函數(shù)/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)(x-3)…(x-2024),則

r(2024)=

【答案】2023!

【分析】設(shè)g(x)=(xT)(x-2)(x-3)…(x-2023),則/⑺=g(x)(x-2024),求出/'(x)可得答案.

【詳解】設(shè)g(x)=(x-l)(尤-2)(x-3)…(無一2023),

則/(x)=g(x)(x-2024),

/'(x)=g'(x)(x-2024)+g(x)(x-2024)

=g〈x)(x-2024)+g(x),

/(2024)=g/(2024)(2024-2024)+g(2024)

二g(2024)=2023x2022x2021x…x1=2023!.

故答案為：2023!

題型03求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【典例3](24-25高三上,江蘇鎮(zhèn)江,開學(xué)考試)(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

2

3jtxX

A.(ey=3eB.二X

2x+l

2

C.(2siiix-3)'=2cosxD.In—

2—xx(2-x)

【答案】CD

【分析】利用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對于A選項(xiàng),(e3*)'=e3，.(3x)'=3e31A錯(cuò)誤;

22

x2x2(2x+l)-(%2).(2x+l)2x-(2x+l)-2x2X+2X

對于B選項(xiàng),，B錯(cuò)誤;

2x+l(2x+l)2(2x+l)2(2x+l)2

對于C選項(xiàng)，(2sinx-3)=2cosx,C正確;

x)_1(x)_2-x2-x-x-(-l)_2

對于D選項(xiàng),^ln2^Jx(2-x)2—"x(2-x)-D正確.

故選：CD.

【變式1]（24-25高二下?廣東佛山?階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

sin—B.（2，）=2，ln2

【答案】BC

【分析】根據(jù)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷即可.

【詳解】對于A,常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,故A錯(cuò)誤；

對于B,（2j=21n2,故B正確；

對于C,-X-2=----5,故C正確;

對于D,rin(2x-l)]'=--^-x2=-^-,故D錯(cuò)誤.

u」2x-12x-l

故選：BC.

【變式2】(23-24高二下?海南?期中)下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是()

22

A.若/(X)*,則八x)=-f

B.若/(%)=2、,貝IJ/'a)=21n2

C.若/(x)=sin2x,則/[x)=cos2x

2

D.若/(x)=log2X,則尸(x)=—

【答案】AB

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的求導(dǎo)公式即可求解BD,根據(jù)求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解AC.

22

【詳解】對于A,若/&）=—,則ra）=-r,A正確，

XX

對于B,若/0）=2"貝lj/'（X）=2"In2,B正確，

對于C若于x）=sin2x,則八x）=2cos2x,C錯(cuò)誤，

對于D,若"%）=log2%,則/<%）=—D錯(cuò)誤，

xln2

故選：AB

【變式3】（23-24高二下?湖北武漢?期中）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

B.（x-cosx）=-sinx

D.（sin（2x-1））=2cos（2x-1）

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算律計(jì)算判斷即可.

【詳解】對于A:[x+』]=1-二，A選項(xiàng)正確；

XJX

對于B:（x-cosx）=cosx-xsiwc,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

（X?12xex-x2ex2x—x2

對于C:下=———i—二,C選項(xiàng)正確;

le）修）e

對于D:（sin（2x-1））'=2cos（2x-1）,D選項(xiàng)正確.

故選：B.

題型04求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值

【典例4](24-25高三上?山西?期中)若函數(shù)〃x)滿足〃目=尤3-；〃2)/-3工，則/'(2)的值為()

A.-1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，再賦值x=2,解關(guān)于/'(2)的方程可得.

【詳解】由=d一;/(2)/-3x,得/")=3/-/'(2)%-3,

則八2)=12-2/(2)-3,解得。(2)=3,

故選：C.

【變式1】(24-25高三上?陜西西安?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=eFnx,f'(x)為〃x)的導(dǎo)函數(shù)，則/'⑴的

值為.

【答案】e

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得了'(X),代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由〃x)=e*-lnx可得/''(x)=e"ln無+e*，=e(lnx+L],

則r(l)=9(lnl+l)=e.

故答案為：e

【變式2】(24-25高三上?安徽六安?階段練習(xí))已知函數(shù)/("=/'⑴ln(x+l)-x,則/'⑴的值為()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【分析】借助導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算即可得.

【詳解】r（力=2一1,則（⑴=岑1-1,解得/"）=一2.

故選：D.

【變式3】（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）設(shè)〃x）=tanx,則/［鼻=

【答案】4

【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)，再代入數(shù)值即可.

【詳解】???/（x）=tanx=2吧，

cosx

故答案為：4

【變式4］（24-25高三上?上海?期中）已知函數(shù)/（x）=xcosx-/'（兀）x,則/＜兀）=

【答案】-1/-0.5

【分析】在等式〃X）=XCOSX-r（兀）X兩邊求導(dǎo)，再令X=7T,即可得出/''（冷的值.

【詳解】因?yàn)?(x)=XC0SX-/r(7C)X,則/r(x)=cosx-xsinx-(71),

所以，-（兀）=-i-r⑺,故/⑺=q.

故答案為：g

【變式5】（24-25高三上?上海?期中）^f（x）=x2-xf,（l）,則八0）=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得/'（X）,然后令x=l代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

,,

【詳解】對函數(shù)y=n＞）求導(dǎo)得,f（x）=2x-f（l）;

令x=l,得/'⑴=2-廣（1）,整理得/'⑴=1.

因此〃x）=/一x,f（x）=2x-l,故/（0）=一1.

故答案為：-1

題型05在某點(diǎn)的切線問題

【典例5］（24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí)）函數(shù)y==在點(diǎn)（0,-1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍

成的封閉圖形的面積為（）

A.—B.-C.-D.1

842

【答案】B

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)坐標(biāo)和面積.

【詳解】因?yàn)椋?==1--，則〉二二匚百，可得了上。=2,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為（O,T）,切線斜率為2,

則切線方程為V=2x-1,其與x軸交點(diǎn)為g,o1,

所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為:x；xl=；.

故選：B.

【變式1】（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）曲線.y=x2（x-l）在x=l處的切線方程為（）

A.x=lB.y=lC.y=xD.y=x-l

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程.

【詳解】因?yàn)閥=/（x-l）,所以了=3/-2x,

所以曲線V=x2（x-1）在x=l處的切線的斜率為1,

當(dāng)x=l時(shí)，y=0,所以切點(diǎn)為（1,0）,

所以切線方程為了-0=x-l,即kx-1.

故選：D.

【變式2】（2024?河南新鄉(xiāng)?一模）函數(shù)〃x）=x3-2ei+5的圖象在點(diǎn)處的切線方程是（）

A.y=5x-lB.y=x+lC.y=-x+5D.y=x+3

【答案】D

【分析】求出函數(shù)〃x）的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

【詳解】函數(shù)/（x）=xJ2e，T+5,求導(dǎo)得了'（耳=3/_2-，則/'（1）=1,而/⑴=4,

所以所求切線方程為＞-4=x-l,即尸x+3.

故選：D

【變式3】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（xbZcosx-ahu+e）若曲線y=〃x）在點(diǎn)（兀，〃兀））處

的切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的值為

▼卜*士71+1）e71-2

【答案】----1-------

ln7i-l

【分析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后表示出在點(diǎn)（兀，〃兀））的切線方程，最后根據(jù)切線過原點(diǎn)求出實(shí)數(shù)

【詳解】因?yàn)閒'（x）=-2sinx，+e）所以/（勸=_@+仁

X7T

又f（兀）=-2-almt+en,

所以曲線〃龍）在點(diǎn)（兀J⑺）處的切線方程為y+Z+almr-enlq+ejaF）,

又該切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以2+almt-+）,即2+。1皿-e"=a-兀e",

冷刀汨（-兀+l）e"-2

角牛得:a=------------.

In兀一1

故答案為：（一無+1.-2.

In兀一1

【變式4】（24-25高三上?甘肅蘭州?階段練習(xí)）已知aeR,設(shè)函數(shù)/（x）=辦-Inx的圖象在點(diǎn)（1J⑴）處的

切線為I,則/與7軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（0,1）

【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線/的方程，進(jìn)而求解即可.

［詳解］由/（x）=axTnx,/（l）=a,

而八=,則/⑴="1,

所以切線/的方程為》-a=（"l）（xT）,

令x=0,得y=-（a-l）+a=l,

即/與V軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,1）.

故答案為：（0,1）.

題型06過某點(diǎn)的切線問題

【典例6］（24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）過點(diǎn)（jo］且與曲線y=x2相切的切線斜率不可能為（）

3--

A.0B.8e2C.——e2D.1

4

【答案】D

【分析】設(shè)切點(diǎn)（%,x；e'。），結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，根據(jù)切線過點(diǎn)［I，。），可得不，進(jìn)而確定

切線斜率.

【詳解】由y=x%，，得y'=2xe*+x2e，=x（x+2）e）設(shè)切點(diǎn)為住廣加。），則切線斜率后=與伉+2道。，

艮口切線方程為V-x；e*=%（%+2）e'°（無一%）,

又切線過點(diǎn)（2°），則-Me'。=%（%+2甘。1-%）整理可得;%（%-2）（2%+3度。=0,

3Q_2

解得%=0或%=2或無。=-：，則切線斜率為0或8e2或-士屋5,

24

故選：D.

【變式1】（24-25高二?階段性訓(xùn)練）若過點(diǎn)尸0,0）作曲線y=d的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【分析】設(shè)切點(diǎn)為（修,焉），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式直線方程求出切線方程，根據(jù)過點(diǎn)P（LO）建立方

程，求得切點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為切線的條數(shù).

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為卜。,舅），由丁=1,所以J/=3X2,得

所以切線方程為J-x；=3片（無一%）,即y=3x；x-2x；.

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)尸（1,0）,所以0=3部-2君，解得％=0或%=不

所以過點(diǎn)尸（1,0）作曲線了=丁的切線可以作2條.

故選：C

【變式2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）過點(diǎn)（0,-1）作曲線/"（6）=lnx（x>0）的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（五』）/卜1

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)來求得正確答案.

【詳解】由/（?）=lnx（x>0）,得〃無x>0,化簡得/（x）=21nx,x>0,

則/'（x）=0設(shè)切點(diǎn)為（Xo,21nx0）,顯然（o,-l）不在曲線上，

則21nx°+l=j_,解得正，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（五,1）.

故答案為：（八1）

【變式3】（24-25高三上?四川?期中）已知函數(shù)=的圖象在點(diǎn)（1,7（功處的切線過點(diǎn)（3,0）,貝|

a=.

【答案】5

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在該點(diǎn)處的切線方程，代入即可求出。的值.

【詳解】f'(x)=2x-,/⑴=2-a,/(l)=l+?.

〃尤)的圖象在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程為y=(2-a)(x-l)+l+a.

因?yàn)樵撉芯€過點(diǎn)(3,0),所以0=(2-。乂3-1)+1+。，解得“=5.

故答案為：5

【變式4X24-25高三?全國?專題練習(xí))已知曲線〃x)=e'-lnx與過點(diǎn)(0,1)的直線/相切，則/的斜率為.

【答案】e-l/-i+e

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(無。,研-111%)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到切線方程得

y-(e-。-lnxo)=]e'。-■-(x-x0),結(jié)合條件得到In%=/。(1-x。)，即可求解.

IxoJ

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(x°,eM-lnx。)，因?yàn)?(x)=e-L則/"(%)=砂一工，

則切線方程為y_(e'。TnXob)"。_(｝丫_/),

將點(diǎn)(01)代入，得-lnxo)=[e*。-■-(-x0),

IxoJ

x

化簡得In/=e”。(1一%),即為e"+lnx0-e°=0,

^y=xex+\nx-ex,則V=(x+l)e”+L—e'=疑、+」>0恒成立，

xx

所以歹=疑"+111%一爐在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，又x=l時(shí)，y=e!d-lnl-e1=0,

所以與1。+111%-1。=0的解為/=1,所以切線的斜率為e-1.

故答案為：e-1.

題型07切線的平行垂直問題

【典例7】(24-25高三上?安徽?階段練習(xí))已知曲線〃x)=e"-l-ln(x+l),(x>-l)在點(diǎn)(OJ(O))處的切

線與直線x+2y+5=0垂直，則°的值為()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)(0,〃。))處的切線斜率，再根據(jù)兩條互相垂直的直線斜率之積等于-1算出

即可.

【詳解】/(x)=e<K-l-ln(x+l),則/(力=。產(chǎn)一擊,

則/⑼=a-1,曲線/(x)在點(diǎn)(0,〃0))處的切線與直線x+2y+5=0垂直，

所以。一1=2,解得Q=3.

故選：c

【變式1】(2024?四川宜賓?一模)設(shè)曲線y=e2a在(0,1)處的切線與直線x+2y+2=0垂直，則。=

【答案】1

【分析】由直線x+2y+2=0的斜率求出切線的斜率，導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值即為切線斜率，建立等式，求得

。的值.

【詳解】直線x+2y+2=0的斜率左=一;，

???切線與直線x+2了+2=0垂直，，切線的斜率與=丁=2,

2

y'=2ae"，,當(dāng)x=0時(shí)，k2=2ae°=2,a=1,

故答案為：1.

【變式2】(24-25高三上?湖北宜昌?階段練習(xí))函數(shù)〃x)=xlnx+ax+2在點(diǎn)(1)(1))處的切線與直線

x-2y+2=0相互垂直，則實(shí)數(shù)。=

【答案】-3

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，再根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系列方程，從而求得。的值.

【詳解】/,(x)=lnx+l+a,/,(l)=lnl+l+a=a+\,

直線x-2y+2=0的斜率為

由于/(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線與直線x-2y+2=0相互垂直，

所以切線的斜率為一2,即。+1=-2,。=一3.

故答案為：-3

【變式3】(23-24高二下?甘肅白銀?階段練習(xí))求曲線了=/+工-2與直線y=-：x-l垂直的切線的方程.

【答案】4x-y-4=0或4x-y=0

【分析】求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)為(%,%),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得4=3x：+l,解得x°=±l,進(jìn)而可得切線方程.

［詳解］y=x3+x-2,則；/=3/+1,

設(shè)切點(diǎn)為(X。,%),則HE°=3X；+1,

由題意切線斜率左=4,貝|4=3x；+l,解得/=±1,即卜;或/=一：，

〔外=°〔%=-4

當(dāng)切點(diǎn)為(1,0)時(shí)，切線方程為V-0=4(x-l),即4x-y-4=0.

當(dāng)切點(diǎn)為(T-4)時(shí)，切線方程為了-(一4)=4卜-(-1)］,即4x-y=0.

綜上所述：切線方程為4尤7-4=0或4—=0.

題型08公切線問題

【典例8](24-25高三上?遼寧大連?期中)直線/：＞=辰+6是曲線了=1皿和了=j2的公切線，則上+6=

()

A.—B.0C.0或一D.—

eee

【答案】C

【分析】先分別求出兩條曲線的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)公切線的斜率相等以及在切點(diǎn)處的函數(shù)值相等

列得方程組，即可求得結(jié)果.

【詳解】對于了=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(國,lnxj,求導(dǎo)得＞=L

X

71

則在該點(diǎn)處的斜率為人=一,

再

則切線方程為：J-lnXj=—(x-X1),gp=-x+lnXj-1,

項(xiàng)7石

對于y=e?2,設(shè)切點(diǎn)為求導(dǎo)得了=/-2,

則在該點(diǎn)處的斜率為左=/-2,

X22x2

則切線方程為：y-e-=e^(x-x2),即供=e,會(huì)尤為1-工2戶戶,

因?yàn)?:＞=履+6是公切線，

—=eV2-2

所以網(wǎng)，即再=e2f,

X2-2

InXj-1=(l-x2)e

所以Ine2f-1=(1-X?)e-,即1_/=0f,所以(1一%小一-1)=0

即乙-2=0或1一工2=0,解得％=2或%=1,

當(dāng)％=1時(shí)，此時(shí)左=e*-2=1，6=(l-x,)e*-2=0,所以左+6=1

ee

當(dāng)馬=2時(shí)，此時(shí)左=e"2-2=i,6=(1-％2)e"2-2=-1,所以k+6=0,

所以上+6=0或工，

e

故選：C.

【變式11(24-25高三上?江蘇無錫?階段練習(xí))若斜率為1的直線/與曲線了=出(工-°)和圓/+/=；都相切,

則實(shí)數(shù)。的值為()

A.2B.0或-2C.0或2D.-2

【答案】B

【分析】設(shè)直線/與曲線y=ln(x-a)的切點(diǎn)為尸值,先),先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出y=ln(x-a)在切點(diǎn)

尸(%,%)處的切線方程，再根據(jù)直線與圓相切和圓心到直線的距離關(guān)系列式求解即可.

【詳解】設(shè)直線/與曲線＞=ln(x-a)的切點(diǎn)為

111

由V=[In(%-=-------,則=I,

x-aXQ-a

貝！J/=l+a,%=0,即切點(diǎn)為P(l+a,。)，所以直線/為歹二%—1一。，

又直線/與圓都相切，則有日方4=f,解得。=-2或。=0.

故選：B

【變式2】(2024,陜西榆林?模擬預(yù)測)已知曲線＞=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線》=。/+》+2相切，則

a=()

【答案】D

【分析】求導(dǎo)，計(jì)算曲線V=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程，利用切線與曲線＞=a/+x+2相切可得結(jié)果.

【詳解】解法1：由歹=x+lnx得V=l+，,當(dāng)x=l時(shí)，y=2,

x

所以曲線V=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為：歹-1=2(%-1),即片2x-1.

,\y=ax2+x+2.

由＜_1得，ax2—x+3=0，

[y=2x-l

所以A=1—12Q=0,解得。二々，

12

故選：D.

解法2：由歹=x+lnx得j/=l+,,當(dāng)％=i時(shí)，y=2f

X

所以曲線V=x+lnx在點(diǎn)(l,l)處的切線方程為：歹-1=2(%-1),即尸2x-1.

因?yàn)榇?。/+%+2,所以J/=2QX+1,

令V=2ax+1=2,得X=—,

2a

所以y=2x-l與曲線丁=如2+》+2的切點(diǎn)為+

12a4a)

由切點(diǎn)在切線V=2x-1得33+2=上1-1,解得。=1=，

4。a12

故選：D.

【變式3](24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))已知直線/：x-y+b=0分別與曲線"ejy=-x2+mx(m＞0)

都相切，貝防-2加的值為.

【答案】-472

【分析】先設(shè)直線/與兩曲線切點(diǎn)分別為（勺,力）和（亞,力）,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義和切點(diǎn)既在切線上又在曲線

上即可依次列出關(guān)于切點(diǎn)和參量的方程組計(jì)算求解.

【詳解】設(shè)直線/與曲線了=6川的切點(diǎn)為每,力）,與曲線＞=3+機(jī)X（機(jī)＞0）的切點(diǎn)為（孫必），

9+1=1n'二T,即切點(diǎn)（再,“）=（-1,1）,

對〉=j1求導(dǎo)得了=產(chǎn)1所以

〔必T

所以一1一1+6=0=>6=2；

對〉=-x2+mx(<m>0)求導(dǎo)得V=-2x+m^m>0),

-2X+m=l

2工2=X]=-42

y=-xj+mx

所以22n?%=2+0或<%=2-近（舍去）,

x?—%+2=0

m-\+2-72m-1-2V2<0

m>0

所以6_2心=2_2（1+2匈=_4收

故答案為：-4G..

題型09與切線有關(guān)的最值問題

【典例9X24-25,四川高二?階段訓(xùn)練）已知P是曲線y=-sinx（x?0,可）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在直線x-2y-6=0

上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)|尸。|取最小值時(shí)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為（）

%兀2兀5兀

A.-B.-C.——D.—

4236

【答案】C

【分析】畫出曲線了=-而》（xe[0,7T]）和直線x-2y-6=o的圖象，將所求距離問題轉(zhuǎn)化為兩平行線距

離最小，從而結(jié)合兩直線平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程即可求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【詳解】畫出曲線了=-而》（xe[0,7i]）和直線的x-2y-6=0圖象，如下圖所示

若使得1尸。1取最小值,

則曲線V=-sinx（xe[0,7rD在點(diǎn)尸處的切線與直線x-2y-6=0平行,

令?/=；，可得cosx=一；,

對函數(shù)N=-sinx求導(dǎo)得"=-cosx

又0VxV兀，解得x=—.

故選：C

【變式1】(24-25高三上?遼寧?期中)若曲線>=e，的一條切線為了=依+6,則防的最大值為()

A.1B.-C.D.2

2

【答案】B

【分析】設(shè)切點(diǎn)(x0,e'。)，由題意得祐=。-/產(chǎn)演，從而構(gòu)造函數(shù)〃x)=(l-x)e2x,利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得

解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)(x°,e'。)，因?yàn)閖/=e、，所以左=/。，切線方程為了-/。=/。。-苫。)，

整理得V=e&x+(1-%)e'。，所以6=(1-x0)e”,奶=(1-%)e2x?,

設(shè)/(x)=(1-x)e2V(x)=(1-2x)e"J(x)=0得x=；,

又因?yàn)閤<g時(shí)，/(x)>O,x>!■時(shí)，f\x)<0,

所以/W在1汽；)上單調(diào)遞增，在&,+s]上單調(diào)遞減,

所以…佃

故選：B.

【變式2】(2024高三?全國?專題練習(xí))點(diǎn)監(jiān)N分別是曲線y=-hu+2和直線>=r上任意一點(diǎn)，貝小兒加|

的最小值為.

【答案】逑

2

【分析】用待定系數(shù)法求出曲線與直線〉=一工平行的切線，求出兩直線間的距離，即是本題中|九亞|的最小

值.

【詳解】沒直線N=r+a是曲線y=-lnx+2