專題02解方程（組）與不等式（組）

模型01解一元一次方程

模型02解二元一次方程組

模型03解不等式（組）

模型04解分式方程

模型05解一元二次方程

模型06判別式及根與系數的關系

吩時我解讀

1.一元一次方程的解法及注意事項

（1）一元一次方程的求解步驟

去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數

去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號

移項：把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊

合并同類項：把方程化成的形式

系數化成1：在方程兩邊都除以未知數的系數，得到方程的解.

（2）解方程時移項容易忘記改變符號而出錯，要注意解方程的依據是等式的性質，在等式兩邊同時加上或

減去一個代數式時，等式仍然成立，這也是“移項”的依據.移項本質上就是在方程兩邊同時減去這一項，此

時該項在方程一邊是0,而另一邊是它改變符號后的項，所以移項必須變號.

2.二元一次方程組的解法及注意事項

（1）代入消元法：將方程組中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來，再代入另一個

方程中，從而消去一個未知數，化為一元一次方程

適用類型：（1）方程組中有一個未知數的系數是1或一1;（2）一個方程的常數項為0

（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后再相加（或相減），消去其中一個未知數，化為一元

一次方程

適用類型：方程組中同一個未知數的系數相同或互為相反數或成整數倍

3.不等式(組)的解法及注意事項

(1)解一元一次不等式：根據不等式的性質解一元一次不等式，基本操作方法與解一元一次方程基本相同，

都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1.以上步驟中，只有①去分母

和⑤化系數為1可能用到性質3,即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向.

注意：符號2”和分別比“〉”和各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式.

(2)解一元一次不等式組

解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直

觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數軸求公共部分.

4.分式方程的解法及注意事項

(1).解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的

最簡公分母.

(2).解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最

簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根.

(3)解分式方程過程中，易錯點有:①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項;②

忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.

5.一元二次方程的解法及適用類型

一般形式：ax2+bx+c=0(。w0)

直接開平方法形如(x+加)2=〃(〃20)的方程，可直接開方求解，則須=一加+血，X]=-m-G

因式分解法可化為〃(％+加)(％+〃)=0的方程，用因式分解法求解，則玉=一加，再=一〃

配方法若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為a(x+〃>=左，再直接開方求解

利用求根公式：x=-Z)±^2-4a-(Zl=b2-4ac>0)

公式法

la

6.一元二次方程的判別式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根與△=bJ4ac有如下關系:

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數根；

③當△<()時，方程無實數根.

上面的結論反過來也成立.

模型01解一元一次方程

考I向I預I測

解一元一次方程一般位于解答題第1題，所給方程的未知數的系數一般為絕對值小

于10的有理數；解題過程中涉及的知識點有：去括號法則、乘法分配律、等式的性質、合并同類項法

則等，分值在5分左右

答|題|技|巧

1.解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1,這僅是解一元一

次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉化.

2.解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號

外的項在乘括號內各項后能消去分母，就先去括號.

3.在解類似于“ax+bx=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即(a+b)x=c.使方程

逐漸轉化為ax=b的最簡形式體現化歸思想.將2*5系數化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方

程兩邊除以的是a還是b,尤其a為分數時；二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負.

［題型守停I

(2024?廣西三模)用好錯題本可以有效地積累解題策略，減少再錯的可能.下面是劉凱同學錯

題本上的一道題，請仔細閱讀并完成相應的任務：

2%4-3%_5%+8

-3e-3-

解：2x2x-(4-3x)=2(5x+8)…第一步

4x-4+3x=10x+16…第二步

4x+3x-10x=16-4…第三步

-3x=12…第四步

x=-4…第五步

填空：

①以上解題過程中，第一步是依據等式的基本性質2進行變形的;第二步去括號時用到的運算律是

乘法分配律；

②第三步開始出錯,這一步錯誤的原因是移項時-4沒有變號；

③請從錯誤的一步開始，寫出解方程的正確過程.

【分析】①根據解一元一次方程的步驟即可求得答案；

②根據解一元一次方程的步驟即可求得答案；

③根據解一元一次方程的步驟即可求得答案.

【詳解】解：①以上解題過程中，第一步是依據等式的基本性質2,進行變形的；第二步去括號時用到

的運算律是乘法分配律，

故答案為：等式的基本性質2；乘法分配律；

②第三步開始出錯，這一步錯誤的原因是移項時-4沒有變號，

故答案為：三；移項時-4沒有變號；

③4x+3x-1Ox=16+4,

-3x=20,

20

X-----------.

3

【點睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵.

）支式

1.（2024?德化縣模擬）解方程：—=2-—.

25

【分析】方程去分母，去括號，移項合并，將x系數化為1,即可求出解.

【詳解】解：去分母得：5（x-1）=20-2（x+2）,

去括號得：5尤-5=20-2x-4,

移項合并得：7x=21,

解得：x=3.

【點睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，將未知數系數化為1,

即可求出解.

2.（2024?越秀區一模）解方程：至二1—1=丘

2

【分析】通過去分母、移項、合并同類項，求得x的值.

1

【詳解】解：絲」一1=X,

2

去分母，得3x-1-2=2x,

移項，得3x-2x=l+2,

合并同類項，得x=3.

【點睛】本題考查了解一元一次方程，解一元一次方程常見的過程有去分母、去括號、移項、合并同類

項、系數化為1等.

3.（2024?拱墅區模擬）以下是圓圓解方程3Y-U1—UX-2=l的解答過程.

32

解：去分母，得2(x+1)-3(x-3)=1.

去括號,得2x+2-3x-6—1.

移項，合并同類項，得x=5.

圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程.

【分析】直接利用一元一次方程的解法進而分析得出答案.

【詳解】解：圓圓的解答過程有錯誤，正確的解答過程如下：

去分母，得：2（x+1）-3（x-3）—6,

去括號,得2尤+2-3x+9=6,

移項，合并同類項，得-x=-5,

系數化為1,得x=5.

【點睛】此題主要考查了解一元一次方程，正確掌握解方程的步驟是解題關鍵.

4.（2024?西湖區校級模擬）某同學解方程與一Mx=1.的過程如下框：

0.20.3

0.1-

解：—----%=1.

0.20.3

兩邊同時乘以10,

彳喔=10……②

合并同類項,

系數化1,得x=60③

請寫出解答過程中最早出現錯誤的步驟序號，并寫出正確的解答過程.

【分析】第①步是將方程中未知數的系數化為整數，而不是去分母可得出錯誤的步驟序號，先將系數化

為整數得1與1-々=1,再合并同類項得1與=1,最后再將未知數的系數化為1即可得出該方程的解.

236

【詳解】解：出現錯誤的步驟是①，

nini11

正確的解法如下：對于方程匕—2\=1,將系數化為整數，得：Lx--x^l,

0.20.323

1

合并同類項，得：-x=l,

6

未知數的系數化為1,得：尤=6.

【點睛】此題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟是解決問題的關鍵.

5.（2024?玉田縣二模）兩個數加，n,若滿足=則稱加和〃互為美好數.例如：0和1互為美好數.

（1）4的美好數是-3；

（2）若3x的美好數是-8,求x與-8的平均數.

【分析】（1）根據互為美好數的定義進行計算即可；

（2）根據互為美好數的定義求出x的值，再根據平均數的計算方法進行計算即可.

【詳解】解：（1）由互為美好數的定義可得，

4的美好數為1-4=-3,

故答案為：-3；

（2）???3x的美好數是-8,

3x-8=1,

解得x=3j

???x與-8的平均數為土上=一之.

22

【點睛】本題考查解一元一次方程，有理數的混合運算，掌握一元一次方程的解法，有理數混合運算方

法是正確解答的關鍵.

模型02解二元一次方程組

考|向|預|測

解二元一次的考查形式主要是直接求所給方程組的解；考查解題過程：求某一步的計算結果或尋找解

題過程中的錯誤；通過新定義，給出計算原理，列方程組并求解。

答|題|技|巧

1.用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個

方程組中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來.②將變形后的關系式代入另一個

方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求出x（或y）的

值.④將求得的未知數的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數的值.⑤把求得的X、

y的值用“{”聯立起來，就是方程組的解.

2.用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數

既不相等又不互為相反數，就用適當的數去乘方程的兩邊，使某一個未知數的系數相等或互為

相反數.②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元一次方程.③

解這個一元一次方程，求得未知數的值.④將求出的未知數的值代入原方程組的任意一個方程

中，求出另一個未知數的值.⑤把所求得的兩個未知數的值寫在一起，就得到原方程組的解,

用妝式的形式表示.

［是型而停T

（2024?浙江）解方程組：￡-7=_5

十3y——1U

11

【分析】先有①x3+②得出10x=5,求出工=*再把x=5代入①求出y即可.

【詳解】解：管］獷J-。5

①x3+②得：10x=5,

1

解得：X=±

2

ii

把工=不入①得：2x一一歹=5,

22

解得：y=-4,

所以方程組的解是卜=5.

ly=—4

【點睛】本題考查了二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵.

,麥K

1.（2024?福建模擬）解方程組：電彗Q?

【分析】先利用加減消元法求出x的值，再利用代入消元法求出y的值即可.

【詳解】解:『藍2浮靄，

①+②x2得13x=52,

解得x=4,

將x=4代入②得20-y=21,

解得y=-1，

方程組的解為｛:「fr

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，熟知解二元一次方程組的加減消元法和代入消元法是解題的關

鍵.

2.（2024?天河區校級四模）解方程組二

【分析】用方程①減去方程②，消去無，求出外再把y值代入方程①，求出x即可.

【詳解】解:假二斤果）,

①~②得：y=0,

把歹=0代入①得：x=2,

.?.方程組的解為：｛瓦東

【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題關鍵是熟練掌握利用加減消元法解二元一次方程組.

3.（2024?山西模擬）（1）計算：仁^+|—5+2|x3-2+（_i）4；

（2）解方程組:圖彳：掰

【分析】（1）先算開立方，絕對值，負整數指數幕，乘方，再算乘法，最后算加減即可；

（2）利用加減消元法進行求解即可.

【詳解】解：⑴V^+l—5+2|x3-2+（—1）4

=-2+3x工+1

9

=-2+-+1

3

=——2?

3

⑵醫導:沿

②x2得：4x-2y=14③，

①+②得：5x=15,

解得：x=3,

把x=3代入②得：6-y=7,

解得：歹=-1，

故原方程組的解是：g=!_r

【點睛】本題主要考查解二元一次方程組，實數的運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

4.（2024?青原區二模）解方程組下面是兩同學的解答過程：

小春：

解：將方程x+6y=-16變形為x=-6y-16,■■■.

小冬：

解：將方程2x-3y=13兩邊同乘2,得到4x-6y=26,再與另一個方程相加，得到5x=10,….

（1）小春解法的依據是①④，運用的方法是代入消元法；小冬解法的依據是②⑤，運

用的方法是加減消元法.（填序號）

①等式的性質1；②等式的性質2；③加法的結合律；④代入消元法；⑤加減消元法.

（2）請選擇你認為更簡捷的解法，完成解答過程.

【分析】（1）利用等式的性質進行消元，消元的目的就是將二元一次方程轉化為一元一次方程；

（2）用代入法消元解二元一次方程組即可.

【詳解】解：（1）小春的解法依據是等式的性質1,運用的方法是代入消元法；小東的解法依據是等式

的性質2,運用的方法是加減消元法；

故答案為：①④，代入消元法；②⑤，加減消元法；

（2）將方程2x-3y=13兩邊同乘2,

得至ll4x-6y=26,

再與另一個方程相加，

得5x=10,

解得x=2.

將x=2代入方程x+6y=-16,

得尸-3,

【點睛】本題考查了等式性質、代入法和加減法消元解二元一次方程組.正確進行計算是解題關鍵.

5.(2024?廊坊模擬)現定義某種運算"★汽對給定的兩個有理數a、b有。-4

(1)求(-2)★(-4)的值；

(2)若|F1*2=4,求x的值；

(3)右*1★3y=-4,2x*y=2,貝！J=0.

【分析】(1)根據定義計算即可；

(2)根據0★6=2°-6,設|工會|=小，得到關于”的一元一次方程，解之，根據絕對值的定義，得到

關于x的一元一次方程，解之即可；

(3)根據x*3y=-4,2x*y=2,得到關于x、y的二元一次方程組，解方程組，再求出x*y值即可.

【詳解】解：(1)由題意，得：(-2)★(-4)=2x(-2)-(-4)=0；

1—Y

(2)設則冽☆2=%

根據題意得：2m-2=4,

解得：m=3,

則1殍=3,

即3=3或勺=—3,

22

解得：x=-5或7.

(3)若M3y=-4,2x*y=2,貝！］2x-3y=-4,4x-y=2.

.".%★)?=1^2=1x2-2=0,

故答案為：0.

【點睛】本題考查一元一次方程和有理數的混合運算，正確掌握一元一次方程的解法和有理數的混合運

算是解答此題的關鍵.

模型03解不等式(組)

考|向|預|測

解一元一次不等式的主要考查方式有：

（1）直接解不等式（組），并進行解集表示或求特殊解：

（2）給出解題過程，尋找過程中的錯誤，并求正確的解集;

（3）通過新定義，給出計算原理，列不等式并求解。

答|題|技|巧

一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解

集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集.方法與步驟：①求不等式組中每個不等式

的解集；②利用數軸求公共部分.解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找

不到.

［題型三例

（2.x—1V—9

（2024?寧夏）解不等式組卜久｝2+工.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

找不到確定不等式組的解集.

（2,x—1<一9①

【詳解】解：卜會2+x②,

解不等式①得，x<-4,

1

解不等式②得，%<-,

4

所以不等式組的解集為x<-4.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，掌握同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不

到的原則是解答此題的關鍵.

＞委K

（—3%<9（T）

1.（2024?秦淮區校級模擬）解不等式組%>—2②

12（x4-1）0+3③

請結合題意，完成本題的解答.

（1）解不等式①，得e-3.

（2）解不等式③，得x<l.

（3）把不等式①、②和③的解集在數軸上表示出來.

—?---------------?---------?----------?-----?------?

-4-3-2-101234

（4）從圖中可以找出三個不等式解集的公共部分，得不等式組的解集--24<1

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據各不等式解集在數軸上的表示，確定不等式組的解集.

【詳解】解：(1)解不等式①，得史-3,依據是：不等式的基本性質.

(2)解不等式③，得x<l.

(3)把不等式①，②和③的解集在數軸上表示出來.

-4-3-2-101234

(4)從圖中可以找出三個不等式解集的公共部分，得不等式組的解集為：-2Vx<l,

故答案為：(1)史-3；(2)x<l；(4)-2<x<l.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

2

2.(2024?河北模擬)整式2。一？)的值為P.

(1)當°=2時，求尸的值；

(2)若P的取值范圍如圖所示，求。的最小整數值.

01234567

2

【分析】(1)將。=2代入P=2(1-ja),進行計算即可；

(2)根據數軸中尸的取值范圍，列出關于。的不等式，解不等式求出。的取值范圍，從而求出答案即可.

2

【詳解】解：(1)???整式2G—$)的值為尸，

2

.?.當°=2時，。=2*(1—百X2)

4

=2x(1--)

2

3

(2)觀察數軸可知：尸的取值范圍為：PW1,

4

2----a47,

ci之一3一,

4

的最小整數值為：-3.

【點睛】本題主要考查了代數式求值，解題關鍵是根據數軸列出不等式.

3.(2024?渭源縣模擬)解不等式5-2%<口，并在數軸上表示解集.

2

【分析】先利用解一元一次不等式的步驟，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1求解集,

再將不等式解集用數軸表示出來即可得到答案.

【詳解】解：5-2%<—,

2

去分母得2(5-2%)<1-%,

去括號得10-4x<\-x,

移項得-4x+xVl-10,

合并同類項得-3xV-9,

/.x>3,

該不等式的解集在數軸上表示如圖所示：

-2-1012345

【點睛】本題考查解一元一次不等式及畫數軸表示不等式解集，涉及解一元一次不等式及數軸表示不等

式解集的方法等知識，熟練掌握解一元一次不等式及畫數軸表示不等式解集的方法是解決問題的關鍵.

4.(2024?桐鄉市校級一模)以下是甲、乙兩位同學解不等式工—工上>1的過程:

23

甲：乙：

去分母，得：3(x+2)-2(1+2x)>1裂項，得：^+1-1+—>1

乙DD

去括號，得：3x+6-2+4x>l

mex2x,-1

移項，得ZFI：*TH---->1—1H—

移項，得：3x+4x>l-4233

71

合并同類項，得：7x>-3合并同類項，得：-X>-

63

3

x>---2

7%〉一

7

你認為他們的解法是否正確？若不正確，請寫出正確的解答過程.

【分析】根據解一元一次不等式的基本步驟解答即可.

【詳解】解：甲、乙同學的解法均錯誤.

正確解答過程如下：

去分母得，3(x+2)-2(l+2x)>6,

去括號得，3x+6-2-4x>6,

移項得，3x-4x>6-6+2,

合并同類項得，-x>2,

x的系數化為1得，x<-2.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解題的關鍵.

「2%—1—X+2

5.（2024?湘陰縣二模）解不等式組自一1一1+2%.

【分析】分別將每個一元一次不等式求解，然后求出公共解集即可.

【詳解】解：解不等式2x-1<-x+2,得

x<1,

解不等式—〈匕三，得

23

x>~5,

故不等式組的解集是：

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

f5%—2V3（%+1）

6.（2024?城中區校級一模）解不等式組：,工一2}一1，并在數軸上表示解集.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

找不到確定不等式組的解集.

5x-2<3(x+1)?

【詳解】解:與2一②

由①得：%<-,

2

由②得：爛1,

不等式組的解集為爛1.

_______________________________2.5

在數軸上表示為：

IIIII???>

-5-4-3-2-102345

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

模型04解分式方程

^■1■■■

考I向I預I測

解分式方程的主要形式為求解的分式方程均可化為一元一次方程，所給分式方程一般含2?3項，其形

式主要有：A=B、A+B=m、A+B=C，其中A、B、C均為分式.

答|題|技|巧

1.解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論.

2.解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應如下檢驗:

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方

程的解.②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不

是原分式方程的解.所以解分式方程時，一定要檢驗.

［假理三伊I

■X3

（2024?西寧）解方程：--=-------1.

x-12x-2

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的

解.

【詳解】解：去分母得：2x=3-2x+2,

解得：x=-,

4

經檢驗X=9是分式方程的解.

4

【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗.

）支式

14

1.（2024?雁塔區校級模擬）解方程：————=1.

x—1%2—1

【分析】首先方程兩邊乘以最簡公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最簡公

分母檢驗即可.

【詳解】解：方程兩邊乘以（x+1）（x-1）得：（X+1）2-4=（X+1）（x-1）,

解這個方程得：X=l,

檢驗：當x=l時，（x+1）（x-1）=0,

原方程無解.

【點睛】本題考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟練掌握分式方程的解法，方程兩邊

乘以最簡公分母，把分式方程化成整式方程是解決問題的關鍵.

3x

2.（2024?蘭州模擬）解方程：二一=一,L

%+13（冗+1）

【分析】方程兩邊都乘3（x+1）得出9=x-3（x+1）,求出方程的解，再進行檢驗即可.

3x

【詳解】解：——a,上1、—1，

x+13(x+l)

方程兩邊都乘3(x+1)?得9=x-3(x+1),

9=x-3x-3,

3x-x=-3-9,

2x=-12,

x=-6,

檢驗：當％=-6時，3(x+1)加,

所以分式方程的解是x=-6.

【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵.

16

3.⑵24?榆陽區一模)解方程：w+

【分析】按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答.

16，x+2

【詳解】解:-------+1=-------，

X2—4x—2

16+(x+2)(x-2)—(x+2)2,

=

解得：x2f

檢驗：當x=2時，(x+2)(x-2)=0,

???x=2是原方程的增根，

???原方程無解.

【點睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗.

4.(2024?連州市二模)解方程：'二1=至0—1.

2—x2—x

【分析】方程兩邊同乘2-x,將分式方程化為整式方程，求解即可.

丫一

【詳解】解：必6^7=三2r上—3一1,

2—%2—x

方程兩邊同乘2-x,得5x-7—2x-3-(2-x),

解得x—1,

檢驗：當x=l時，2-x^O,

所以分式方程的解是x=L

【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵.

5.(2024?中寧縣一模)下面是小明同學解分式方程的過程，請認真閱讀并完成相應的學習任務:

x-3「1

——+2=——

x—22—x

解：方程兩邊同乘(%-2)，

得x-3+2(%-2)=-1第一^步

去括號，得x-3+2x-4=-1第二步

移項、合并同類項，得3x=6第三步

解得，x=2第四步

則原分式方程的解為尤=2第五步

（1）第一步中橫線處應填（x-2）,這一步的目的是化分式方程為整式方程，依據是等

式的基本性質.

（2）小明在反思上述解答過程時，發現缺少了一步，請將其補充完整.

【分析】（1）（2）解分式方程，根據解分式方程的思路和依據得結論.

1

【詳解】解：-+2--,

x—22-x

（1）方程兩邊同乘x-2,得x-3+2（x-2）=-1,第一■步

所以第一步橫線處應填x-2,這一步的目的是：化分式方程為整式方程，依據：等式的性質.

故答案為：（x-2）,化分式方程為整式方程，等式的性質；

（2）方程兩邊同乘x-2,得x-3+2（x-2）=-1,去括號，得x-3+2x-4=-1,

移項、合并同類項，得3x=6,

解得，x=2.

經檢驗，x=2不是原方程的解.

所以原分式方程無解.

【點睛】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟是解決本題的關鍵.

模型05解一元二次方程

考|向|預|測

對于解一元二次方程的考查主要是（1）直接求解一元二次方程；（2）考查解題過程：求某一步

的計算結果或尋找解題過程中的錯誤并求正確的解.

答|題|技|巧

1.用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為a/+bx+c=0（a加）的形式；②方程兩邊同除以

二次項系數，使二次項系數為1,并把常數項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的

平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通

過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解.

2.用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a,b,c的值（注意符號）；

求出爐.4ac的值（若-4ac<0,方程無實數根）；③在的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計

算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①存0；②62-4acK）.

3.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一

次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就

都是原方程的解.

|轂型三例

（2024?青海）（1）解一元二次方程：X2-4X+3=0；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長.

【分析】（1）利用因式分解法即可求出方程的解；

（2）根據勾股定理分類討論即可求出答案.

【詳解】解：（1）x2-4x+3=0,

(x-1)(x-3)=0,

'.x-1=0或x-3=0,

?=》2=3；

（2）當3是直角三角形的斜邊長時，第三邊=仃2—12=2魚,

當1和3是直角三角形的直角邊長時，第三邊=<12+32=V1U，

第三邊的長為2五或怖.

【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法和勾股定理，利用分類討論得出是解題關鍵.

,支式

1.（2025?泗洪縣一模）解方程：

（1）2x2-8=0；

（2）x2+x-12=0.

【分析】（1）利用直接開方法解方程;

（2）利用因式分解法解方程.

【詳解】解：（1）2x2-8=0,

2了2=8,

x2=4,

X[=2,洶=-2;

（2）x2+x-12=0,

（x+4）（x-3）=0,

x+4=0或x-3=0,

X]=-4,12=3,

【點睛】本題考查解一元二次方程-直接開方法，因式分解法，解題的關鍵是掌握一元二次方程的解法.

2.(2025?大渡口區模擬)解下列方程

⑴(x+3)2-9=0；

(2)x2+2x-3=0.

【分析】(1)利用公式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，再進一步求解

即可；

(2)利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，再進一步求解即可.

【詳解】解：(1)(x+3+3)(x+3-3)=0,

(x+6)x=0,

x+6=0或x=0,

?~~~6,X2~~0?

(2)(x+3)(x-l)=0,

x+3=0或x-1=0,

??X1---3,~~1.

【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、

公式法及配方法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇簡便的方法.

3.(2024?大渡口區模擬)選擇適當的方法解下列方程：

(1)(x-3)2=4；

(2)X2-5x+l=0.

【分析】(1)利用直接開平方即可求解；

(2)利用求根公式即可求解.

【詳解】解：(1)(x-3)2=4,

.'.%-3=2或x-3=-2,

解得：%i=5,工2=1；

(2)a=\,b=-5,c=\,

：.b2-4ac=25-4xlxl=21>0,

?_—b±y/b2-4ac_5+V2T

??x--------------------------,

2a2

則X產吟雪片空1

【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方

法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵.

4.(2024?順城區一模)解方程：

(1)x2-4x+2—0(配方法)；

(2)2x2-x-1=0(公式法).

【分析】(1)配方法求解可得；

(2)公式法求解可得.

【詳解】解：(1)x2-4x+2=0,

x2-4x+4=2,

(x-2)2=2,

x-2=±V2，

=2+y/2.9%2=2-^2?

(2)2x2-x-1=0,

a'='2,b=~~1,c^—~1,

△=(-1)2-4x2x(-1)=9>0,

?v_l±V9

4

._1—i

??％1———,%2—1?

【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握配方法，公式法解方程.

5.(2024?景德鎮二模)王明在學習了用配方法解一元二次方程后，解方程2/-8x+3=0的過程如下：

解：移項，得2%2_網=-3.第一步

二次項系數化為1,得，-4X=-3.第二步

配方，得d-4x+4—-3+4.第三步

因此(x-2)2—1.第四步

由此得x-2=1或x-2=-1.第五步

解得看=3,X2=1■第六步

(1)王明的解題過程從第二步開始出現了錯誤;

(2)請利用配方法正確地解方程2x2_8X+3=0.

【分析】配方法的一般步驟：(1)把常數項移到等號的右邊；(2)把二次項的系數化為1；(3)等式

兩邊同時加上一次項系數一半的平方.

(1)由配方法解一元二次方程即可判斷錯誤的步驟；

(2)由配方法解一元二次方程即可得到答案.

【詳解】解：(1)解題過程從第二步開始出現了錯誤，錯誤原因是系數化為1時，等式右邊的-3未除

以2,

故答案為：二；

(2)2x2-8x+3=0.

移項，得：2x2_8x=-3,

3

二次項系數化為1,得：%2-4X=--,

2

配方，得：x2-4x+4=------1-4,

2

因此（X-2）2=9,

2

由此得：X-2=逗或X-2=—逗，

22

解得：/=2+逗，肛=2—逗.

22

【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵.

模型06判別式及根與系數的關系

考I向I預I測

常用根與系數的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個

根.②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數.③不解方程求關于根的式子的值，如

求.④判斷兩根的符號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類

問題比較綜合，解題時除了利用根與系數的關系，同時還要考慮存0,AM這兩個前提條件.

答?題?技?巧

對于一元二次方程的判別式及根與系數的考查主要是

（1）含參數的方程，判斷方程根的情況時，可能需要配方判斷判別式的取值范圍；

（2）求參數的取值范圍時，需根據根的情況，列關于參數的一元一次不等式：

（3）當二次項系數含參數時，題干中常有“關于x的方程”和“關于的一元二次方程”兩種說法，可能涉

及分類討論；

（4）解答題除判斷方程根的情況、求參數的值或取值范圍外，還會結合解一元二次方程、一元二次方

程的根與系數的關系

［或型三例

（2024?遂寧）已知關于x的一元二次方程爐-（m+2）x+m-1=0.

（1）求證：無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數根；

（2）如果方程的兩個實數根為Xi，X2,且君+以一X02=9,求加的值.

【分析】（1）先確定。、b、C,再計算根的判別式，利用根的判別式得結論；

（2）先利用根與系數的關系求出兩根的和與積，再代入已知中得關于加的方程，求解即可.

【詳解】解：（1）-—（m+2）x+m-1=0,

這里。=1,b=-（加+2）,c=m-1,

A=/?2-4ac

=[-（加+2）]2-4xlx（m-1）

=m2+4m+4-4m+4

=m2+S.

*.*m2>0,

.*.△>0.

??,無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數根；

（2）設方程-—（冽+2）x+m-1=0的兩個實數根為修，租

貝！J町+%2=加+2,/工2=冽-1.

?.?蟾+蛀一/工2=9,即（Xj+%2）2-3肛%2=9,

/.（加+2）2-3（m-1）=9.

整理，得加2+加-2=0.

/.（加+2）（m-1）=0.

解得冽i=-2,加2=1?

J冽的值為-2或1.

【點睛】本題考查了一元二次方程，掌握根的判別式、根與系數的關系及完全平方公式的變形等知識點

是解決本題的關鍵.

,麥K

1.（2024?鐵山區二模）已知關于x的一元二次方程--2（左+1）x+N+2=0.

（1）若方程的一個根為2,求人的值；

（2）若方程有實數根，求左的取值范圍.

【分析】（1）由于尤=2是方程的一個根，直接把它代入方程即可求出發的值.

（2）根據根的判別式公式，令AK）,得到關于人的一元一次不等式，解之即可.

【詳解】解：（1）把x=2代入N-2（k+1）x+N+2=0得N-4左+2=0,

解得k=4±"6-8=4±2V2=2士四；

22

（2）?.?方程有實數根，

/.A=[2（KI）]2-4xlx（N+2）>0,

1

.?"的取值范圍為kN-.

2

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵.

2.（2024?仁懷市模擬）已知關于x的方程x2+ax+a-2=0.

Cl）當該方程的一個根為1時，求。的值及該方程的另一根；

（2）求證：不論。取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.

【分析】（1）設方程的另一個根為x,則由根與系數的關系得：x+l=-a,x-l=a-2,求出即可；

（2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進行解答.

【詳解】解：（1）設方程的另一個根為X,

則由根與系數的關系得：x+l=-a,x*l=a-2,

31

解得：