江蘇省泰州市2025屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合/={x|-14x42},S={xIInx>0},則/門5=（）

A.[-1,2]B.[1,2]

C.（0,2]D.（0,1]

2.已知向量3滿足。+2*=（3,1）,2,-35=（-1,2）,則8與3的夾角為（）

7171_7171

A.-B.—C.—D.一

6432

3.某正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱與底面的夾角為60。，則該正四棱錐的體積為（）

.4^/6口蚯「5^/15門476

3339

4.已知等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S“，且其…S”,S3成等差數(shù)列，則”=（）

%

A.1B.2C.4D.9

5.在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以P%的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng).若增長(zhǎng)為原來(lái)的。倍經(jīng)過(guò)

4

了4天，則增長(zhǎng)為原來(lái)的2倍需要經(jīng)過(guò)的天數(shù)約為（）

（參考數(shù)據(jù)：電2=0.3）

A.6B.12C.16D.20

6.定義在R上的奇函數(shù)/（x）滿足/（x）=/（4-x）,且/（x）在卜2,2]上單調(diào)遞增.設(shè)

a=C，"/[I，，=/（-"），則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

22

7.已知雙曲線C:=-A=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,4為C的左支

ab

上一點(diǎn)，/片與c的一條漸近線平行.若|N&|=|片且I，則c的離心率為（）

A.2B.272C.3D.3G

8.設(shè)函數(shù)〃x）=sin[ox用（。>0）,若/（X）在[o,雪上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

數(shù)a,/（x）在+上存在極值點(diǎn)，則0的取值范圍是（

二、多選題

9.已知今，Z2是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若z2為實(shí)數(shù)，則Z是實(shí)數(shù)B.若Z?為虛數(shù)，則Z是虛數(shù)

C.若Z2=],則平2是實(shí)數(shù)D.若z；+z；=O,則Z]Z2=0

10.口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地均相同，顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個(gè)球.從口袋內(nèi)無(wú)放回地依

次抽取2個(gè)球，記“第一次抽到紅球”為事件“第二次抽到黃球”為事件比則（）

A.P（N）=gB.尸

C./與8為互斥事件D./與2相互獨(dú)立

II.已知正方體/日a-44GA的棱長(zhǎng)為2,E,9分別是棱N3,4A的中點(diǎn)，貝1J（）

A.C/，平面。RE

B.向量用及赤，瓦可不共面

C.平面CEF與平面/BCD的夾角的正切值為拽

3

D.平面CEF截該正方體所得的截面面積為標(biāo)

三、填空題

12.已知二項(xiàng)式（2尤7）5=%+%x+%x2+/尤4+。5竟則4+%+。5=_.

13.過(guò)拋物線/=4x的焦點(diǎn)作斜率為1的直線/交拋物線于48兩點(diǎn)，則以為直徑的

圓被了軸截得的弦長(zhǎng)為.

14.將1,2,3,4,5,6隨機(jī)排成一行，前3個(gè)數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)a,后三個(gè)數(shù)字構(gòu)成三位

數(shù)6.記機(jī)=|。-4,則m的最小值為,m小于100的概率為.

四、解答題

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

15.某學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，為了解學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別是否有關(guān)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單

隨機(jī)抽樣，得到如下數(shù)據(jù)：

女男

未參加跳繩比賽7590

參加跳繩比賽2510

(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān)？

(2)為了進(jìn)一步了解女生的平時(shí)運(yùn)動(dòng)情況，利用分層抽樣的方法從這100人中抽取12人進(jìn)行研

究，老師甲從這12人中隨機(jī)選取3人，求至少有1人參加跳繩比賽的概率.

2n(ad-be)。_,,,

附：X=77T7\7]"7T，其中"=a+6+c+d

p(x2^k]0.1000.0500.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

AB

16.在VA8C,已知tan/=—,sin(^-3)=—.

3IJ10

⑴求8;

⑵若ND為/"C的平分線，V/BC的面積為14,求4D.

17.如圖，在直三棱柱/3C-44G中，4Bi=BG=C4,BCX±CA,.

B

(1)證明：三棱柱ABC-44G是正三棱柱；

(2)證明：AB.LCA,.

(3)設(shè)/可u平面a,8G〃平面a,若直線與平面a的距離為百，求三棱柱NBC-44G

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

外接球的表面積.

18.已知函數(shù)1(的=》3+辦的圖象與x軸的三個(gè)交點(diǎn)為4,O,B(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-21n、j有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)若"-1,點(diǎn)「在〉=/C)的圖象上，且異于4,0,2,點(diǎn)。滿足秒.諼=0,PB-QB=O,

求|。0|的最小值.

22/—(國(guó)、

19.已知橢圓C:0+q=1(a>6>0)的離心率為包，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)/應(yīng),一.定義第〃

a2b2212J

("eN*)次操作為：經(jīng)過(guò)C上點(diǎn)4作斜率為k的直線與C交于另一點(diǎn)B",記Bn關(guān)于x軸

的對(duì)稱點(diǎn)為4用，若4用與4重合，則操作停止；否則一直繼續(xù)下去.

(1)求C的方程；

(2)若4為C的左頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)3次操作后停止，求人的值；

(3)若后=-2,4是。在第一象限與/不重合的一點(diǎn)，證明：△44+14+2的面積為定值.

a

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《江蘇省泰州市2025屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BBACBDCDBCAB

題號(hào)11

答案AC

1.B

【分析】解對(duì)數(shù)不等式求集合，再由集合的交運(yùn)算求集合.

【詳解】集合8={尤|lnx20}={x|尤21},又/={尤|一1WxW2},

所以/CB={X|1VXV2}=[1,2].

故選：B

2.B

【分析】設(shè)@=（占,乂），彼=（%,%），根據(jù)已知求向量的點(diǎn)坐標(biāo)，再由向量夾角的坐標(biāo)表示

求夾角.

【詳解】設(shè)）=（西,乂），6=卜2，%），

因?yàn)?+21（3,1）,25-3^=（-1,2）,

再+2X2=3Xj—1

=1

y}+2y9=1X

所以1，解得＜

2再-3%=T尤2=1

、2%-3%=2J2=0

ab1旦

所以a=(1,1),行=（1,0），a石=1，則cos依勺

.|-|/)|V2xl2

因?yàn)?3,6—e[0,可，則?方,6.="

故選：B

3.A

【分析】利用線面角求出正四棱錐的高，再利用其體積.

【詳解】在正四棱錐尸中，令NCP|8O=。，連接P。，P。_1平面/80

則/尸/。=60°,由得PO=&,

所以該正四棱錐的體積為122.痛=生色.

33

故選：A.

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

4.C

【分析】利用等差中項(xiàng)列式求出公比即可得解.

【詳解】由%，S",sn+2成等差數(shù)列，得sn+2-sn=sn-%,則—=

BP%+2=-2%”,因此等比數(shù)列｛見｝的公比《=-2,

所以”=d=4.

〃4

故選：C

5.B

【分析】根據(jù)已知可得l+p%=(》：，進(jìn)而可得弓放=2,利用指對(duì)數(shù)關(guān)系、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性

質(zhì)、換底公式求〃即可.

5c-

【詳解】若原來(lái)藍(lán)藻數(shù)量為。，則。(1+0%)4=%，可得1+0%=弓)"

令經(jīng)過(guò)〃天后藍(lán)藻增長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，則0(1+0%)"=2°,

lgl6_41g24x0.3

可得〃=1。8工16==12天.

Ig5-lg4-l-31g2~1-3x0.3

4

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)題意得到/(X)的圖象的對(duì)稱軸是X=2,周期是8,進(jìn)一步有

,c=/(-13)=/(3)=/(1),結(jié)合單調(diào)性即可得解.

【詳解】定義在R上的奇函數(shù)八尤)滿足f(x)=/(4r),

則/(x)的圖象的對(duì)稱軸是x=2,

所以/(x)=/(4-x)=,

則/(x+4)=-/(x),

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

則〃尤+8)=-/(x+4)=/(x),所以/(x)的周期是8,

所以6===/(-13)=/(3)=/(1),

因?yàn)?'(x)在12,2］上單調(diào)遞增，

所以6=/金|<0=/(1)<”/日.

故選：D.

7.C

【分析】求出雙曲線的漸近線，由平行關(guān)系求出cos//6工，再結(jié)合雙曲線定義及等腰三角

形性質(zhì)列式求出離心率.

22力

【詳解】由對(duì)稱性，不妨取雙曲線C：5-4=1的漸近線N=令C的半焦距為C,

aba

依題意，tan44片貝Ijcos4片￡=乙看j『而|力閶=|耳耳|=2c,

則M與|=2c-2*cos解得c=3a,

閨工I2cc

8.D

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)的定義列不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，O'—"7w（―刀口―『］，

12/6（6267

因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=sin"q］（°>0）,若/'（x）在（0,曰上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，

冗冗713

則兀<—CD---<271,解得一<a）<一.

2633

又對(duì)任意實(shí)數(shù)。，/（X）在上存在極值點(diǎn)，且的長(zhǎng)度為:，

而函數(shù)「⑺的最小正周期為生，則工，解得。>3,

CD3CD

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

綜上，。的取值范圍是,

故選：D

9.BC

【分析】對(duì)于AB,^z=x+yi^,yeR,由復(fù)數(shù)概念以及乘法即可判斷；對(duì)于CD,設(shè)

Zj=xI+y,i,z2=x2+y2i,xl,x2,yl,y2eR,由復(fù)數(shù)概念以及乘法即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,B,設(shè)2=》+必式>eR,則z?二卜+負(fù)丫4/一力+的1,

若z?為實(shí)數(shù)，貝iJ2xy=0,但這不一定能得到y(tǒng)=0,比如x=O,y=l,

這個(gè)時(shí)候滿足d為實(shí)數(shù)，但z不是實(shí)數(shù)，故A錯(cuò)誤；

若Z?為虛數(shù)，貝IJ2犯W0,這一定能得到此時(shí)z是虛數(shù)，故B正確；

對(duì)于C,D,設(shè)Z]=再+卯/2必,%eR,

右z2=X?+=Z]=X]-yj,這表明X]=x2,yt=一%>

所以平2=(占+Ki)(xi-%i)=x：+y；是實(shí)數(shù)，故C正確；

若z；+z；=(玉+必ip+(x2+y2i)~=(x；+x；-y；-)+2(玉％+x2y2)i=0,

這表明(x；+x；-y；-y；)=(xlyl+x2y2)=0,

但ZK=(演+為乂尤2+%。=(占了2-%%)+(』%+尤2乂?不一定等于0,

比如xl=yl=x2=-y2=1,這個(gè)時(shí)候有z：+z；=0,

但z/2=&+詞(x2+%i)=(不超-%%)+(X1%+無(wú)2乂)i=2,故D錯(cuò)誤“

故選：BC.

10.AB

【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率、條件概率公式，結(jié)合互斥事件、相互獨(dú)立事件的意

義計(jì)算判斷.

【詳解】對(duì)于A,2(/)=；，A正確；

對(duì)于B,尸(48)="=：,P(//)=B|)=g,B正確；

對(duì)于C,事件48可以同時(shí)發(fā)生，則/與8不互斥，C錯(cuò)誤；

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

對(duì)于D,P(8)=；，由選項(xiàng)AB知，P(AB-P(A)P(B),則N與8相互不獨(dú)立，D錯(cuò)誤.

故選：AB

11.AC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷ABC；作出截面，結(jié)合余弦定理、

三角形面積公式計(jì)算判斷D.

【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-44GA中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

。(0,0,0),C(0,2,0),2(0,0,2),5(2,2,0),At(2,0,2),Ct(0,2,2),片(2,2,2),￡(2,1,0),F(l,0,2),

對(duì)于A,印=(1,-2,0),西=(0,0,2),瓦=(2,1,0),則印?西=0,于?麗=0,

即C/_LZ)A，GF_LZ)E,nUDDtr>DE=D,DD],DEcDDXE,因此C__L平面,

A正確；

對(duì)于B,A^E=(0,1,-2),BF=(-1,-2,2),D^BX=(2,2,0)=-2A^E-2BF,則向量港，麗，麗共

面，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)平面CEF的法向量7=(x,y,z),而=(2,-1,0),麗=(一1,一1,2),

fn-CE=2x-y=0__

則—",取x=2,得”=(2,4,3),平面48。的法向量皿=。0,1),

n?EF=-x-y+2z=0

—*―?Iyyi?yiI3

設(shè)平面CE尸與平面45cZ)的夾角為。，貝Ijcose=|cos〈風(fēng)〃〉|=匚」=—r=,

|m||w|V29

對(duì)于D,連接CE并延長(zhǎng)交ZM的延長(zhǎng)線于G,連接G尸交44于H,交。，延長(zhǎng)線于K,

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

連接KC交GA于M,則五邊形EWCM■即為所求截面，CG=2CE=275,

A】HA】F4尸

4FP則/”《旅二平，心，

AHAGBC~2

52._25

——+5——6.V29

cos/HGE=-:I—,sin/HGE—.——,

227136J65V65

3

號(hào)十%嚀"為'KC的中位線，則S"殍，

SHECK=V29，因此截面面積小于V29，D錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：正確作出截面是求解判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵.

12.122

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式，利用賦值法，即可解出.

【詳解】解：令X=1得，4+/+…+%=1①，

令x=-1,4_4+4%—243(2)

①一②得,4+。3+。5=122.

故答案為：122.

13.2幣

【詳解】設(shè)/(孫必)，8優(yōu),％),直線/的方程為產(chǎn)*-1,將其代入＞=4x中并整理得

/-6x+l=0,所以西+%=6,所以48的中點(diǎn)即以4B為直徑的圓的圓心，其橫坐標(biāo)為3,

所以圓心到V軸的距離為3,|48|=。+再+/=8,所以以48為直徑的圓的半徑為4,由已

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

知及垂徑定理得以為直徑的圓被了軸截得的弦長(zhǎng)為=2幣.

點(diǎn)睛：1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理.2.若

P（Xo，%））為拋物線V=2px（p>0）上一點(diǎn)，由定義易得|尸用=%+§若過(guò)焦點(diǎn)的弦4848的

端點(diǎn)坐標(biāo)為，（匹,必）,8（%,%）,則弦長(zhǎng)為|N3|=X[+X2+p,尤1+z可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出;

若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到.

1

14.47-

6

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合差的絕對(duì)值的對(duì)稱性，逐一分析各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字即可求出最

小值；分兩步探討，結(jié)合古典概率列式計(jì)算得解.

【詳解】由加=|。-4中。,方的對(duì)稱性，不妨令a>b,要加最小，

百位必相鄰，。的百位為4,b的百位為3；

對(duì)于十位，6的十位盡可能的大，為6,。的十位盡可能的小，為1；

同理b的個(gè)為5,。的個(gè)位為2,因此。=412,6=365,所以加的最小值為47；

要m小于100,百位必相鄰，且較大數(shù)的十位小于較小數(shù)的十位，個(gè)位無(wú)限制，分兩步：

取百位的概率為W=；；取十位，在剩下的4個(gè)數(shù)字中取兩數(shù)分配給“/作十位，

而。的十位大于6的十位與。的十位小于6的十位的概率相等，此步符合要求的概率為g,

所以m小于100的概率為gx!=J.

故答案為：47；—

6

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：按兩步分析，分別求出各步發(fā)生的概率求得第二空.

15.⑴有

⑵紀(jì)

~55

【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出/的觀測(cè)值，再與臨界值比對(duì)即可.

（2）利用分層抽樣求出抽取的12人中參加與未參加跳繩的人數(shù)，再借助組合計(jì)數(shù)問(wèn)題求出

古典概率.

【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，得方=200（75xl°-90x25）"=幽。7.792>6,635,

100x100x165x3577

所以有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān).

（2）利用分層抽樣的方法從女生這100人中抽取12人，則未參加跳繩比賽的有9人，參加

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

跳繩比賽的有3人，

老師甲從這12人中隨機(jī)選取3人，記“至少有1人參加跳繩比賽”為事件A，

_c32134

則…一…一口白下,

34

所以至少有1人參加跳繩比賽的概率是

71

16.⑴7

⑵述

3

【分析】(1)利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出tan(/-3),再利用兩角差的正切公式結(jié)合

3=/_(/叫即可求解.

(2)由(1)的結(jié)論以及三角形中sinC=sin(/+B)求出角C的正弦，再利用正弦定理與

三角形面積公式求出b邊和c邊，再用等面積法轉(zhuǎn)化即可求解.

47T

【詳解】(1)在V4BC中，taiM=g>0,所以

TT

因?yàn)?<3<兀，所以一兀</一5<一，

2

因?yàn)閟in(/-8)=>0，所以。</-8<二,

V7102

所以cos(4-5)=^1-sin2^A-B^=~~~

/、sin(4—8)1

所以tan(…=C。s=7'

4_J.

廠/、-1taib4—tan(A-B\

所以tan5=tan「4一(/一3)]=---------------'一3一5

Lv7Jl+tan4tan(^-5)[41

l+-x-

37

7T

又因?yàn)椤?lt;8(兀’所以八屋

4兀43

(2)由tarU=§,0</<5，所以sirL4=y,cos/=y,

所以sinC=sin(4+B)=siib4cosB+cos/siaS=.

記V48c中角/、B、。所對(duì)的邊為.、b、c

bchzbsinS5

由正弦定理可得‘所以「寂=亍

sinBsinC

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

ii54

所以5“g=5左$1必=2'亍°2、1=14,

解得c=7（負(fù)值舍去），所以6=5.

又由cos/=l-2sin2==3,得sinW=",

2525

1A1A

所以由％BC=S./BD+Leo，得14=5c?NDsin-+-b-ADsin-,

所以144x把"NO,解得/D=WL

25253

17.（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）3371

【分析】（1）通過(guò)證明三角形全等得到/3=3C=G4,即可證明三棱柱/3C-4耳G為正

三棱柱；

（2）建系，利用空間向量的方法證明線線垂直；

（3）根據(jù)垂直關(guān)系得到方可以作為平面。的法向量，然后利用點(diǎn)到面的距離公式列方程,

解方程得到。，然后求外接球表面積即可.

【詳解】（1）在直三棱柱-44cl中，

BB,=eq=AAi,^ABBl=ZBCCX=ZCAAX=90.

又因?yàn)镹4=8G=C4，

所以A/BBI也,

所以/3=3C=a,

所以三棱柱/BC-N4G為正三棱柱.

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

(2)取/C,4G的中點(diǎn)D,A，連結(jié)BD,D/,

則_L/C.

因?yàn)?4i//DDX,AA11平面ABC,

所以。2_L平面/8C.

以｛麗，皮，兩｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)/C=2。,皿|=6,則

/(0,-4,0),8(A/5a,0,0),C8,a,0]p,-a,b),

G(O,a,Z>),Sj〈ja,O,b),

所以8G=卜石2,0力)C4=(0,-2a,byABX=｛^a,a,b).

因?yàn)锽C|_LC4，所以南_L《4，

所以前i?有i=一32+62=0,所以

所以函石]=_勿2+62=0,

HULLULlll

所以/耳J_C4，即

(3)因?yàn)?片u平面a,BG〃平面a,

又因?yàn)锽G，C4],N3JC4,

所以不妨取平面。的法向量力=/=(。,-〃，缶).

因?yàn)橹本€3G與平面。的距離為百，

所以點(diǎn)3到平面a的距離為

因?yàn)锽8]=(0,0,衣()，

所以點(diǎn)3到平面?的距離d=網(wǎng)"=72a°=二a=5

\n\,4/+2/V6

所以〃=逑.

2

_j_3后_/7

所以正三角形N3C的外接圓半徑〃==V,

~T

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

所以正三棱柱NBC-4耳G的外接球的半徑

V33

所以三棱柱/3C-4用C的卜接球的表面積為S=4成2=337t.

18.(1)答案見解析;

(2)a<—4；

⑶萬(wàn)

【分析】(1)根據(jù)根的個(gè)數(shù)可得。<0,再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)令g(x)=/+ax-2ln￡1,求出函數(shù)的定義域，并證明g(x)為奇函數(shù)，由零點(diǎn)的個(gè)

數(shù)及奇函數(shù)的對(duì)稱性，將問(wèn)題化為g(x)在(0,1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，討論。+420、。+4<0

研究g(x)在(0,1)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得參數(shù)范圍；

(3)設(shè)/(占,0),3(X2,0),且再=-％=-7^,尸(刃,〃),0G,了)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

求得x=-機(jī)/=’,進(jìn)而有［0。|=/工，最后應(yīng)用基本不等式求最小值.

【詳解】(1)由已知得，〃x)=0有三個(gè)根，令尤3+辦=0,得x=0或/+a=0,

所以/+0=0有兩個(gè)不同的解，所以。<0,又八X)=3/+%

令/(x)>0,得x<-1或x>巨，令/'("<0,得一且<x〈且，

所以當(dāng)。<0時(shí)，/(x)在，內(nèi)上單調(diào)遞增,

J—3a1—3a

上單調(diào)遞減.

33

1—Y1—x

(2)令--->0,得—令g(x)=丁+辦—2In----,

1+X')1+X

因?yàn)間(—x)+g(x)=一丁-6zx-21n^-^+x3+^x-21n---=0,所以g(x)為奇函數(shù).

1-x1+x

因?yàn)間(0)=0,所以0是g(%)的一個(gè)零點(diǎn)，

要使g(x)=/(X)-21nF有三個(gè)零點(diǎn)，只需要g3在(0,1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

8")=31+。+丁^在(0,1)上單調(diào)遞增,g，(O)=a+4.

當(dāng)a+420,即止-4時(shí)，g，(x)>0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

由g(O)=O,得g(x)在(0,1)上無(wú)零點(diǎn)，不合題意，舍去.

所以存在/e(O,l),使得g'(Xo)=O.

當(dāng)0<x</時(shí)，g,(x)<0,所以g(x)在(0,%)上遞減;

當(dāng)無(wú)o<x<l時(shí)，g,(x)>0,所以g(x)在伉,1)上遞增.

當(dāng)xe(O,x())時(shí)，g(x)<g(O)=O,且g(Xo)<O.

當(dāng)x￡1)時(shí)，g(x)=d+(2X—21n--->a—21n----,

''1+x1+x

a(色、

n1—X1_介21—A2

令?=ln!三，解得=，所以g-->0,

21+x-,

1+e2l^l+e2J

所以g(x)在(x°,l)上存在唯一的零點(diǎn).

綜上，a<—4.

(3)設(shè)/(石,0),8(%2，。)，且再

=-x2,

因?yàn)辄c(diǎn)尸異于4。產(chǎn)，所以冽w0,±J-a.

_____________[(x^+ny=0

由尸=_________=0,得“

,

m-x2)(x-x2)+=0

^m+4~a^[x+\J-a^+ny=0

即\解得X=-冽，貝！ly=-----=-3----=——，

—y/-a^+ny=0n-m-amm

2

所以|。。|=Jx?+/=^m+-L>V2,當(dāng)且僅當(dāng)蘇=口，即加=±1時(shí)，等號(hào)成立，

m

所以|。。|的最小值為VL

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，判斷g(X)=/+"-21nl的奇偶性，將問(wèn)題化為g(X)在

(0,1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為關(guān)鍵.

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

19.（1）—+/=1；

（2）±§

2

（3）證明見解析.

【分析】（1）由離心率、橢圓所過(guò)的點(diǎn)列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；

（2）設(shè)4（%,然）