熱點01集合與復數

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

集合：集合：

2022年，第1題，考察集合的交集和補集該內容為天津卷的必考內容，多借助不等式的解集、

2023年，第1題，考察集合的交集集合的定義域和值域考查集合的交、

2024年，第1題，考察集合的并集并、補運算，關犍要抓住集合元素的屬性，特別是分

復數：清點集和數集，考直難度較低；

2022年，第10題（填空題第1題），考察復數的四復數：

則運算本節內容是天津卷的必考內容，一般考有復數的概念

2023年，第10題（填空題第1題），考察復數的四及幾何意義以及復數的四則運算

則運算

2024年，第10題（填空題第1題），考察復數的乘

法運算

熱點題型解讀

題型1元素與集合的關系

題型2子集（真子集）個數問題

題型3集合與集合關系判斷集合與復數一一題型8復數的模問題

題型4根據集合的包含關系求參數題型9共靦數

題型5集合的并交補運算題型10復數的四則運算

題型1元素與集合的關系

（1）集合的元素必須滿足確定性，互異性，無序性，特別是需要代入答案檢查是否滿足互異性。

（2）根據元素與集合的關系求參數問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再代入答案檢查元素是

否滿足互異性，要注意分類討論思想的應用.

1.（2024?廣東?模擬預測）若機e{1,3,4,丁}，則機可能取值的集合為（）

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4）

【答案】B

【知識點】根據元素與集合的關系求參數

【分析】根據給定條件，利用元素與集合的關系列式計算并驗證即得.

【詳解】由{1,3,4,加之},得〃則切片1,

由機e{1,3,4,加工，得加=3,此時療=9,符合題意；

或加=4,此時加2=16,符合題意；或加=小，則加=0,此時加2=0,符合題意,

所以加可能取值的集合為{034}.

故選：B

2.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知/=,若2eN,則俄的取值范圍是（）

mx-1

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——或D.m<——或機2—

22222222

【答案】A

【知識點】根據元素與集合的關系求參數、解不含參數的一元二次不等式、分式不等式

【分析】將x=2代入%然后轉化為一元二次不等式求解可得.

mx-1

2機+1]（2加+1）（2加—1）W0

【詳解】因為2e/,所以署等價于:,

2m-1[2加一1/0

解得一:《加

22

故選：A

3.（24-25高一上?安徽?階段練習）已知集合/={x|2〃?x-3>0,〃7eR},若1把/且3e/,則實數m的取值

范圍是（）

<131r13）（3）

A.B.C.-,+0>

（22j[22）（2）

【答案】A

【知識點】根據元素與集合的關系求參數

【分析】根據集合中的元素特征得出不等式組可解得結果.

[2m-3<0,

【詳解】由"/且得乙,八

[6m-3>0,

13

解得2〈加W/,

故選：A.

4.（2024?上海寶山?二模）已知集合/={2,卜+1|,。+3},且1”,則實數。的值為.

【答案】0

【知識點】根據元素與集合的關系求參數

【分析】根據給定條件，利用元素與集合的關系，結合集合元素的性質求解即得.

【詳解】由集合/={2,卜+1|,。+3},且le/,得=1或a+3=l,解得"0或a=-2,

當a=0時，/={2,1,3},符合題意，

當。=-2時，|。+1|=1且。+3=1,與集合元素的互異性矛盾,

所以實數”的值為0.

故答案為：0

題型2子集（真子集）個數問題

GO

如果集合z中含有“個元素，則有

（1）z的子集的個數有2"個.（2）Z的非空子集的個數有2"-1個.

（3）Z的真子集的個數有2"-1個（4）Z的非空真子集的個數有2"-2個.

1.（2024?天津和平?一模）已知集合/={xeN-24x<2},3={xeZ]|x|<2},集合。=4口2,則集合C的

子集個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數、交集的概念及運算

【分析】根據集合的交集運算求得集合C,然后可解.

【詳解】因為竟={0,1},5={-1,0,1},

所以C=/n3={01},

所以集合C的子集個數為22=4.

故選：D

2.（24-25高一上?天津濱海新?階段練習）已知集合/=<0,xeZkB={x|0<x<5,xeN),則滿

足條件/=C=3的集合。的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數、分式不等式

【分析】化簡集合，將題目等價轉換為求已知集合的子集個數即可求解.

【詳解】集合N=|x|WwO,xez1={x|lWx<3,xeZ}={l,2},

8={x|0<x<5,xeN}={1,2,3,4},

而題目等價于求{3,4}的子集的個數，故所求為22=4.

故選：D.

3.（2024?貴州遵義?模擬預測）已知集合/={01,2},8={1,2,3},若集合C={zeN*|z=肛,xe/且

y^B},則C的子集的個數為（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【知識點】描述法表示集合、列舉法表示集合、判斷集合的子集（真子集）的個數

【分析】首先求集合。中的元素，再根據集合的元素個數，代入公式，即可求解.

【詳解】由條件可知，xy=0xl=0x2=0x3=0,xy=lxl=l,|x2=2xl=2,1x3=3,2x2=4,2*3=6,

所以集合。={1,2,3,4,6},集合C的子集的個數為25=32個.

故選：C

4.（2024?寧夏?模擬預測）集合,|三|<°，》€21的真子集個數是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數、分式不等式

【分析】利用分式不等式，化簡完集合，根據真子集定義即可求得結果.

【詳角軍】由題意得1x||^|v0,xeZ：={x|_l<xV2,xeZ}={0,l,2},

所以該集合的真子集個數為23-1=7.

故選：C

5.（24-25高一上?天津?階段練習）已知集合/=］鼻eNxez1,則滿足。冬M￡N的集合州個數為—

【答案】63

【知識點】描述法表示集合、判斷集合的子集（真子集）的個數、子集的概念、常用數集或數集關系應用

【分析】利用常用數集的定義化簡集合A,再由條件得到集合M為集合A的真子集，從而得解.

【詳解】因為「1j2cN,xeZ,

x+3

所以x+3的取值為1,2,3,4,6,12,即x的取值為-2,-1,0為3,9,

所以N=卜{-2,-1,0,1,3,9},有6個元素，

又M=即集合M為集合A的真子集，

所以集合M個數為26-1=63.

故答案為：63.

題型3集合與集合關系判斷

:00—信

（1）列舉法，通過列舉兩個集合的部分元素找到規律;

!（2）共同特征法，通過通分等技巧找到兩個集合共同特征，分析規律判斷兩個集合的關系。

1.（24-25高三上?天津?階段練習）已知集合/={#2-》_2<0},5=3-1<無<3},則（）

A.A"B.3$AC.A=BD.AC\B=0

【答案】A

【知識點】判斷兩個集合的包含關系、解不含參數的一元二次不等式

【分析】根據一元二次不等式的解法求出集合/,結合集合之間的關系即可求解.

【詳解】由題意知，/={x|-l<x<2},

X5={x|-l<x<3},所以A0及

故選：A

2.（24-25高三上?天津東麗?階段練習）已知集合力={小27-2<。},3=3-1。<1},則（）

A.A^BB.8$AC.A=BD.AC\B=0

【答案】B

【知識點】判斷兩個集合的包含關系、解不含參數的一元二次不等式

【分析】化簡集合/={xy-x-2<0},即可判斷.

【詳解】解：因為/={x,-x-2<o}={x［（尤-2）（x+l）<0}={x|-l<x<2},

5={x|-l<x<l},所以8$A.

故選：B.

3.（2024全國?模擬預測）已知集合/={-1,0,1}潭=卜|-1"41},則（）

A.A=BB.AP\B=0C.B^AD.A$3

【答案】D

【知識點】判斷兩個集合的包含關系

【分析】利用元素與集合，集合間的基本關系判定選項即可.

【詳解】因為集合/={-1,0,1},3=卜|-14》41},/中元素都屬于8,

且42瓦.?［是B的真子集.

故選：D.

4.（2024?湖北?模擬預測）已知集合"=xx=W+；,“ez1,N=xx=：+；,〃eZ，，則下列表述正確的

是（）

A.McN=0B.M\JN=RC.M=ND.N=M

【答案】C

【知識點】判斷兩個集合的包含關系

【分析】集合M表示正奇數除以4,集合N表示整數除以4,據此可以判斷兩個集合的關系.

【詳解】，卜二勺1〃?%，表示是的含義是正奇數除以4,

N=[xx=*,〃eZ，表示的含義是整數除以4,

所以M=

故選：C.

5.（2024?陜西商洛?模擬預測）在下列選項中，能正確表示集合/={-3,0,3}和3=卜|，+3%=（）}的關系的

是（）

A.A=BB.A^BC.AjBD.Ap\B=0

【答案】B

【知識點】判斷兩個集合的包含關系

【分析】先求出集合瓦然后利用兩個集合之間的關系進行判斷即可.

【詳解】由8={刈/+3》=0},可得8={-3,0},又/={-3,0,3},所以A=B

故選：B

題型4根據集合的包含關系求參數

-W

（1）Zn8=Z=Zu8；

（2）AUB=BoAuB

（3）注意分類討論的思想，若Zn8=Z=NuB優先考慮Z=0

（4）常采用數形結合的思想，借助數軸解答

1.（2024?湖北?一模）已知集合/={-1,0,1,2},8={x||x-加歸2},若4UB=B,則〃?的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（-1,1）C.[0,1]D.[-1,1]

【答案】C

【知識點】根據集合的包含關系求參數、并集的概念及運算、根據并集結果求集合或參數

【分析】由/U8=8,得到4=8,再由集合之間的包含關系列不等式組求解即可；

【詳解】由,一對W2解得機一24x4機+2,

因為4U5=5,所以ZqB,

[加—2<—1「1

所以,解得。(切〈1,即加的取值范圍是0,1,

[m+2>2

故選：C.

2.(2024?河南新鄉?模擬預測)設集合/={#229},3=卜|2%<。},若8包/,則0的取值范圍是()

A.(-8,-6]B.(-co,-2]C.[3,+oo)D.[6,+co)

【答案】A

【知識點】根據集合的包含關系求參數、解不含參數的一元二次不等式

【分析】解不等式可得集合A,再由子集的運算求出結果即可；

[詳解]由題可知/=(一叫一3]U[3,+⑹,3=,叱鼻，

由8仁/,可得:4-3,

所以a4—6.

故選：A.

3.(2024?陜西銅川?三模)已知集合/={x|無<加},8={x[-2<x<3},若/衛8,則實數”的取值范圍為

()

A.(一1?,-2)B.(-oo,-2]

C.(3,+(?)D.[3,+co)

【答案】D

【知識點】根據集合的包含關系求參數

【分析】根據3G4,結合圖象列不等式即可求解.

【詳解】因為

所以

所以由數軸得加23.

即"2的取值范圍為[3,+00).

故選：D.

--------------------O-------------------O——<>------------>

-23mx

4.(2024?江蘇宿遷?三模)己知集合/={尤|0<無<%},2=卜卜2-3》+2>0},若則實數的取值

范圍為()

A.(-8,2]B.(1,2]C.[2,+<?)D.(2,+<?)

【答案】D

【知識點】根據集合的包含關系求參數、補集的概念及運算、解不含參數的一元二次不等式

【分析】解不等式可得集合3,再由補集和子集的運算可得實數加的取值范圍.

【詳解】因為一3x+2>0nx>2或x<l,

所以2=或x<l},

所以[；6={刈14％42},

又"B三A,且4=卜|0<^<加},

所以“Z>2,

所以實數加的取值范圍為（2,+功,

故選：D.

5.（2024?河北邯鄲?模擬預測）已知集合么=卜卜2+2》_4訓,3=卜孫=0},若則實數a的取值

范圍是.

【答案】（-8,3]

【知識點】根據集合的包含關系求參數、對數的運算性質的應用

【分析】由對數運算可得8={1},再由元素與集合的關系代入解不等式可得結果.

【詳解】易知8=律，因為8包/,所以le/,

所以1+2-aNO,IPa<3.

可得實數a的取值范圍是（一叫3].

故答案為：（-8,3]

題型5集合的并交補運算

0。

（1）列舉法

（2）數軸法

(3)ne〃〃圖法

1.（2024?天津河西,模擬預測）已知集合/={x|x=3E-lKeN},3={x|-4x2+4x+15>0},則4門2=

（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,2}

【答案】D

【知識點】交集的概念及運算、解不含參數的一元二次不等式

【分析】解一元二次不等式得到B,再由集合交集運算即可求解.

【詳解】因為“={x|x=3左一1,無€用,當左=-1,0,1,2,時，3^-1=-4,-1,2,5

所以4口2={-1,2}

故選：D

2.（2024?天津南開二模）已知全集。=卜2,-1,0,1,2},集合/={-2,0},2={0,2},則1（/口5）=（

A.{1}B.{-1,1}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1）

【答案】B

【知識點】交并補混合運算

【分析】借助集合的并集與補集的定義計算即可得.

【詳解】由么={-2,0},5={0,2},則/UBnBnW",-2},

又。={-2,-1,0,1,2},則Q（/UB）={-M}.

故選：B.

3.（2024,天津濱海新,三模）已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,4,6],5={4,5},貝（

A.{3,6}B.{1,3,6}C.{3,4,6}D.{1,3,4,6}

【答案】B

【知識點】交并補混合運算

【分析】根據集合補集和交集的運算法則即可計算求解.

【詳解】???[/={1,2,3,4,5,6},8={4,5},

={1,2,3,6},

又/={1,3,4,6},

.../n&8）={1,3,6}.

故選：B.

4.（2024?天津和平?二模）設集合U={xeN|xW7},5={0,2,4,5},T={3,5,7},貝USc（jT）=.

【答案】{0,2,4}

【知識點】交并補混合運算

【分析】根據集合的交運算以及補集定義即可求解.

【詳解】t/={xeN|x<7}={0,l,2,3,4,5,6,7},叱={0,1,2,4,6},

故Sc&?）={0,2,4},

故答案為：{024}

5.(2024?天津?三模)已知全集。={X€^^47},集合/={1,2,3,6},集合2={xeZ|國<5},則

爆)門5=,/U2=.

【答案】{4}{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6}

【知識點】列舉法表示集合、交并補混合運算

【分析】根據題意，分別求得。={1,2,3,4,5,6,7}和8={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},結合集合運算法則，即可

求解.

【詳解】由全集U={xeN*|x<7}={1,2,3,4,5,6,7},

集合/={1,2,3,6},集合8={xeZ|忖<5}={-4,一3,-2,-1,0,1,2,3,4},

可得&/={4,5,7},貝UC4)c8={4},={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6).

故答案為：{4}；{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6).

題型6ve〃力圖

通過畫圖分析各個集合的特征，通過計算求得各個集合

1.(2024?海南?模擬預測)如圖，已知全集"=1i,集合/=抑2》-3).口+1)40},5={x|x>0),則圖中

C.{x\x<0或x>—}D.{x\x<0或x>—}

【答案】B

【知識點】并集的概念及運算、補集的概念及運算、解不含參數的一元二次不等式、利用Venn圖求集合

【分析】解不等式化簡集合4再結合韋恩圖求出陰影部分表示的集合.

【詳解】依題意，集合/={x|T4x4},而3={x|x>0},則/U8={x|x"l},

由韋恩圖知，圖中陰影部分表示的集合為&(/U8)={x[x<-1}.

故選：B

2.(2024?新疆烏魯木齊?三模)已知集合。={1,2,3,4,5},4={1,2,3},5={2,3,4},則圖中陰影部分表示

的集合為（）

C.{1,4}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算、利用Venn圖求集合

【分析】表示出陰影為在直接計算即可.

【詳解】圖中陰影部分為1（/口3）,因為/={1,2,3},5={2,3,4},

所以NcB={2,3},

故選：A.

3.（2024,廣西柳州?三模）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有90%的學生喜歡足球或游泳，60%的學

生喜歡足球，80%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是

（）

A.70%B.60%C.50%D.40%

【答案】C

【知識點】利用Venn圖求集合

【分析】根據韋恩圖中集合的關系運算即可.

4.（24-25高一上?全國?課后作業）二十大報告中提出加強青少年體育工作，促進群眾體育和競技體育全面

發展，加快建設體育強國的要求.某校體育課開設"足球"、"籃球"兩門選修課程，假設某班每位學生最少選

修一門課程，其中有33位學生選修了"足球"課程，有26位學生選修了"籃球"課程，有10位學生同時選修了

這兩門課程，則該班學生的人數為（）

A.39B.49C.59D.69

【答案】B

【知識點】容斥原理的應用

【分析】設選修"足球"課程的學生構成的集合為A,選修"籃球"課程的學生構成的集合為8,作出韋恩圖,

可得出該班學生人數.

【詳解】設選修"足球"課程的學生構成的集合為A,選修“籃球〃課程的學生構成的集合為B,

如下圖所示：

故選：B.

5.(24-25高一上?遼寧?階段練習)已知南雅中學高一班有55名學生，在秋季運動會上，有17名學生參加

了田賽項目，有22名學生參加了徑賽項目，田賽和徑賽都參加的有9名同學，則該班學生中田賽和徑賽都

沒有參加的人數為

【答案】25

【知識點】容斥原理的應用

【分析】根據題意畫出Venn圖，再進行求解即可.

【詳解】根據題意，畫出Venn圖如下：

所以該班學生中田賽和徑賽都沒有參加的人數為55-(8+9+13)=25.

故答案為:25.

題型7集合新定義問題

0。0W

(1)封閉運算

(2)完美集

(3)群，域，環等

1.（24-25高三上?四川?開學考試）定義：如果集合。存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為

不交）的非空真子集4,4,…/peN*）,且4U4U…U4=。，那么稱子集族{4,4,…，4}構成集合。

的一個上劃分.已知集合/={xeN|x2_6x+5<0},則集合/的所有劃分的個數為（）

A.3B.4C.14D.16

【答案】B

【知識點】集合新定義

【分析】解二次不等式得到集合/，由子集族的定義對集合/進行劃分，即可得到所有劃分的個數.

【詳解】依題意，7={xeN|x2-6x+5<0}={xeN|l<x<5}={2,3,4）,

I的2劃分為{{2,3},{4}},{{2,4},{3}},{{3,4},{2}}，共3個，

/的3劃分為{{2},{3},{4}},共1個，

故集合/的所有劃分的個數為4.

故選：B.

2.（2024?上海靜安?二模）如果一個非空集合G上定義了一個運算*,滿足如下性質，則稱G關于運算*構

成一個群.

（1）封閉性，即對于任意的a/eG,有a*beG；

（2）結合律，即對于任意的a,6,ceG,有（a*6）*c=a*（6*c）；

（3）對于任意的a,6eG,方程x*a=6與。*>=6在G中都有解.

例如，整數集Z關于整數的加法（+）構成群，因為任意兩個整數的和還是整數，且滿足加法結合律，對

于任意的a,6eZ,方程x+“=b與。+了=6都有整數解；而實數集R關于實數的乘法（x）不構成群，因為

方程Oxy=1沒有實數解.

以下關于"群"的真命題有（）

①自然數集N關于自然數的加法（+）構成群；

②有理數集Q關于有理數的乘法（x）構成群；

③平面向量集關于向量的數量積L）構成群；

④復數集C關于復數的加法（+）構成群.

A.0個；B.1個；C.2個；D.3個.

【答案】B

【知識點】集合新定義

【分析】根據群的定義需滿足的三個條件逐一判斷即可.

【詳解】對于①，x+3=2,在自然數集中無解，錯誤；

對于②，Oxy=l,在有理數集中無解，錯誤；

對于③，是一個數量，不屬于平面向量集，錯誤；

對于④，因為任意兩個復數的和還是復數，且滿足加法結合律，

且對任意的a/eC,方程x+a=b與。+了=6有復數解，正確.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題考查新定義，解題關鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據新定義的3

個條件進行驗證，注意實數或復數運算的運算律與新定義中運算的聯系可以很快得出結論.

3.(2024?黑龍江齊齊哈爾?一模)

/={zeC|z=a+6i,aeN,beN,|z|=1},8={zeC|z=x+yi,xeZ,yeZ，WV1,[引V1},若定義

/十8={zeC|z=Z]+z2，Z]&A,Z2eS},則/十8中的元素有個.

【答案】14

【知識點】由復數模求參數、利用集合中元素的性質求集合元素個數、集合新定義

【分析】根據復數模的運算公式，結合題中定義進行求解即可.

【詳解】因為/=11},8={-1,0,1,-1+不，1+>171,1-”，

所以/十8={-l+i,i,l+i,-l+2i,2i,l+2i,-l,0,l,2,2+i,-i,l-i,2-i},

N十8共14個元素.

故答案為：14

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是理解題中定義.

4.(23-24高二下?浙江溫州?期中)若X是一個集合，T是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：

①X屬于T,空集0屬于T;②T中任意多個元素的并集屬于7;③T中任意多個元素的交集屬于T,則

稱T是集合X上的一個拓撲.已知函數〃x)=[x[x]],其中[x]表示不大于x的最大整數，當xe(0,磯〃eN*

時，函數/'(x)值域為集合4,則集合4上的含有4個元素的拓撲7的個數為.

【答案】9

【知識點】組合數的計算、集合新定義

【分析】根據集合X上的拓撲的集合T的定義，判斷"的值，利用元素與集合的關系判斷滿足題意的集合4

上的含有4個元素的拓撲T的個數.

【詳解】因為函數〃x)=[x[x]],其中團表示不大于x的最大整數，當xe(0,〃],〃eN*時，函數〃x)值域為

集合，

所以〃=2,故0<xW2,

①當0<x<1時，則[x]=0,.'.f[x[x]]=0,

②當x=l時，[x]=l顯然=

③當l<x<2時，[x]=l,==

④當x=2時，〃2)=4,

={0,1,4},

?"中含有4個元素，其中兩個元素0和4,

A^0

AA2

設其它兩個元素為4兄貝B豐0,

BwA?

AHB

由對稱性，不妨設1引4區忸區2,其中14團表示集合/中元素的個數,

AcBeT

又⑷引創,NcB=0或A,

ADBST

若/nB=0,則/U2只能等于4，（若/UB=8,則/=則Nn8=N=0,矛盾），

則必有＜

，“㈤的個數O"的個數=3種.即]::篇或或舄fl}；

若4c8=/=此時滿足/U8=8,

.../WB且1引w且忸|42,

A=1

所以

B=2

■■■B的選擇共有C；=3種，則A的個數有C；=2種,

.?.(48)的個數=2x3=6種.

、“\A={0}J/={1}J/={O}J/={4}J/={I}p={4}

這6種h是=jo,i}，j8=jo,i}[8=jo,4}，jg=,,4}，j8=,,4}，

綜上可知T的個數為9個.

故答案為：9.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于理解集合新定義，得到若/口3=0時，（43）的個數O/的個數=3

種；若4cB=N=/=8時，（4臺）的個數=2x3=6種.

5.（24-25高一上?北京,期中）給定數集Af,若對于任意。、b&M,有a+beM,^.a-b&M,則稱集

合〃為閉集合，則下列所有正確命題的序號是.

①集合〃={-2,-1,0,1,2}是閉集合；

②正整數集不是閉集合；

③集合初=徊"=3左，左eZ}是閉集合；

④若集合4、4為閉集合，則4口4為閉集合.

【答案】②③

【知識點】判斷元素與集合的關系、集合新定義

【分析】對于①，令。=-2,b=-l,即可判斷；對于②，兩個正整數的差可能是負整數，即可判斷；對

于③，任取巧,n2eM,貝lj"i=3勺，叼=3卷,左，僅eZ,結合新定義即可判斷；對于④，令

4=刨〃=3左，左eZ｝,4=?=2左，左eZ｝,結合新定義即可判斷.

【詳解】對于①，因為-2eM,-leM,但是一2+（-1）=一3eM,

所以“=｛-2,-1,0,1,2｝不是閉集合，故①錯誤；

對于②，對于正整數集N*,因為leN*,2eN*,

但是1-2=-leN*,所以正整數集不是閉集合，故②正確；

對于③，任取?i，n2&M,貝！]%=3kl,%=342，￡，僅eZ,

則k、+k?￡Z,k[—k?wZ,k?—k]￡Z,

所以〃i+%=3（4+左2）￡M,々一〃2二3（左i一左2）￡〃，叼+〃i=3（左2—左）￡〃,

所以W=｛〃|"=3左，左eZ｝是閉集合,故③正確；

對于④，由③可得4=徊"=3上水eZ｝是閉集合，4=｛巾=2左，左eZ｝是閉集合，

所以4口4=｛川〃=3左或〃=2左，左eZ｝,則有2,364U4,

但2+3=5e4U4,則不是閉集合，故④錯誤.

故答案為：②③.

【點睛】關鍵點點睛：解決集合知識和新定義的問題，在解答過程當中應充分體會新定義問題概念的確定

性，與集合子集個數、子集構成的規律.

題型8復數的模問題

00日W!

向量應的模叫做復數Z=a+6ia,6e&）的模,記為|z|或|。+沅|

公式：\z\=\a+bi\=4^+^其中

復數模的幾何意義：復數z=a+次在復平面上對應的點Z（a,b）到原點的距離；

特別的，6=0時，復數z=a+4是一個實數，它的模就等于|a|（。的絕對值）.

1.（2024?天津?一模）若復數z滿足z（l_i）=1+石i|,則z=（）

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【知識點】求復數的模、復數的除法運算

【分析】由復數的除法運算法則以及復數的模的概念即可得到結果.

【詳解】???z(l-i)=|l+V3i|=ViT3=2,

故選：B.

2.(2024?浙江?二模)若復數z滿足：z+2z=3-2i,貝小為()

A.2B.72C.V5D.5

【答案】C

【知識點】復數的相等、求復數的模、共軌復數的概念及計算

【分析】利用共軌復數的概念及復數相等的充要條件求出z,進而求出目.

【詳解】設z=a+6i,(a,6eR),貝l|z=a-歷,

所以z+2亍=3a-6i=3-2i,即。=1,6=2,

所以國二^/7+方=^/5.

故選：C.

3.(2024?吉林長春?模擬預測)已知復數z=(l+2i)(i-l),則|z|=()

A.Jl0B.y/sC.y/3D.-^2.

【答案】A

【知識點】求復數的模、復數代數形式的乘法運算

【分析】根據復數的乘法運算和幾何意義計算即可求解.

【詳解】z=(l+2i)(i-l)=-3-i,

所以忖=J(-3y+(-l)2=屈.

故選：A

4.(2024?吉林三模)已知復數z=(l+2i)(i-l),則同=()

A.J10B.y/sC.VsD.^2

【答案】A

【知識點】求復數的模、復數代數形式的乘法運算

【分析】根據復數的乘法、加減法運算及復數的模即可求解.

［詳解］z=(l+2i)(i-l)=-3-i,則忖=J(一3p+F=可,

故選：A

5.(2024?浙江?一模)已知復數z=l-i(其中i是虛數單位)，則()

A.2B.1C.V2D.710

【答案】C

【知識點】求復數的模、復數加減法的代數運算、復數的乘方、共軌復數的概念及計算

【分析】利用共軌復數的定義、復數的四則運算化簡復數z2+＞利用復數的模長公式求解即可.

【詳解】因為z=l-i,則z?+z=+l+i=-2i+l+i=l-i,

所以產+目="+(_1)2=后.

故選：C.

題型9共輾復數

-立一.

0。0e

一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時,這兩個復數叫做互為共輾復數；虛部不等于0的兩

1

個共軌復數也叫共輾虛數.1

I(2)表示方法

!表示方法：復數2的共軌復數用I表示，即如果z=a+加，則W=a一次.

I___________________________________________________________________

1-i

1.(2024?天津和平?二模)已知i為虛數單位，復數Z=TK，則z的共輾復數三=()

2+21

11.11.1.C1.

A.------1B.—+—1C.—1D.--1

222222

【答案】C

【知識點】共軌復數的概念及計算、復數的除法運算

【分析】先利用復數的四則運算求出z,再結合共輾復數的定義求解.

21.

【詳解】復數z=晝=；藍：2=))=2一為-+為=一

2+21(2+21)(2-21)821'

所以Z的共朝復數7=1i.

2

故選：C.

2.(2024,廣東韶關?一模)若復數z滿足zi=1+i,貝!]z?彳=()

A.1B.V2C.2D.4

【答案】c

【知識點】共軌復數的概念及計算、復數的除法運算

【分析】方法L根據復數除法運算求出z,然后共輾復數概念結合乘法運算可得；方法2：利用復數模的

性質求出國，然后由性質z與qz|2可得.

【詳解】法1：因為zi=l+i,所以z=—=1-i,7=l+i,所以zN=(l+i)(l-i)=2.

法2：因為zi=l+i,所以同=|1+國,即目=虛,z衣=|z1=2.

故選：C.

3.(2024?四川德陽?一模)已知復數z滿足(l+i)z=T，貝”=()

11.11.

A.------1B.—+—1C.l-iD,

2222

【答案】B

【知識點】共軌復數的概念及計算、復數的除法運算、求復數的模

【分析】利用復數除法法則和共軌復數的概念得到答案.

【詳解】

故選：B

z

4.(2024?山東威海,一模)設復數z滿足;一=i,則zN=()

【答案】C

【知識點】復數代數形式的乘法運算、復數的除法運算、共軟復數的概念及計算

【分析】由題可得，=上，計算后可得z與7,即可得答案.

【詳解】由5一=i，可得zKl+zKniYl-Dznzu/^n

故選：C

5.(2024?陜西商洛?一模)若復數z=(2+i)(l-i),則彳=()

A.l-iB.1+iC.3-iD.3+i

【答案】D

【知識點】復數代數形式的乘法運算、共朝復數的概念及計算

【分析】根據復數的乘法運算化簡，即可根據共軌復數的定義求解.

【詳解】因為z=(2+i)(l-i)=2-2i+i-i?=3-i,所以彳=3+i.

故選：D

題型10復數的四則運算

0O與?

（1）復數的乘法法則

我們規定，復數乘法法則如下：設Z]=。+加，Z2=C+由是任意兩個復數，那么它們的乘積為

2/2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi~=(ac-bd)+(ad+bc)i,

即(a+bi)(c+(/z)=(ac-bd)+(ad+bc)i

（2）復數的除法法則

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

(a+bi)(c+di)=+—；----T-I

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d~c+d-

(c+力w0)

由此可見，兩個復數相除（除數不為0）,所得的商是一個確定的復數.

1.（2024?陜西西安?模擬預測）已知復數z滿足（2+i）z=2-4i,則2=（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】A

【知識點】復數的除法運算

【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡即可.

,、2-4i（2-4i）（2-i）4-2i-8i+4i2

【詳解】因為（2+i）z=2-4i,所以z=吃一=7。=-----------=-21.

故選：A

1-i

2.（2024?天津北辰?三模）i是虛數單位，復數Z=h下的虛部為_________.

3+41

7

【答案】~

【知識點】求復數的實部與虛部、復數代數形式的乘法運算、復數的除法運算

【分析】根據復數的四則運算可得z=結合復數的有關概念即可求解.

C2_l-i_（l-i）（3-4i）_17.

【詳解】3+4i（3+4i）（3-4i）2525'

7

所以復數Z的虛部為-

故答案為：-（7

3.（2024?天津南開?二模）i是虛數單位，復數4—=_________.

1-21

【答案】3+4i

【知識點】復數的除法運算

【分析】由復數除法法則直接計算即可.

【詳解】由題卷

(11-21)(1+21)=15±20I=3+4I

(l-2i)(l+2i)5

故答案為：3+4i.

4.（2024?天津河北?二模）i是虛數單位，化簡三二的結果為____________.

1-1

【答案】i

【知識點】復數的除法運算

【分析】利用復數的除法運算求解.

1+i(1+i)22i

【詳解】解:

口一(l-i)(l+i)一萬

故答案為：i

5.（23-24高一下?天津河北?期末）i是虛數單位，復數翌，=_____.

3-41

【答案】-l+2i

【知識點】復數的除法運算、根據復數乘法運算結果求復數的特征

【分析】根據復數的除法運算即可.

5+10i_(5+10i)(3+4i)_5(l+2i)(3+4i)_(l+2i)(3+4i)_-5+10i

【詳解】

3-4i-(3-4i)(3+4i)-9-16i2-5一~5~

故答案為：-l+2i

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（2024?甘肅平涼?模擬預測）已知集合/={X，-2X-3>0},5={1,2,3,4},則/口8=（）

A.{1,2}B.{1,2,3）C.{3,4}D.{4}

【答案】D

【知識點】交集的概念及運算、解不含參數的一元二次不等式

【分析】先解不等式求出集合4再根據交集運算求出

【詳解】由％2_2x_3>0,解得X>3或

所以/={x|x>3