專題01集合與常用邏輯用語

目錄

題型一：集合

易錯點01忽視集合中元素的互異性

易錯點02未弄清集合的代表元素

易錯點03遺忘空集

題型二常用邏輯用語

易錯點04判斷充分性必要性位置顛倒

易錯點05由命題的真假求參數的取值范圍

題型一：集合

易錯點01：忽視集合中元素的互異性

易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高三上?云南?期中)已知集合/={1,3,/},2={l,a+2},若2口8=2,貝匹?()

A.{2}B.{1,-2}C.{-1,2}D.{-1,1,2)

【答案】A

【分析】利用子集關系來求解參數，最后要檢驗元素的互異性.

【詳解】因為2口8=8,所以8=",由/={1,3,/},8={1,0+2},

所以a+2=3或°+2=/，解得a=2或-1或1,

經檢驗集合中元素的互異性，把。=1或-1舍去，所以。?{2}.

故選：A.

【易錯剖析】

本題易忽略集合元素的互異性而錯選D.

【避錯攻略】

類型1集合與元素關系的判斷

(1)直接法：集合中的元素是直接給出的.

（2）推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.

【提醒】若集合是有限集，可將集合中的元素化簡并一一列出，再與有限集內的元素進行逐個對照，確定

是否存在與其相等的元素，進而判斷集合與元素的關系；若集合是無限集，可將元素變形，看能否化為集

合中元素的形式，也可以代入集合的約束條件，判斷是否滿足，若滿足則屬于該集合，否則不滿足.

類型2根據元素與集合以及集合間關系求參數

第一步：求解，根據集合中元素的確定性，解出字母的所有取值；

第二步：檢驗，根據集合中元素的互異性，對解出的值進行檢驗；

第三步：作答，此處所有符合題意的字母取值（范圍）.

易錯提醒：集合中元素的三個性質，一定要理解透徹并掌握其基本作用：

（1）確定性：判斷對象能否構成集合的依據.

（2）互異性：常用于檢驗解的合理性，如求解集合中元素含有參數的問題，先根據其確定性列方程，求出值

后，再根據其互異性檢驗.

（3）無序性：常用于判斷集合相等.

舉—反三

1.（24-25高三上?湖南長沙?期中）已知集合/={-1,0,。},3={-1,2,3}.若2={-1,0,2,3},則實數。的取

值集合為（）

A.{2,3}B.{0,2,3）

C.{-1,2,3}D.{0,-1,2,3}

2.（2024?全國?模擬預測）已知集合4={。,f},5={1,4},若1〃，則/U8中所有元素之和為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2024?內蒙古呼倫貝爾?二模）己知集合”=B={2,a2},若/U8中恰有三個元素，則由a的取

值組成的集合為（）

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2）

易錯題通關

1.（2024?全國?模擬預測）已知集合4={1,16,8〃},5=則滿足/口3=8的實數〃的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2025高三?全國?專題練習）已知集合/={0,加,蘇-3加+2},且25，則實數加為（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3

3.（2024?四川攀枝花?二模）已知集合4={1,/},8={1,4,成，若AjB,則實數a組成的集合為（）

A.{-2,-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,0,2}

4.（23-24高三上?全國?階段練習）已知加eR,集合/={加，-1,2},8={/卜—},若C=/UB,且C的

所有元素和為12,則加=（）

A.-3B.0C.1D.2

5.已知aeR,beR,若集合卜^/川/也一4。},則a刈9+，?。的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

6.（24-25高三上?四川成都?期中）已知集合4={1,〃+2},5={〃2,1,3},若對VxwZ,都有XEB,則。為

（）

A.1B.-1C.2D.1或2

7.己知x為實數，A=（2,x,x2},集合A中有一個元素恰為另一個元素的2倍，則實數x的個數為（）

A.3B.4C.5D.6

8.（2024?貴州?模擬預測）已知集合/={HlM《3,xeN},5=12m-l,w,w2},C={3,機,3加一2},若B=C,

則NcB的子集個數為（）

A.2B.4C.7D.8

9.（多選）（24-25高三上?江西新余?階段練習）若集合N={/+2a,3a+2,8},則實數。的取值可以是（）

A.2B.3C.-4D.5

10.（多選）（23-24高三上?福建寧德?期中）設集合初={3,9,3x},N={3,無?},且NqM,則x的值可以為

（）

A.-3B.3C.0D.1

11.（2024?安徽?三模）己知集合/={尢2,-1},8={乂了=，戶€/},若/UB的所有元素之和為12,則實數

2=.

易錯點02：未弄清集合的代表元素

易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024?湖南衡陽?一■模)已知集合/={y|y=lg(x2-x-2)},B={x\y=A/X2-X+2}>則4口8=()

3

A.(-1,2)B.[-,+co)C.(0,+co)D.R

【答案】D

【分析】根據對數型函數求值域得根據二次函數求得函數定義域得8,根據交集運算得解.

【詳解】/==電(--尤-2)}為函數y=lg(/-x-2)的值域，

令，=/-x-2>0=x>2或x<-l,te(0,+8)ny=lgf=>eR,

B={x\y=y/x2—x+2)為函數y=Jx?-x+2的定義域,

即尸J(X一X，因為所以函數y=J'2一x+2定義域為R,

故/ri8=R,

故選：D.

【易錯剖析】

本題易忽略集合的代表元素，沒有注意到集合A表示的是函數的值域，而集合B表示的是函數的定義域而

出錯.

【避錯攻略】

在進行集合間運算時，常用的方法為列舉法和賦值法：

方法1列舉法

列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據集合基本運算的定義求解的方法。

【具體步驟】

第一步：定元素，確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數軸寫出所有元素或范圍；

第二步：定運算，利用常見不等式或等式解未知集合；

第三步：定結果。

方法二：賦值法

高考對集合的基本運算的考查以選擇題為主,所以我們可以利用特值法解題,即根據選項之間的明顯差

異,選擇一些特殊元素進行檢驗排除,從而得到正確選項.

【具體步驟】

第一步：辨差異，分析各選項，辨別各選項的差異；

第二步：定特殊，根據選項的差異，選定一些特殊的元素；

第三步：驗排除，將特殊的元素代入進行驗證，排除干擾項；

第四步：定結果，根據排除的結果確定正確的選項。

易錯提醒：在進行集合的運算時，一定要先觀察集合的代表元素，因為代表元素決定了集合的性質，通過

集合的代表運算可以確定集合是數集還是點集、代表元素是實數還是整數，另外在進行補集運算時，一定

要注意全集的性質，不要想當然的認為是R.

舉一反三

1.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中)己知集合河川乂”/一工-？},"=卜7=7占],則加■門"=

()

A.[-3,1)B.[-1,1)C.(1,3)D.[1,4]

2.(24-25高三上?江蘇鹽城?期中)已知集合”={-1,1},2=則/口8=()

A.AB.BC.0D.R

3.(24-25高三上?山東?期中)集合/={1,2,3,4,5,6},8=卜eN|2xe/},則[:M=()

A.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1,2,3}D.{4,5,6}

?易錯題通關

1.(2024?浙江溫州?模擬預測)設集合/=k“卜2-3》-4叫，S={x||x+l|<1},則()

A.{-1,0}B.{-2,-1,0)

C.{0,1,2}D.{0,1}

2.(24-25高三上?陜西漢中?期中)已知全集。={引x-l<0},集合/=付/+3x-4<0},則&/=()

A.(-co,-4)B.(-oo,-4]C.(-4,1)D.[-4,1)

3.(2024?廣東肇慶一模)已知集合/={xeN|(x-l)(尤-4)40},3={x[0<x<3},則()

A.{1,2}B.(1,3)C.{2,3}D.[1,3)

4.(24-25高三上?浙江?階段練習)已知集合M==N=+,則McN的元

素個數為()

A.0B.1C.2D.無數

5.（24-25高三上?安徽合肥?階段練習）已知集合4=卜”=1嗎卜2-1）},集合八{幣=3-"},則4口人

()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+°0)D.(2,+oo)

6.（24-25高三上?廣東東莞?階段練習）設/={(x/)|y=x2-x},8={(x,y)|〉=x},則/口8=(

A.{(0,0),(2,2)}B.{(0,0)}C.{(2,2)}D.0

7.（24-25高三上?山東濟寧?期中）已知集合「=則尸n&0）=（）

A.0B.[!,+<?)C.(-℃,0)D.(-<?,-1]

易錯點03:遺忘空集

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高一上?重慶萬州?期中）已知集合/={x|x>5},8={x|5a-l<x<a+ll},^A\JB=A,貝ij。

的取值范圍為（）

A.（-<?,-6]B.■|，+c0]C.■|,3）D.[3,+co）

【答案】B

【分析】由并集的定義可知NU8=/得到3=/,討論集合B是否為空集，得到對應的參數。的范圍，再

求并集得到結果.

【詳解】因為“U2=N,所以31/.

若3=0,則5"12a+ll,a>3；

[a<36

若3*0,則<…解得-Ma<3.

綜上所述，。的取值范圍是■1,+8）

故選：B

【易錯剖析】

因為空集是任何集合的子集，根據包含關系求參數時一定分析集合為空集的情況，本題易忽略對8=0的討

論而錯選C..

【避錯攻略】

1.當已知幺三民zn8=0求參數時，一定要分析集合為空集的情況;

2.若集合為不等式的解集，往往借助于數軸進行分析；

【具體步驟】

第一步：化簡，化簡所給集合；

第二步：畫圖，用數軸表示所給集合；

第三步：列示，根據集合端點間關系列出不等式(組)；

第四步：求解，解出不等式(組的解；

第五步：檢驗，通過返回代入驗證端點是否能夠取到.

3.若集合為正整數集或抽象集合，可借助于韋恩圖分析，若集合是點集，可借助于曲線的圖像分析.

易錯提醒：|已知集合關系求參數時，除去要分析空集的情況，還一定要分析端點值能否取得，可采用代入

檢驗的方法加以區分，避免出錯.

舉一反三

1.集合4={率f-5x+2=0},B=[x\ax-2=0},=則實數a的取值集合為()

A.{-1,-4}B.{0,-1,-4}C.{1,4}D.{0,1,4}

2.設集合。=1＜,集合/={x|-2WxW5},3={N加-64尤＜2加-1},若4cB=0,則實數加的取值范圍為

()

A.卜哈一gB.(11,+00)C.一；111D.1cU(H,+(?)

3.(24-25高三上?貴州貴陽?階段練習)設集合尸="|-2＜、＜3},Q={x\?＞a＜x＜a+\].

(1)若尸no=。，求。的取值范圍.

(2)若尸U0=尸，求。的取值范圍.

易錯題通關

1.(2024?河南?模擬預測)已知集合4={知＜、＜2},5={疝若B^A,則實數〃的取值范圍是

A.(2,+s)B.(1,2]C.(一0°,2]D.[2,+oo)

2.設集合Z={x|2a+lWx(3a_5},5=1x|x2-21x+80<oj,若4nB=/,貝lj()

A.{Q|2WQ<7}B.{Q|6WQ<7}C.{小<7}D.\ci\a<6j

3.（23-24高一上?廣東肇慶?階段練習）已知U=R,集合/=卜-7-2=0},8="即+1=0},

8n（QM）=0,則實數〃?=（）

A.一工或1B.一,或0C.1或0D.-，或1或0

222

4.（24-25高三上?遼寧沈陽?期中）集合尸={刈2={x|a-l<x<a+l},且尸口。=0,則實數。

的取值范圍為（）

A.或B.-1<a<3C.a>3D.a<-1

5.（24-25高一上?四川達州?期中）已知集合^={x|-2<x<10},8={x11-機4x41+加}.若BCCRA=0,

則實數加的取值范圍為（）

A.機<3B.m<9C.用<3或加49D.3<m<9

6.已知集合4={司/-1=0},B={x\ax=l},若4n2=8,則實數a取值集合為（）

A.{—1}B.{1}C.{-11}D.{-1,0,1}

7.（24-25高三上?江蘇南通?期中）已知集合/={-2,1,3,4},3={到工-2|<〃中€咫，^AHCRS=0,則實數

加取值范圍為（）

A.m>4B.m>4C.m<2D.m>2

8.（24-25高三上?上海青浦?階段練習）已知集合N=1x]x-gB={x\m+l<x<3m,m&R],若

A\JB=A,則加的取值范圍是.

9.（24-25高三上?河北?階段練習）已知集合/={X|X2-2X-340},B={x\m-2<x<m+2},^AC\B=0,

則m的取值范圍是.

10.（24-25高三上?河南?開學考試）已知集合/={N-1VXV2},8=同x-l?”},^A\JB=B,則實數〃？

的取值范圍為.

II.（2024?江蘇常州?三模）集合/={止14尤+1<6},B=[x\m-l<x<2m+l,meR^,若/IJ8=4,則實

數m的取值范圍為.

題型二：常用邏輯用語

易錯點04：判斷充分性必要性位置顛倒

，易錯陷阱與避錯攻略

典例命題“曾€[1,2],，一。40，，為真命題的一個充分不必要條件是()

A.a<4B.a>4C.a<5D.a>5

【答案】D

【解析】求解命題“也?1,2],--。〈0”為真命題時。24,即可根據真子集求解

命題"Vxe[l,2],x2-aV0”為真命題,則a2x2對Vxe[l,2]恒成立，所以。乂/上，故a24,所以命題

“Vxe[l,2],Y-。V0”為真命題的充分不必要條件需要滿足是同a24｝的真子集即可，由于｛用25｝是

,,24｝的真子集，故符合，故選：D

【易錯剖析】

本題易混淆A是B的充分條件和A的充分條件是B的區別而出錯.

【避錯攻略】

1掌握充分、必要條件的概念及類型

⑴如果p=>q,則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；

(2)如果p=>q,但(^?并)，則p是q的充分不必要條件；

(3)如果p=>q,且q=>p,則p是q的充要條件；

(4)如果q=>p,且p#q,則p是q的必要不充分條件；

(5)如果pAq,且q分p,則p是q的既不充分又不必要條件.

【解讀】

(l)p是g的充分條件，是指以p為條件可以推出結論/但這并不意味著由條件p只能推出結論一般

來說，給定條件小由p可以推出的結論是不唯一的.

(2)“p是g的充分條件”與'，是p的必要條件”表述的是同一個邏輯關系，即png,只是說法不同.

(3)p是《的充要條件意味著'，成立，則q一定成立；/不成立，則q一定不成立"，要判斷p是否為g

的充要條件，需要進行兩次判斷：一是看p能否推出小二是看q能否推出，若p能推出分q也能推出

P，就可以說p是4的充要條件，否則，就不能說p是4的充要條件.

2.靈活運用判斷充分、必要條件的方法

(1)定義法：直接利用定義進行判斷；

(2)圖示法：多個條件間關系的判斷時，可以用用“Q”、“臺”、“u”將條件彼此相連，然后再判斷它們之

間的關系.

（3）利用集合間的包含關系進行判斷：如果條件p和結論q都是集合,那么若0=%則p是q的充分不必要

條件；若0?%則p是q的必要不充分條件；若〃=%則p是q的充要條件，尤其對于數的集合，可以利用小范

圍的數一定在大范圍中，即小今大，會給我們的解答帶來意想不到的驚喜.

（4）舉反例：要說明p是q的不充分條件，只要找到xoe{x|p},但xo￡{x|q}即可.

易錯提醒：在判斷充分、必要條件時，一定要先對條件進行等價化簡，然后再結合合適的方法進行判斷，

為避免位置顛倒出錯，可先用推出符號標注好判斷的方向再進行分析.

舉一反三

1.已知命題〃：Vxe[-4,2],1x2-a>0,則？為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a<-2B.a<0C.a<8D.a<16

2.（24-25高三上?云南?期中）“士>0,（。-3h-1=0”成立的充分必要條件是（）

A.a>\B.a<\C.a>3D.a<3

3.（24-25高三上?江蘇揚州?開學考試）若不等式|x+[<a成立的充分條件是0<x<4,則實數。的取值范圍

是（）

A.a<-\B.a<5C.a>-lD.a>5

,易錯題通關.

1.（24-25高三上?青海西寧?期中）已知Q>0,b>0,則使成立的一個充分條件是（）

A.a2+b2=1B.a+b=ab

C.2a+2=4D.a+b2=2

2.使成立的一個充分不必要條件是（）

A.Vxe（0,1],a^b+xB.Vxe（0,1]>a+x<b

C.e[0,1],a<b+xD.G[0,1],a+x^b

3.（24-25高三上?河北張家口?開學考試）已知。也CER,使。成立的一個充分不必要條件是（）

A.a+c>b+cB.ac>bc

C.a2>b2D.ac2>be2

4.（2024?陜西咸陽?模擬預測）直線x+y+6=0與圓C：（x+iy+（y-l）2=5有公共點的一個充分不必要條件

是（）

A.Z>e[-VlO,Vio]B.Z>G（-VlO,Vio）

C.be[-4,4]D.6e（-4,4）

5.（2024?天津和平?二模）若xeR,下列選項中，使“，<i”成立的一個必要不充分條件為（）

A.-2<x<1B.-1<X<1C.0<x<2D.-l<x<0

6.（2024?山東泰安?模擬預測）已知直線加，“和平面"，￡,aL/3,aC0=m,貝I]〃1■夕的必要不充分

條件是（）

A.m//nB.n//aC.nVmD.nLa

7.（2024?四川成都?模擬預測）已知。，b為實數，則使得>6>0”成立的一個必要不充分條件為（）

A.—>-B.ln（Q+1）〉ln（b+1）

ab

C.a3>b3>0D.

8.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習）設，”R.下列選項中，加+工>2的充要條件是（）

m

A.加w0B.加wlC.加之工iD.wm

1-2r

9.（24-25高三上?山東德州?期中）已知夕：夕：一-<0,若夕是夕的充分不必要條件，則。的取

x+2

值范圍是（）

A.a<—2B.QW—2

C.Q<—D.aW—

22

10.（24?25高三上?江蘇南通?開學考試）命題P：-3WxWl,q：x<a,若9的一個充分不必要條件是乙則

〃的取值范圍是（）

A.[a\a>-3}B.{a\a>-3\C.{a\a>\\D.{a\a>\]

11.（24-25高三上?遼寧?期中）已知集合4=11Y一（加2+2加一1卜+2加3一加2wo},集合

8=卜|[三2,416：,若xe5是xe/的必要不充分條件，則實數加的取值范圍為（）

A.[-2,2]B.（-2,2]

C.[-2,2）D.（-2,2）

易錯點05:由命題真假求參數范圍

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?福建龍巖?期中）命題“二€口,2],尤2+11^-2。40”為假命題，則實數。的取值范圍為

A.B.(-℃,0)

C.(-00,In2+2)D.(-00,In2+4)

【答案】A

【分析】存在性命題為假等價于“打€口,2]/2+11^-2°>0”為真，應用參變分離求解即可.

【詳解】解：因為命題叼xe[1,2],x?+inx-2a40”為假命題

等價于“Vxe口,2],/+inx-2。>0”為真命題，

所以Vxe[1,2],2a</+Inx,

所以只需2”(9+如初廊

設/(x)=x2+lnx,xe[1,2],

則〃x）在[1,2]上單增,所以〃幻*=1.

所以2a<1,即a<L

2

故選：A

【易錯剖析】

對全稱量詞和存在量詞理解不到位，不能在恒成立和有解之間進行合理的轉化而出錯.

【避錯攻略】

1?根據命題的真假求參數的取值范圍的方法步驟：

第一步：先判斷命題是恒成立問題還是有解（存在）問題；

第二步：轉化為函數的最值問題或方程解的問題；

第三步：求解參數的取值范圍.

2.利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解:

（1）,/n</（x）<=>m</（x）min；

（2）\/xeD,?M>/（x）<^m>/（x）max；

（3）3xeD,7w</（x）-?/w</（x）max；

（4）3xeD,zw>/（x）-?/?>/（x）^.

易錯提醒：|寫出命題的否定，然后再根據否命題的真假求參數，是等價轉化思想在解題過程中的運用，可

以有效避免命題為假不易判斷的問題.

22

1.（23-24高三下?廣東?開學考試）已知0:Vxe[T2],x-2x+a<0;q：3x&R,x-4x+a=0.若。為

假命題，4為真命題，貝的取值范圍為（）

A.[-3,4]B.（T4]

C.（-0>,-3）D.[4,+co）

2.（24-25高三上?河南?階段練習）若命題“*eR,e2x+i-髭工+1<0”是假命題，則實數左的取值范圍是（）

3.（24-25高三上?江西?階段練習）命題“土，（0,+8）,使a”log,x（0>0且