專題01集合和常用邏輯用語

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧...........................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講題型突破............................................................7

題型一：集合的基本概念7

題型二：集合間的基本關系8

題型三：集合的運算9

題型四：充分條件與必要條件10

題型五：全稱量詞與存在量詞11

重難點突破：以集合為載體的創新題13

差情;奏汨?日標旦祐

有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系與運算，考試形式多以一道選擇題為主，分

值5分.近年來試題加強了對集合計算和化簡能力的考查，并向無限集方向發展，考查學生的抽象思維能

力，在解決這些問題時，要注意運用數軸法和特殊值法解題，應加強集合表示方法的轉化和化簡的訓練.

考點要求目標要求考題統計考情分析

理解集合，掌握基

集合的基本概念2023年上海卷第13題，4分

本要素

預測2025年高考，多

以小題形式出現，也有可

2024年北京卷第1題，5分

能會將其滲透在解答題的

年甲卷（文）第題，分

202425表達之中，相對獨立.具

熟練掌握集合的

2024年天津卷第1題，5分體估計為：

集合的運算并'交、補集運算

2023年I卷第1題，5分（1）以選擇題或填空

方法

2022年I卷第1題，5分題形式出現，考查學生的

綜合推理能力.

2021年I卷第1題，5分

（）熱點是集合間的

2024年北京卷第5題，5分2

基本運算、數軸法的應用

2024年甲卷（理）第9題，5分

理解充分必要，掌和體現集合的語言工具作

2024年天津卷第2題，5分

充分條件與必要條件握邏輯判斷，熟練

用.

2023年天津卷第2題，5分

應用題解

2022年天津卷第2題，5分

2021年甲卷第7題，5分

㈤3

1、集合中的邏輯關系(備注：全集為/)

(1)交集的運算性質.

ACtB=BC\A,XnBAC\BQB,AC\I=A,AdA=A,XCl0=0.

(2)并集的運算性質.

4UB=BU4XexUS,BU4UB,AU1=1,AV)A=A,XU0=X.

(3)補集的運算性質.

C/(CM)=X,C/0=/,C//=0,(CM)nX=0,Au(CM)Z.

補充性質：AClB=A^AUB=BoAUBoQBUC/4oAClC/B=0.

(4)結合律與分配律.

結合律：4U(BUC)=Q4UB)UC,4n(BClC)=G4ClB)ClC.

分配律：xn(BuC)=(Xn5)u(,4nC),xu(BnC)=(XuB)n(4uC).

(5)反演律(德摩根定律).

GQ4ns)=(CM)U(GB),C/(4uB)=(CM)n(JB).

即“交的補=補的并”，“并的補=補的交

2、由n(nGN*)個元素組成的集合4的子集個數

4的子集有2n個，非空子集有加―1個，真子集有小―1個，非空真子集有2n—2個.

3、容斥原理

Card^AUB)=Card(力)+Card(B)—Card(A05).

4、從集合與集合之間的關系上看

設4={x|p(x)},B={x|q(x)].

(1)若4UB,則p是q的充分條件(p=q),q是p的必要條件；若4家B,貝！Ip是q的充分不必要條件，q

是p的必要不充分條件，即p今q且q分p；

注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小=大”.

(2)若BU4貝Up是q的必要條件，q是p的充分條件;

(3)若H=B,貝3與q互為充要條件.

葡4

1.（2024年新課標全國II卷數學真題）已知命題0：Vxe/?,|x+l|>l；命題q：Bx>0,x3=x,貝U

（）

A.〃和q都是真命題B.-ip和g都是真命題

C.p和->q都是真命題D.-ip和->q都是真命題

2.（2024年上海秋季高考數學真題）定義一個集合。，集合中的元素是空間內的點集，任取

存在不全為0的實數41,也,%，使得%加1+%2記+%鬲=6.己知（1,0,0）e。，則（0,0,1）的充分條件

是（）

A.（0,0,0）enB.（-1,0,0）en

c.（0,1,0）enD.（o,o,-1）en

3.（2024年北京高考數學真題）設a,刃是向量，則“0+分4一孫=0"是咆=一另或五二鐘的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）設向量值=（x+1,久）,3=（久,2）,貝！J（）

A.“x=—3”是唱1薩的必要條件B.“X=-3”是傳〃薩的必要條件

C."％=0”是“21戶的充分條件D."X=—1+四”是％〃加的充分條件

5.（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知集合4={1,2,3,4,5,9},B={x|VxeA},則以(力CB)=

)

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

6.（2024年天津高考數學真題）已知a,bCR,則"=吩，是岬=3"，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知等差數列5}的公差為三，集合S={cosan|neN*},若

S={a,b},則ab=()

A.11B.——C.0D.|

8.（2023年北京高考數學真題）若久尸0,則“x+y=0"是?+：=-2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.(2023年高考全國乙卷數學(文)真題)設全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},則MUCu

N=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

10.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)設甲：sin2(z+sin2/?=1,乙：sincr+cosy?=0,貝!|(

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

11.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)設全集U=Z，集合

M={x\x=3/c+l,fc6Z},N={x\x=3fc+2,keZ),Cu(MUN)=()

A.{x\x—3k,kEZ}B.{x\x=3fc—l,keZ}

C.{x\x=3k—2,kEZ]D.0

12.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)設集合U=R,集合M={R%<1},N=(x\-1<x<2},貝U

{x\x>2]=()

A.Cu(MuN)B.NUduM

C.Cu(MnN)D.MuCuN

13.(2023年新課標全國I卷數學真題)已知集合”={—2,—yv={%|%2-%-6>0},則MnN=

()

A.{—2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

14.(2023年新課標全國n卷數學真題)設集合/={0,—研，8={1#—2,2a—2},若則。=().

2

A.2B.1C.-D.-1

15.(2023年新課標全國I卷數學真題)記又為數列{斯}的前幾項和，設甲：{斯}為等差數列；乙：{勺}為等差

數列，貝I()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

16.(2022年新高考全國H卷數學真題)已知集合4={-1,1,2,4},B=則力nB=()

A.{-1,2}B.[1,2}C.[1,4}D.{-1,4}

17.(2022年高考全國乙卷數學(理)真題)設全集U={1,2,3,4,5},集合“滿足={1,3},則()

A.2EMB.3EMC.4?MD.5gM

㈤5

核心——幣型字確

題型一：集合的基本概念

【典例1-1】（2024?廣東?模擬預測）若皿€{1,3,4,爪2},則〃?可能取值的集合為（

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4}

【典例1-2][新考法]（2024?河南新鄉?三模）下列集合中有無數個元素的是（）

A.[X&N\^&N]B.[X&Z\^EN]C.[x&N\^ez]D.[X€Q\^EN]

巧

集合是由一些確定的、不同的東西組成的全體，元素是集合的組成對象。集合具有確定性、互異性和

無序性。常用列舉法、描述法、語言描述法和韋恩圖法表示集合。解題技巧包括利用數軸、檢驗元素互異

性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，對于解決集合問題具有重要意義。

【變式1-1]（2024?高三?江西贛州?期中）已知a、b&R,若={a?,。+b,0},貝心202。+爐。21的值為

（）

A.-1B.0C.1D.-1或0

【變式1-2]（2024?四川樂山*三模）已知集合4=（-1,0,1},B={1,2},C=（x\x=a+b,a&A,b6B},則集合C

的元素個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式1-3]（2024?四川綿陽?模擬預測）已知集合4=仇€^僧22葉，則集合4的元素個數為（）

A.1B.2C.3D.無窮多個

[命題預測

1.|新考法]集合時={/0）/0）/'。）,...},則以下可以是f0）的表達式的是（）

A.sin%B.exC.InxD.x2+2x+3

2.已知集合{%|（%—。2）（%—1）=0}的元素之和為1,則實數4所有取值的集合為（）

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1）

3.已知集合4={1,2,3},8={3,5},則C={%|久=2a+瓦aCE8}中的元素個數為（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知集合/={0,1,Q2},B={i,o,2a+3},若A=8,則。=（）

A.-1或3B.0C.3D.-3

題型二：集合間的基本關系

【典例2-1】（2024?河南?模擬預測）已知集合4={幻1<%<2},8={幻1<久<研，若BU4則實數a的取值

范圍是（）

A.（2,+8）B.（1,2]C.（-oo,2]D.[2,+8）

【典例2-2】（2024,寧夏,模擬預測）設集合M={%|x=4n+l,n6Z},N={x|x=3n+l,n6Z},

P={x\x=12n+l,nGZJ,則（）

A.M^PB.N整P

C.MCNQPD.MnN=0

巧

（1）判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再從表達式中尋找兩集合的

關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系，這體現了合情推理的思維方法.

（2）已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素的關系，進而轉化為參數滿

足的關系，解決這類問題常利用數軸和韋恩圖輔助分析.

【變式2-1]（2024?江西新余?模擬預測）已知集合A={%|久2—6%+8W0},B=（y[y>a],若A=貝！|a

的取值范圍是（）.

A.（—oo,2）B.（—oo,4）C.（—oo,2]D.（—oo,4]

【變式2-2]（2024?四川成者B-模擬預測）若集合2={久€N|l<xW5},則集合/的真子集有（）個.

A.7B.15C.31D.63

【變式2-3]（2024?貴州遵義?模擬預測）已知集合4={0,1,2},B={1,2,3）,

若集合。={26^^*怙=47,比64且？68},貝UC的子集的個數為（）

A.8B.16C.32D.64

【變式2-4][新考法]（2024?江西新余?模擬預測）已知集合4B、C為全集U的子集，4nB=CuCH0,則

（AuB）nC=（）.

A.XU（BnC）B.（Cu4）n《uB）

c.[Cu（anB）]n（力uB）D.[Cu（xuB）]u（xnB）

命題預測

1.已知集合a=mtez},B=bgez},c=bgez},則（）

A.AnB^CB.B^）C=AC.C^AnBD.BnC^AnB

2.(多選題)c{l,2,3},(a,&)G{(x,y)ly=x+1},則29的值可以為()

A.2B.64C.256D.1024

3.(多選題)已知集合4=口,2},B={0,1,2,3,4},集合C滿足礙UB,則()

A.1GC,2eCB.集合C可以為{1,2}

C.集合C的個數為7D.集合C的個數為8

4.(多選題)若集合M和N關系的Venn圖如圖所示，則M,N可能是()

M

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.M={x|x2<1},N={x\x>—1}

C.M={x\y-lgx},N={y\y=e"+5}

D.M={（%,y）|%2=y2},N==x}

題型三：集合的運算

【典例3?1】已知集合/={%|—1<%<0}4={%|log2（%2—%）<1},則AnB=（）

A.{%|—1<x<0}B.{x|—1<x<0}

C.{x|—1<x<0}D.{x|—1<x<0}

【典例3-2】（2024?廣東廣州?模擬預測）已知全集U=ZuB={%CN|04%W10}/n（CuB）={L357},則

8=（）

A.口,3,5,7}B.{24,6,8}C.{1,3,5,7,9}D.{0,2,4,6,8,9,10}

巧

凡是遇到集合的運算(并、交、補)問題，應注意對集合元素屬性的理解，數軸和韋恩圖是集合交、

并、補運算的有力工具，數形結合是解集合運算問題的常用思想.

【變式3-1](2024?高三?黑龍江佳木斯?期中)已知集合4={刈1<%<3},8={%|白>o},則4UB=

()

A.{%|2<%<3}B.{%|2<%<3}C.{x\x>1}D.{x\x>2}

【變式3-2](2024?高三?福建三明?期中)某班有45名同學參加語文、數學、英語興趣小組.已知僅參加一個

興趣小組的同學有20人，同時參加語文和數學興趣小組的同學有9人，同時參加數學和英語興趣小組的同學

有15人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有11人，則同時參加這三個興趣小組的同學有人.

【變式3-3](2024?江西九江?模擬預測)設0={36,7,8,9},若4nB={8},(Cu4)n8={6},(CyX)n(Cy

B)=[5,9},則集合4=.

I命題預測:]

1.(多選題)設U為全集，集合48,。滿足條件4UB=HUC,那么下列各式中不一定成立的是()

A.BQAB.CQA

C.An(CuB)=4n(CuC)D.(Cy/1)nB=(C?X)nC

2.(多選題)己知集合4B均為R的子集，若力CB=0,貝U()

A.AcCRBB.CR4aB

C.AVJB=RD.(CRA)U(CRB)=R

3.已知集合A={久|4/—久一5〉0},B={x|x>zn},若m=0,貝!=；若AuB=R,則m

的取值范圍為.

4.(2024?高三?重慶沙坪壩?開學考試)設集合M={x|—1Wx<2},集合N={x|*—kW0},若MCCR

N=0,貝冰的取值范圍為.

題型四：充分條件與必要條件

【典例4-1](2024?高三?福建寧德?期中)對任意實數刀6(2,+8),“"刀+勺是“小4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例4-2]若“%>a”是匕2—2%—3V0”的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是()

A.(-8,—1)B.(-8,—1]C.(—1,+oo)D.[—1,+00)

阿o巧

抓住關鍵詞:大必小充.即小范圍推大范圍時，大范圍是必要條件，小范圍是充分條件.

【變式4-1］（2024?吉林?模擬預測）已知y=「（x）是y=/（尤）的導函數，貝!=0”是"劭是函數y=f（x）

的一個極值點”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式4-2］（2024?吉林長春?模擬預測）設a,b6R,則使a>b成立的一個充分不必要條件是（）

A.a?>b3B.lg（a-&）>0

C.a2>b2D.|a|>b

【變式4-3］（多選題）（2024?山東臨沂?二模）已知a,beR,則使“a+6>1”成立的一個必要不充分條件

是（）

A.a2+b2>lB.\a\+|b|>1C.2a+26>1D.^+^->10

【變式4-4］已知集合A={%￡yV*|l<x<3},B={x\ax2—（2+a）x+2=0},若"xeB"是"xGA”的充分不必

要條件，則實數a的所有取值組成的集合是.

命題預測

1.若不等式僅一3|Wa成立的一個充分不必要條件是-1則實數a的取值范圍為.

2.“工<1”是42>i，，的（）

X

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（多選題）若XCR,則“2X2—3久—2<0”成立的充分不必要條件可以為（）

A.%e［—1,2）B.xe（0,1）

C.xG（0,2）D.xe（-1,1）

4.已知集合4={x|%2+7%+12W0},集合B=—2m<x<2m}其中xe4是無eB的充分不必要條件,

則m的取值范圍是.

題型五：全稱量詞與存在量詞

【典例5-1］（2024?湖北?一模）命題勺a>0戶2+1<2”的否定為（）

A.3a>0,a2+1>2B.3a<0,a2+1>2

C.Va>0,a2+1>2D.Va<0,a2+1>2

【典例5-2][新考法](2024?吉林長春?模擬預測)已知定義域為R的函數/(均不是偶函數，則()

A.Vx6/?,/(-%)+/(%)0B.Vx6/?,/(-%)-/(%)o

C.3%0￡-%o)+/(x0)*0D.3x0eR,f{-%0)-/(x0)*0

巧

(1)含有一個量詞的命題的否定：先否定量詞伊廠任意”變“存在”、“存在”變“任意”).再否定結論；

(2)清楚命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫出命題否定的前提；

(3)注意命題的否定與否命題的區別；

(4)當「p的真假不易判斷時，可轉化為去判斷P的真假.

【變式5-1】已知命題，口％￡[0,3],a=—久2+2%：命題q:V%W+。％一840.若。為假命題,q為真

命題，則實數。的取值范圍為()

A.[—3,1]B.(—00,2]

C.[―7,—3)U(l,2]D.(-oo,-3)U(1,2]

2

【變式5-2]命題叼％e[lf2]fx+lnx-a<0”為假命題，則a的取值范圍為()

A.(—8,1)B.(—oo,0)C.(—oojn2+2)D.(—oojn2+4)

【變式5-3](2024?高三?江蘇連云港?開學考試)若命題叼％°eR,(m—1)就+(m-l)x0+1<0”是假命題,

則實數6的取值范圍是.

【變式5-4](2024?高三?河北承德?開學考試)已知命題p:V%WR,鏟,N1；命題q與久>l,ln%=—三一1)2,則

()

A.p和q都是真命題B.-?p和q都是真命題

C.p和-iq都是真命題D.-?p和-?q都是真命題

命題預測J

1.已知命題叼％e(1,+8),2%—血+1=0”是假命題，則m的取值范圍是.

2.若命題：叼％WR,a/+%+i〈o,，為假命題，則實數。的取值范圍為.

3.若命題+2%+0”為真命題，則〃的取值范圍是()

A.(—8,1]B.(—8,1)C.(—8,0]D.(—8,0)

4.命題“V%€[—1,3],/一3%+2<0”的否定為()

A.3xE[-1,3]，-3x+2>0B.3%e[-1,3],x2-3%+2>0

C.v%e[-1,3],x2-3x+2>0D.3xg[-1,3],x2-3x+2>0

重難點突破：以集合為載體的創新題

【典例6-1】（2024?廣東?模擬預測）對于非空數集4B,定義4xB={（%y）|xe4yeB},將axB稱為“4與B

的笛卡爾積”.記非空數集M的元素個數為|M|,若48是兩個非空數集，則及奇幽的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

【典例6-2］（2024?高三上海模擬）已知{即}是等差數列,g=sin（M）,存在正整數t&W8）,使得例十七=

bn,nEN,九之1.若集合5={%|%=勾刀€乂刀之1}中只含有4個元素，貝h的可能取值有（）個

A.2B.3C.4D.5

巧

1、集合的創新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數學知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方

法并不難，難在轉化.

2、集合的創新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，

要根據這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解.

【變式6-1］（2024?高三?四川?開學考試）定義：如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時,

稱為不交）的非空真子集必出,…A（kGN*）,且&U&U…U4=U,那么稱子集族{Ai/2,…A}構成集合U

的一個k劃分.已知集合/={久6N|/—6x+5<0},則集合/的所有劃分的個數為（）

A.3B.4C.14D.16

【變式6-2］（2024?高三?北京海淀?開學考試）設集合M={（*i,久2,如比4）1/6{0,1}/=1,2,3,4}.對于集合

M的子集4,若任取4中兩個不同元素仇,丫2/3,、4）,（21*2*3/4）,有力+及+