曲線運動的動力學解第1頁曲線運動與力曲線運動發生條件合外力方向與速度方向不在一直線ΣFvΣFnΣFt切向力改變速度大小法向力改變速度方向求解曲線運動動力學方法做好兩項分析物體運動情況分析物體受力情況分析正交分解法第2頁XY

如圖所表示，滑塊A質量為M，因繩子牽引而沿水平導軌滑動，繩子另一端纏在半徑為r鼓輪O上，鼓輪以等角速度ω轉動．不計導軌摩擦，求繩子拉力FT與距離x之間關系．

專題10-例1解:BxArωO分析滑塊A受力：

AMgFNFTvvtvn重力Mg、導軌支持力FN，繩子拉力FT

分析滑塊A運動：

A沿導軌運動可視做沿繩向繩與輪切點B平動及以切點B為中心轉動合成由牛頓第二定律:

A實際運動沿水平

由幾何關系

第3頁BAω

如圖所表示，套管A質量為M，因受繩子牽引沿豎直桿向上滑動．繩子另一端繞過離桿距離為L滑輪B而纏在鼓輪上．當鼓輪轉動時，其邊緣上各點速度大小為v0．求繩子拉力和距離x之間關系．XY小試身手題2解:分析滑塊A受力：

MgFNFT重力Mg、繩子拉力FT、導軌支持力FN分析滑塊A運動：

vAv0vt滑塊沿導軌向上運動速度vA可視作沿繩向滑輪B法向速度v0及以B為中心轉動切向速度vt合成！

xL由牛頓第二定律:

A實際運動沿豎直，在水平方向滿足

第4頁

如圖所表示，長度為l不可伸長線系在豎直軸頂端，在線下端懸掛質量為m一重物．再在這重物上系一樣長度另一根線，線下端懸掛質量也為m另一個重物．軸以恒定角速度ω轉動．試證實第一根線與豎直線所成角度小于第二根線與豎直線所成角度．小試身手題1解:ωmgmg設第一根線上拉力為FT1，第二根線上拉力為FT2FT2FT1在豎直方向在水平方向第5頁

如圖所表示，小物塊質量為m，在半徑為r圓柱面上沿螺旋線形滑槽滑動，運動切向加速度大小為at=gsinα，式中α為螺旋線切線與水平面夾角，求：因為小物塊沿槽滑下而使圓柱面繞其中心軸轉動力矩大小．

小試身手題4解:rABCD小物塊切向加速度水平分量為

：

gsinα產生這個加速度切向水平力大小：

此力反作用力為圓柱面所受沿柱面且方向水平之力，其對軸產生力矩即為使柱面繞中心軸轉動力矩：第6頁vv解:

如圖所表示，質量為m，半徑為r圓木擱在兩個高度相同支架上，右支架固定不動，而左支架以速度v從圓木下面向外滑．求當兩個支點距離時，圓木對固定支架壓力FN．（兩支架開始彼此靠得很近，圓木與支架之間摩擦不計）小試身手題8BrOAr由幾何關系知分析圓木受力mgFNAFNB重力mg、支架A、B支持力FNA、

FNB

分析圓木運動：

圓木質心O繞A點轉動v圓木與B接觸,故接觸點含有相同法向速度O對A點轉動線速度

圓木運動方程vOFN不然圓木已與固定支架脫離

第7頁

如圖所表示，用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r勻速圓周運動，圓心為O，繩長為L，質量能夠忽略，繩另一端系著一個質量為m小球，恰好也沿著一個以O點為圓心大圓在桌面上運動，小球和桌面之間有摩擦，求：⑴手對細繩做功功率P；⑵小球與桌面之間動摩擦因數μ．

小試身手題10解:VrLf小球圓運動半徑設為RR分析小球受力T繩拉力T；桌面摩擦力f

∵小球圓周運動，在法向有手拉端速度ω∵小球勻速圓周運動，在切向有第8頁

有兩個相同單擺，把一個拴在另一個下面，使它們各在一個水平面內做勻速圓周運動，設兩條擺線(長Ｌ)與豎直線所成夾角都很小．已知在運動過程中兩條擺線一直保持在同一平面內，求此平面轉動角速度，以及兩質點軌道半徑之比．小試身手題11解:兩線兩球在豎直面內態勢能夠有左、右圖示兩種可能RmgF1F2F1mgF2R分析各球受力及運動軌跡

rrmgmg在α、β小角度條件下

等號兩邊相除得

由幾何關系得

第9頁盤點豎直平面內的圓周運動的規律W=0非水平直徑以上各點臨界速度⑴在水平直徑以上各點彈力方向是指向圓心情況，比如系在繩端小球，過山車……線繩vmgFT當FT

=0時，v

臨界=

v軌道mgFN在水平直徑以上各點不脫離軌道因而可做完整圓運動條件是：⑵在水平直徑以上各點彈力方向是背離圓心情況，比如車過拱形橋……軌道vmgFN當FN

=0時，v

臨界=

在水平直徑以上各點不脫離軌道條件是：第10頁機械能守恒最高點與最低點彈力差能抵達最高點最低點速度恰能抵達最高點，最低點加速度v上mgFN上v下

mgFN下第11頁豎直面內勻速圓周運動mgFNFfvmgFNvFf第12頁

如圖所表示，一長為a細線系著一小球懸掛在O點靜止不動．若使小球取得一個水平初速度，略去空氣阻力，證實：小球運動軌跡經過懸點O．專題10-例2解:小球運動軌跡會經過懸點O，是因為線繩在水平直徑上方與水平成某一角度α時，繩恰不再張緊，小球開始脫離圓軌道而做斜上拋運動Ovv0yx0繩上張力為零時小球達臨界速度該過程機械能守恒:圖示h小球做斜上拋運動設當y方向位移為-h時歷時t,有續解第13頁這段時間內小球完成水平位移為查閱Oyx0說明小球做斜拋運動過程中，經過了坐標為

懸點O!第14頁

圖中，A是一帶有豎直立柱木塊，總質量為M，位于水平地面上．B是一質量為m小球，經過一不可伸長輕繩掛于立柱頂端．現拉動小球，使繩伸直并處于水平位置.然后讓小球從靜止狀態下擺．如在小球與立柱發生碰撞前，木塊A一直未發生移動，則木塊與地面之間靜摩擦因數最少為多大？

專題10-例3解:BAmgv分析小球B下擺時受力：

L小球動力學方程

小球機械能守恒

分析木塊A受力：

AMgFN木塊靜止須滿足

由基本不等式性質：

FT第15頁

如圖所表示，有一個質量均勻大球殼，恰好靜止在桌邊上，球殼與桌子無摩擦，對球殼輕輕一推，使其滾下桌子，計算球殼不再接觸到桌子瞬間，球殼中心速率．專題10-例4解:mgFNCO球殼靜止時，與桌邊接觸一點O為其支點，球殼二力平衡!輕推球殼，即給球殼一微擾，球殼質心C將以支點O為軸，以球半徑R為半徑在豎直面內從初速度為零開始做圓周運動，其間重力勢能降低，動能增加；當球殼質心做圓運動所需向心力僅由重力來提供時，球與桌支持點間無擠壓，即開始脫離桌子．設球殼“不再接觸桌子瞬時”球心速度為vmgv球殼動力學方程球殼機械能守恒

EC質心對O轉動動能球殼對質心C轉動動能例5第16頁xy用微元法計算球殼對質心轉動動能ECωC將球殼面分割成寬一條條極細環帶第i條環帶質量第i條環帶速率整個球殼對過C而垂直于豎直面軸轉動動能為返回第17頁

筑路工人為了提升工作效率，把從山上挖出來土石，盛在一個籮筐里，沿一條鋼索道滑至山下．如索道形狀為拋物線，且籮筐及它所盛土石能夠看作質量為m質點，求籮筐自x=2a處自由滑至拋物線頂點時速度，并求此時籮筐對鋼索壓力.專題10-例5解:在以豎直向上方向為y軸正方向建立坐標系中，鋼索呈頂點為坐標原點、開口向上拋物線．0yxa2avvg由質點機械能守恒

質點在拋物線頂點動力學方程FNmg其中拋物線頂點曲率半徑由第18頁

如圖所表示，一輕繩跨越一固定水平光滑細桿，其兩端各系一小球，球a置于地面，球b從水平位置由靜止向下擺動，設兩球質量相同．求a球恰要離開地面時跨越細桿兩繩之間夾角．小試身手題5解:balL設a球恰要離地時兩繩夾角為θ，此時a球與地面無擠壓,繩上張力恰與a球重力相等

mgmgFTFTb球機械能守恒

b球動力學方程第19頁

如圖所表示，長為l輕桿上端有一個質量為m小重物，桿用鉸鏈固接在A點，并處于豎直位置，同時與質量為M物體相互接觸．因為微小擾動使系統發生運動．試問質量之比M/m為多少情況下，桿在脫離物體時刻與水平面成角α＝π/6，這時物體速度u為多少？小試身手題6解:MmlA小重物與物體恰要脫離時二者接觸而無擠壓,

故物體加速度為零!小重物只受重力，小重物與物體水平速度相同

mgvu過程中系統機械能守恒小重物動力學方程第20頁

如圖所表示，質量均為m兩個小球固定在長度為l輕桿兩端，直立在相互垂直光滑墻壁和地板交界處．突然發生微小擾動使桿無初速倒下，求當桿與豎直方向成角α時，A球對墻作用力．小試身手題7解:BA模型回放當A球對墻恰無作用力時，桿與豎直所成臨界角為φ當桿與墻夾角α≥φ時A球對墻無作用力當桿與墻夾角α＜φ時mgvFN過程中B球機械能守恒此時B球動力學方程A球對墻作用力題14第21頁R一質點在光滑固定半球面上距球心高度為H任意點P，在重力作用下由靜止開始往下滑，從Q點離開球面，求PQ兩點高度差h.

設球半徑為RPQHmgv由機械能守恒:Q點動力學方程為:由幾何關系:若質點從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3高度，釋放高度H越小，沿球面滑下高度越短．這是一個有趣又有用模型．

返回第22頁xOmyR

質量為M、半徑為R光滑勻質半球，靜止在光滑水平面上，在球頂有一質量為m質點，由靜止沿球面下滑，求m離開M以前軌跡方程和m繞球心O角速度．小試身手題14解:先確定m沿球面下滑軌跡：xMM在圖示坐標系中，沿x

方向系統動量守恒

則m坐標xy消去參數θ即得m在M上運動時軌跡方程設對應于θ角,m繞球心O角速度為ω,M速度為VM則m速度由x

方向系統動量守恒

續解第23頁由系統機械能守恒查閱第24頁ωml轉動參考系中的慣性力慣性離心力相對做勻角速度轉動非慣性參考系靜止物體小球受繩拉力而勻速轉動小球受繩拉力而靜止?

在相對于慣性參考系含有向心加速度參考系中所引入使牛頓定律仍能適用力就是慣性離心力!牛頓運動定律仍可適用科里奧利力相對做勻角速度轉動非慣性參考系運動物體AOurFfFNFk科里奧利力是轉動參考系中引入假想慣性力，其大小等于引發科里奧利加速度真實力，方向相反．物體在轉動平面上沿任何方向運動時，都將受到一個與運動方向垂直科里奧利力:第25頁

如圖所表示，在以角速度ω繞中心軸O勻速轉動太空試驗室里，一長為l細線，一端固定在中心軸O，另一端系一質量為m小球，小球相對試驗室以速度v勻速轉動，轉動方向與ω相反，求細線上拉力FT

大小．專題10-例6解:Oωl

取太空試驗室為參考系,小球受線繩拉力FT和慣性離心力Fi和科里奧利力Fk小球對太空試驗室轉動速度為vFTFiFk由牛頓第二定律其中第26頁

如圖所表示，一對繞固定水平軸O和O'同時轉動凸輪，使傳送裝置水平平板發生運動．問凸輪以多大角速度轉動時，放在平板上零件開始移動？當凸輪按順時針方向轉動情況下，零件將往什么方向移動？零件與平板之間動摩擦因數為μ．凸輪半徑為r．小試身手題9解:O以含有加速度板為參考系，零件處于平衡!分析零件受力：重力mg板約束力（摩擦力與支持力協力）及慣性力mrω2當靜摩擦力達最大時，板約束力方向與豎直成摩擦角φ=tan-1μ，三力應組成閉合三角形如示！mgmrω2rtan-1μ零件開始滑動ω臨界值

續解第27頁abcd讀題tan-1μmrω2r若凸輪順時針轉動、角速度大于mgtan-1μ矢量端點從a到b時，重力,約束力與慣性力不可能組成閉合三角形,且約束力水平分量向右!以大虛線圓矢徑表示大于慣性力，所受慣性力方向改變如示:

零件向右滑矢量端點從c到d時，重力,約束力與慣性力也不可能組成閉合三角形,且約束力水平分量向左!零件向左滑第28頁

輪船以等速率v沿赤道向東航行，試計算由此使船上物體重量產生相對誤差，地球自轉角速度為ω．小試身手題15解:

設地球半徑為R，自轉角速度為ω，赤道上重力加速度為g對地球參考系，船靜止在赤道上時貨物重即支持面支持力

科里奧利力當船以速率v沿赤道向東航行時，貨物受：地心引力F引地面支持力F支慣性離心力Fi=mRω2對地球參考系，船以v沿赤道圓做勻速圓運動，有相對誤差為第29頁

半徑為R＝0.5m空心球繞本身豎直直徑旋轉，如圖所表示，角速度為ω＝5rad/s．在空心球內高度為R/2處有一小木塊同球一起旋轉，g取10m/s2．⒈實現這一情況所需最小摩擦系數為多少？⒉求ω＝8rad/s時實現這一情況條件．小試身手題16解:ω⒈以球為參考系，小木塊靜止mgFiF分析小木塊受力情況重力mg導軌約束力F慣性離心力Fi

其中R代入數據解得⒉若角速度增大，Fi增大Fi0當Fi=Fi時,摩擦力為零FN此時角速度FiωF將ω=8rad/s代入

第30頁O

如圖所表示，橡皮圈掛在釘子上，這時它長度為2h．然后使橡皮圈在水平面上旋轉起來，到轉動角速度到達ω時，它長度也為2h．求橡皮圈轉動角速度．小試身手題3解:Rωh橡皮圈豎直懸掛時，橡皮圈張力從上到下線性改變!TA最上端張力最下端張力平均張力水平面上橡皮圈水平旋轉時，在圈上取一微元B

B兩種情況下橡皮圈形變量相同

第31頁

如圖所表示，一個半徑為r＝10cm小環，從高度h＝20cm處掉到桌上，此小圓環在空氣中繞其中心軸旋轉，軸在豎直方向，角速度ω0＝21rad/s．圓環與桌面碰撞為非彈性，且碰撞時間很短．小環與桌面間摩擦系數為μ＝0.3，求小環停頓時所轉圈數．小試身手題11解:ω0小環剛著地時豎直速度為繞軸轉動線速度為

落在桌面后，因為桌面彈力及摩擦力作用,先在極短時間Δt內使豎直速度變為零,同時繞軸轉動速度減