10.2事件的相互獨(dú)立性（2019人教A版《必修2》第十章）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析（一）教材分析

本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修二（人教A版）第十章《10.2事件的相互獨(dú)立性》，本節(jié)課主要是在已學(xué)互斥事件和對(duì)立事件基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解事件之間的關(guān)系，相互獨(dú)立性是另一種重要的事件關(guān)系，注意對(duì)概率思想方法的理解。發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。（二）內(nèi)容解析1.新舊教材內(nèi)容對(duì)比

（1）.與實(shí)驗(yàn)教材相比，人教A版《高中數(shù)學(xué)》中概率內(nèi)容有強(qiáng)調(diào)，有淡化，有增有減，有教學(xué)順序的前后調(diào)整，也有概念重構(gòu)，改編力度是很大的.

我們可以關(guān)注到，順序和內(nèi)容都有較大的調(diào)整，尤其“事件的相互獨(dú)立性”由實(shí)驗(yàn)教材的選修2-3課程調(diào)整到了新教材的必修課程，且強(qiáng)化升級(jí)為單獨(dú)的一節(jié)（2021新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷的第8題凸顯了這一深刻的變化）。

表1：兩版教材“概率”內(nèi)容比較

實(shí)驗(yàn)教材數(shù)學(xué)必修3第三章新版教材必修第2冊(cè)第十章3.1隨機(jī)事件的概率3.1.1隨機(jī)事件的概率3.1.2概率的意義3.1.3概率的基本性質(zhì)10.1隨機(jī)事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算10.1.3古典概型10.1.4概率的基本性質(zhì)3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生10.2事件的相互獨(dú)立性3.3幾何概型3.3.1幾何概型3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩(wěn)定性10.3.2隨機(jī)模擬

（2）.“事件的相互獨(dú)立性”在實(shí)驗(yàn)教材選修2-3中，有承上啟下的作用，既是條件概率的后續(xù)，又為介紹二項(xiàng)分布的產(chǎn)生背景做好了鋪墊.實(shí)驗(yàn)教材繼續(xù)以條件概率中“三名同學(xué)抽取獎(jiǎng)券”為引例，從“有放回抽取”的角度，分析得出即P(B|A)=P(B)，從而得到P(AB)=P（A)P(B).

兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念就是以上結(jié)果的一般化，且實(shí)驗(yàn)教材只給出一個(gè)例題，以生活中常見(jiàn)的抽獎(jiǎng)活動(dòng)為背景，用事件的獨(dú)立性計(jì)算隨機(jī)事件的概率.

實(shí)驗(yàn)教材是利用條件概率的概念演繹推理得到事件相互獨(dú)立的定義，而新教材對(duì)此進(jìn)行了重構(gòu)，沒(méi)有從條件概率角度引入，而是結(jié)合有限樣本空間，利用歸納推理形式得出概念，并且增加了例題，從反例角度對(duì)概念進(jìn)行深化辨析理解，改寫(xiě)力度是非常大的.

（3）.新教材對(duì)本內(nèi)容的編寫(xiě)情況：結(jié)合具體的兩個(gè)典型的拋硬幣試驗(yàn)和有放回摸球隨機(jī)試驗(yàn)(古典概型)，先根據(jù)實(shí)際問(wèn)題背景做出直觀判斷，再利用古典概型進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，從兩個(gè)試驗(yàn)的共性，即P(AB)=P(A)P(B)，歸納出“獨(dú)立性”的概念.

新教材給出的例題增加到3個(gè)，例題1是一個(gè)反例，實(shí)際是對(duì)概念的辨析理解，例題2和例題3分別從不告知獨(dú)立性和直接聲明互不影響兩個(gè)不同的視角，利用事件獨(dú)立性計(jì)算隨機(jī)事件的概率.

在新舊教材過(guò)渡的階段，而我們更要關(guān)注每一部分內(nèi)容在章節(jié)中的地位、安排和要求，要走出舊教材的思維定勢(shì)，加強(qiáng)新教材的理解和使用是必經(jīng)之路.2.蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法

通過(guò)探究事件的概率與交事件的概率的關(guān)系，得到事件的獨(dú)立性的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究遵循了由特殊到一般的思路。在互斥事件與對(duì)立事件的研究中，往往通過(guò)計(jì)算事件A的對(duì)立事件，這體現(xiàn)了正難則反的轉(zhuǎn)化思想

。3.知識(shí)的上下位關(guān)系事件的獨(dú)立性問(wèn)題是定義在概率基礎(chǔ)上的，而概率又是定義在概率空間基礎(chǔ)上的，這與第一單元中的有限樣本空間與隨機(jī)事件有著很大的不同，因此要注意事件的獨(dú)立性與互斥事件等的區(qū)別與聯(lián)系。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析（一）知識(shí)目標(biāo)1.能結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義。2.結(jié)合古典概型，會(huì)利用事件獨(dú)立性計(jì)算事件的概率。3.通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。（二）素養(yǎng)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)建模：相互獨(dú)立事件的判定2.邏輯推理：相互獨(dú)立事件與互斥事件的關(guān)系3.直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算4.數(shù)學(xué)抽象：相互獨(dú)立事件的概念三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1.

大多數(shù)學(xué)生一般傾向于認(rèn)為連續(xù)發(fā)生的事件總是有聯(lián)系的，不僅如此，他們?cè)跊Q策時(shí)通常會(huì)受到之前發(fā)生的事件的結(jié)果的影響，例如，對(duì)于問(wèn)題“連續(xù)拉擲一枚均勻的硬幣，如果前4次的結(jié)果都是‘反面朝上’，那么第5次最可能的結(jié)果是什么？”一些學(xué)生會(huì)回答“最有可能是正面”(或者回答“最有可能是反面”).

學(xué)生的決策可能受到“代表性啟發(fā)式”錯(cuò)誤概念的影響，這種錯(cuò)誤概念會(huì)導(dǎo)致忽視事件之間的獨(dú)立性，教學(xué)中，在給出獨(dú)立性的數(shù)學(xué)形式定義之前，教師應(yīng)首先選擇符合獨(dú)立性直觀意義的例子，促進(jìn)學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)，并結(jié)合實(shí)例使學(xué)生進(jìn)一步明晰隨機(jī)試驗(yàn)的意義.

2.學(xué)生的另一個(gè)錯(cuò)誤的認(rèn)知是，相互獨(dú)立的事件不能同時(shí)發(fā)生，這導(dǎo)致他們經(jīng)常把獨(dú)立事件與互斥事件混淆.

事件的獨(dú)立性與互斥性是兩對(duì)不同屬性的概念，事件A與B相互獨(dú)立是從概率的角度來(lái)下的定義，其本質(zhì)是P(AB)=P(A)P(B)，強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率大小沒(méi)有影響，而事件A與B互斥是從事件運(yùn)算的角度來(lái)下的定義，強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)事件不能在任一隨機(jī)試驗(yàn)中同時(shí)發(fā)生.教學(xué)中應(yīng)提供不同背景的隨機(jī)試驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷用直觀與定義兩種方式判斷給定的兩個(gè)事件是否獨(dú)立，促進(jìn)學(xué)生對(duì)獨(dú)立性的理解.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析教學(xué)難點(diǎn)：在實(shí)際情境中判斷事件的獨(dú)立性，用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。教學(xué)重點(diǎn)：了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義，利用事件的獨(dú)立性解決有關(guān)的概率計(jì)算問(wèn)題。四

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一：回顧舊知，引出新課（節(jié)引言）問(wèn)題1.積事件AB就是事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，因此積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A，B發(fā)生的概率有關(guān)，那么，這種關(guān)系是怎樣的呢？師：在上一節(jié)課，通過(guò)研究A∩B=Φ以及A∩B≠Φ，分別得到P(A∪B)的計(jì)算公式，你能說(shuō)出在隨機(jī)事件下它們的具體含義嗎？問(wèn)題2.

當(dāng)A∩B≠Φ時(shí)，如何得到P(A∩B)即P(AB)的計(jì)算公式呢?環(huán)節(jié)二：創(chuàng)設(shè)情境，生成概念情境與活動(dòng)一（探究）下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)各定義了一對(duì)隨機(jī)事件A和B試驗(yàn)1：分別拋擲兩枚勻質(zhì)的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”。試驗(yàn)2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異。采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球。A=“第一次摸到的球標(biāo)號(hào)小于3”，B=“第二次摸到的球標(biāo)號(hào)小于3”師：你覺(jué)得事件A發(fā)生與否會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？生1：試驗(yàn)1是不會(huì)的，因?yàn)閮擅队矌欧謩e拋擲，第一枚硬幣的拋擲結(jié)果與第二枚硬幣的拋擲結(jié)果互相不受影響

試驗(yàn)2也是不會(huì)的，因?yàn)槭怯蟹呕孛?，第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響

。（直觀判斷的方式）

追問(wèn)：分別計(jì)算P(A),P(B),P(AB),你有什么發(fā)現(xiàn)？

12341（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）生3：可以畫(huà)一個(gè)二維表格，輔助思考更有條理，很直觀

設(shè)計(jì)意圖：選擇兩個(gè)符合獨(dú)立性直觀意義的試驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生感悟事件的獨(dú)立性.體現(xiàn)了由特殊到一般的原則。環(huán)節(jié)三：辨析概念，提高認(rèn)識(shí)問(wèn)題3：有學(xué)生認(rèn)為相互獨(dú)立的事件一定不能同時(shí)發(fā)生，

你認(rèn)為呢？追問(wèn)1：我們先來(lái)看一下，交事件之間的特殊情況，即互斥事件。互斥事件是否為獨(dú)立事件呢？生4：既然互斥事件不能同時(shí)發(fā)生，說(shuō)明它們之間是有影響的，事件A與B互斥，則事件A與B一定不相互獨(dú)立。追問(wèn)2：能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)得更明白些？生5：若事件A與B互斥，則AB=Φ，所以P(AB)=0,但P(A)>0,P(B)>0,P(A)?P(B)≠P(AB),因此A與B一定不相互獨(dú)立。追問(wèn)3：很好，但是為什么P(A)>0,P(B)>0，有無(wú)等于0的可能？生5：應(yīng)該加上A與B為非不可能事件。追問(wèn)4：相互獨(dú)立的兩個(gè)事件能否是互斥事件？生6：若事件A與B相互獨(dú)立，則A與B一定不互斥

。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題使學(xué)生明白互斥事件與獨(dú)立事件之間的關(guān)系

情境與活動(dòng)二（探究）環(huán)節(jié)四：深化理解，觸類(lèi)旁通

師生活動(dòng)：可以分組解決不同的問(wèn)題，先獨(dú)立思考，再合作交流，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生如何解釋他們的判斷，如何推理.12341（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）可以畫(huà)一個(gè)二維表格，輔助計(jì)算很明顯（先特殊后一般）環(huán)節(jié)四：深化理解，觸類(lèi)旁通利用韋恩圖，輔助證明很明顯

AB

環(huán)節(jié)五：鞏固新知，解決問(wèn)題例1.一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異。采用不放回方式從中任意摸球兩次。設(shè)事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件A=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”那么事件A與B是否相互獨(dú)立？從概率角度分析，不同的抽樣方式對(duì)總體均值的估計(jì)效果是不同的，我們要有意識(shí)地去比較，因此，這道題是探究1的變式，從而體會(huì)抽樣方式不同，某個(gè)事件發(fā)生的概率也會(huì)存在差異12341

（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）

（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）

（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）

可以畫(huà)一個(gè)二維表格，輔助計(jì)算很明顯例2.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶的概率為0.8，乙的中靶的概率為0.9，求下列事件的概率：（1）兩人都中靶；

（2）恰有一人中靶；（3）兩人都脫靶；

（4）至少有一人中靶。師生活動(dòng)：先分析隨機(jī)試驗(yàn)，用集合語(yǔ)言表示隨機(jī)事件.由于涉及較多的符號(hào)推理與運(yùn)算，應(yīng)給予學(xué)生充分的時(shí)間獨(dú)立研究，并鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)交流運(yùn)算與推理的過(guò)程.設(shè)計(jì)意圖：利用事件獨(dú)立的性質(zhì)，計(jì)算較復(fù)雜事件的概率。例3.甲、乙兩人組成的“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為0.75，乙甲每輪猜對(duì)的概率為0.6。在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響。求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率。師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題.由于問(wèn)題比較復(fù)雜，解題時(shí)可以借助于表格，使得表述的條理更加清晰.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生綜合利用事件的互斥關(guān)系的性質(zhì)與事件的獨(dú)立性計(jì)算兩個(gè)事件積的概率，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣.環(huán)節(jié)六：課堂小結(jié)1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能說(shuō)一說(shuō)，事件A與事件B相互獨(dú)立的含義是什么？如何判斷事件A與B是相互獨(dú)立的？如何判斷事件A與B是互斥的？你能說(shuō)一說(shuō)二者的區(qū)別嗎？2.解決概率問(wèn)題關(guān)鍵：分解復(fù)雜問(wèn)題為基本的互斥事件與相互獨(dú)立事件.判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法：(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：如果事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨(dú)立事件．設(shè)計(jì)意圖：一方面引導(dǎo)學(xué)生反思本節(jié)課的重點(diǎn)，另一方面為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)容易混淆的事件進(jìn)行比較、澄清。2.目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.分別拋擲兩枚勻質(zhì)的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣正面朝上”，事件C=“兩枚硬幣朝上的面相同”，A，B，C中哪兩個(gè)互相獨(dú)立？設(shè)計(jì)意圖：考查在熟悉的情境下，學(xué)生能否正確判斷事件的獨(dú)立性。1.作業(yè)

教科書(shū)第249頁(yè)練習(xí)第1，2，3