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文檔簡介

6.1.3用余弦定理正弦定理解三角形第二章

平面向量及其應用1.運用余弦定理、正弦定理解三角形；2.運用余弦定理、正弦定理解決與三角形有關的實際問題.1.余弦定理：2.正弦定理：

在三角形的三條邊和三個角這6個元素中，如果已知3個（至少含一邊長），那么由余弦定理和正弦定理，就可以求得其他3個元素，具體情形如下：

情形1：已知兩個角的大小和一條邊的邊長.

先由三角形內角和定理求出第三個角的大小，然后根據正弦定理求得另外兩條邊的邊長.情形2：已知兩條邊的邊長及其夾角的大小.

先由余弦定理求出第三條邊的邊長，然后再由余弦定理求出第二、第三個角的大小.

情形3：已知三條邊的邊長.

先由余弦定理求出兩個角，再利用三角形內角和定理求出第三個角.

情形4：已知兩條邊的邊長和其中一邊對角的大小.

由正弦定理求出第二條邊所對角的正弦；

（1）判斷是兩解、一解還是無解；

（2）再根據三角形內角和定理得到第三個角的大小.

（3）由余弦定理或正弦定理求得第三條邊的邊長.例1：如圖所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=30°，求∠BAD的正弦值和

BD的長.解：在三角形ABC中，AB=5，AC=9，∠BCA=30°由正弦定理，得

，則因為AD//BC，所以，于是在△ABD中，由正弦定理，得

，則例2：如圖，一次機器人足球比賽中，甲隊機器人由點A開始做勻速直線運動，到達點B時，發現足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動，已知dm，AD=17dm，，若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則該機器人最快可在何處截住足球？解：機器人最快截住足球的地方是機器人與足球同時到達的地方；如圖，設該機器人最快可在

C處截住足球，BC=xdm，由題意，CD=2xdm，AC=AD-CD=17-2x.在△ABC中，由余弦定理，得因此，該機器人最快可在線段

AD上離點

A處7dm的點C處截住足球.解得

或

；例3：如圖，AB是底部

B不可到達的一座建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.解：選擇一條水平基線

HG，使

H，G，B三點在同一條直線上，在

G，H兩點用測角儀器測得

A的仰角分別是

α，β；且CD=a，測角儀器的高是

h.

在中，由正弦定理，得.所以，這座建筑物的高度為總結實際問題抽象概括示意圖數學模型推理演算數學模型的解實際問題的解還原說明解：在

△ABC中，由正弦定理，得練習1：如圖所示，在山頂鐵塔上

B處測得地面上一點

A的俯角

α=60°，在塔底

C處測得

A處的俯角

β=45°，已知鐵塔

BC部分的高為

h=30m，求出山高

CD.練習2：一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行，在

A處看燈塔

S

在船的北偏東

20°的方向，30min后航行到

B

處，在

B

處看燈塔在船的北偏東

65°的方向，已知距離此燈塔6.5nmile/h以外的海區為航行安全區域，這艘船可以繼續沿正北方向航行嗎？

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