第=page11頁，共=sectionpages11頁天津一百中2024-2025學年高二（下）診斷數學試卷（3月份）一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=1A.2 B.4 C.8 D.162.曲線f(x)=x2A.π4 B.π3 C.3π3.等差數列{an}的首項為1，公差不為0，若a2，a3，aA.15 B.?15 C.?13 4.函數f(x)=A. B.

C. D.5.現給如圖所示的五個區域A，B，C，D，E涂色，有5種不同的顏色可供選擇，每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案種數為(

)A.420

B.340

C.260

D.1206.已知函數f(x)=lnx?A.[0,+∞) B.(07.已知(4x+a)(1?A.?32 B.?8 C.24 8.定義在R上的函數f(x)導函數為f(x)，若對任意實數x，有f′(A.(?∞,1e) B.(9.已知奇函數f(x)在R上是減函數，g(x)=xf(x)A.a<c<b B.a<b二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.若(x2+2x2)11.函數f(x)=x3?12.某醫療隊伍有4名醫生需分配到2個志愿團隊，每名醫生只去一個志愿隊，每個志愿隊至少分配一名醫生，則共有______種不同的方法.(用數字作答)13.已知函數f(x)=ex?x?1，g(x)14.用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的三位數，這樣的三位數共有______個.(用數字作答)15.已知函數f(x)=lnx+1?2mx三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//DC，AB=3，AA1=217.(本小題12分)

已知數列{an}是遞增的等差數列，{bn}是等比數列，b1=2a1=2，b2=2a2，b3=2a4．

(18.(本小題12分)

已知函數f(x)=xex,g(x)=a2(x+1)2?1e，其中a>0．

(119.(本小題12分)

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，短軸長為4．

(1)求橢圓的方程．

(2)過左焦點F1作兩條互相垂直的直線l1，l20.(本小題12分)

已知f(x)=xln(ax+b)．

(1)若f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x答案和解析1.【答案】D

【解析】解：根據題意可知，函數f(x)=13x3?x，f′(x)2.【答案】C

【解析】解：f′(x)=2xlnx+x?2，

所以f′(1)=?1，

設曲線f(x)=3.【答案】C

【解析】解：設等差數列的公差為d，d≠0，

則a2=1+d，a3=1+2d，a6=1+5d，

由a2，a3，a6成等比數列，得a4.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數圖象的識別和判斷，屬于基礎題．

判斷函數的奇偶性以及取特殊值法進行判斷排除即可．【解答】

解：函數的定義域為{x|x≠0}，

f(?x)=e?x?exx2=?f5.【答案】A

【解析】解：由題意五個區域A，B，C，D，E涂色，有5種不同的顏色可供選擇，每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，

可分情況討論：

若A，E同色、B，D同色，有A52，此時C有3種涂法，共有3A52=60種，

若A，E同色、B，D不同色，有C51，此時B，C，D有A43種涂法，共有C51A43=120種，

同理B，D同色、A，E不同色也有120種，

若A，B，C，D，E的顏色互不相同，則有A55=120種，

綜上，共有60+120+120+120=420種．

故選：A．6.【答案】D

【解析】解：函數f(x)=lnx?12ax2?2x在[12,1]存在單調遞減區間，

則f′(x)=1x?ax?2≤0在[12,1]上有解，

7.【答案】B

【解析】解：令x=1，則所有項的系數和為(4+a)×(1?2)4=5，解得a=1；

則(48.【答案】D

【解析】解：若對任意實數x，有f′(x)<f(x)，且f(0)=?1，

令函數F(x)=f(x)ex，則F(0)=?1，F′(x)=f′(x)?f(x9.【答案】A

【解析】解：因f(x)為奇函數且在R上是減函數，所以f(?x)=?f(x)，f(0)=0，f′(x)<0，

且x>0，時f(x)<0．

因g(x)=xf(x)，所以g(?10.【答案】160

【解析】解：由題可得：2n=64，故n=6，

(x2+2x2)6的通項公式為Tk+1=C6k(11.【答案】1

【解析】解：由f(x)=x3?x2?x+2，可得f′(x)=3x2?2x?1=(3x+1)(x12.【答案】14

【解析】解：4名醫生分配到2個志愿團隊，每名醫生只去一個志愿隊，每個志愿隊至少分配一名醫生，

若按照1：3的比例，共有C41=4種分組方案；

若按照2：2的比例，共有C42A22=3種分組方案；

13.【答案】(?【解析】解：根據題目：已知函數f(x)=ex?x?1，g(x)=x?lnx+a，

若?x1∈R，?x2∈(0,e]，使得f(x1)≥g(x2)，

由f(x)=ex?x?1，可得f′(x)=ex?1，

當x>0時，f′(x)>0；當x<0時，f′(x14.【答案】54

【解析】解：第一類，沒有偶數數字的三位數，即有A33=6個；

第二類，有一個非0偶數數字的三位數，即有：C21C32A33=36個；

第三類，有一個偶數數字0的三位數，即有：15.【答案】[l【解析】解：因為f(x)=lnx+1?2mx23x+1，所以定義域為(0,+∞)，

又因為y=f(x)有兩個零點，

即y=lnx+1?2mx2有兩個零點，

則方程lnx+1x2=2m有兩個根，

即函數g(x)=lnx+1x2圖象與y=2m圖象存在兩個交點，

因為g′(x16.【答案】證明見解析；

105；

3【解析】解：(1)證明：如圖：

取CB1的中點P，連接NP，MP，

由N為BC1中點，可得NP//CC1且NP=12CC1，

由M為DD1中點，故D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，

所以D1M//NP且D1M=NP，

所以四邊形D1MPN為平行四邊形，所以D1N//MP，

又MP?平面CB1M，D1N?平面CB1M，

所以D1N//平面CB1M；

(2)因為AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，故可以A為原點，建立如圖空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，B(3,0,0)，17.【答案】an=n，bn=2n；

【解析】解：(1)數列{an}是遞增的等差數列，

{bn}是等比數列，b1=2a1=2，b2=2a2，b3=2a4．

設公差為d(d>0)，公比為q，

可得b1=2，a1=1，

聯立可得2q=2(1+d)2q2=2(1+3d)，解得d=1q=2或d=0q=1(舍)，

所以an=n，bn=2n．18.【答案】減區間為(?∞,?1)，增區間為(?1,+∞)【解析】解：(1)f′(x)=ex+xex=ex(x+1)，

當x<?1時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x>?1時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

當x=?1時，函數f(x)取得極小值f(?1)=?1e，

所以函數f(x)的減區間為(?∞,?1)，增區間為(?1,+∞)，極小值為?1e，無極大值．

(2)由函數g(x)=a2(x+1)2?1e，可得xg(x)=a2x(x+1)2?1ex，

設m(x)=xg(x)=a2x(x+1)2?1ex,x∈[1,2]，可得m′(x)=a2(3x2+4x+1)?1e，

因為對?x1，x2∈[1,2]且x1<x2，x1g(x1)<x2g(x2)恒成立，

可得對?x1，x2∈[1,2]，函數m(x)為單調遞增函數，

即對?x1，19.【答案】x28+y24=【解析】解：(1)由題意得e=ca=222b=4a2?b2=c2，解得a=22,b=2,c=2，

故橢圓方程為x28+y24=1．

(2)由(1)知F1(?2,0)，

設直線l1：y=k(x+2)(k>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯立y=20.【答案】a=2，b=?1．

[【解析】解：(1)由f(x)=xln(ax+b)可得：f′(x)=ln(ax+b)+axax+b，f(1)=ln(a+b)．

因為f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x?y?2=0，

所以f′(1)=22×1?ln(a+b)?2=0，即ln(a+b)+aa+b=22×1?ln(a+b)?2=0，

故當f(x)在(1,f(1))處的