第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京166中學高二（下）3月段考數學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若直線l1：ax+3y=0與直線l2：3x+ay=0垂直，則實數a為(

)A.?3 B.?1 C.0 D.12.下列求導運算中，正確的一項是(

)A.(a?ex)′=(a+1)ex B.(cosx)′=sinx3.某家新能源電池制造企業擁有兩類生產線，分別生產高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，兩條線的日總產量為400支鋰電池，質檢人員按兩類生產線的產量比例采用分層抽樣方法隨機抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測，已知樣本中高能量密度鋰電池有35支，則低能量密度鋰電池的日產量為(

)A.175支 B.225支 C.300支 D.325支4.(2x2?1A.60 B.?60 C.80 D.?805.已知函數f(x)的定義域為R，且f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，f(x)的導函數為f′(x).若函數y=f′(x)的圖象如圖所示，則(

)A.f(x)在區間(?1,+∞)上單調遞增

B.f(x)在區間(?∞,0)上單調遞減

C.f(0)<f(?1)<f(?2)

D.f(?6.雙曲線C：x24?y29=1A.0個 B.恰有1個 C.恰有2個 D.恰有4個7.設定義在R上的函數f(x)，g(x)，導函數分別為f′(x)，g′(x)，則“f(x)<g(x)”是“f′(x)<g′(x)”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.將5名志愿者隨機分配到3個項目(衛生、宣傳、審計)服務，衛生項目與宣傳項目各分配2名志愿者，審計項目只需1名志愿者，則不同的分配方案共有(

)A.30種 B.60種 C.90種 D.180種9.平面直角坐標系xOy中，雙曲線C1：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線C：x2=2py(p>0)交于O，AA.2 B.32 C.2 10.甲拋擲均勻硬幣2025次，乙拋擲均勻硬幣2024次，下列四個隨機事件的概率是0.5的是(

)

①甲拋出正面次數比乙拋出正面次數多．

②甲拋出反面次數比乙拋出正面次數少．

③甲拋出反面次數比甲拋出正面次數多．

④乙拋出正面次數與乙拋出反面次數一樣多．A.①③ B.①② C.②③ D.②④二、填空題：本題共6小題，共50分。11.展開式(2x?1)5=a0+a1x+12.(1)若f(x)=sinxx2+2x+2，則f′(0)=______；

(2)若f(x)=ln13.某雪堆在融化過程中，其體積T(單位：m3)與融化時間t(單位：?)近似滿足函數關系：T(t)=H(10?110t)3(H為常數)，其圖象如圖所示．

(1)設H=1，從t=80到t=90的雪堆體積的平均變化率的值為______；

(2)記t=80時雪堆融化的瞬時速度為v1，14.從甲、乙等5名志愿者中選出4名，分別從事A，B，C，D四項不同的工作，每人承擔一項.且甲、乙均不從事A工作，則不同的工作分配方案共有______種.15.意大利畫家列奧納多?達?芬奇(1452.4?1519.5)的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上黑色珍珠項鏈與主人相互映襯呈現出不一樣的美與光澤，達?芬奇提出：一條粗細與質量分布均勻的項鏈，其長度不能自然伸縮，固定其兩端，使其受重力作用自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線(Catenary)問題”.約翰?伯努利給出了懸鏈線的函數解析式：f(x)=ecx+e?cx2c，其中c為懸鏈線系數，是曲線頂點到橫坐標軸的距離.并且由此數學世界中產生了一類新的函數：雙曲函數.包括雙曲正弦函數sin?(x)=ex?e?x2，雙曲余弦函數cos?(x)=ex+e?x2．

可見，懸鏈線的函數解析式恰好是f(x)=______.(填asin?(xa)或者acos?(xa)之一)．

若雙曲正弦函數C1在點16.若雙曲正弦函數C1：sin?x=ex?e?x2在點A(x1,y1)處的切線l1的斜率為1，雙曲余弦函數C2：cos?x=三、解答題：本題共6小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知函數f(x)=13x3?x2+1．

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；18.(本小題10分)

一個不透明的袋子中，放有大小相同的7個小球，其中4個黑球，3個白球.回答下列問題：

(1)從袋中隨機不放回地取出3個球，求其中恰好有兩個黑球的概率；

(2)從袋中有放回地依次隨機取球，每次取一個球，共取三次，求恰有兩次取得黑球的概率；

(3)從袋中不放回地隨機取球，每次取一個球，共取兩次，求第二次取出黑球的概率．19.(本小題10分)

為評估大氣污染防治效果，調查區域空氣質量狀況，某調研機構從同一年A，B兩地區的空氣質量指數(AQI)數據中隨機抽取相同20天的觀測數據，形成20個有序數對(a,b)(a,b分別為同一天A，B兩地的空氣質量指數)，如圖所示：

根據空氣質量指數，將空氣質量狀況分為以下三個等級：空氣質量指數AQI(0,100)[100,200)[200,300)空氣質量狀況優良輕中度污染重度污染(1)任取此年中的一天，試估計A地區在這一天空氣質量等級為“優良”的概率；

(2)任取此年中的三天，用樣本的頻率估計總體的概率，設X表示這三天中A地區空氣質量等級為“優良”的天數.求X的分布列及數學期望；

(3)從抽取的20天中隨機抽取3天，求其中至少有一天兩地空氣質量等級均為“優良”的概率．20.(本小題10分)

橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為M(0,1)，離心率為22．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(?1,?1)的直線交橢圓C于A，B21.(本小題10分)

已知函數f(x)=exln(1+x)，x∈[0,+∞)．

(1)設g(x)=f′(x)，討論函數g(x)的單調性；

(2)證明：對任意的s，t∈(0,+∞)22.(本小題10分)

將1至n2這n2個自然數隨機填入n×n方格的n2個方格中，每個方格恰填一個數(n≥2,n∈N?).對于同行或同列的每一對數，都計算較大數與較小數的比值，在這n2(n?1)個比值中的最小值，稱為這一填數法的“特征值”．

(Ⅰ)若n=2，請寫出一種填數法，并計算此填數法的“特征值”；

(Ⅱ)當n=3時，請寫出一種填數法，使得此填數法的“特征值”為n+1n；參考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.C

6.B

7.D

8.A

9.B

10.A

11.32

2

12.12

?13.?0.7

4

14.72

15.acos?(xa)16.2+17.解：(1)因為

f(x)=13x3?x2+1，所以

f′(x)=x2?2x，

所以f(1)=13，f′(1)=?1，

所以所求切線方程為y?13=?(x?1)，即3x+3y?4=0；

(2)設切點坐標為(m,13m3?m2+1)，且f(0)=1，由(1)知f′(m)=m2?2m，

由直線的點斜式方程可得切線方程為

y?(13m3?m2+1)=(m2?2m)(x?m)，

由切線經過點(0,1)，代入可得1?(13m3?m2+1)=(m2?2m)(?m)，

化簡得

23m3?m2=0，解得

m=0或32，又f′(0)=0,f′(32)=(32)2?2×32=?34，

結合切線過點(0,1)可得切線的方程為

y=1或3x+4y?4=0．

18.解：(1)從袋中隨機不放回地取出3個球，其中恰好有兩個黑球的概率為P=C42C31C73=1835；

(2)從袋中每次取一個球，其為黑球的概率為C41C71=X0123P192727故E(X)=3×34=94．

(3)由圖知，在抽取的20天中，兩地空氣質量等級均為“優良”的有13天，

至少有一天兩地空氣質量等級均為“優良”的對立事件是3天沒有任何一天兩地空氣質量等級均為“優良”，

所以從抽取的20天中隨機抽取3天，至少有一天兩地空氣質量等級均為“優良”的概率

P=1?20.解：(1)根據題目：橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，

上頂點為M(0,1)，離心率為22.得b=1，

由橢圓C的離心率為22，得a2?b2a=22，解得a=2，

所以橢圓C的方程為：x22+y2=1．

(2)證明：由題：過點(?1,?1)的直線交橢圓C于A，B兩點，設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，

當直線AB的斜率存在時，設其方程為y=k(x+1)?1，k≠2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，21.解：(1)因為f(x)=exln(1+x)，x∈[0,+∞)，

所以f′(x)=exln(1+x)+exx+1，x∈[0,+∞)．

所以g(x)=f′(x)=exln(x+1)+exx+1，

則g′(x)=ex[ln(x+1)+2x+1(x+1)2]，

令m(x)=ln(x+1)+2x+1(x+1)2，

則m′(x)=x2+1(x+1)3，

當x∈[0,+∞)時，m′(x)>0恒成立，則m(x)單調遞增，

又m(0)=1>0，所以m(x)>0恒成立，

則g′(x)>0在[0,+∞)上恒成立，

所以g(x)在[0,+∞)上單調遞增；

(2)證明：令?(x)=f(x+t)?f(x)?f(t)，其中x>0，t>0，

22.解：(Ⅰ)當n=2時，如下表填數：

同行或同列的每一對數，計算較大數與較小數的比值分別為

2，43，3，2，可得此填數法的“特征值”為43；

(Ⅱ)當n=3時，如下表