洪澤外國語中學2024－2025第二學年度數學隨堂練習（1）一、選擇題（24分）1.“數學”的英文縮寫為“”，下列四個字母中，屬于中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.如圖，在平行四邊形中，，則的度數為（）A. B. C. D.3.四個式子：，x2+5x，x，，其中分式的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.下列命題，其中是真命題的為（）A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的四邊形是矩形D.一組鄰邊相等的矩形是正方形5.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形三個頂點坐標分別為，，，則頂點的坐標為（）A. B. C. D.6.如圖，在中，，是邊上中線，是的中位線，若，則（）?A.3 B.4 C.5 D.6?7.如圖，在矩形中，，，是上一個動點，是上一點點不與點重合．連接，將沿翻折，使點的對應點落在邊上，連接，若，則的面積為()A. B. C. D.8.如圖1，點從菱形的頂點出發，沿以的速度勻速運動到點，點運動時的面積隨時間變化的關系如圖，則的值為（）A. B. C. D.9二．填空題（24分）9.要使分式有意義，則的取值范圍是_______．10.如圖，在中，對角線、相交于點，如果，，，那么的取值范圍是______．11.如圖，在中，于E，則的度數為_______．12.如圖，四邊形是菱形，O是兩條對角線的交點，過點O的三條直線將菱形分成陰影部分和空白部分，若菱形的兩條對角線長分別為和，求陰影部分的面積為______．13.如圖，四邊形為菱形，，延長到，在內作射線，使得，過點作，垂足為，若，則對角線的長為______．（結果保留根號）14.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊落在x軸的正半軸上，且點，，直線平分平行四邊形的面積，則______．15.如圖，頂點C在等邊的邊上，點E在的延長線上，G為的中點，連接．若，，則的長為_______．16.如圖，矩形中，，，以點A為旋轉中心，逆時針旋轉矩形，旋轉角為()，得到矩形，點B、點C、點D的對應點分別為點E、點F、點G．設點P為邊的中點，連接，在矩形旋轉過程中，的面積存在最大值，這個最大值＝________．17.如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長都為1，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上．（1）以點A為旋轉中心，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△AB1C1，畫出△AB1C1；（2）畫出△ABC關于原點O成中心對稱的△A2B2C2，若點B的坐標為（-2，-2），則點B2的坐標為_________．（3）若△A2B2C2可看作是由△AB1C1繞點P順時針旋轉90°得到的，則點P的坐標為______.18.如圖1為折疊便攜釣魚椅子，將其抽象成幾何圖形，如圖2所示，測得，，，，，已知．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求椅子最高點A到地面的距離．19.閱讀下列材料，完成相應的任務．無刻度直尺作圖不同于傳統的尺規作圖，它只能用來畫直線、射線或線段．在作圖時，關鍵在于根據幾何圖形的特征確定與題意相符的兩個點或一個點，再利用“兩點確定一條直線”這一基本事實即可．如圖1，已知平行四邊形，點E、F分別在、上，且，連接，僅用無刻度直尺在上畫點O，使點O為的中點．方法：如圖2，連接，與交點即為點O．理由如下：連續，在平行四邊形中，，，，，又，四邊形為平行四邊形（依據），，為的中點．任務：（1）材料中的依據是指：_________．（2）圖3為正方形網格，點A、B為格點，請僅用無刻度直尺畫出線段的中點O（不寫作法和依據，保留作圖痕跡）．（3）如圖4，已知菱形，點E為上一點，請僅用無刻度直尺在上畫點G，使（不寫作法和依據，保留作圖痕跡）．20.如圖1，將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形．（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）已知矩形紙條寬度為，將矩形紙條旋轉至如圖2位置時，此時直線、所夾銳角的度數為30度，求四邊形的面積．21.如圖，點是菱形對角線的交點，，，連接，交于．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求的長．22.閱讀與思考：下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點分別是邊，的中點，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交于點，過點作于點，交于點．∵分別為的中點，∴．（依據1）∴．∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形．（依據2）∴．∵，∴．同理，…任務：（1）填空：材料中依據1是指：_____________．依據2是指：_____________．（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時畫出四邊形的對角線）（3）在圖1中，分別連接得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長與對角線長度的關系，并證明你的結論．23.閱讀理解材料：為了研究分式與分母x的變化關系，小明制作了表格，并得到如下數據：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1無意義10.500.25…從表格數據觀察，當時，隨著的增大，的值隨之減小，并無限接近0；當時，隨著的增大，的值也隨之減?。牧?：對于一個分子、分母都是多項式的分式，當分母的次數高于分子的次數時，我們把這個分式叫做真分式．當分母的次數不低于分子的次數時，我們把這個分式叫做假分式．有時候，需要把一個假分式化成整式和真分式的代數和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：根據上述材料完成下列問題：（1）當時，隨著的增大，的值（增大或減?。划敃r，隨著的增大，的值（增大或減?。唬?）當時，隨著的增大，的值無限接近一個數，請求出這個數；（3）當時，求代數式值的范圍．24.如圖，點E為的邊上一點，連接并延長，使，連接并延長，使，連接，H為的中點，連接，．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若的面積為4，則的面積為__________．（直接寫出結果）25.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A在y軸的正半軸上，點C在x軸的正半軸上，線段的長分別是m，n且滿足，點D是線段上一點，將沿直線翻折，點O落在矩形對角線上的點E處（1）求線段的長；（2）求點E的坐標；（3）所在直線與相交于點M，點N在x軸的正半軸上，以M、A、N、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，求N點坐標．26.閱讀下面材料：我遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形中，點、分別為、邊上的點，，連接，求證：我是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉的方法，發現通過旋轉可以解決此問題．他的方法是將繞點順時針旋轉得到（如圖），此時即是．請回答：在圖2中，的度數是______．參考我得到的結論和思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，在直角梯形中，，，，是上一點，若，，求的長度．（2）如圖4，中，，，以為邊作正方形，連接．當______時，線段有最大值，并求出的最大值．

洪澤外國語中學2024－2025第二學年度數學隨堂練習（1）一、選擇題（24分）1.“數學”的英文縮寫為“”，下列四個字母中，屬于中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了中心對稱圖形概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．根據中心對稱圖形的定義進行判斷，即可得出答案．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．【詳解】解：選項A、B、C均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，

選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，

故選：D．2.如圖，在平行四邊形中，，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據平行四邊形的性質得到，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴∵∴，故選：B．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質：對角相等，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．3.四個式子：，x2+5x，x，，其中分式的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據分式的定義，一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子就叫做分式，進行求解即可．【詳解】解：四個式子：，x2+5x，x，，其中是分式有，，故選B．【點睛】本題主要考查了分式的定義，熟知定義是解題的關鍵．4.下列命題，其中是真命題的為（）A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的四邊形是矩形D.一組鄰邊相等的矩形是正方形【答案】D【解析】【分析】根據平行四邊形的判定判斷A選項，根據菱形的判定判斷B選項，根據矩形的判定判斷C選項，根據正方形的判定判斷D選項，真命題選擇選項說法正確的即可．【詳解】解：A選項，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故A選項錯誤，不符合題意；B選項，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B選項錯誤，不符合題意；C選項，對角線相等的平行四邊形是矩形，故C選項錯誤，不符合題意；D選項，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故D選項正確，符合題意故選D．【點睛】本題考查了真命題、平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知識點，熟練掌握這些判定是解答本題的關鍵．5.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形三個頂點坐標分別為，，，則頂點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質，坐標與圖形性質，掌握平行四邊形的性質是本題的關鍵．設點，由平行四邊形的性質可得，，即可求解．【詳解】解：設點，四邊形是平行四邊形，點，點，點，，，，，點，故選：C．6.如圖，在中，，是邊上中線，是的中位線，若，則（）?A.3 B.4 C.5 D.6?【答案】D【解析】【分析】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線的性質，熟記各性質定理是解題的關鍵．根據直角三角形斜邊上的直線的性質得出的長，再根據三角形中位線定理得出結果．【詳解】解：在中，，是邊上中線，，∴，∵是的中位線，∴，故選：D．7.如圖，在矩形中，，，是上一個動點，是上一點點不與點重合．連接，將沿翻折，使點的對應點落在邊上，連接，若，則的面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由折疊可知，，設則在中，利用勾股定理可建立方程，解得，則，，再根據等腰三角形的性質得到，進而算出，設則在中，利用勾股定理可建立方程，解得，則，再利用三角形面積公式計算即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，四邊形為矩形，，，，，，由折疊可知，，，，，設則在中，，，解得：，，，，四邊形為矩形，，，，，，設則在中，，，解得：，，故選：B．【點睛】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、等腰三角形的性質、勾股定理，熟練掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．8.如圖1，點從菱形的頂點出發，沿以的速度勻速運動到點，點運動時的面積隨時間變化的關系如圖，則的值為（）A. B. C. D.9【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，三角形的面積，動點問題的函數圖象，由函數圖象，得到，，，再由勾股定理，三角形面積公式即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：作于，∵四邊形是菱形，∴，∴，由圖象知：，，，令，∴由勾股定理：∴，∴，故選：B．二．填空題（24分）9.要使分式有意義，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式有意義的條件，分式有意義：分母不等于0，即可作答．【詳解】解：∵分式有意義，∴，∴，故答案為：．10.如圖，在中，對角線、相交于點，如果，，，那么的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據平行四邊形的性質易知OA=7，OB=4，根據三角形三邊關系確定范圍．【詳解】解：∵是平行四邊形，，，∴，，∴，即．故答案為：．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質及三角形三邊關系定理，熟練掌握三角形兩邊之和與第三邊關系和三角形兩邊之差與第三邊的關系是解題的關鍵．11.如圖，在中，于E，則的度數為_______．【答案】##22度【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的性質，直角三角形兩個銳角互余，熟練掌握這些性質定理是解答本題的關鍵．根據平行四邊形性質，得到，根據等腰三角形性質得到，因為，在中，即可求出的度數．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，在中，，故答案為：．12.如圖，四邊形是菱形，O是兩條對角線的交點，過點O的三條直線將菱形分成陰影部分和空白部分，若菱形的兩條對角線長分別為和，求陰影部分的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質、中心對稱圖形的性質、菱形的面積公式，熟知菱形的面積公式，利用菱形的性質判斷出陰影的面積是菱形面積的一半是解答的關鍵．根據菱形的面積等于對角線乘積的一半求出菱形的面積，再根據菱形是中心對稱圖形判斷出陰影的面積是菱形面積的一半即可解答．【詳解】解：如圖所示：菱形的兩條對角線的長分別為和，菱形的面積，是菱形兩條對角線的交點，菱形是中心對稱圖形，，陰影部分的面積，故答案為∶．13.如圖，四邊形為菱形，，延長到，在內作射線，使得，過點作，垂足為，若，則對角線的長為______．（結果保留根號）【答案】【解析】【分析】先由菱形的性質得出，求得，再根據直角三角形兩銳角互余得,連接AC交BD于點O，根據菱形的性質得，，根據AAS證明可得，從而可求出．【詳解】解：連接AC，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB//CD，，BD=2DO∴∵∴∵∴∵四邊形ABCD是菱形，∴∴在和中，∴≌∴∴故答案為：．【點睛】此題主要考查了菱形的性質以及全等三角形的判定與性質，連接AC并證明≌是解答此題的關鍵．14.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊落在x軸的正半軸上，且點，，直線平分平行四邊形的面積，則______．【答案】【解析】【分析】連接，交于點M，再用平行四邊形的性質求出M，平分平行四邊形的面積要經過，即可求解．【詳解】解：若直線平分平行四邊形的面積，則經過平行四邊形對角線交點．如圖，連接，交于點M，∵四邊形為平行四邊形，∴，，點M為，的中點，∵點，點，∴點坐標為，∵直線平分平行四邊形的面積，∴直線經過點，則，解得：，故答案為：．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質，以及一次函數，關鍵是正確掌握經過平行四邊形對角線交點的直線平分平行四邊形的面積．15.如圖，的頂點C在等邊的邊上，點E在的延長線上，G為的中點，連接．若，，則的長為_______．【答案】【解析】【分析】延長DC交EF于點M（圖見詳解），根據平行四邊形與等邊三角形的性質，可證△CFM是等邊三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中點，根據中位線的性質，可得出CG=，代入數值即可得出答案．【詳解】解：如下圖所示，延長DC交EF于點M，，，平行四邊形的頂點C在等邊的邊上，，是等邊三角形，．在平行四邊形中，，，又是等邊三角形，，．G為的中點，，是的中點，且是的中位線，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、中位線等知識點，延長DC交EF于點M，利用平行四邊形、等邊三角形性質求出相應的線段長，證出是的中位線是解題的關鍵．16.如圖，矩形中，，，以點A為旋轉中心，逆時針旋轉矩形，旋轉角為()，得到矩形，點B、點C、點D的對應點分別為點E、點F、點G．設點P為邊的中點，連接，在矩形旋轉過程中，的面積存在最大值，這個最大值＝________．【答案】##【解析】【分析】本題考查矩形性質，勾股定理，旋轉性質．連接，作于．當與共線，且時，面積最大，利用，求出，再根據計算即可得出答案．【詳解】解：連接，作于，，當與共線，且時，面積最大，由題意：，∵，，∴，∵，∴，∴，∴的面積最大值為，故答案為：．17.如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長都為1，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上．（1）以點A為旋轉中心，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△AB1C1，畫出△AB1C1；（2）畫出△ABC關于原點O成中心對稱的△A2B2C2，若點B的坐標為（-2，-2），則點B2的坐標為_________．（3）若△A2B2C2可看作是由△AB1C1繞點P順時針旋轉90°得到的，則點P的坐標為______.【答案】（1）見解析；（2）圖見解析；（2，2）；（3）（0，-1）【解析】【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出B、C的對應點B1、C1，從而得到△AB1C1．（2）利用關于原點對稱的點的坐標特征寫出A2、B2、C2的坐標，然后描點連線即可；（3）連接A1A2，C1C2，作A1A2和C1C2的垂直平分線交于點P，觀察圖形即可得出結論．【詳解】（1）如圖，△AB1C1為所作；（2）如圖，△A2B2C2為所作；若點B的坐標為（-2，-2），則點B2的坐標為（2，2）；（3）連接A1A2，C1C2，作A1A2和C1C2的垂直平分線交于點P，由圖可知：P（0，-1）．【點睛】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．18.如圖1為折疊便攜釣魚椅子，將其抽象成幾何圖形，如圖2所示，測得，，，，，已知．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求椅子最高點A到地面的距離．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查平行四邊形的判定及性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，理解并掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．（1）由平行線的性質可得，，進而得，可知，即可證明結論；（2）由平行四邊形的性質得，延長交于，由（1）可知，，，可知四邊形是平行四邊形，得，，求得，，證明，再由勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：∵，，，∴，，則，∴，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，延長交于，由（1）可知，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，則，，連接，∵，∴，，∴，∴，∴，即：椅子最高點到地面的距離為．19.閱讀下列材料，完成相應的任務．無刻度直尺作圖不同于傳統的尺規作圖，它只能用來畫直線、射線或線段．在作圖時，關鍵在于根據幾何圖形的特征確定與題意相符的兩個點或一個點，再利用“兩點確定一條直線”這一基本事實即可．如圖1，已知平行四邊形，點E、F分別在、上，且，連接，僅用無刻度直尺在上畫點O，使點O為的中點．方法：如圖2，連接，與的交點即為點O．理由如下：連續，在平行四邊形中，，，，，又，四邊形為平行四邊形（依據），，為的中點．任務：（1）材料中的依據是指：_________．（2）圖3為正方形網格，點A、B為格點，請僅用無刻度直尺畫出線段的中點O（不寫作法和依據，保留作圖痕跡）．（3）如圖4，已知菱形，點E為上一點，請僅用無刻度直尺在上畫點G，使（不寫作法和依據，保留作圖痕跡）．【答案】（1）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的判定定理分析即可；（2）根據網格的特點，確定點、，四邊形為矩形，可得，即可得解；（3）連接交于點，連接并延長交于點，由菱形的性質可知，為對稱軸，從而證明，得到，即可得出．【小問1詳解】解：材料中的依據是指：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；故答案為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：如圖，點即為所求作；【小問3詳解】解：如圖，點G即為所求作．【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，涉及平行四邊形的判定定理，矩形的判定和性質，菱形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質，靈活掌握相關知識點是解題關鍵．20.如圖1，將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形．（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）已知矩形紙條寬度為，將矩形紙條旋轉至如圖2位置時，此時直線、所夾銳角的度數為30度，求四邊形的面積．【答案】（1）菱形（2）【解析】【分析】本題主要考查矩形的性質，菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，含的直角三角形的性質，掌握菱形的判定和性質是解題的關鍵．（1）根據矩形的性質可得四邊形是平行四邊形，作，可證，可得，由此可證平行四邊形是菱形；（2）作，根據含的直角三角形的性質可得，結合菱形的性質可得，根據即可求解．【小問1詳解】解：四邊形是菱形，理由如下，如圖所示，過點作于點，過點作于點，根據題意，四邊形，四邊形是矩形，∴，∴，∴四邊形平行四邊形，∵寬度相等，即，且，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；【小問2詳解】解：如圖所示，過點作于點，根據題意，，∵的度數為30度，∴，∵平行四邊形是菱形；∴，∴．21.如圖，點是菱形對角線的交點，，，連接，交于．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】（1）根據，判定四邊形是平行四邊形，根據菱形的性質可得，從而證得四邊形是矩形；（2）由菱形的性質可得，，，由勾股定理可得，再由矩形的性質即可得到答案．【小問1詳解】證明：，，四邊形平行四邊形，四邊形是菱形，，，四邊形是矩形；【小問2詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，，，四邊形是矩形，．【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質、菱形的性質，解題的關鍵是熟練掌握矩形和菱形的性質并靈活運用．22.閱讀與思考：下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點分別是邊，的中點，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交于點，過點作于點，交于點．∵分別為的中點，∴．（依據1）∴．∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形．（依據2）∴．∵，∴．同理，…任務：（1）填空：材料中的依據1是指：_____________．依據2指：_____________．（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時畫出四邊形的對角線）（3）在圖1中，分別連接得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長與對角線長度的關系，并證明你的結論．【答案】（1）三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）答案不唯一，見解析（3）平行四邊形的周長等于對角線與長度的和，見解析【解析】【分析】（1）根據三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；（3）根據三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得妯結論．【小問1詳解】解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）【小問2詳解】解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求【小問3詳解】瓦里尼翁平行四邊形的周長等于四邊形的兩條對角線與長度的和，證明如下：∵點分別是邊的中點，∴．∴．同理．∴四邊形的周長．即瓦里尼翁平行四邊形的周長等于對角線與長度的和．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關鍵．23.閱讀理解材料：為了研究分式與分母x的變化關系，小明制作了表格，并得到如下數據：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1無意義10.50.0.25…從表格數據觀察，當時，隨著的增大，的值隨之減小，并無限接近0；當時，隨著的增大，的值也隨之減?。牧?：對于一個分子、分母都是多項式的分式，當分母的次數高于分子的次數時，我們把這個分式叫做真分式．當分母的次數不低于分子的次數時，我們把這個分式叫做假分式．有時候，需要把一個假分式化成整式和真分式的代數和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：.根據上述材料完成下列問題：（1）當時，隨著的增大，的值（增大或減小）；當時，隨著的增大，的值（增大或減小）；（2）當時，隨著的增大，的值無限接近一個數，請求出這個數；（3）當時，求代數式值的范圍．【答案】（1）減??；減?。?）（3）【解析】【分析】（1）由、的變化情況，判斷、的變化情況即可；（2）由，即可求解；（3）由，再結合的取值范圍即可求解.【小問1詳解】解：∵當時，隨著的增大而減小，∴隨著的增大，的值減?。弧弋敃r，隨著的增大減小，∵∴隨著的增大，的值減小.故答案為：減?。粶p小.【小問2詳解】∵，∵當時，的值無限接近，∴的值無限接近.【小問3詳解】∵，又∵，∴，∴.【點睛】本題考查分式的性質，熟練掌握分式的基本性質，理解題中的變量分離的方法是解題的關鍵.24.如圖，點E為的邊上一點，連接并延長，使，連接并延長，使，連接，H為的中點，連接，．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若的面積為4，則的面積為__________．（直接寫出結果）【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，，證明是的中位線，可得，，證明，，由平行四邊形的判定方法可得出結論．（2）根據中位線的性質可求出的面積，從而得出平行四邊形的面積．【小問1詳解】證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，，∴為的中位線，∴，，∴，，∵H為中點，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．【小問2詳解】如圖，連接，，∵點H為的中點，，，∴點B，C分別為，的中點，∴，，是的中位線，∵的面積為4，∴，∴，∴平行四邊形的面積為2．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質、三角形中位線定理，熟練掌握相關定理并能進行運用是解題的