2025年春高河中學高二第一次月考數學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知函數在x=x0處的導數為A．-2B．2C．-4D．42．下列求導運算不正確的是(),3．已知等比數列{an}是遞增數列，其前n項則直線AP與BP的斜率之積為()44445．已知函數y=f(x)為連續可導函數，y=(x2+4x+3)f,(x)的圖像如右圖所示，以下命題正確的是()A．f(-3)是函數的極大值B．f(-1)是函數的極小值C．f(x)在區間(-3,1)上單調遞增D．f(x)的零點是-3和-16．一個矩形鐵皮的長為16cm，寬為10cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，若記小正方形的邊長為x(cm)，小盒子的容積為V(cm3)，則()A．當x=2時，V有極小值B．當x=2時，V有極大值C．當x=時，V有極小值D．當x=時，V有極大值7．已知等差數列{an}（n∈N+）的前n項和為Sn，公差d<0，<-1，則使得Sn>0的最大整數n為()8．函數f(x)=lnx與函數g(x)=mx2+有兩個不同的交點，則m的取值范圍是()(1)(1)(1)(1)2,2,(1)(1)(1)(1)二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9多選題）已知函數f(x)=x3-4x+4(x∈[0,3])，則()A．函數f(x)在區間[0,2]上單調遞減B．函數f(x)在區間[0,3]上的最大值為1C．函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=-3x+D．若關于x的方程f(x)=a在區間[0,3]上有兩解，則a∈(|(-,4,)I10．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，且A，B在其準線上的射影分別為A1，B1，則下列結論正確的是()11．已知函數f(x)=(x-1)2(x-4)+m的導函數為f,(x)()A．若f(x)有三個零點，則0<m<4B．f,(4-x)=f,(x)C．x=1是f(x)的極小值點D．當x≥0,f(x)≥0時，則m≥4三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）13．已知曲線y=lnx+2與y=14．已知k>0，對任意的x∈,+∞,)，不等式ekx(kx-1)≥四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（13分）設函數f(x)=lnx(1)討論函數f(x)的單調性；(2)若f(x)≤x+1恒成立，求實數a的取值范圍．1615分）已知函數f(x)=(x2-2x+a)ex,a∈R．(1)若a=1，求函數f(x)在x∈[0,3]上的最大值和最小值；(2)討論函數f(x)的單調性．1715分）如圖1，在矩形ABCD中，BC=2AB=2,E是AD中點，將△CDE沿直線CE翻折到△CPE的位置，使得PB=，如圖2.（1）求證：面PCE丄面ABCE；（2）求PC與面ABP所成角的正弦值.1817分）已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3=9,4Sn=aEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)+2an+m.(1)證明：{an}為等差數列.(2)求m的值和{an}的通項公式.(3)若數列{bn}滿足bn=，其前n項和為Tn，證明：Tn<4.1917分）已知函數f(x)=2ax+(2-a)lnx+.(1)當a<0時，討論f(x)的單調性；(2)若a=0,g(x)=emx-x高二月考數學參考答案題號123456789答案ACDCBBCDACCD題號答案ABD3當a≥0時，f,(x)>0恒成立，則f(x)在(0,+∞)上單調遞增；,f,(x)>0，則f(x)在(|(0,,)I上單調遞增；f,(x)<0，則f(x)在(|(,+EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(x),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(一),2)令g,(x)=0，得x=e2，令g,(x)<0，得0<x<e2，即g(x)在(0,e2)令g,(x)>0可得x>e2，即g(x)在(e2,+∞)上單調遞增，16．(1)最大值為4e3，最小值為0；(2)答案見解析.由于x∈[0,3]，所以當x∈(0,1)，f,(x)<0，f(x)在(0,1)單調遞減，所以當x∈(1,3)，f,(x)>0，f(x)在(1,3)單調遞增，所以f(x)在x=1時取到極小值，且f(1)=0，又因為f(0)=1，f(3)=4e3，綜上，函數f(x)在x∈[0,3]上的最大值為4e3，最小值為0.，f,(x)>0，f(x)在(∞,2a)單調遞增，，f,(x)<0，f(x)在(2a,2a)單調遞減，，f,(x)>0，f(x)在(2a,+∞)單調遞增.綜上所述，當a≥2時，f(x)在(一∞)單調遞增，在(2a,2a)單調遞減.171）證明見解析2）.【詳解】（1）證明：連結BE，又“EC∩PE=E:BE丄面PEC:BEG面ABCE:面PCE丄面ABCE（2）以點A為原點，分別以AB,AE直線為x軸，y軸，以經過點A且垂直于平面ABCE的直線為z軸建立直角坐標系.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(–),A),EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(–),A))設面ABP的法向量為EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(r),n)=(x,y,z)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(〔),l)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(P),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(0),0)0,,3)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up23(C),si)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up15(2),o)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(–),C)所以直線PC與面ABP所成角的正弦值為.EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),n)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),n)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),n)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),n)即anan1=2，{an}為公差為2的等差數列；（2）由（1）知，{an}為公差為2的等差數列，a3EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)nEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)n④,式子③-④得①當a=2時，f,(x)=≤0恒成立，所以f(x)的無遞增區間，遞減區間為(0,+∞)；,,綜上所述，當