四川省成都市郫都四中2025屆下期高三第三次質量考評數學試題-請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列滿足，且成等比數列.若的前n項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．2．若函數有且僅有一個零點，則實數的值為（）A． B． C． D．3．為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經過統計繪制如圖，其中各項統計不重復．若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）A．該市總有15000戶低收入家庭B．在該市從業人員中，低收入家庭共有1800戶C．在該市無業人員中，低收入家庭有4350戶D．在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有800戶4．已知是虛數單位，若，則（）A． B．2 C． D．105．在中所對的邊分別是，若，則（）A．37 B．13 C． D．6．設是虛數單位，，，則（）A． B． C．1 D．27．若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm38．已知為定義在上的奇函數，若當時，（為實數），則關于的不等式的解集是（）A． B． C． D．9．函數在上的圖象大致為()A． B．C． D．10．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．11．函數的部分圖象如圖所示，已知，函數的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到，則函數的解析式為（）A． B．C． D．12．博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數字作答）14．集合，，則_____.15．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數為________.16．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實數a的值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記無窮數列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數列”仍是；（3）求證：若數列是等差數列，則數列也是等差數列.18．（12分）已知拋物線：（）的焦點到點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，點、分別在第一和第二象限內，求的面積.19．（12分）已知正項數列的前項和.（1）若數列為等比數列，求數列的公比的值；（2）設正項數列的前項和為，若，且.①求數列的通項公式；②求證：.20．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.21．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，二面角為，求異面直線與所成角的余弦值.22．（10分）已知函數(mR)的導函數為．（1）若函數存在極值，求m的取值范圍；（2）設函數（其中e為自然對數的底數），對任意mR，若關于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數k的取值集合．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

利用等比中項性質可得等差數列的首項，進而求得，再利用二次函數的性質，可得當或時，取到最小值.【詳解】根據題意，可知為等差數列，公差，由成等比數列，可得，∴，解得.∴.根據單調性，可知當或時，取到最小值，最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等差數列通項公式、等比中項性質、等差數列前項和的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意當或時同時取到最值.2．D【解析】

推導出函數的圖象關于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數的值，并對的值進行檢驗，即可得出結果.【詳解】，則，，，所以，函數的圖象關于直線對稱.若函數的零點不為，則該函數的零點必成對出現，不合題意.所以，，即，解得或.①當時，令，得，作出函數與函數的圖象如下圖所示：此時，函數與函數的圖象有三個交點，不合乎題意；②當時，，，當且僅當時，等號成立，則函數有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的零點個數求參數，考查函數圖象對稱性的應用，解答的關鍵就是推導出，在求出參數后要對參數的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3．D【解析】

根據給出的統計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.【詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭900÷6%＝15000（戶），A正確，該市從業人員中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（戶），B正確，該市無業人員中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（戶），C正確，該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有15000×4%＝600（戶），D錯誤．故選：D.【點睛】本題主要考查對統計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基礎題.4．C【解析】

根據復數模的性質計算即可.【詳解】因為，所以，，故選：C【點睛】本題主要考查了復數模的定義及復數模的性質，屬于容易題.5．D【解析】

直接根據余弦定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎題．6．C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復數的運算，考查了復數相等的涵義.對于復數的運算類問題，易錯點是把當成進行運算.7．B【解析】試題分析：該幾何體上面是長方體，下面是四棱柱；長方體的體積，四棱柱的底面是梯形，體積為，因此總的體積.考點：三視圖和幾何體的體積.8．A【解析】

先根據奇函數求出m的值，然后結合單調性求解不等式.【詳解】據題意，得，得，所以當時，.分析知，函數在上為增函數.又，所以.又，所以，所以，故選A.【點睛】本題主要考查函數的性質應用，側重考查數學抽象和數學運算的核心素養.9．A【解析】

首先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數為偶函數，圖象關于軸對稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點睛】本題考查函數圖象的識別，函數的奇偶性的應用，屬于基礎題.10．D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數學運算能力，屬于基礎題.11．A【解析】

由圖根據三角函數圖像的對稱性可得，利用周期公式可得，再根據圖像過，即可求出，再利用三角函數的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因為函數的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到，所以.故選：A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數的解析式、三角函數圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數的平移伸縮變換原則，屬于基礎題.12．C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．36【解析】

先優先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.14．【解析】

分析出集合A為奇數構成的集合，即可求得交集.【詳解】因為表示為奇數，故.故答案為：【點睛】此題考查求集合的交集，根據已知集合求解，屬于簡單題.15．40【解析】

先求出的展開式的通項，再求出即得解.【詳解】設的展開式的通項為，令r=3,則，令r=2,則，所以展開式中含x3y3的項為.所以x3y3的系數為40.故答案為：40【點睛】本題主要考查二項式定理求指定項的系數，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16．2【解析】

利用AB中有且只有一個元素，可得，可求實數a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素，所以，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，集合交集的運算本質是存同去異，側重考查數學運算的核心素養.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由是遞增數列，得，由此能求出的前項和.（2）推導出，，由此能證明的“極差數列”仍是.（3）證當數列是等差數列時，設其公差為，，是一個單調遞增數列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數列是等差數列，則數列也是等差數列.【詳解】（1）解：∵無窮數列的前項中最大值為，最小值為，，，是遞增數列，∴，∴的前項和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數列”仍是（3）證明：當數列是等差數列時，設其公差為，，根據，的定義，得：，，且兩個不等式中至少有一個取等號，當時，必有，∴，∴是一個單調遞增數列，∴，，∴，∴，∴是等差數列，當時，則必有，∴，∴是一個單調遞減數列，∴，，∴，∴.∴是等差數列，當時，，∵，中必有一個為0，根據上式，一個為0，為一個必為0，∴，，∴數列是常數數列，則數列是等差數列.綜上，若數列是等差數列，則數列也是等差數列.【點睛】本小題主要考查新定義數列的理解和運用，考查等差數列的證明，考查數列的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.18．（1）（2）【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）分別設、的斜率為和，切點，，可得過點的拋物線的切線方程為：，聯立直線方程和拋物線方程，得到關于一元二次方程，根據，求得，，進而求得切點，坐標，根據兩點間距離公式求得，根據點到直線距離公式求得點到切線的距離，進而求得的面積.【詳解】（1），，解得，拋物線的方程為.（2）由題意可知，、的斜率都存在，分別設為和，切點，，過點的拋物線的切線：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切線的方程為，點到切線的距離為，，即的面積為.【點睛】本題主要考查了求拋物線方程和拋物線中三角形面積問題，解題關鍵是掌握拋物線定義和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯立方程組,通過韋達定理建立起目標的關系式19．（1）；（2）①；②詳見解析.【解析】

（1）依題意可表示，，相減得，由等比數列通項公式轉化為首項與公比，解得答案，并由其都是正項數列舍根；（2）①由題意可表示，，兩式相減得，由其都是正項并整理可得遞推關系，由等差數列的通項公式即可得答案；②由已知關系，表示并相減即可表示遞推關系，顯然當時，成立，當，時，表示，由分組求和與正項數列性質放縮不等式得證.【詳解】解：（1）依題意可得，，兩式相減，得，所以，因為，所以，且，解得.（2）①因為，所以，兩式相減，得，即.因為，所以，即.而當時，，可得，故，所以對任意的正整數都成立，所以數列是等差數列，公差為1，首項為1，所以數列的通項公式為.②因為，所以，兩式相減，得，即，所以對任意的正整數，都有.令，而當時，顯然成立，所以當，時，，所以，即，所以，得證.【點睛】本題考查由前n項和關系求等比數列公比，求等差數列通項公式，還考查了由分組求和表示數列和并由正項數列放縮證明不等式，屬于難題.20．（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生的計算能力.21．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點連接，得，可得，可證，可得，進而平面，即可證明結論；（2）設分別為邊的中點，連，可得，，可得（或補角）是異面直線與所成的角，，可得，為二面角的平面角，即，設，求解，即可得出結論.【詳解】（1）證明:取中點連接，由則，則，故，，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:設分別為邊的中點，則，（或補角）是異面直線與所成的角.設為邊的中點，則，由知.又由（1）有平面，平面，所以為二面角的平面角，，設則在中，從而在中，，又，從而在中，因，，因此，異面直線與所成