第三屆全國大學生數學競賽決賽試題參考解答數學類1一(本題15分)設有空間中五點:A(1,0,1),B(1,1,2),C(1,?1,?2),D(3,1,0),E(3,1,2).試求過點E且與A,B,C所在平面Σ平行而與直線AD垂直的直線方程解:平面ABC的法向量設所求直線的方向向量為l=(a,b,c),則由條件得l·n=0,由此可解得l=(0,c,c)(c0),取l=(0,1,1).于是所求直線方程為二、(本題15分)設f(x)在[a,b]上有兩階導數且f′′(x)在[a,b]上黎曼可積,證明:f(x)=f(a)+f′(a)(x?a)+(x?t)f′′(t)dt,?x∈[a,b].證明2即f(x)=f(a)+f′(a)(x?a)+(x?t)f′′(t)dt.三n為給定的正整數n為實參數指出函數f(x)=sink0x+A1sink1x+···+Ansinknx在[0,2π)上零點的個數n變化時)的最小可能值并加以證明2解:當A1=A2=···=An=0時,函數f(x)在[0,2π)上恰有2k0個零點,下面n取什么值f(x)在[0,2π)上都至少有2k0個零點考慮函數易見F1(0)=F1(2π)=0,F(x)=f(x).設F1(x)在[0,2π)上的零點個數為N,則由Rolle定理知F(x)在(0,2π)上至少有N個零點,從而F(x)在(0,2π)上至少有N—1個零點,于是F(x)在[0,2π)上至少有N個零點記F0(x)=f(x).重復上面的過程,得到一列函數滿足F′+1(x)=Fs(x),s=0,1,2,···,從而若Fs(x)在[0,2π)上的零點個數為N,則f(x)在[0,2π)上的零點個數至少為N.令n,可取充分大的正整數s,使得從而有—1時,或者成立,或者3成立不論何種情形都存在使得g=0,m=0?1.由此可知Fs(x)在[0,2π)上的零點個數N>2k0,故f(x)零點個數的最小可能值為2k0.四(本題10分)設正數列an滿足求證證明:令xn=lnan,則由題設條件,xn=0,xn<+xk=0.首先假設所有的xn>0.由上面第二式可知存在A>0,使得所有的xn≤A.易知當0≤x≤ln2時,成立不等式ex≤1+2x.對于固定的n,令Sn={i∈Z|1≤i≤n,xi≤ln2},Tn={i∈Z|1≤i≤n,xi>ln2},則有因此由于并且4由夾逼準則得對于一般情形作數列則zn=0.令yn=xn+zn,則yn>0,且由上面已證的結論eyk=1.又因為zn>0,從而xn≤yn,于是有再次由夾逼準則,得到五(本題15分)設A,B分別是32和23實矩陣求BA.解:易知AB的特征多項式為λ(λ—9)2.由于AB和BA有相同的非零特征值(并且重數也相同),可知BA的特征值均為9.由此可知BA可逆,即存在2階矩陣C,使得CBA=BAC=I2.AB的最小多項式為λ(λ—9),從而A(BA—9I2)B=ABAB—9AB=AB(AB—9I3)=0,于是有BA—9I2=CB·A(BA—9I2)B·AC=0,即5六、(本題20分)設{Ai}i∈I,{Bi}i∈I是數域F上兩個矩陣集合,稱它們在F上相似如果存在F上與i∈I無關的可逆矩陣P使得P?1AiP=Bi,?i∈I.證明:有理數域Q上兩個矩陣集合{Ai}i∈I,{Bi}i∈I,如果它們在實數域R上相似在有理數域Q上也相似證明:?i∈I,考慮Mn(R)的子空間Ui,R={T∈Mn(R)|AiT=TBi}以及Mn(Q)的子空間Ui,Q={T∈Mn(Q)|AiT=TBi},其中Mn(R)和Mn(Q)分別表示實數域R和有理數域Q上全體n階矩陣構成的向量空間令由題意知UR0.由于所涉及到的向量空間的維數都不超過n2,因此UR與UQ實際上都只能是有限個Ui,R和Ui,Q的交集求Ui,R與Ui,Q的基底實際上就是解線性方程組(這些方程組都是由AiT=TBi給出的),并且求它們基礎解系的步驟相同因此可以取到一組公共基底,設為T1,T2,···,Tl.考慮多項式由UR0可知,存在一組實數s1,s2,···,sl滿足f(s1,s2,···,sl)0,從而可知f作為Q上的多項式不是零多項式因此存在一組有理數r1,r2,···,rl使得f(r1,r2,·l)0,此時矩陣rkTk∈UQ且可逆?1AiP=Bi.七(本題15分)設F(x),G(x)是[0,+∞)上的兩個非負單調遞減函數證明xcostdt=0.(ii)若進一步有證明:證明:(i)由條件可知=0,從而?ε>0,6其中α=min,β=max因此下面只需證明由Dirichlet判別法可知這個反常積分收斂將這個積分作如下變形這是一個收斂的交錯級數因此+∞xFcostdtcostdt≤2xF→0,x→+于是得到(ii)只需考慮x→0+的情形這等價于證明由(i)的結論,這又只需證明其中0<ε0≤.下面先證明事情上7而由題設條件可知limxG(x)=0,limG(x)=0,從而有x→+∞x→+∞于是得到現在用類似于估