第1頁(共6頁)第八屆全國大學生數學競賽預賽試卷參考答案一、(本題15分)設S是空間中的一個橢球面.設方向為常向量V的一束平行光線照射S,其中的部分光線與S相切,它們的切點在S上形成一條曲線Γ.證明:Γ落在一張過橢球中心的平面上.證明1在空間中取直角坐標系,記橢球面S的方程為設(x,y,z)∈Γ,則光束中的光線l(t)=(x,y,z)+t(Q,β,√),t∈R是橢球面S的切線.........(8分)由于每條切線與橢球面有且僅有一個交點,故t=0是方程的唯一解.由于(x,y,z)∈ΓCS,上述方程化為這個方程只有t=0的唯一解,當且僅當這是一個過原點的平面方程,故√落在過橢球面中心的一張平面上.........(15分)證明2在空間中做仿射變換,將橢球面映成圓球面...........(5分)這時平行光束映成平行光束,切線映成切線,切點映成切點,橢球中心映成球面中心.由于平行光束照圓球面的所有切線的切點是一個大圓,它落在過球心的平面上,而仿射變換將平面映成平面,故Γ落在一張過橢球面中心的平面上........(15分)第2頁(共6頁)二、(本題15分)設n為奇數,A,B為兩個實n階方陣,且BA=0.記A+JA的特征值集合為S1,B+JB的特征值集合為S2,其中JA,JB分別表示A和B的證明由秩不等式rankA+rankB≤rank(BA)+n得rankA+rankB≤n.結果rankA≤或rankB≤...........(5分)注意到n為奇數,故有若若,則rank(B+JB)≤rankB+rankJB<n,此時,0∈S2.最終總1[S2.........(15分)第3頁(共6頁)方程det(x1A1+···+x2017A2017)=0至少有一組非零實數解,其中det表示行列式.證明記)..........(5分)考慮線性方程組x1p+···+x2017p=0..........(10分)由于未知數個數大于方程個數,故該線性方程組必有非零解(c1,···,c2017).從而c1A1+···+c2017A2017的第一列為0,更有det(c1A1+···+c2017A2017)=0.第4頁(共6頁)四、(本題20分)設f0(x)和f1(x)是[0,1]上正連續函數,滿足,01f0(x)dx≤,01f1(x)dx.設fn+1,n=1,2,···.求證:數列an=fn(x)dx,n=0,1,2,···單調遞增且收斂.證明因為所以歸納地可以證明an+1>an,n=1,2,···.............(5分)由于f0,f1是正連續函數,可取常數k>1使得f1≤kf0.設c1=k.根據遞推關系可以歸納證明fn(x)≤cnfn-1(x),(1) (10分)其中cn+1=,n=0,1,···.易證單調遞減趨于.............(15分)以下證明{an}收斂.由(1)可得an+1≤cn+1an.因此這說明{cnan}是正單調遞減數列,因而收斂.注意到{cn}收斂到1,可知{an}收斂,且an≤c1a1=ka1.第5頁(共6頁)五、(本題15分)設Q>1.求證不存在[0,+∞)上的正可導函數f(x)滿足fI(x)>fα(x),x∈[0,+∞).(1)證明若f(x)是這樣的函數,則fI(x)>0.因此f(x)是嚴格遞增函數.(1)式可表示為這說明f1-α是單調遞減函數.............(5分)即,(Q-1)≤f1-α(x)-f1-α(x+1)<f1-α(x).于是f(x)是有界函數.............(10分)從f(x)的嚴格遞增性,可知limf(x)收斂.由微分中值定理,存在ξ∈(x,x+1)x→+∞使得f(x+1)-f(x)=fI(ξ)>fα(ξ)>fα(x)>fα(0)>0.令x→+∞,上式左端趨于零,可得矛盾!............(15分)第6頁(共6頁)六、(本題15分)設f(x)和g(x)是[0,1]區間上的單調遞增函數,滿足0≤f(x),g(x)≤1,f(x)dx=g(x)dx.求證:證明由于f和g可用單調階梯函數逼近,故可不妨設他們都是單調增的階梯令h(x)=f(x)-g(x),則對?x,y∈[0,1]有|h(x)-h(y)|≤1.............(5分)事實上,對x>y我們有-1≤-(g(x)-g(y))≤h(x)-h(y)=f(x)-f(y)-(g(x)-g(y))≤f(x)-f(y)≤1;對x<y有-1≤f(x)-f(y)≤h(x)-h(y)≤g(y)-g(x)≤1.現記|f(x)>g(x)},C2={x∈[0,1]|f(x)<g(x)},則C1與C2分別為有限個互不相交區間的并,且由fdx=gdx,有hdx=-hdx.讓|Ci|(i=1,2)表示Ci所含的那些區間的長度之和,則|C1|+|C2|=1.......