第六屆中國大學生數學競賽決賽三、四年級試卷,,姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:題號一二三四五總分滿分得分注意:1.前5大題是必答題,再從6–11大題中任選兩題,題號要填如上面的表中.2.所有答題都須寫在此試卷紙密封線右邊,寫在其它紙上一律無效.3.密封線左邊請勿答題,密封線外不得有姓名及相關標記.,4.如答題空白不夠,可寫在當頁背面,并標明題號.,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線一、(本題20分)填空題(每小題5(1)實二次型2x1x2—x1x3+5x2x3的規范型=z+z—z.級數的和=.(3)計算第一型曲面積分的值,(4)A=(aij)為n階實對稱矩陣(n>1),rank(A)=n—1,A的每行元素之和均為0.設2,3,...,n為A的全部非零特征值"用A11表示A的元素a11所對應的代數余子式.則有A11=(n—1)!.,(4)解:1)秩A=n—1)秩A*=1且Ax=0的解空間維數為1.2)注意到AA*=0,從而A*的每一列均形如又由于A為實對稱矩陣,,故A*也為實對稱矩陣"故A*=.,第1頁(共11頁)3)考慮特征多項式其一次項系數為(—1)n-1n!.另一方面,由f(λ)=jλI—Aj又知,其一次項系數為(—1)n-1(A11+···Ann).結果a=(n—1)!.二、二、(本題15分)設空間中定點P到一定直線l的距離為p.一族球面中的每個球面都過點P,且截直線l得到的弦長都是定值a.求該球面族的球心的軌跡.解:以l為z軸,以過點P且垂直于z軸的直線為x軸來建立直角坐標系"可設設P:(p,0,0),l的參數方程l:x=0,y=0,z=t.設球面C的球心為(x0,y0,z0),由求l與C的交點:將l的參數方程代入C,即由此得到兩個解為t1,2=z0士√故弦長由此得到兩個解為反之,如果球面C的球心滿足(2),如果C過點P,此時二次方程(1)的判別式方程有兩個實根從而C和l相交,而且截出來弦長為a.第2頁(共11頁)故所求的軌跡為,,姓名:姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:三、證明題,其中C表復數域"試證明:明:8A∈Γ,A的Jordan標準形JA仍然屬于Γ;進一步還存在可逆的矩陣P∈Γ使得P-1AP=JA.證明:對A=其特征方程為jz2,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線jz2情形1.△=0.此時,z2=0,z1=Rez1,從而A==JA∈取P=I即情形2.△<0.此時A的特征值為,,現取A關于λ1的一個非0特征向量則有直接檢驗知因此為A關于λ1的一個非0特征,向量"令P=,則有P可逆,且P∈P-1AP=JA.................15分,第3頁(共11頁)四、(本題20分)設求最大常數Q滿足,取,取xn=-1,yn=→→∞.分分下證由于f(x)為偶函數?不妨設0≤x<y.令z=sup{u≤y|f(u)=f(x)},五、(本題10分)設a(t),f(t)為實連續函數??t∈R有f(t)>0,a(t)>1.f(t)dt=+∞.已知C2函數x(t)滿足x,,(t)+a(t)f(x(t))≤0,?t∈R.求證:x(t)在[0,+∞)有上界.證明:由xII(t)≤-a(t)f(x(t))<0,第4頁(共11頁)故limt→∞xI(t)存在或為-∞.,若limt→∞x(t)=+∞,則xI(t)>0,limt→∞x(t)=+∞......................4分,故姓名:準考證號姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:xI(t)f(x(t))≤a(t)xI(t)f(x(t))≤-xI(t)xII(t),積分得令t→∞得,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線六、(本題10分)設a,b是兩個不同的復數.求滿足方程(fI(z))2=(f(z)-a)(f(z)-b)(1)的非常數整函數f(z).,由此可知fI-f是無零點的整函數.可設,fI-f+(3),,第5頁(共11頁)對(5)求導得/+1)(eαα+1)=0,α+1=0或者Q/+1=0.—1=0,則由(5)得到f=b是一個常數.同理,若eα+1=0,則f=a也是一個常數.若Q/+1=0,則Q(z)=—z+c,其中c是任意常數.再由(5)可得七、(本題10分)設f(x)是R1上的Lipschitz函數,Lipschitz常數為K,則對任意的可測集ECR1,均有m(f(E))≤K·m(E).證明:(方法1)1)在題設的條件下,對任何可測集E,有m*(f(E))≤K·m(E).(1)若E為區間,由f的連續性知:f(E)是區間.又f(x)是Lipschitz函數,(2)若E為開集,由開集的構造知,其中互不相交.第6頁(共11頁)由(2)及f(G)Df(E)知:,m*(f(E))≤m*(f(G))≤K·m(G)=K·m(E∪(G—E))≤K·m(E)+K·m(G—E),姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:<K·m(姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:E可測?型集A=1Fn,Fn閉集,E可測?型集A=1Fn,Fn閉集,ACE,m由1)知:m*(f(E—A))≤K·m(E—A)=0,即由1)知:m*(f(E—A))≤K·m(E—A)=0,即m(f(E—A))=0.密封線答題時不要超過此線,而f(E—A)Df(E)—f(A),從而m(f(E)—f(A))=0,故f(E)可測.密封線答題時不要超過此線,綜合1)2)可得:對任何可測集E,有f(E)可測且m(f(E))=m*(f(E))≤K·m(E).(方法2)i)若f(x)為R1上的絕對連續函數,ACR1,m(A)=0,則m(f(A))=0.f∈AC(R1)??ε>0,?δ>0,對任意至多可數個互不相交的開區間令G=U(ck,dk),mk=minf(x)=f(Qk),Mk=maxf(x)=f(βk).k>1x∈[ck,dk]x∈[ck,dk],,又*f(G)Df(A),:m*f(A)<ε,由ε的任意性知m*f(A)=0............4分ii)若f(x)為R1上的絕對連續函數,A可測,則f(A)可測.A可測??Fσ—型集B=UFn,Fn閉,BCA,m(A—B)=0?的連續性知f(Fn)閉,f(B)是Fσ—型集,f(B)Cf(A).由i)知:mf(A—B)=0.又*f(A—B)Df(A)—f(B),:m(f(A)—f(B))=0,故f(A)可測.......6分,iii)不妨設E測度有限。f是R1上的Lipschitz函數?f(x)為R1上的絕對連續函數?f,(x)在R1上幾乎處處存在且|f,(x)|≤K,f,在E上是L—可積,即,第7頁(共11頁)1,m(Z)=0,f,(x)存在且|f,(x)|≤K,?x∈E?Z.由i)知:mf(Z)=0.于是m(f(E))≤m(f(E?Z))+m(f(Z))=m(f(E?Z))≤|f,(x)|dm≤Kdm≤K·m(E).注:上式的第二個不等式的證明.若f(x)在R1上絕對連續?f,在A上存在積分,,|dm.證明:(1)對任何區間I,,|dm.令maxf(x)=f(b),minf(x)=f(a),a,b∈I,x∈Ix∈I,b)|f,,,由ε的任意性得:,|dm.八、(本題10分)設三維空間的曲面S滿足:(1)P0=(0,0,?1)∈S;(2)對任意P∈S?≤1?其中O是原點.證明:曲面S在P0的Gauss曲率K(P0)≥1"證明:在P0附近取曲率線坐標(u,v)?曲面的參數方程設為r(u,v)"不妨設r(0,0)=P0"用E,F,G;L,M,N分別表示曲面r(u,v)的第一基本型、第二基本令f(u,v)=〈r(u,v),r(u,v)〉?則f(u,v)在(0,0)點取極大值1"于是第8頁(共11頁)又由于,fuu(0,0)=2(E(0,0)+L(0,0)),fuv(0,0)=0,fvv(0,0)=2(G(0,0)+N(0,0))姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:根據f(u,v)在(0,0)取極大值,fuu(0)≤0,fvv姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:0<E(0,0)≤-L(0,0),0<G(0,0)≤-N(0,0),九、(本題10分)考慮求解線性方程組Ax=b的如下迭代格式,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線(QD-C)x(k+1)=((Q-1)D+CT)x(k)+b,其中D為實對稱正定方陣,C是滿足C+CT=D-A的實方陣,Q為實數。若A是實對稱正定方陣,且QD-C可逆,Q>1/2。證明:上述迭代格式對任何初始向量x(0)收斂。證明:令G=(QD-C)-1((Q-1)D+CT),λ為G的特征值,x是對應的特征向量,y=(I-G)x。則(QD-C)y=(QD-C)x-((Q-1)D+CT)x,=(D-C-CT)x=Ax.(QD-D+CT)y=(QD-C-A)y=(QD-C-A)x-(QD-C-A)Gx=(QD-C-A)x-((Q-1)D+CT)x+AGx=AGx=λAx.以上兩個方程兩遍分別與y做內積得,,第9頁(共11頁)以上兩式相加得由于由于Q>1/2,〈Dy,y〉≥0,〈Ax,x〉>0,則必有jλj≤1,若jλj=1,則y=0,從而Ax=(QD-C)y=0,進而x=0,矛盾。因此jλj<1,即ρ(G)<1。故迭代收斂。十、(本題10分)設R為[0,1]上的連續函數環,其加法為普通的函數加法,乘法為普通的函數乘法。I為R的一個極大左理想。證明:8f,g∈I,f與g在[0,1]上必有公共的零點。證明:若f,g在[0,1]上無公共零點,則連續函數jfj2+jgj2在[0,1]上恒大于0.結果1jfj2+jgj2結果1jfj2+jgj2注意到I為左理想,f∈I,f∈R,從而jfj2=ff∈I,同樣jgj2∈I,故十一、(本題10分)設在國際市場上對我國某種出口商品每年的需求量X(單位:噸)是隨機變量,X服從[100,200]上的均勻分布.每出售這種商品一噸,可以為國家掙得外匯3萬元;若銷售不出而囤積于倉庫,則每噸需要花費保養費用1萬元.求:應組織多少貨源,才能使國家的收益最大?解設需要組