1.圖1-1所示平衡系統(tǒng)中，物體I、Ⅱ、Ⅲ、V之間分別通過光滑鉸鏈A、B、C連接。0、E為固定支座，D、F、G、H處為桿約束。尺寸如圖所示，b/a=1.5。物體Ⅱ受大小為M的力偶作用。假定全部力均在圖示平面內(nèi)，且不計所有構(gòu)件的自重，桿O?G的內(nèi)力不為零，則桿O?H與桿O?H所受內(nèi)力之比2.V形槽中放置一個半徑為r的勻質(zhì)圓柱，如圖1-2所示，槽邊與水平夾角為α,接觸處的摩擦因數(shù)μ=tanpm,圓柱重G。設(shè)轉(zhuǎn)動圓柱所需的最3.如圖1-3所示，曲柄搖桿機構(gòu)中，曲柄OA長5cm,以勻角速度w=10rad/s轉(zhuǎn)動，帶動連桿AD及搖桿O?C運動，AD=20cm,B為AD的中點。在圖示位置時，OA與水平線垂直，0?C與水平線成60°角。則在此瞬時搖桿0?C的角速度為,角加速度為_;滑塊D的速度大小為 ,加速度大小為-04.設(shè)一動點在平面內(nèi)運動，其切向和法向加速度都是非零的常量，求圖1-25.如圖1-4所示，質(zhì)量為m的桿AB斜靠在鉛垂墻上，A端有一小蟲，其質(zhì)量也為m。墻和地面都是光滑的。原系統(tǒng)靜止，今小蟲突然以相對速度u(常量)沿桿向B爬動。試寫出桿與地面夾角α所滿足的6.如圖1-5所示，一質(zhì)量為m',半徑為b的空心薄圓柱0?在光滑水平面上運動。另一質(zhì)量為m,半徑為a(a<b)的空心薄圓柱O?在圓柱0?的內(nèi)表面做純滾動。令θ角為0?O(3)求A到B的最短時間及最優(yōu)隧道的形狀。10.內(nèi)半徑R=30cm的空心圓柱0,水平固定放置。質(zhì)量為m',半徑為r=10cm的均勻圓環(huán)0?,可以在圓柱內(nèi)做純滾動。質(zhì)量為m的質(zhì)點A固連在圓環(huán)0?的邊緣上。當圓環(huán)0?處于圓柱0的最低位置時，質(zhì)點A處于圓環(huán)的最高位置。設(shè)00?與向下鉛垂線的夾角為θ(圖1-8)。則：當m'=2m時，圓環(huán)的穩(wěn)定的1.試證明圖1-9a所示等截面均質(zhì)薄圓環(huán)在其平面內(nèi)承受任意自相平衡力系時，其彎矩圖的總面積必為零，此結(jié)論對于圖1-9b所示的帶鉸圓環(huán)是否正確?2.如圖1-10所示，直徑為d的均質(zhì)圓盤，沿直徑兩端承受一對大小相等，方向相反的集中力F作用，材料的彈性模量為E,泊松比為v,試求圓盤變形后的面積改變率△A/A。3.相互平行的I及Ⅱ兩軸長度均為1,B端固定，A端剛性固結(jié)于剛性平板上，今在剛性平板上施加一力偶，其力偶矩為M?,投影圖如圖1-11所示，已知兩軸的抗扭剛度分別為GIp及GIp2,抗彎剛度分別為EI?及El?,在小變形條件下剛性板位移保持在鉛垂面內(nèi)，自重可以略去，試求剛性板的扭轉(zhuǎn)角φ的表達式。4.已知某位移傳感器的測量原理如圖1-12所示，試繪出應變片全橋接線圖，并建立輸出應變與位移的關(guān)系(即e儀-δ關(guān)系)式。已知線性受拉彈簧AB的端點A處位移為待測位移，彈簧剛度系數(shù)為k;懸臂梁BC(彈性元件)長度為l,寬度為b,厚度為t,材料的彈性模量為E,泊松比為v;應變片標距中心距固定端C端的距離為L?。(應變片標距與L、I?比較很小，可忽略不計)BA全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版5.矩形截面混凝土簡支梁(不加鋼筋)如圖1-13a所示，截面高為h,寬為1。設(shè)材料的簡化拉伸曲線如圖1-13b所示，已知α=e/e=3.5。試求：(1)當此梁最大彎矩截面的最大拉應變e,超過e時，彎矩的表達式(即求M=f(σ,η,θ))。其中(2)當η為多大時，截面彎矩將達到極限值?此時極限彎矩比按材料力學線彈性公式所得數(shù)值增大多少倍?說明：①變形的平面假定仍然適用；②材料受壓區(qū)為線彈性，不考慮可能出現(xiàn)的塑性狀態(tài)；③不考慮剪力的影響。6.圖1-14所示結(jié)構(gòu)由兩個完全相同的等邊直角剛架所組成，A、C、E為位于同一水平線上的三個鉸鏈，B、D為剛結(jié)點。現(xiàn)于中間鉸鏈C處作用一鉛垂力F,若已知材料為線彈性，各桿抗彎剛度均相同，其值EI=常數(shù)。試計算：(1)C點的鉛垂位移。(2)結(jié)構(gòu)的應變能表達式。說明：計算剛架的應變能時，略去軸力及剪切的影響。7.圖1-15所示的兩根懸臂梁，長均為l,初始間隙為8=dl。上梁的抗彎剛度為E?I?,下梁的抗彎剛度為E?I?=kE?I?。在離上梁固定端b=tl處作用一集中力F,當F從零開始增加后，開始兩梁只在一點接觸，隨后兩梁將在一段區(qū)域內(nèi)接觸。設(shè)將F表示成無量綱形式,試求下列問題(以上d、k、t均為比例因子):(1)求F?及F?,當F?≤F≤F?時，兩梁只在一點接觸。(2)當F>F?后兩梁將有一段長為ξ的接觸區(qū)，求出ξ與F的關(guān)系。(3)證明接觸區(qū)內(nèi)無分布約束力，而只在接觸區(qū)與非接觸區(qū)交界處有一集中約束力,試給8.等截面直桿AB,長為l,兩端自由，截面為開口8字形薄壁截面，其截面中心線如圖1-16b中ND-CD'N'所示，缺口處F與F'相距為無限小，因而截面中線可視為由兩個開口整圓周(半徑為R)在C處相第1章1988年第一屆全國青年力學競賽接而成，壁厚為t(t<<R<<l)。在桿的兩端截面上C點處各作用有軸向集中力F,試求桿中間截面M(1)試求失穩(wěn)時特征方程的形式及臨界載荷值。(2)若B端改為固定鉸支座時，如圖1-17b所示，其失穩(wěn)模式與圖1-17a有何不同?其臨界載荷值可b)圖b)1.桿O?H與桿O?H所受內(nèi)力之比為0.5。3.此瞬時搖桿O?C的角速度為w?=7.50rad/s,角加速度為e?=65.0rad/s2;滑塊D的速度大小為vD=50cm/s,加速度大小為ap=764cm/s2。若初始時6.運動過程中θ與θ的關(guān)系式為全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版(2)當隧道為ACB折線時，A到B的最短時間為,最優(yōu)折線的夾角∠BAC8.質(zhì)點組做周期運動的必要條件是它們的速度比為有理數(shù)(m、n為整數(shù)),包括比值為(v?=0)和0(v?=0),與質(zhì)點組的初始位置無關(guān)。9.動球受非完整約束，用卡爾丹角α、β描述動球質(zhì)心C的位置。運動微分方程為7(a+b)(acosβ-2aβsinβ)+2aw7(a+b)(β+α2sin?cosβ)-2awsacosβ-5其中，w?是動球角速度沿動系z方向的分量，經(jīng)分析為常量。動球在最高點自轉(zhuǎn)運動的穩(wěn)定條件為w2≥10.(1)當m'=2m>m時，圓環(huán)的穩(wěn)定的平衡位置為θ=0rad。微振動周期為1.解：如圖1-18所示，從物體I著手，由二力平衡條件，I受力在0A方向上。以Ⅱ為研究對象，在A點受力FA,方向沿A0方向。Ⅱ受兩個力和一個力偶的作用，平衡時B點受力以Ⅲ為研究對象，受五個力作用，但由于B、D、E、F四點受力均匯交于E,故C點的力Fc沿CE以IV為研究對象，受三個力作用。因桿O?G的內(nèi)力F?第1章1988年第一屆全國青年力學競賽過K點作KT⊥GC(圖1-19)。由幾何關(guān)系，有即桿O?H與桿O?H所受內(nèi)力之比為0.5。2.解：如圖1-20所示，臨界狀態(tài)時平衡方程為ZF=0,μ(F?+FN?)cosα-(FN,-F?)∑Fy=0,μ(FN?-Fx?)sinc+(F?+F?)注：并非摩擦因數(shù)μ越大(4m越大),M就越大。當摩擦角φ大于α時，M保持常值。Mm與φm的關(guān)系如圖1-21所示。3.解：設(shè)AD、O?C桿的角速度分別為w?、w?,角加速度分別為8?、&?,方向如圖1-22所示。由幾何 AB=AD/2=10cm,∠ABO=30°,O?D=10取AD為研究對象，顯然在圖示位置有v?=vg,故有全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版b)以O(shè)?C桿為動參考系(圖1-22a),即有以A為基點，則B點的加速度為由此得8?=(100//3)rad/s2=57.7rad/s2。分別以A為基點和O?C為動參考系，D點加速度表達式為第1章1988年第一屆全國青年力學競賽將上式在O?C的垂直方向投影，有設(shè)k=c?/c?,(c?≠0),積分上式，得v=v?e-0),從而有又適當選取坐標系，總可使c?=c?=0。選取極坐標系(圖1-23),極角φ=θ-α,極軸就有r=Ae2,即動點的軌跡為對數(shù)螺線。5.解：(1)初始時為沖擊過程(圖1-24a)。(a)設(shè)I?≠0,I?≠0,水平方向和鉛垂方向的動量方其中l(wèi)為桿長。相對于“固定點”(與A端重合的點)A的動量矩方程w=3usinαcosα/[l(1+3cov?=3usin2acosa/[2(1+3cov?=3usinacos2α/[2(1+3coI?=musinα(3cos2α-2)/[2(1+I?=mucosa(9cos2α-1)/[2(1+w=6usinacosα/[l(8-3cos v?=3usin2αcosα/(8-3cov?=usinα(4-3cos2α)/(8-3c第1章1988年第一屆全國青年力學競賽I?=I?=0,當且僅當時才會發(fā)生，這已包含在(b)中。I?≠0,I?=0,因u>0,且沿AB方向，這種情況是不可能發(fā)生的。(2)根據(jù)前面的分析，可分兩種情形討論。(a)初始時設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心C的坐標為(xc,yc)(圖1-24c),則F?=2mxc(b)初始時,可得F?=2mxc-2mg=2myc(此方程可用來檢查B端是否碰地)6.解：設(shè)O?(x?,b),O?(x?,y?),則動能全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版系統(tǒng)有三個自由度，取廣義坐標為x?,θ,φ(圖1-25)。mb(b-a)φ0+m(b-a)2o2-mg[b-(b-a)cosθ]β,得所以將x?,φ的表達式代入即得7.解：(1)設(shè)O?為坐標原點，0?B為x軸，質(zhì)點距O?點x(圖1-26),則F=-mgx/R=mx解得 用(1)的結(jié)果及對稱性，在AC段有設(shè)質(zhì)點由A到C的時間為tc,則有又AC=AO?-CO?=Rsin(θa+0)-Rcos(θa+第1章1988年第一屆全國青年力學競賽所以因θA≠0,故最大傾角(即最優(yōu)折線的夾角∠BAC)質(zhì)點通過最優(yōu)折線的時間(最短時間)為(3)勢能V(r)=mgr2/(2R),由能量守恒有這是經(jīng)典的泛函極值問題，Φ滿足歐拉-拉格朗日(Euler-Lagrange)方程因φ不顯含θ,故存在初積分在rmm=p處，r'=0,可確定積分常數(shù)C,由此可得由對稱性，可只考慮r'>0(θ>0),得積分后這是圓內(nèi)旋輪線方程，當r=R、θ=θg時，可得全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版質(zhì)點由A經(jīng)旋輪線到B的時間(最短時間)為下面說明方程(*)是圓內(nèi)旋輪線方程(略)。8.解：以質(zhì)點P?、P?在Ox軸上的坐標x?、x?作為平面x?Ox?中一點P的坐標(x?,x?),這樣，質(zhì)點組P?、P?的位置和速度可由點P在坐標系中的位置和速度表示(圖1-27)。因0≤x?≤x?≤l,故P點限制在△OAB中運動。點P與OA邊、AB邊和OB邊的碰撞，實際上分別是質(zhì)點P?與左壁、質(zhì)點P?與右壁以及兩質(zhì)點之間的碰撞。因碰撞是完全彈性的，故質(zhì)點與壁碰撞時速度反向，P?與P?碰撞后交換速度。所以，對應的P點的碰撞是相對0A、OB和AB的完全彈性反射。沒有碰撞時，v?和v?為常數(shù)，對應于P點軌跡為直線。以點P與AB邊碰撞為例(即質(zhì)點P?與右壁碰撞),若將碰撞后的△OAB與點P的位形相對碰撞壁AB做鏡面反射(圖1-28),則點P碰撞前后的軌跡仍連接成一直線，速度保持不變。圖1-29中有陰影的三角形表示經(jīng)反射后和原來的△OAB一致的三角形。點P運動到陰影三角形中相同位置的P'時，表示兩質(zhì)點P?、P?回到了初始狀態(tài)，此時兩者的坐標差為由圖1-27可得，兩質(zhì)點的速度比為這表明質(zhì)點組做周期運動的必要條件是它們的速度比為有理數(shù)(m,n為整數(shù)),包括比值為(v?=0)和0(v?=0),與質(zhì)點組的初始位置無關(guān)。不難說明這一條件也是充分的。9.解：本題中動球受非完整約束，故不能應用第二類拉格朗日方程；又因要求動球在最高點處轉(zhuǎn)動的穩(wěn)定條件，所以也不能用球坐標描述球心的位置。如圖1-30所示，用卡爾丹角α、β描述動球質(zhì)心C的位置；建立動坐標系Oxyz,它相對定坐標系的方位由α、β確定，其角速度為Ω。坐標系[C,e?,e?,e?]過動球質(zhì)心C,且與坐標系Oxyz相平行。動球質(zhì)心C的速度為0c,動球絕對角速度為w。動球所受之力為由質(zhì)心運動定理向動坐標系Oxyz各軸的投影式得m(vc?-Q?vc?+Q?vc?)=F?+mgcosαsinβ第1章1988年第一屆全國青年力學競賽m(vc?-2vc?+Q?vc?)=F?-mgsinαm(vc?-Ω?vc?+O?vc?)=FN-mgcos由相對質(zhì)心的動量矩定理在動坐標系[C,e?,e?,es]各軸的投全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版0c?=(a+b)β,vc?=-(a+b)α所以將式(1-7)、式(1-9)代人式(1-6)得到關(guān)于自轉(zhuǎn)角速度w的特性將式(1-7)、式(1-9)代入式(1-1)、式(1-2)、式(1-4)、式(1-5),得m(a+b)(β+a2cosβsinβ)=F?+mgcom(a+b)(-αcosβ+2aβsinβ)=F?-m從上面四式中消去F?、F?,即得動球的運動微分方7(a+b)(acosβ-2a?sinβ)+2aw7(a+b)(β+d2sinBcosB)-2ao?acosβ-5此方程有特解α=0,B°=0,代表動球在固定球的最高點處以ws自旋的運動。為研究此運動的穩(wěn)定性，將α、β看成小量，并在式(1-15)、式(1-16)中略去二階以上的小量，得到線性化的受擾運動方程或49(a+b)2x?+[4a2w2-70(a+b)g]+[4a2w3-70(a+b)g]2-4×25×這就是動球在最高點自轉(zhuǎn)運動的穩(wěn)定條件(嚴格地講，這樣求得的10.解：設(shè)圓環(huán)的絕對轉(zhuǎn)角為φ(圖1-31)。由純滾動條件由題意，R=3r=30cm,故有φ=20。系統(tǒng)動能第1章1988年第一屆全國青年力學競賽V"=2gr[(m'+m)cosθ-2mco情形1:θ=θ?=0,由,當m'≥m時，θ=0為穩(wěn)定的平衡位置，當m'<m時，θ=0為不穩(wěn)定的平衡位置。情形2:,因cosθ≤1,故只有當m'≤m時才會出現(xiàn)這個平衡位置。由(1)當m'=2m>m時，圓環(huán)的穩(wěn)定的平衡位置為θ=0rad。此時，f(0)=8(m'+2m)r2=32m2,V"(0)=2grm,所以微振動周期此時1.4材料力學試題參考答案及詳細解答9.(1)特征方程形式為klcoshl+3sinkl=0,故(2)特征方程形式為6-(6+k2P2)coskl-2klsinkl=0,故2.解：如圖1-32a所示，取一與原圓盤(圖1-32b)尺寸相同的圓盤，使它承受均勻法向壓力q,直徑變化。由方程(1-22)得b)第1章1988年第一屆全國青年力學競賽)(均勻應力狀態(tài))由于,于是有將式(1-24)代入式(1-23)得3.解：設(shè)剛性板繞C點旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角為φ,如圖1-33所示。扭轉(zhuǎn)角φ?=φ2=φ;設(shè)相應于彎曲線性位移的力為F?及F?,相應于彎曲轉(zhuǎn)角的彎矩為M?及M?,相應于扭轉(zhuǎn)角的扭矩為注意到b?+b?=b,于是可解得全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版將b?、b?代入即可。4.解：設(shè)彈簧承受拉力為F,A點相應位移為8,δ由彈簧伸長量8和懸臂梁B端撓度20組成。于是有按圖1-34所示全橋接入應變片。若應變儀與應變片的靈敏系數(shù)分別K儀E儀=4c,K片當K儀=K片時有代入F值表達式后5.解：首先求梁中央截面的極限彎矩。根據(jù)平面假設(shè)，截面上各點應圖變沿高度的分布如圖1-35b所示。設(shè)當受拉區(qū)距中性軸為l處的應力到達σ,應變到達e矩到達極限彎矩M,應力分布如圖1-35c所示。受壓區(qū)壓應力的合力為時，截面上的彎第1章1988年第一屆全國青年力學競賽由圖1-35d有設(shè)設(shè)則將式(1-25)及式(1-26)代入平衡條件F=F?,得由圖1-35b有代入式(1-28)可得設(shè)則上式為因b<h,上式取負號，故全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版式中利用式(1-26)、式(1-27)、式(1-31)可得當α=3.5時，注：利用計算機，根據(jù)η=c?/e的不同數(shù)值計算M,找出當8/e?=1.96時M=Mm,此時代入數(shù)據(jù),β=0.65,θ=0.5536得6.解：如圖1-36所示，此體系為一瞬時幾何可變體系，受靜力載荷F作用后，由于桿系的變形使C結(jié)點鉛垂向下移動δ,(至C'),桿系才處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。故本題為一幾何非線彈性問題。(1)在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下，設(shè)C下移至C',此時折桿ABC在鉸鏈A和C'的約束力應共線，并大小相等方向相反(折桿CDE也如此),故桿件AB、BC、CD、DE為受力相同的彎曲桿件。桿內(nèi)任一點的應變能密度為 第1章1988年第一屆全國青年力學競賽所以此處為桿BC的長度。設(shè)C'鉸鏈處的約束力為FNca,此時BC桿任一截面所受的彎矩為代入式(1-33)取結(jié)點C'平衡，并設(shè)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時力F的值為F?,其受力情況如圖1-37所示，于是有代入式(1-34)有由幾何條件，有全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版略去高階微量(△L)2,于是有將代回式(1-35),即得體系應變能(2)對結(jié)果進行校核V。=W(外力做功)得得即7.解：如圖1-38所示，未接觸前，上梁撓度為僅一點接觸時，在x=0處有接觸約束力Fn。上梁撓度為第1章1988年第一屆全國青年力學競賽引進量綱為一的約束力,可解得一點接觸只能維持到由此可解出設(shè)F>F?后接觸區(qū)為0≤x≤{,則必須滿足：如果接觸區(qū)有分布壓力時，則式(1-37)是無法滿足的；只允許在x=ξ(1-37)和式(1-38)是滿足的，有處有一集中約束力Fn,此時式將其代人式(1-38)得將其代入式(1-37)得坐標。圖1-39所示為截面的上半部分，先取C為極點，也取C為零點，則對任意點K(相對圓心角為△COK=θ)w°=2·弓形CHK=2(扇形OKC-△OKC)由于整個截面圖形對于C點是中心對稱，故上下對稱點有相同的w而其y、z坐標則等值反號，故有截面面積A=4mR,故扇形坐標的平均值為全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版注意到θ=π時w=0,故圖中D點即為主零點(D'也是)。Wc=-R2[(π-θ)+sinθ]。令θ-π=φ,則B"-α2B=m=0(無分布力偶載荷)(μ為泊松比)邊界條件：x=0或l時，均有B=Foc=-FπR2。解得當當9.解：(1)如圖1-40a所示，從剛結(jié)點C處切開，CB段可看作在C端受彎曲力偶M。的簡支梁第1章1988年第一屆全國青年力學競賽b)研究壓桿AC:或邊值條件全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版特征根所以(2)圖1-40a所示為側(cè)移形式失穩(wěn)，而圖1-40b所示為無側(cè)移形式失穩(wěn)，分析如下：AC壓桿或邊值條件特征根Elw"=M。-FNo(l-x)-Fw6-(6+k2l2)coskl-2klsinkl首屆競賽由武際可教授任理論力學和流體力學命題組組長，徐秉業(yè)教授任材料力學和彈性力學命題組組長。經(jīng)過向全國力學專家、學者征題，收到58份回函，140余道題，精選整編出28道題，其中理論力學10道，材料力學9道，刊登于《力學與實踐》,要求參賽者在約一個半月內(nèi)寄回答案。競第1章1988年第一屆全國青年力學競賽賽題經(jīng)過精心設(shè)計，對教學與學習很有參考價值。由于是開卷競賽，故題目很難，部分超出了本科教學大綱。作為第一次力學競賽，試題的總體難度很大，根據(jù)作者的評估，試卷難度系數(shù)為5.94(具體見附錄A),并且很多內(nèi)容超出了教學基本要求。試卷的題目可以分為兩類，一類是比較常規(guī)的題目，包括第1、2、3、6、10題，這些題目基本上是常規(guī)的作業(yè)題，即使復雜些也沒有什么特別需要注意的地方。另一類是很難的題目，包括第4、5、7、8、9題。這些題目中，第4、7題需要較多的數(shù)學知識和技巧；第5、9題作為力學問題列寫公式并不困難，但是如果不考慮題目的特點，往往這些公式所需要的前提條件并不成立，而這正是學生們最不注意的地方，因此這類問題需要了解問題的特點，考慮公式成立的條件；第8題需要變換思路，把無法處理的問題，變?yōu)榭梢蕴幚淼膯栴}，這需要了解多種處理問題的方法，第1題考查剛體系統(tǒng)的受力分析及平衡問題。難度不大，但是需要進行一些分析。有不同的處理方法，一種方法是像原題解答一樣，拆開各物體進行受力分析。另一種方法是利用虛位移方法進行整體分析，解除H點的約束，加上約束力。如圖1-41所示，利用各剛體虛位移的特點，可以很快看出剛體AB做平動，力偶M將在方程中不起作用。假設(shè)E點有虛位移80,因此有δrp=a80,8rp=2a80。對剛體CDEF利用速度投影定理，有對剛體CHG利用速度投影定理，有δy=2a80,因此可以求出剛體,同時有,因此δx=a80。因為這兩個虛位移之比為δyn:8xn=2:1,所以它們對應的力之比為1:2。虛位移的方法可以不必求出那些不需要出現(xiàn)的約束力，雖然看上去也有很多篇幅，但是在實際處理時不必寫這么多，只要虛位移圖畫出來了，結(jié)論就出來了。第2題考查摩擦問題，并不復雜，但是結(jié)論也不是與通常所想象的那樣：摩擦因數(shù)μ越大(4m越大),M就越大。當摩擦角φm小于α時，Mm保持常值。從這里可以得出兩個結(jié)論：一是很多想象的結(jié)論并不正確；二是即使想象的結(jié)論錯誤，其中也有正確的部分。這也是在研究未知問題中直覺很重要的原因。第3題是運動學的內(nèi)容，比較像常規(guī)的作業(yè)題，難度中等。本題的關(guān)鍵是兩個自由度，需要兩次運用運動學的有關(guān)公式。例如，解答中分別以A為基點和O?C為動參考系，兩次考慮D點的加速度，然后聯(lián)立起來向某方向投影，就可以得到結(jié)果。第4題是點的運動學問題。在目前的理論力學中，剛體的運動是運動學分析的重點，強調(diào)運動的合成與分解，在分析過程中物理含義很清楚。點的運動學中更多利用求導進行分析，偏重數(shù)學技巧。本題的難度較大，需要對求導和數(shù)學變換很熟悉。第5題是動力學問題，難度較大。在解本題時，第一步要考慮系統(tǒng)在不同的初始條件下，約束力是否為零將導致不同的運動狀態(tài)；第二步再利用剛體平面運動方程列出動力學方程。應該說第二步?jīng)]有什么難度，但是在第一步中需考慮不同的狀態(tài)，這很不容易。學生很可能列出了方程，但不全面，也不知道初始條件如何得到。第6題是動力學問題，難度不大。用拉格朗日方程求解，關(guān)鍵步驟是如何用題目中的參數(shù)表示純滾動條件。第7題是質(zhì)點動力學問題。第一問很簡單；第二問有些難度；第三問很難，涉及泛函極值問題，需要較多的數(shù)學知識，按照目前的教學要求，這部分內(nèi)容超出了學生的能力范圍。第8題是質(zhì)點動力學問題，難度很大，不是直接用動力學的方程求解，而是把問題轉(zhuǎn)化為鏡面反射問題，處理問題的方法和結(jié)論都很出人意料。這種問題不是常規(guī)的力學問題，沒有一定之規(guī)，全憑對問題的獨到理解。有能力的學生可以借鑒這種處理問題的方法，把某些看似無法處理的問題，變換成自己可以處理的問題。第9題涉及剛體的一般運動，但是動球受非完整約束，故不能應用第二類拉格朗日方程；又動球在最高點附近運動，所以也不能用球坐標描述球心的位置(在最高點時，球坐標的經(jīng)度角沒有定義),這是本題的難點之一。另外多自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件也是難點。真正列動力學方程并不難。因此本題的陷阱包括：學生可能不注意前提條件，上來就列寫方程，而根本沒注意方程是否能成立；或是做了一半發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)奇點要重做。即使排除這些難點，本題的計算量也很大。從目前的教學要求看，剛體的一般運動超出了基本要求。第10題是剛體動力學問題，涉及振動和穩(wěn)定問題。屬于常規(guī)的作業(yè)類型。需要注意的地方是純滾動條件如何表示，另外是A點的速度如何表示。本題需要較多的計算，但難度不大。材料力學以理論力學知識為基礎(chǔ)，兩門課程密切相關(guān)。另一方面，理論力學主要研究剛體，材料力學研究變形體，兩門課程在力學模型與分析方法方面都有所不同。在學習材料力學時，應當仔細研究和了解兩門課程在理論、模型與方法方面的聯(lián)系與區(qū)別。一般來說，理論力學中對作用于剛體的力系簡化方法用于變形體將改變變形體內(nèi)力。但是由截面法將彈性桿件截開后，我們就可以根據(jù)剛化原理，利用剛體力學力系簡化與平衡理論求內(nèi)力。因此有教材將材料力學的內(nèi)力(軸力、扭矩、剪力、彎矩)計算的內(nèi)容放在理論力學中講授。理論力學定義對非自由體某些位移起限制作用的周圍物體為約束。材料力學對約束的概念做了推廣，用截面法假想將構(gòu)件切開，截掉的部分就是保留部分的約束。例如，第五屆競賽的第1題第(1)小題以建立兩個在力學上完全等價的模型，但求解的難易程度大不相同。注意這個模型的固定端不是牢固嵌入剛性墻體的桿端，鉸支端也不是圓孔套銷釘?shù)慕Y(jié)構(gòu)。材料力學進一步要求從位移與力的邊界條件的提法來確定或選定約束。實際構(gòu)件的內(nèi)力與變形往往十分復雜，為了簡化分析，材料力學對變形做了合理假設(shè)。這就需要抓住主要矛盾，在計算精度和計算工作量方面取得平衡。例如，首屆競賽第7題第(1)小題，采用材料力學經(jīng)典梁模型計算兩梁開始接觸的力F?時應當有足夠的精度。但是第(3)小題證明接觸區(qū)內(nèi)無分布約束力，只在接觸與非接觸區(qū)交界處有集中約束力的結(jié)論是經(jīng)典梁的理論結(jié)果，并不符合實際情況。在實際工程分析中，接觸問題應當采用考慮橫向剪切變形和橫向拉壓變形的梁的模型或更進一步采用完全的三維分析。材料力學的模型常常不是正誤之別，而只是精度高低之分。例如，第五屆競賽第6題(詳見第5章),參賽