姓名:準考證號:所在院校:姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:,,一、(本題15分)平面R2上兩個半徑為r的圓C1和C2外切于P點.將圓C2沿C1的圓周(無滑動)滾動一周,這時,C2上的P點也隨C2的運動而運動.記Γ為P點的運動軌跡曲線,稱為心臟線.現設C為以P的初始位置(切點)為圓心的圓,其半徑為R.記√:R2∪{∞}→R2∪{∞}為圓C的反演變換,它將Q∈R2\{P}證明以C1的圓心O為原點建立直角坐標系,使得初始切點P=(0,r).將圓·證明以C1的圓心O為原點建立直角坐標系,使得初始切點P=(0,r).將圓C2沿C1的圓周(無滑動)滾動到Q點,記角\POQ=θ,則Q=(rsinθ,rcosθ).令lQ為C1在Q點的切線,它的單位法向為n→=(sinθ,cosθ).這時,P點運動到P密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線,關于直線lQ的對稱點P,=P(θ)處.于是,有-,=O+P,=O2(Q·n)故故P點的運動軌跡曲線(心臟線)為容易得到,圓C的反演變換的坐標表示為(11分)將(x,y)=P(θ)代人,得到,(13分)直接計算,得到拋物線方程(15分)直接計算,得到拋物線方程,二、(本題10分)設n階方陣B(t)和n×1矩陣b(t)分別為B(t)=(bij(t))ijd(t)為B(t)的行列式,di(t)為用b(t)替代B(t)的第i列后所得的n階矩陣的行列式.若d(t)有實根t0使得B(t0)X=b(t0)成為關于X的相容線性方程組,試證明:dn(t)必有次數>1的公因式.證明設B(t)的第i列為Bi(t),i=1,2,···,n.斷言:t—t0是d(t),d1(t),···,dn(t)秩[B(t0),b(t0)]=n,因為d1(t0)0.(5分)注意到秩B(t0)≤n—1,結果增廣陣[B(t0),b(t0)]的秩B(t0)的秩,(9分)從而B(t0)X=b(t0)不相容.矛盾.證畢.(10分)六、(本題25分)設Rn×n為n階實方陣全體,Eij為(i,j)位置元素為1其余位置元素為0的n階方陣,i,j=1,2,···,n.讓Γr為秩等于r的實n階方陣全體,r=0,1,2,···,n,并讓φ:Rn×n→Rn×n為可乘映照,即滿足:φ(AB)=φ(A)φ(B),?A,B∈Rn×n.試證明:(1)?A,B∈Γr,秩φ(A)=秩φ(B).(2)若φ(0)=0,且存在某個秩為1的矩陣W使得φ(W)0,則必存在可逆方陣R使得φ(Eij)=REijR-1對一切Eij皆成立,i,j=1,2,···,n.證明:(1)A,B∈Γr表明A可表為A=PBQ,其中P,Q可逆.(1分)結果φ(A)=φ(P)φ(B)φ(Q),從而秩φ(A)≤秩φ(B).(3分)對稱地有秩φ(B)≤秩φ(A).即有,秩φ(A)=φ(B).(5分)(2)考察矩陣集合{φ(Eij)|i,j=1,2,··(2)考察矩陣集合{φ(Eij)|i,j=1,2,···,n}.先考察φ(E11),···,φ(Enn).由(1)知φ(Eij)為非零陣,特別地,φ(Eii)為非零冪等陣,故存在單位特征向量wi使得此向量組有如下性質:wn線性無關,從而構成Rn的基,矩陣W=[w1,w2,···,wn]為可逆陣.事實上,若x1w1+···+xnwn=0,則在兩邊用φ(Eii)作用之,得xi=0,i=1,2,···,n.(11分)c)當kj時,φ(Eij)wk=φ(Eij)φ(Ekk)wk=φ(EijEkk)wk=0;當k=j時,令φ(Eij)wk=b1jw1+···+bijwi+···+bnjwn.兩邊分別用第2頁(共5頁)φ(E11),···,φ(Ei-1i-1),φ(Ei+1i+1),···,φ(Enn)作用之,得,0=φ(E11Eij)wj=φ(E11)φ(Eij)wk=b1jw1,···,,0=φ(EnnEij)wj=φ(Enn)(b1jw1+···+bijwi+···+bnjwn)=bnjwn,姓名:準考證號姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:1j=···=bi-1j=bi+1j=···=bnj=0.從而φ(Eij)wj=bijwi,進一步,bij0,否則有φ(Eij)[w1,···,wn]=0,導致φ(Eij)為零陣,零陣,不可能.(15分)這樣通過計算φ(Eij)wji,j=1,2,···,n,我們得到n2個非零的實數:1n..nnn1密封線密封線答題時不要超過此線注意到EmrErs=Ems,從而wm=φ(Ems)ws=φ(Emr)φ(Ers)ws=φ(Emr)brswr=brsbmrwm因此有bmrbrs=bms.(17分)最后,令vi=bi1wi,i=1,2,···,n.則有bj1wj=bj1bijwi=bi1wi=vi,,,φ(φ(Eij)R=φ(Eij)[v1,···,vn]=[0,···,0,vi,0···,0]=[v1,···,vn]Eij即,φ(Eij)=REijR-1.證畢.(25分),第3頁(共5頁)第4頁(共5頁)三、(本題15分)設f(x)在區間[0,a]上有二階連續導數,fI(0)=1,fII(0)0,且0<f(x)<x,x∈(0,a).令xn+1=f(xn),x1∈(0,a).(1)求證{xn}收斂并求極限;(2)試問{nxn}是否收斂?若不收斂,則說明理由.若收斂,則求其極限.證明(1)由條件0<x2=f(x1)<x1,歸納地可證得0<xn+1<xn,于是{xn}有極限,設為x0.由f的連續性,及xn+1=f(xn)得x0=f(x0).又因為當x>0時,(2)由Stolz定理和L’Hospital法則,f(x)>x,所以只有x0=0.即,xn(2)由Stolz定理和L’Hospital法則,四、(本題15分)設a>1,函數f:(0,+∞)→(0,+∞)可微.求證存在趨于無窮的正數列{xn}使得fI(xn)<f(axn),n=1,2,···.證明若結論不對,則存在x0>0使得當x>x0時,有fI(x)>f(ax)>0.(5分)于是當于是當x>x0時,f(x)嚴格遞增,且由微分中值定理f(ax)—f(x)=fI(ξ)(a—1)x>f(aξ)(a—1)x>f(ax)(a—1)x.但這對于x>-是不能成立的.(10分),g(tx+(1t)y)≤tg(x)+(1t)g(y).,姓名:準考證號:所在院校:考生座位號姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:證明由于f為偶函數,可得(2分),,密封線密