第5屆全國大學生數學競賽決賽數學類一、二年級真題_第1頁
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第五屆中國大學生數學競賽決賽二年級試卷(數學類2014年3月,?考試形式閉卷考試時間180分鐘滿分100分?題號題號二三四五六總分滿分151515152020100得分姓名姓名準考證號所在院校考生座位號專業注意1.所有答題都須寫在此試卷紙密封線右邊寫在其它紙上一律無效2.密封線左邊請勿答題密封線外不得有姓名及相關標記3.如答題空白不夠可寫在當頁背面并標明題號,(本題(本題15分)設S為R3中的拋物面zx2+y2Pa;b;c為S外一固定點滿足a2+b2>2c過P作S的所有切線證明這些切線的切點落在同一張得分評閱<密封線密封線答題時不要超過此線平面上,?,?,第1頁共6頁第2頁共6頁得分評閱<二(本題15分)設實二次型fx1x2x3x4xTAx得分評閱<a0a;b;c;d;e;f;g;h;k皆為實數已知λ12是A的一個幾何重數為3的特征值試回答以下問題(i)A能否相似于對角矩陣若能請給出證明若不能請給出例子(ii)當a02時試求fx1x2x3x4在正交變換下的標準型姓名準考證號所在院校姓名準考證號所在院校考生座位號專業三(本題15分)設n階實方陣得分評閱人,?有n個線性無關的特征向量b1b1均不為0記WX∈Rn×njXAAX證明W是實數域R上的向量空間且I;A;An-1為其一組基其中I,?,為n階單位陣,?,密封密封線答題時不要超過此線,?,?,第3頁共6頁第4頁共6頁四(本題15分)設fx;y為a;b?×R上關于y得分評閱<單調下降的二元函數四(本題15分)設fx;y為a;b?×R上關于y得分評閱<yfx;yz≤fx;zx∈a;b?已知za≤ya求證zx≤yxx∈a;b?五五(本題20分)設fx是[0+∞上非負可導函數f(0)0fx≤假設R0+fxdx收斂求證對任意α>1R0+fxdx也收斂并且得分評閱<?姓名姓名準考證號所在院校考生座位號專業,?,密封密封線答題時不要超過此線,?,?,第5頁共6頁第6頁共6頁得分評閱<六(本題20分)對多項式f(x記df為其最大和最小實根之間的距離

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