第1頁共6頁第五屆中國大學生數學競賽決賽二年級試卷解答(數學類2014年3月考試形式閉卷考試時間180分鐘滿分100分注意1.所有答題都須寫在此試卷紙密封線右邊寫在其它紙上一律無效2.密封線左邊請勿答題密封線外不得有姓名及相關標記3.如答題空白不夠可寫在當頁背面并標明題號(本題15分)設S為R3中的拋物面外一固定點滿足a2+b2>2C過P作S的所有切線證明這些切線的切點落在同一張平面上證明設`是過P點的拋物面S的一條切線它的方向向:量為Vu;v;w則切點可表成QP+tVa+tu;b+tv;C+tw其中t是二次方程2(C+twa+tu2+b+tv2也就是u2+v2t2+2(au+bv-wt+a2+b2-0的唯重根(5分)這時au+bv-w2u2+v2a2+b2-(10分)于是切點QX;Y;Za+tu;b+tv;C+tw滿足aX+bY-Za2+b2-C+tau+bv-wC:(15(15分)于是所有切點Q落在平面ax+by-zC上第2頁共6頁二(本題15分)設實二次型fx1x2x3x4xTAx其中a0a;b;C;d;e;f;g;h;k皆為實數已知λ12是A的一個幾何重數為3的特征值試回答以下問題(i)A能否相似于對角矩陣若能請給出證明若不能請給出例子(ii)當a02時試求fx1x2x3x4在正交變換下的標準型證明(i)由于tr(A是A的特征值之和得λ1的代數重數也是3而A的另個特征值λ20且λ20的代數重數為1結果A有四個線性無關的特征向量故A可對角化(5分)(ii)由于λ12的重數為3故有-f=-2得d0e-2f2g=0h=2k=2-f=-2得d0e-2f2g=0h=2k=2-2得g0h-2k-2于是(10分)注意到fx1x2x3x4xTAxxTBx其中B的特征值為λ12二重),λ21+2p3(一重),λ31-2p3(一重)故fx1x2x3x4在正交變換下的標準型為2y+2y+(1+2p3y+(1-2p3y(15分第3頁共6頁性無特設nb個線證明W是實數域R上的向量空間且I;A;An-1為其一組基其中I為n階單位陣證明證明(1)A有n個線性無關的特征向量故A可對角化設λ0是A的一個特征值考察A—λ0I它有一個n—1階子式不為0,結果rankA—λ0In—1故λ0的重數為1從而A有n個各不相同的特征值λ1λ2λ(2)丫X1X2∈W丫μ∈R顯見X1+μX2∈W故W為R上的向量空間讓P-1于是方程故若故若記則則W與V有線性同構σX→P-1XP從而dimVdimW注意到故dimVdimWn(3)顯然I;A;An-1∈W下證I;A;An-1線性無關事實上若x0I+x1A+...+x1An-10則得x0+x1λ1+...+x1λ1n-10.........x0+x1λ+...+x1λn-10其系數行列式為范德蒙行列式由λ1λ2λ各不相同故I;A;An-1線性無關即I;A;An-1為其一組基證畢(15分)第4頁共6頁四(本題15分)設fx;y為a;b?×R上關于y單調下降的二元函數設yyx和zzx是可微函數且滿足yfx;yz≤fx;zx∈a;b?已知za≤ya求證zx≤yxx∈a;b?證明用反證法設存在x0∈a;b?使得zx0>yx0令M{x∈故存在開區間α;βCM滿足?jzx>yx}則故存在開區間α;βCM滿足yαzαzx>yxx∈α;β這推出zx-yx單調不增故zx-yx≤za-ya0矛盾(15分)第5頁共6頁五本題20分設fx是[0+∞上非負可導函數f(0)0fx≤假設R0+fxdx收斂求證對任意α>1R0+fxdx也收斂并且+f證明令tβt(5分)00gt(fxdx)-Zftβt(5分)00則gt可導且tβ-1g"(0f(x)dx)-fα-1tβ-1令(10(10分)則有則有(15分)由于β>1fx≤我們有ht>0這說明ht單調遞增(15分)從h(0)0得ht>0因而gt>0再從g(0)0可得g(t)>0即tfx)dx≤(0tfxdx)令t→+∞即得所證β(20分)第6頁共6頁六(本題20分)對多項式fx記df表示其最大和最小實根之間的距離設n≥2為自然數求最大實數C使得對任意所有根都是實數的n次多項式fx不妨fx的最小實根為0最大實根為a設fxx—x1x—x2...x—x0x1≤x2...x1≤xa:先證以下引理若存在2≤k;m≤n—1使得xk<x令xk<x≤x<x滿足xk+xx+x令f1xx—xx—x...x—xxxiik;m:則有df≤df(5分)證明注意到fxf1x—Fx其中設α和β分別為fx的最大和最小實根則有f1α≤0f1β—1)≤0由羅爾定理α≥xβ≤xk并且則fαf1α≥0故fα≤0這表明fx0的最大實根大于或等于α同理fx0最小實根小