第章2004年第五屆全國周培源大學生力學競賽5.1理論力學試題1.(5分)半徑為R的剛性圓板受到兩根無質量剛性桿的約束，如圖5-1所示，F?作用在圓盤的邊緣沿水平方向，F?沿鉛垂方向，若使系統平衡，F?與F?大小的關系為0一重為W的物塊，在作用力F的作用下平衡。已知力F沿DC方向，各構件自重不計，則A處的約束力偶3.(6分)4根等長的桿質量忽略不計，用鉸鏈連接成如圖5-3所示機構，在F?、F?和F?的作用下，在圖示位置保持平衡。若不計各處摩擦，則各力之間的關系為04.(10分)如圖5-4所示，沿長方體的不相交且不平行的棱邊作用三個大小相等的力，則邊長a、b、c滿足條件時，該力系才能簡化為一個力。5.(6分)如圖5-5所示，半徑為R=0.6m,質量m=800kg的滾子頂在堅硬的障礙物上。障礙物的高度h可以是各不相同的。現在假設h是按高斯分布的隨機變量，而且它的數學期望是m=0.1m,均方差是σA=0.02m。求：當水平力F=5880N時，能克服障礙物的概率α是_。(取g=9.8m/s2)提示：設u是隨機變量，已知它的數學期望(均值)m。和均方差σ,于是u滿足u<α的概率α由下式確定： 并且F(ξ)是一特定的分布函數，對于高斯分布，F(ξ)列ξ06.(6分)圖5-6所示三條平行直線I、Ⅱ、Ⅲ之間距離分別為m和n。今有兩動點A和B以反向速度v?和v?分別沿直線I和直線Ⅱ做勻速直線運動。另有第三動點C沿直線Ⅲ運動。欲使在運動中任一瞬時三點均在一直線上，則該第三點的速度v?=7.(6分)如圖5-7所示，試列出平面圖形沿軸Ox滾動而不滑動的條件。8.(15分)圖5-8所示的機構中，桿AC可在套筒中滑動，桿O'B長l,桿OA長/21,00'距離21。在圖w,逆時針向，角加速度αoA=0;桿O'B角速度WoB=w,順時針向，角加速度αoa=0。則該瞬時AC桿的角速度 9.(6分)AB、BC為無質量細桿，鉸接于B點，如圖5-9所示。質量為m的質點固連于C點，從圖示位置由靜止開始運動。若不計各處摩擦，此瞬時C點的加速度CC10.(10分)圖5-10所示質量為m、半徑為r的均質圓盤繞盤心0軸轉動，圓盤上繞有繩子，繩子的一端系有一置于水平面上質量也為m的重物，重物與水平面的動摩擦因數為0.25,不計繩子質量及0軸摩擦。圓盤以角速度wo轉動，繩子初始時為松弛11.(15分)兩相同的均質細長桿，長為l,質量為m,在A處光滑鉸接。AC桿放在光滑水平面上，AB桿鉛垂，開始時靜止。稍受擾動后AB桿沿順時針方向倒下，如圖5-11所示。則當AB桿水平，在接觸地面前瞬時，AC桿的加速度為。地面對AC桿作用力合力的作用線位置距A點距離12.(10分)如圖5-12所示，繞鉛垂軸以等角速度w緩慢旋轉的封閉圓艙中，站在艙底盤的實驗者感受不到自己的運動，但拋出的小球的運動卻不服從牛頓運動定律。設實驗者站立處A距底盤旋轉中心0的距離為r,請你替他設計一個拋球的初速度(大小vo,方向與AO的夾角為α),使得球拋出后能返回來打到實驗者身上。試寫出v%,α應滿足的條件，畫出小球相對軌跡示意圖。(不考慮小球在鉛垂方向的運動，1.(10分)如圖5-13所示，一根足夠長的鋼筋，放置在水平剛性平臺上。鋼筋單位長度的重量為q, 抗彎剛度為EI。鋼筋的一端伸出桌面邊緣B的長度為a,試在下列兩種情況下計算鋼筋自由端A的撓度wA:(1)載荷F=0。(2)載荷F=qa。2.(10分)一變厚度薄壁圓管如圖5-14所示，在兩端承受扭力偶矩M作用。已知管長為1,平均半徑為為δ,最大壁厚為δ?,壁厚δ隨θ(0≤θ≤π)呈線性變化(上下對稱),管材料的切變模量為G。試求方3.(15分)圖5-15所示矩形截面等直桿，常溫時安裝在支座上。若桿底面與頂面溫度分別升高T?與T?,且T?<T?并沿截面高度線性變化，試用能量法求橫截面B的轉角。設橫截面的高度與寬度分別為h與b,材料的線膨脹系數4.(15分)圖5-16所示結構，已知小曲率圓環的抗彎剛度為EI,鉸接于圓環內側的直桿CD的抗拉剛度為EA,承受均布切向載荷q和力偶矩M。作用，且M。=2πR2q。試確定桿CD的軸力與截面A的內力。5.(15分)圖5-17所示放置在彈性基礎上的細長桿，長為l,兩端鉸支，承受軸向壓力F。試建立臨界載荷F應滿足的方程。設基礎約束力的集度與梁撓度成正比并與撓度方向相反，比例系數為k,桿的抗彎剛度為EI。6.(15分)圖5-18所示均質等截面直梁AB,由高H處水平自由墜落在剛性支座D上，梁仍處于彈性變形階段。設梁長為21,梁單位長重量為q,梁的抗彎剛度為EI。試求梁的最大彎矩。7.(20分)圖5-19所示傳感器，AB和CD為銅片，其厚度為h,寬度為b,長度為l,材料彈性模量為E。它們的自由端與剛性桿BD剛性連接：(1)試求截面E—E的軸力與彎矩。(2)如采用電測法測量截面E—E的軸力與彎矩，試確定貼片與接線方案(選擇測量精度較高的方全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版案),并建立由測試應變計算相應內力的表達式。5.3理論力學試題參考答案及詳細解答7.x-θ(ξksinθ+ηkcosθ)=0,y+0(ξxcos1.對0點取矩，有2.BCD三力匯集，因此B處的約束力水平，有MA=0。3.利用虛位移原理，有F?=F?=2F?。4.解：如圖5-20所示，將力系向0點簡化：F2(b-c)-aF2=05.解：如圖5-21所示，克服障礙條件為FRcosβ-mgRsinβ≥0第5章2004年第五屆全國周培源大學生力學競賽代入數據，求解，得h≤0.12m。6.解：如圖5-22所示，建立平移動系與點A固結，則點B、C的相對速度為所以8.解：選點B為動點，動系與桿AC固結。(1)速度分析(圖5-23a)v?=lw,va=v?=√2lw,vea)y軸：0=-√2locos45°+Luac,@AC=w()全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版(2)加速度分析(圖5-23b)(3)y軸：-lw2=-√2lo2cos45°+lαAc-4l9.C點的加速度為重力加速度g。10.解：(1)繩拉緊瞬時，有碰撞因素能量不守恒。用動量矩定理，忽略碰撞瞬時的常規摩擦力，有(2)求從繩拉緊到移動最大距離x,用動能定理有11.解：如圖5-24所示。(1)先求AB桿落至水平時的w及AC桿的vc(圖5-24a):(2)再求加速度ac及受力：考慮整個系統用動量定理(圖5-24b、c)b)考慮AB桿考慮AC桿12.解：(1)在定坐標系中考慮問題。小球以絕對速度v沿直線AB運動，如果小球到達B時，實驗者(2)條件為給定θ,即可求出v,即問題有多解。當給定v,θ時，可用速度合成定理求相對速度v。及方向α:(3)小球相對軌跡示意如圖5-25b所示。第5章2004年第五屆全國周培源大學生力學競賽6.解答1:由撓曲線近似微分方程，得解答2:忽略本身重量引起的應力，得(2)見詳細解答1.解：(1)在外伸段AB自重作用下，鋼筋在剛性平臺上有一段拱起，設拱起長度為b,在拱起與接觸交界截面C的撓度與轉角為零，即又因截面C左側曲率半徑pc-為無窮大，故解法1:由邊界條件式(5-1)和式(5-2),C截面可抽象為固支端，剛性桌邊緣可抽象為活動鉸，鋼b)由梁對C點的力矩平衡條件，并注意到式(5-3),可知方程(5-4)和方程(5-5)聯立求解有解法2:由式(5-1)和式(5-3),C截面又可抽象為鉸支端，ABC段的力學模型為圖5-26c所示外伸梁，由條件(2)有段的力學模型為如圖5-26d所示懸臂梁。由平衡條件[注意到式(5-3)]有第5章2004年第五屆全國周培源大學生力學競賽及2.解：(1)求┐(θ)(2)求φ3.解：(1)一般公式(7分)(2)求解超靜定(圖5-27a)(3)轉角θg(圖5-27b)4.解：(1)桿CD的軸力FN=0;解時可在該桿中間截面處“切開”,因為是反對稱面，而FN為對稱(2)截面A為反對稱面，其上的對稱內力FA和M。均為零；而Fs?可由A處(被切開)左、右截面M(φ)=qR2(φ-sinp)-FsRsinp全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版得得或由此得到Fs=qR(10分)5.解：解答的詳細過程如圖5-29所示。(1)壓桿的撓曲軸微分方程第5章2004年第五屆全國周培源大學生力學競賽(2)壓桿的臨界載荷微分方程(5-6)的通解為w=C?sin√α?x+C?sin√a?x+C?cos√a?x+C?cos√a?xw(0)=0,w"(0)=0,w(l)=0,w"(由式(5-7)與上述邊界條件，得C?、C?、C?與C?的非零解條件為由此得臨界載荷F應滿足的方程為6.解：梁AB受自重，可視為受均布靜載荷q,由沖擊和梁變形的對稱性，可取AB的一半受均布動載荷qa作用在懸臂梁DB上，如圖5-30a所示。解法1:由撓曲線近似微分方程b)(10分)解法2:忽略本身重量引起的應力(該解法滿分為12分)(圖5-30b)(6分)7.解：(1)求解超靜定(圖5-31a)截面E-E的軸力與彎矩(6分)(5分)Fa=2MA+FA,b(2)軸力測量(圖5-31b、c)8r=8a-e?-E+8d=(En+Em+e?)-e?-(5分)(5分)圖5-31彎矩測量(圖5-31b、d)第5章2004年第五屆全國周培源大學生力學競賽(5分)總的看來，本次競賽的理論力學題目覆蓋面廣，只有個別題目學生可能不太熟悉，其余一大半題目是常規的作業題，但是屬于難度較大的作業題。根據評估，整個試卷的難度系數為5.13(詳見附錄A)。第3、9、12題可能有不同的解法，其他題目基本上沒有選擇余地，只有一種解法。對學生而言，第9、10題可能是容易出錯的題目。第5題是有新意的題目，但是在提示后難度也不大。第1題考查學生對受力分析和列寫力矩平衡方程的熟悉程度。如果明確“無質量剛性桿”是二力構件，受力方向只能沿桿方向，馬上可以對兩桿的交點取矩，得到答案。因此，本題的要點是明確受力特點，第2題考查學生對匯交力系的熟練運用程度。根據三角形構件BCD的受力特點，由三力匯交得到B點受力只能沿AB方向，因此A點的力偶矩為零。用其他方法也能得到答案，但可能就需要計算了。第3題考查學生對多自由度機構平衡問題的處理。通常機構平衡問題用虛位移方法處理最好，但是對多自由度的虛位移問題，關鍵是如何給出適當的虛位移。要充分利用各個虛位移“獨立”的條件。例如，在本問題中，先固化左邊兩個桿件的角度(虛位移為零),右邊兩桿件可以運動(虛位移不為零),這樣F?不做功，通過虛位移原理可以立刻得到F?與F?的關系；然后再固化右邊兩個桿件的角度，讓F?不做功，得到F,與F?的關系。第4題考查學生對力與力偶關系的理解：在什么情況下力與力偶可以化簡為最簡單的結果。通常系統載荷向某點簡化，得到一個力的主矢量和一個主矩。如果兩者平行，就是“力螺旋”,不能再化簡了；其他情況都可以繼續化簡。本問題就是要讓兩者沒有平行分量，或兩者的點積為零。明確了這一點，計算便很簡單。第5題比較有趣，是把力學問題與概率問題融在一起，學生可能不熟悉。從力學角度看是碰撞問題，比較容易。關鍵是要把力學的結論與概率的公式結合起來，學生以前沒有做過。在給出了提示后，這題難度并不大。第6題是運動學的題目，涉及在哪個坐標系中看問題更方便。如在定系中看，三點共線涉及三個點，第7題是運動學問題，涉及純滾動的表示方法，在提示下，不是太難。第8題是典型的作業題，但是有點難度。關鍵是選好動點動系。解答中將動系與AC桿固連，其實很麻煩，因為這時動系作平面運動，牽連速度、加速度比較復雜。如果選動系平行與AC桿，原點在0'點，這第9題是個很有趣的題目，考查學生對于力學概念的理解。如果用動靜法，各桿的角速度為零，只有角加速度，對于BC桿加C點，受力有一個重力和兩個慣性力，根據平衡關系，得到該瞬時質點C作自由第10題考查學生對碰撞和動能定理的理解。不注意的話很容易忽略由于發生碰撞所導致的機械能損第11題是常規的作業題，屬于作業中比較難的類型，解題時需要一些時間，需要考慮列什么方程及解題的順序，沒有什么特別的技巧。第12題有一定的難度，需要有好的方法。解答是在固定坐標系中求解的，很簡單。如果在動系中求解，就很復雜。因此，本題的關鍵是選擇適當的坐標全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版繼《面向21世紀高等教育教學內容和教學體系改革計劃》和國家工科力學基礎學科教學基地建設之后，教育部又于2003年開始建設和評審國家級精品課程。根據高等教育發展的新形勢，本屆材料力學競賽力學建模是不可或缺的基本能力之一，也是材料力學教學中相對薄弱的環節。力學建模要求對實際問題的力學機制有深刻理解，要求有把握全局的定性分析能力。從不同的角度切入，同一工程問題的力學模型可能具有多樣性。它們可能復雜程度不同，但是結果相同，如本屆第1題(1)小題；也可能因對關鍵因素的提煉有不同見解，造成結果有所差別，但只是精度之差，而非正確與錯誤之別，如第6題。為了有所區分，組委會和評卷小組決定第6題的兩種模型解答的滿分分別為15分和12分。本屆試題注重了考查推導公式的能力，而不是僅僅會套用公式就行。命題思想好，但做起來難。試題偏難，競賽選手得分偏低。最后決定將材料力學科目的成績乘以系數1.25后再計入總分，使之與理論力學成績的權重相當。第1題.知識點：梁變形、超靜定問題、力學建模。第(1)、(2)兩小題僅僅由于一個外力的大小不同，就要求建立不同的力學模型，是考查建模能力的好題。為了深入理解這一點，設鋼筋端點A向上的拉力F=aga,其中α為表示力F大小變化的無量綱參數。當α較小時，剛性桌面邊緣與鋼筋接觸，對鋼筋的約束可抽象為活動鉸鏈。采用第(1)小題第二種解法的力學模型，由平衡條件可求得拱起段長度b:當α=0.5時，鋼筋拱起段長度b=0,即已經與桌面全接觸。當α略微超過0.5時，鋼筋外伸段對桌內段B截面的作用是一個向下的集中力F和一個順時針力偶M。假設CB段的模型為被提起的懸臂梁，提起段長l,則B截面撓度顯然，一定能找到一個lo,當l<l?時，wg向上。它表明，鋼筋被向上提起離開桌面邊緣B的懸臂梁模型假設成立。當α>0.5時，B點不再存在約束。再看鋼筋與剛性桌面接觸與分離的分界點C,由分析，鋼筋在這個截面的位移、轉角和彎矩均為零，對于第(1)小題，C端約束既可以抽象為固定端，得出圖5-26a的力學模型，又可抽象為固定鉸支座，得出圖5-26c的力學模型。兩個力學模型得出完全相同的結果，但計算工作量有差別。對于第(2)小題，C端約束只能抽象為固定端，如抽象為鉸支端，則力學最后指出，在鋼筋C點出現集中力是由于經典梁理論的簡化假設造成的，與實際情況不符。請參閱對第一屆第7題的點評。第2題.知識點：閉口薄壁圓管扭轉切應力、相對扭轉角、能量法。第(1)小題是套用公式的基本知識題，第(2)小題必須用能量法求解。第3題.知識點：熱變形、超靜定梁、單位載荷法。單位載荷法的適用范圍很廣，不僅適用于線性彈性桿或桿系，也適用于非線性彈性桿或桿系；不僅適用于求應力所引