第章》1.填空題(每題3分)(1)對牛頓萬有引力定律和開普勒行星運動定律有兩種說法。第一種說法是：牛頓從開普勒行星運動定律導出萬有引力定律；第二種說法是：開普勒從牛頓的萬有引力定律和運動定律導出行星運動定律。根據歷史事實，第()種說法是正確的。(2)中國科學院力學研究所是我國規(guī)模最大的綜合性力學研究單位。它是于1956年由著名科學家()創(chuàng)建的，他于1991年10月被授予“國家杰出貢獻科學家”榮譽稱號。(3)圖2-1所示曲線為一旋輪線，其參數R為已知。圖中M點處的曲率半徑為()。(4)圖2-2所示勻質細桿AB,A端借助無重滑輪可沿傾角為θ的軌道滑動。如不計摩擦，桿在自重作用下，從靜止進入運動。為使桿的運動為平動，則初瞬時桿與鉛垂線的夾角α必須等于()。(5)如圖2-3所示，AB是半徑為R的一段均質細圓弧，可繞其中點的水平軸0轉動。此圓弧繞轉軸微幅擺動的周期應為()。受受2.是非判斷題(每題3分)(1)一均質球在重力作用下沿粗糙斜面純滾動，則質心的軌跡或為直(2)一個非平衡的空間力系總可簡化為一個合力或者兩個不相交的(3)圖2-4所示細直桿AB,重為P,其一端A靠在光滑的鉛垂墻上，同時又被一光滑棱C支承于圖示位置(OA與墻面垂直，OC⊥AB,且它們同時與重力P的作用線交于0點)。則此時桿處于穩(wěn)定平衡位置。()全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版(4)六棱四面體受空間任意力系作用而平衡，則該力系分別對其六個棱邊之主矩為零必是六個獨立的(5)如點的切向加速度和法向加速度的大小均為常值，則該點的運動方向在時間t內轉過的角度為Aln(6)半徑為R的圓輪在鉛直面內沿水平直線軌道純滾動。若輪心速度為v,則圓輪邊緣上一點運動到(7)任意三角形ABC在自身平面內作平面運動，則在任意瞬時，三角形的形心E點和三角形三頂點(8)均質正五邊形薄板挖去一正方形，正方形中心與五邊形中心重合。不論正方形的邊是沿什么方向，被挖去后的薄板對板上過中心的任意軸之轉動慣量均相等。()(9)一質點只在一平行于x軸的力作用下在x0y平面內運動，且運動軌跡曲線為則此力的大小與(1+x)(1+y)-2成比例。()(10)如圖2-5所示，矩形薄板以勻角速度w繞圖示鉛垂軸z轉動，其對轉軸z的轉動慣量為J。另一質量為m的質點可沿平板上的直槽運動。直槽與轉軸z相交于0點，且夾角為。設質點距0點的距離為r,當忽略各處摩擦時，由機械能守恒定律有積分(11)一質點在平面上運動，所受約束為y=xt,則其實位移不是虛位移中的一個。()在圖2-6所示平行四邊形機構中，,已知O?A以勻角速度w轉動，并通過AB上套筒C帶動CD桿在鉛垂槽內平動。如以O?A桿為動參考系，在圖示位置時0?A、O?B為鉛垂，AB為水平，C在AB之中點，試分析此瞬時套筒上銷釘C點的運動(每題4分)。(1)C點的牽連速度的大小為()(2)C點的相對速度的大小為()(3)C點的牽連加速度的大小為()(4)C點的相對加速度的大小為()(5)C點的科氏(Coriolis)加速度的大小為()4.綜合分析題(B)如圖2-7所示，質量為m、長為l的勻質細桿AB靜止于光滑的水平桌面上，其中點C恰好位于桌子邊緣。另一質量亦為m的質點D從高為h處自由落下，正好與AB桿的端點B相碰撞，設恢復因數e=0。試分析碰撞結束時的運動(每題4分)。(1)AB桿端點A的速度大小為()(2)系統(tǒng)的總動能為()(3)系統(tǒng)的總動量之大小為()(4)系統(tǒng)對B點之動量矩的大小為()在碰撞結束后，AB桿將繼續(xù)運動。試分析它在繼續(xù)運動的初瞬時下列各有關物理量。(答案填在答案紙上相應題號的答案欄內。填對每空得4分，填錯或不填不得分)(5)AB桿的角加速度ε的大小為()(6)AB桿中點C的加速度ac的大小為()(7)桌面對AB桿的約束力F的大小為()(8)質點D的加速度ao的大小為()Bi1.圖2-8所示一等截面直梁，其左端固支，而右端鉸支，并在跨度中點承受集中載荷F,載荷F作用于梁的對稱面內，材料服從胡克定律，且彈性模量為E,許用應力[σ]、梁的跨長1、截面慣性矩I與抗彎截面系數W均為已知。(1)試確定鉸支端約束力FB。(2分)(2)試確定梁危險截面的彎矩M。(3分)(3)試確定許用載荷[F]。(3分)(4)試移動鉸支座在鉛垂方向的位置，使許用載荷[F]為最大。試求此時鉸支座B在鉛垂方向的位移△B(4分)與最大許用載荷[F]m(4分)。2.圖2-9所示一副雙杠，它的每一根橫梁系由兩根立柱支撐，設兩柱之間的跨長為l;每一橫梁具有兩個外伸段，設每一外伸段長度均為a。假定運動員在雙杠上做動作時，在每一根橫梁上只有一個力的作值，該比值使橫梁重量為最輕，橫梁與立柱的連接為鉸接。(8分)3.圖2-10所示一等截面直梁的橫截面，它是Z字形的。該梁受純彎曲，材料服從胡克定律，且截面的慣性矩I與I,以及慣性積I均為已知。假定形心軸垂直于截面的腹板，即與x軸相重合，試確定彎矩矢量M與x軸之夾角θ。(8分)4.圖2-11所示一均質、等厚矩形板，承受一對集中載荷F,材料服從胡克定律，彈性模量E與泊松比5.為了在圖2-12所示A與B兩個固定點之間產生張力，人們常在這兩點之間繃上兩根繩子，然后從圖2-11(2)試求該拉力F的極大值Fm。(4分)7.圖2-14所示兩端固定的圓截面桿，其AB段為實心桿，BC段為空心桿，即圓管。兩段桿材料相(1)梁的固有頻率w。(3分)第2章1992年第二屆全國青年力學競賽(2)在梁振動任意時間t時x截面的彎矩M(x,t)。(3分)(3)在梁振動時，如果有一個位置η(圖2-15),當沙粒坐標ξ>η時，沙粒將跳離該梁，試寫出確定η的條件。(如由方程確定，可不解方程，只作說明)(3分)(4)梁上總有沙粒跳離該梁的條件是δ>8",δ"=?(3分)9.圖2-16所示由鉛垂剛性桿和兩根鋼絲繩組成的結構，剛性桿上端受鉛垂壓力F,鋼絲繩的橫截面面積為A。彈性模量為E,鋼絲繩的初拉力為零。設結構不能在垂直于圖面方向運動。試求該結構的臨界載10.圖2-17所示由五根等直桿與剛性粱AB組成的平面結構。各桿的彈性模量E,橫截面面積A,長度l與間距b均相同，且已知。在剛性梁上距桿1為a(<2b)處作用一鉛垂載荷F,今欲通過電測方法測定(1)試給出最佳貼片方案：應變片的片數。(2分)應變片各貼在何處。(2分)(2)試給出F和a與測得的應變值e;(i為桿的編號)的關系式。2.3理論力學試題參考答案及詳細解答1.填空題(1)第一種說法，(2)錢學森，(3)2√2R,(4)θ,(5)(1)是，(2)是，(3)非，(4)是，(5)非，(6)非，(7)非，(8)是，(9)是，(10)非，(11)非(1)√2lw,(2)√2lw,(3)√2lw2,(4)√5lw(1),(2),(3),(4),(5),(6)全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版2.是非判斷題見試題點評部分。3.綜合分析題(A)解：在運動學分析中，牽連運動總是比較簡單，在勻角速度情況下，有因此，v。=loco=√2lo,本題相對運動稍難分析，因為相對運動的大小和方向未知，同時絕對運動的大小也未知。因此先求絕對運動的大小。以AB桿為動系，C為動點。由于AB桿該瞬時作平動，牽連速度方向水平，相對速度方向水平，而絕對速度方向應垂直AB桿，因此得到C點的絕對速度零，即v。=0。又AB桿該瞬時作平動，牽連加速度方向垂直AB桿，a。=lo2,相對加速度方向水平，絕對加速度方向水平，因此有a=lo2,方向垂直AB桿向上。再回到O?A桿的動參考系中，由D=v。+D?=0,因此相對運動的大小等于牽連運動v,=√2lo,方向相反。由加速度公式有a=a。+a,+ac,而由ac=2w×0,,得ac=2√2lo2,方向沿O?C指向C點。因為a=a-a。-ac,而a、a、ac的大小方向均已知，易求出水平分量為lo2,鉛垂分量為2lo2,因此a,=√5lw2。解：根據機械能守恒定律求質點D在碰撞前具有的速度由于恢復因數為零，碰撞后質點D粘在AB桿上，如圖2-18所示。在碰撞系統(tǒng)的總能量為系統(tǒng)的總動量為,方向向下。系統(tǒng)對B點的動量矩為碰撞后，利用系統(tǒng)對固定點C的動量矩定理，有 第2章1992年第二屆全國青年力學競賽2.4材料力學試題參考答案及詳細解答10.(1)應變片的片數為2;最佳貼片位置：桿1、桿5;1.解：(1)如圖2-19所示，解除約束B,代以全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版(2)畫彎矩圖，知危險截面在固定端A(3)由強度條件得(4)根據工程等強度原則，當A、C兩截面彎矩絕對值相等時，許用載荷最大。設支座B抬高△B,相應支座約束力為F?,由2.解：橫杠的力學模型可抽象為圖2-20所示外伸梁，當運動員的作用力F作用于梁端A時，截面B由工程等強度原則，當M|?|=M時，橫梁重量最輕 第2章1992年第二屆全國青年力學競賽4.解：取板另一四邊承受均布拉伸載荷q的狀態(tài)。由廣義胡克定律，此板的沿各方向的正應變相在對應于原一對集中載荷F的作用點的相對位移又設原一對集中載荷作用的板沿邊界外法線方向的位移為8(s),其中s為沿板邊界的坐標，由功的互5.解：兩繩的絞緊可以看作繞初始接觸直線纏繞，繩的伸長量可以由圖2-21所示直角三角形計算AL=√I2+(2nπr)2-l由于2nπr<l,僅需取根式展開式兩項6.解：(1)由桿拉伸體積不變的假定在F的極大值處有,即故全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版(2)拉力的極大7.解法1:如圖2-22所示，解除C端約束，設約束力偶為Mc,由φc=0得當桿表面有一點切應力達到許用值[r]時，外扭力圖2-22同理，對BC段設桿空心段內外徑之比,得將式(2-1)、式(2-2)和式(2-4)代入式(2-3),可求得解法2:設在外扭力偶M作用下，B截面轉角為φ,圓桿半徑為r,AB、BC兩段表面切應變分別為γ?和y?,切應力分別為r?和T?,如圖2-23所示，則即得出8.解：(1)梁的固有頻率又,k為剛度系數，故(2)梁的彎矩方程為又F=my,y為集中質量m的加速度，故集中質量的運動方程為第2章1992年第二屆全國青年力學競賽(3)x處的撓度為,設小沙粒的質量為m',則m'y≥m'g時跳離，因得到η的條件：(4)x=l時，則,得到9.解：如圖2-24所示，設在失穩(wěn)臨界狀態(tài)，C端水平位移為所受拉力另一繩不受力(不能承受壓力),由剛性桿OBC平衡10.解：(1)應變片的片數為2,最佳貼片位置：桿1和桿5。(2)將外載荷分解為圖2-25所示對稱與反對稱兩部分。(a)計算桿1和桿5的對稱載荷應變(b)計算桿1和桿5的反對稱載荷應變全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版剛性橫梁繞中心0轉動，故F(2)=2F(2)=-2F(2)=-F(2),F(c)計算桿1和桿5的總應變(d)F和a與測得的應變值e?和es之間的關系由式(2-5)+式(2-6)得將式(2-7)代人式(2-5)有根據首屆競賽的反饋意見，為了吸引更多的學生參賽，從第二屆開始，競賽內容精簡為理論力學和材料力學兩門理工科大學的核心技術基礎課。為了保證公平競賽，采用了閉卷形式，在全國各競賽點同一時間用統(tǒng)一試卷競賽?？傮w來說，本次理論力學競賽比較容易。雖然其中有一些題目要求概念很清楚，難度較大，但是其對應的分值不大，經過加權后，試卷的難度系數評估為3.93(詳見附錄A)。填空題中有兩問是常識問題，有兩問涉及較多的數學計算，只有第(4)問設計得很巧妙：概念清楚判斷題很靈活，難度較大，需要很清楚概念才不會犯錯。其中的第(3)、(5)題需要很靈活的方法去處理，否則就會花費很多時間和篇幅，中間推導還容易出錯。而靈活的方法基本上不需要計算，直接就能看出結論。第(6)和第(10)題設計得很好，陷阱很隱蔽，提醒我們“前提”與“結論”是關聯(lián)的：不要忘了前提，在結論根本不成立時就不要再花時間辛苦地計算了。第(8)和第(11)題是關于基本概念的靈活運用問題，要注意一般情況下的結論，更要注意特殊情況下的結論，再次注意“前提”與“結論”填空題(1)考學生的基本常識。填空題(2)考學生對力學人物的了解。填空題(3)考運動學知識，表面上看需要了解曲線曲率半徑的公式，但是實際上可以轉換為運動學的問題：一個圓輪作純滾動，邊緣上點的軌跡就是旋輪線(與運動快慢無關)。不妨設圓輪作勻速直線運動，這時圓輪的速度、加速度都很好分析，利用公式p=v2/a。很容填空題(4)考學生的運動學和動力學的基礎知識。A點的加速度沿斜面，AB桿平動時桿上各點加速度方向均沿斜面。后面有不同的處理方法，一種方法利用剛體平面運動微分方程，通過一些推導計算，可以得到結果；另一種方法不必計算：因為平動，所以AB桿的角角速度α=0,對質心列動量矩定理，有Jcα=rc×FN=0,rca,FM都不為零，因此有rca//FN,即桿與斜面垂直(圖2-26)。第2章1992年第二屆全國青年力學競賽填空題(5)涉及轉動慣量和振動周期的概念，一般來說這類問題的轉動慣量要積分，重心位置也需要積分。但是本題有可能更簡單地做出來。設質心為C,圓心為D。質心到懸掛點的距離為d。質量為m。轉動慣量有Jo=mR2,J。=Jc+md2,Jo=Jc+m(R-d)2所以Jo=Jo-m(R-d)2+md2=2mRd本題要注意轉動慣量的移軸定理的前提條件，這是學生很容易忽是非判斷題(1)軌跡與初始條件有關，如果初始速度為零，軌跡是直線；如果初始速度不為零，方向任意，則軌跡是拋物線。(2)涉及力系的簡化。最一般情況，力系簡化為力螺旋。如果其中的力偶為零則退化為一個力，如果力偶不為零，就化為空間相異的兩個力。(3)涉及平衡與穩(wěn)定的問題。有不同的方法求解。解析的方法是：設間距寬為a,桿長為1,平衡時mg(lcosθ/2-a/cos20),因為平衡時V'=0,因此有cos3θ=2a/l。再求導后并利用cos3θ=2a/l這一關系，有V'=-3mglsinθ/2<0,因此平衡不穩(wěn)定。幾何的方法是：設兩接觸力的交點為0,假設桿的角度受擾動增加了一個小量，A點位置會降低到A',因此0點位置比原平衡時偏右了到0'(圖2-27b)。對0'點取矩，從圖上看，重力矩將使角度進一步增加，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。這樣的分析不用計算很簡單。(4)看似很明顯的答案，并不好證明。如果六個軸不全平行，或不相交于同一點，就有這樣的答案。(5)點的運動學。如果真的去積分，得到的結果是Aln(1+Bt),但是比較麻煩。不妨用特例來說明：以勻速圓周運動為例，切向加速度為零，法向加速度大小ro2為常數，這時運動方向在時間t內轉過的角度為wt,不符合Aln(1+Bt2)的形式，因此答案是“非”。當然，這樣做不是太嚴格，沒有考慮退化的情況。如果時間t或參數B趨于零，會有什么結論?利用In(1+x)=x,可以知道在退化情況下Aln(1+Bt2)=ABt2,與時間平方成正比。因此看出，即使在退化情況下，答案仍是“非”,這就嚴格了。(6)這是點的運動問題，陷阱比較隱蔽。如果不注意，算出來的結果就是題目給出的答案。但是如果仔細看題目，注意到“法向加速度”,那么要問該點的運動軌跡是什么,應該是旋輪線。這時該點在旋輪線與地面接觸的尖點上，“法向”與“切向”沒有定義。(7)這是運動學問題，根據幾何關系，有rg=(rA+rg+rc)/3,該關系式在運動過程中一直成立，因此求導后有vE=(VA+Vg+Vc)/3。全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版(8)涉及慣性主軸和慣性橢球的概念。一般情況下，物體存在慣性橢球，有三個相互垂直的主軸方向。但是對于正多邊形，慣性橢球退化為圓。因此過面內中心的任意軸都是主軸，不必花時間計算了。(9)這是點的運動學問題，更多涉及的是公式變換和技巧，比較復雜。對xy+x+y=0求導數，有xy+xy+x+j=0,即x(1+y)+j(1+x)=0,再求一次導數，有x(1+y)+2xy+j(1+x)=0。注意到題目應有mx=F,my=0,(10)關于能量積分的問題，看起來給出的答案正確，但是要注意機械能守恒的“前提條件”是什么?該系統(tǒng)要保持勻速轉動，必須要有外力維持，可以想象該力與質點的位置和速度有關，因此不是有勢力。(11)很容易出錯的虛位移問題。一般情況下，當約束是非定常約束時，(無限小的)真實位移不是虛位移中的一個，如圖2-28所示。但是在特定的非定常約束的情況下，如果約束所限制的運動平行于虛位移所在的平面時，(無限小的)真實位移可以是虛位移中的一個，如圖2-29所示。綜合分析題(A)是本次競賽中比較簡單的題目，涉及點的復合運動，且動點、動系已經指定好了。本題的關鍵是要對牽連運動判斷正確：是跟隨0?A桿轉動，還是跟隨AB桿平動?這里是學生容易出錯的地方。另一個關鍵是：相對運動的大小和方向均未知，同時絕對運動的大小也未知，需要另外建立動系把綜合分析題(B)是關于碰撞的問題，要判斷在碰撞前后什么物理量守恒。例如(1)小題中，是機械動能、動量計算沒有什么問題。在動量矩計算中，利用對質心的動量矩和對任意點動量矩的關系，很最后的幾個問題需要統(tǒng)一考慮。可以利用質心運動定理求出約束力FN,然后利用運動學關系，求出加第二屆材料力學競賽題總體新穎有趣，難度適中，簡明又富于啟發(fā)性。幾道從實踐中提煉的賽題，如雙杠合理強度設計的第2題和由絞緊繩獲得張力的第5題，是本屆競賽題設計的亮點。第1、2、7題都是圍繞工程等強度設計原則來命題的，這是一個重要的結構合理強度設計的原則，即 第2章1992年第二屆全國青年力學競賽第1題.知識點：梁的內力與強度條件、超靜定結構、工程等強度設計原則。本題共4小題，前3小題考查基本知識，第4小題為工程等強度設計原則的應用。第2題.知識點：梁的內力、工程等強度設計原則。這是一道理論與實踐相結合的好題。根據體育器材設計標準(范元；體育大辭典——場地與器材的標準，1998),橫杠a=60cm,l=230cm。如果按等強度設計，應當a=(230/4)cm=57.5cm,為什么a會設計得稍長一點呢?可以從數據取整的角度理解。但是應當看到，由于運動員手掌的合力作用點，不會完全到端截面的，而是應當稍稍向內移動一點?？梢姡w育器材的力學性能設計是非常精細的。工程等強度設計原則得到廣泛應用。例如，圖2-30a所示汽車和火車中起減振作用的疊板彈簧，它的力學原型應該是圖2-30b所示的三點彎曲等強菱形梁。為應用方便和考慮端點切應力強度，并降低剛度，將菱形梁沿虛線剪開，做成若干矩形條，然后疊放固定。a)又如圖2-30c所示，兩個鋼管由一個套管連接，如何設計套管尺寸?設鋼管和套管的屈服應力分別為σ,和σ',鋼管和套管橫截面面積分別為A和A'。根據等強度設計思想，我們有o.A=σ'A'由上式容易確定套管的橫截面面積A'。第3題.知識點：一般非對稱彎曲。當前材料力學教學已經不再要求記憶一般非對稱彎曲正應力公式(也稱為廣義彎曲公式)。第4題.知識點：功的互等定理。參見首屆競賽第2題點評。我們在評卷中發(fā)現，許多參賽選手將集中力等效為端面的均布力，由拉壓桿公式也得出了正確的結果。請同學們想一想為什么。第5題.知識點：拉壓應力與變形。饒有趣味，原來力學就在我們身邊。本題求解的關鍵：①理解絞緊過程是兩繩繞初始接觸線纏繞；②繩的抗彎剛度可以忽略。第6題.知識點：拉壓桿塑性變形。雖然超出材料力學學習的范圍，但應用材料力學知識不難解決這個問題。本題啟發(fā)我們如何擴展所學的知