?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'第十一屆全國周培源大學生力學競賽（個人賽）試題答案本試卷分為基礎題和提高題兩部分滿分120分時間3說明：個人賽獎項分為全國獎和賽區獎.全國獎先以提高題得分為篩選標準，再按總得分排名，根據名次最終確定獲獎人；賽區獎直接按賽區內總成績排名確定獲獎人.全國獎獲獎人不再重復獲得賽區獎.注意：答卷中各題所得的最后計算結果用分數表示或用小數表示均可.基礎題部分(填空題，共60分)一、(6分)如圖1所示，正方體邊長為c，其上作用四個力F1,F2,F3,F4，各力大小之間的關系為F1=F2=Fa，F3=F4=Fb.試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.(1)(2分)力系對OA軸之矩的大小為Fac—(2)(2分)若此力系可簡化為一個力，則Fa與Fb的數量關系為(3)(2分)若Fa=Fb=F，力系簡化為一力螺旋，則其中的力偶矩為本文于2017–08–01收到.Fx=0,Fy=Fa,Fz=Mx=0,My=—Fbc,Mz=Fac—Fbc.問題：MO·FR=0)Fb=問題：Mmin=MO·eFR=二、(6分)如圖2所示，兩勻質輪A和B的質量同為m，半徑同為r.輪A位于水平面上，繞于輪B的細繩通過定滑輪C后與輪A的中心相連，其中CA段繩水平，CB段繩鉛直.不計定滑輪C與細繩的質量，且設細繩不可伸長.系統處于鉛垂平面內，自靜止釋放.試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.(重力加速度用g表示)(1)(2分)若輪A既滾又滑，則系統的自由度數(2)(4分)若輪A與水平支承面光滑接觸，輪B下落的高度與時間的關系為gt2.第5期第十一屆全國周培源大學生力學競賽(個人賽)試題答案531?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'解答:FT=maAΣMB=0,FTr—Jα=0ΣMD=0,m(aA+rα)r+Jα—mgr=0)aA=)aB=aA+rα=以上結果或通過求解剛體平面運動微分方程得到.三、(6分)桁架的桿件內力可以應用節點法、截面法以及虛位移原理進行求解.如圖4所示，靜定平面桁架由水平桿、豎直桿和45。斜桿組成，在B處受固定鉸支座約束，A,C兩處由可水平運動的鉸支座支承.桁架上作用了3個大小同為F的載荷，試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.(1)(2分)桿DH的內力為F(受拉)；(2)(4分)桿BE的內力為3√2F/2(受壓).解答：FDH=F(受拉)解法1——應用虛位移原理求解解法2——幾何靜力學方法，需要列多個平衡方程，下面列舉其中一種解法.取整體ΣMB=0)FC—FA=0(1)ΣFX=0)FBx—F=0(2)ΣFY=0)FBy+FA+FC—2F=0(3)取最右邊三角形構成的局部ΣMJ=0)√FBEh+FC·3h=0(4)?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'最后取節點BFBE=四、(6分)如圖8所示，小車上斜靠著長為l、質量為m的均質桿AB，其傾角以θ表示.桿處于鉛垂平面內，B端與小車壁光滑接觸，A端與小車底板的摩擦角為?m=30。.小車由動力裝置驅動(圖中未畫出)，沿水平直線軌道向左運動，且其運動可以被控制.小車運動過程中，桿AB相對于小車始終保持靜止，試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.(1)(3分)若小車作勻速運動，則傾角θ要滿足的條件為tan?1(√3/2)≤θ<90。；(2)(3分)若小車作加速度向右的減速運動，則小車加速度a與傾角θ應滿足的關系為:若解答:因為cosθ=lsinθ·tan?m所以tan?1≤θ<90。平衡方程結合物理方程可得結果.第5期第十一屆全國周培源大學生力學競賽(個人賽)試題答案533?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'加速度a的上限由A點臨界滑動確定所以amax=gtanψ=g定，所以amax=gcotθ.以上過程也可以采用解析法求解.五、(6分)如圖12所示，圓形細環管在相連部件(圖中未畫出)帶動下沿水平直線軌道純滾動，管內有一小壁虎，相對于環管爬行，壁虎可被視為一點，在圖中以小球B代替.圖示瞬時，壁虎與環管的中心處于同一水平線上，壁虎相對環管的速率為u，相對速度的方向朝下，相對速度大小的改變率等于0，環管中心O點的速度向右，速度大小也為u，加速度為0.環管中心圓的半徑等于R.試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.(1)(2分)在此瞬時壁虎相對地面的速度大小為√5u；(2)(2分)在此瞬時壁虎相對地面的加速度大小為4u2/R；(3)(2分)在此瞬時壁虎在相對地面的運動軌跡上所處位置點的曲率半徑為5√5R/8.解答:動點:小球；動系:細圓環vB=ve+vr則v=√5uvBx=vecos45。=uvBy=?2uaB=ae+ar+aC,為小球絕對加速度?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'=aB·?B=?為絕對運動的切向加速度,與絕對速度的夾角大于90±,a=為絕對運動的法向加速度，曲率半徑六、(5分)圖15所示結構中，鉛垂桿①和斜桿②均為彈性桿，斜桿②與水平線夾角為θ,直角三角形ABC2為剛體，邊BC2處于水平位置.現將C1和C2聯結在一起，已知a,δ和θ,則求該兩桿軸力用到的(1)(2分)平衡方程(桿①、桿②的軸力分別用FN1和FN2表示)為2FN1?FN2cosθ=0；(2)(3分)變形條件方程(桿①、桿②的變形分別用?l1和?l2表示)為?l1+2?l2/cosθ=δ.解答：(1)以三角形剛體為研究對象，ΣmB=0?2FN1?FN2cosθ=0.(2)設三角形剛體繞B點轉動小角?,*?l2/cosθ=a?δ??l1=2a?:?l1+2?l2/cosθ=δ七、(5分)一種能量收集裝置，可簡化為圖17所示懸臂梁模型.梁AB長l，彎曲剛度為2EI；梁BC和BD長均為l，彎曲剛度均為EI.梁AB與梁BC和BD通過剛節點B連接，三梁均處于水平位置.梁和剛節點B的重量均不計.梁BC和BD端部固定有重量均為W的物塊，該兩梁之間有小間隙.則梁端D的撓度與物塊重量之比fD/W=8l3/(3EI).解答fD=fB+θBl+f其中八、(6分)已知一危險點的單元體處于平面應力狀態，最大切應變γmax=5×10?4，通過該點相互垂直的微截面上正應力之和為28MPa.若材料的彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.25.則(1)(3分)該點主應力σ1=54MPa，σ2=0MPa，σ3=?26MPa；(2)(3分)用最大切應力強度理論校核時相當應力σr3=80MPa.第5期第十一屆全國周培源大學生力學競賽(個人賽)試題答案535?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'解答：=80GPa,σz=0；所以σx—σy=2×5×104×0.8×105=80MPa，又σx+σy=28MPa，解得：σ1=54MPa，σσ3=—26MPa；于是τmax==40MPa，σr3=2τmax=80MPa.桿①、②均為細長彈性桿，只考慮與紙面平行的平面內的失穩.則(1)(2分)剛架失穩時載荷的最小值F由桿①(2)(4分)剛架失穩時載荷的最小值F=π2EI/(2l2).解答：最低臨界載荷對應兩豎桿均朝一邊變形，在該變形情況下柱內無剪力，相當于懸臂柱，于是有十、(8分)圖19所示等截面直角剛架ACB，桿件橫截面為圓形，彎曲剛度為EI，扭轉剛度為0.8EI.C處承受大小為m、方向如圖所示的外力偶，該力偶矢量方向與剛架軸線處于同一平面內.則(1)(4分)截面A的彎矩(2)(4分)截面B的扭矩或或?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'提高題部分(計算題，共60分)十一、(共15分)如題圖21(a)所示，質量均為m的圓輪和細直桿AC固結成一組合剛體.其中，桿AC沿圓輪徑向，O為圓輪輪心，C點為輪與桿的固結點，也是組合剛體的質心.初始時刻，組合剛體靜止于水平面，左邊緊靠高度為r的水平臺階，然后，在圖示不穩定平衡位置受微小擾動后向右傾倒，以?表示組合剛體在桿端A與地面接觸之前的轉動角度(參見圖21(b)).圓輪，半徑為r，組合剛體關于過輪心O并垂直于圓輪的軸之轉動慣量為JO.略去各處摩擦，試求解如下問題.(a)(b)(1)(5分)圓輪與臺階B點開始分離時的角度(2)(6分)組合剛體的角速度與角度?的關系？(3)(4分)圓輪右移的距離S與角度?的關解答:組合剛體的運動存在兩個階段，一是繞O的定軸轉動；二是質心水平速度保持不變的平面運動.首先確定由定軸轉動到平面運動的臨界轉角.問題(1),剛體繞O作定軸轉動.依動能定理式(7)兩邊對時間求導sin?(8)式(7)也可由對點O的動量矩定理得到.由質心運動定理FN2=2m(—asin?+acos?)(9)a=rω2,a=rα.方程(9)也可由動靜法得到.式(9)中代入加速度FN2=sin?(2分)球與凸臺分離的角度由FN2=0確定.?0=cos?1(1分)對應角速度ω0=2√當?≤?0,ω=2√(1分)當?>?0時，組合剛體與臺階脫離接觸，作平面運動，水平方向動量守恒，質心C的水平速度不變，為第5期第十一屆全國周培源大學生力學競賽(個人賽)試題答案537?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'O點速度vO水平，以其為基點，質心C的速度表示為vC=vO+vCO(1分)質心C的水平速度為vCx=vO+rωcos?=rω0cos?0(1分)(10)依動能定理，有2mgr(1?cos?)(2分)(11)其中，JC=JO?2mr2.(當?>?0)(1分)其中，ω0=2√,?0=cos?1當?≤?0時，S=0(1分)當?>?0時，圓盤向右發生水平移動和轉動.注意到(1分)?rcosθ(1分)積分上式，并注意到sin?0=得m的均質正方形剛性平板靜置于水平面上，且僅在角點A、C和棱邊中點B處與水平面保持三點接觸.位于水平面上的小球以平行于AC棱邊的水平速度vb與平板發生完全彈性碰撞，碰撞點至角點A的距離以b表示.已知平板關于過其中心的鉛直軸的轉動慣量為J=mh2/6，在A、B和C三點處與水平支承面的靜摩擦因數和動摩擦因素均為μ.略去碰撞過程中的摩擦力沖量，試求(1)(3分)碰撞結束瞬時，平板的速度瞬心位(2)(3分)若b=5h/6，計算碰撞結束瞬時平板(3)(9分)設小球的質量為m/21.碰撞后，板在水平面內繞B點轉動，則碰撞點的位置b和碰撞前解答:兩物體碰撞及速度突變都發生在水平面內，在鉛直方向，方板仍然處于平衡狀態.由空間平行力系的平衡知三個支撐點的鉛直方向反力.支承面對方板的水平約束力就是動或靜摩擦力，由摩擦定律知摩擦力與鉛直反力成比例.因此，在碰撞階段，水平摩擦力的沖量略去不計.?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'記碰撞沖量為I，考察板mh2，由式解出碰撞結束瞬時，板作平面運動的速度瞬心位于通過點B/和點B的直線上.當b=h/2時，板作平移，速度瞬心在無窮遠處.式中，x坐標的原點在點O，向右為正，向左為負.將b=5h/6代入式(13)，有x=—h/2，板逆時針轉動.此時，板的速度瞬心在AC棱邊中點.碰撞結束瞬時，板的角加速度由相對于質心的動量矩定理確定.JOα=MO(1分)(14)板在水平面內受3個滑動摩擦力作用，如下圖所示.(1分)順時針)(1分)B點速度vB=0，由式(13)知由對B點的動量矩守恒得到h=JBω0—其中，v為小球的反彈速度碰撞點D的法向速度為完全彈性碰撞條件為v+[vD]n=vb(1分)(16)第5期第十一屆全國周培源大學生力學競賽(個人賽)試題答案539?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'(1分)B點的靜摩擦力滿足由質心運動定理和對B點的動量矩定理其中由式解出?0=(1分)此后，板作減速轉動，!<!0,a<!,所以F<F0.可見，板在停止轉動之前，其B端能保持靜止不動.(1分)十三、(15分)圖30示圓環細桿，材料的彈性模量為E，受集度為m、矢量方向與環桿軸線相切的均布力偶載荷，變形時桿件始終保持彈性狀態，且橫截面符合平面假設.環桿軸線半徑為R，環桿橫截面為圓，其半徑為r，且r=R冬1.試確定：(1)(3分)橫截面上的內力；(2)(10分)橫截面的轉角'；(3)(4分)求橫截面上內力的最大值.【提示】：當Y=X冬1時可做簡化：X+Y≈X.解答:(1)橫截面上的內力:由半環桿的力偶平衡得Mz=—mR(←)(1分)(19)以右端為例.通過(?;μ)點的圓周線正應變"為(5分)?=E"≈E(20)Mz=y?dA;My=—z?dA考慮到轉角'比較大，因此在變形后截面上一點的位置坐標表達為y=?sin(μ+');z=?cos(μ+')將式(20)及上述二式代入Mz和My表達式，有sin(μ+')[cos(μ+')—cosμ]dμ?3d??1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'計算出積分可得Mz=?sin?(21)My=?(22)sin?=(23)由此式可見，為了m恒正，即m與題目中所畫方向相同而不矛盾，?的取值限定為0≤?<π.My=?(2分)總之，橫截面上的非零內力為彎矩Mz=?mR(←)，(其余內力分量為零，不用寫出)式(21)或式(23)也可用能量法求得.?=sin?1(2分)(3)內力的最大值Mmax利用式(21)和式(22)算出橫截面上的合彎矩可見，當?=π時，M=Mmax(1分)Mmax=(2分)十四、(15分)圖34和圖35所示的薄壁圓環管壓力容器，壁厚為t，環管橫截面平均直徑為D，環管軸線半徑為R.為了加固壓力容器，用一根直徑為d的細鋼絲纏繞圓管，鋼絲纏繞時拉緊，以至于鋼絲與壓力容器間的摩擦力達最大.纏繞的鋼絲相鄰兩圈間相互緊挨，但可忽略其相互擠壓作用.只考慮鋼絲因長度方向拉伸引起的變形，即可忽略鋼絲的彎曲、扭轉等變形.設t/D冬1，D/R冬1且d/D冬1.鋼絲材料的彈性模量為Es，壓力容器材料的彈性模量和泊松比分別為E和ν,鋼絲與壓力容器間的摩擦因數為μ.第5期第十一屆全國周培源大學生力學競賽(個人賽)試題答案541?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'(1)已知：鋼絲纏繞圈數的最大值n為偶數，當環管外表面纏滿鋼絲時，如圖35所示，鋼絲最大拉力為P.環管外表面纏滿鋼絲后將鋼絲兩端互相連接，并讓鋼絲緩慢松弛.求此時：①(3分)鋼絲的伸長量?l0;②(2分)鋼絲的張力F0;③(5分)環管橫截面上的應力σl及環管柱面形縱截面(參考圖36)上的應力σv.(2)(5分)在(1)中狀態的基礎上，壓力容器施加內壓，壓強為p.試寫出關于鋼絲張力增量?F、環管柱面形縱截面上應力增量?σv的聯立方程組.Y+X≈Y.(1)鋼絲纏繞圈數的最大值n記那么鋼絲纏繞圈數的最大值n為記D,=D+δ①鋼絲的伸長量?l0由力的平衡可得qD,?F>2=?θ=(26)>q=μg>Fjθ=2nπ=P,>F(θ)=Peμ(θ?2nπ)(27)始端拉力可通過鋼絲末端拉力P表達為F(0)=Pe?2nπμ鋼絲繞滿環管表面后兩端剛連接之前，鋼絲伸長量即D,D,1②鋼絲的張力F0兩端連接的鋼絲松弛后，鋼絲伸長量將保持不變，從而拉力將沿鋼絲長度不變，即F=F0,恒定.?l0=(29)由此得鋼絲的張力③環管的應力σl和σv?1994-2019chinaAcademicJournalElectronicpublishingHouse.Alrightsreserved.http:/'求管道橫截面上的應力σl：用一個豎直平面沿管道環線的直徑將壓力容器切開成相等的兩半，由力的平衡可知σl=0(31)求環管柱面形縱截面上的應力σv：先用一個豎直平面沿管道環線的直徑切開，再用過管道軸線的豎直圓柱面將管道切成兩半.可分兩種情形討論.α=2π/n，記θj=(j—1/2)α,平衡方程為由圖不難看出