PAGEPAGE14.4簡潔的三角恒等變換A組基礎題組1.1-A.23 B.233 C.-23答案C原式=2tan150°=-232.若cos2θ=13,則sin4θ+cos4A.1318 B.1118 C.答案C∵cos2θ=13,∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=1-12(1-cos22θ)=1-12×13.已知tanθ2=23,則A.23 B.-23 C.3答案A∵tanθ2=23∴1-cosθ+sinθ1+cosθ4.函數f(x)=2cosxsinx-A.1-32 B.1+32 C.答案A∵f(x)=2cosx12sinx-32cosx=12sin2x-325.(2024溫州中學月考)若cos(α+β)cos(α-β)=13,則cos2α-sin2A.-23 B.-13 C.1答案C∵cos(α+β)cos(α-β)=13,∴cos2αcos2β-sin2αsin2β=13∴cos2α(1-sin2β)-(1-cos2α)sin2β=cos2α-cos2αsin2β-sin2β+cos2αsin2β=cos2α-sin2β=136.4sin80°-cos10°A.3 B.-3 C.2 D.22-3答案B4sin80°-cos10°sin10°=2sin20°-cos10=2sin30=-3sin10°7.(2024溫州中學高三模擬)已知向量a=(sinα+cosα,1),b=(1,-2cosα),a·b=15,α∈0,π2,則sinα=答案45;3解析由題意得sinα+cosα-2cosα=15,即sinα-cosα=15,結合sin2α+cos2α=1,可得sinα=45,cosα=8.(2024浙江重點中學高三月考)請利用圖1、圖2中大矩形內部陰影部分的面積關系,寫出該圖所驗證的一個三角恒等變換公式:.

圖1圖2答案sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ解析題圖1中大矩形面積S=(cosα+cosβ)(sinα+sinβ)=sin(α+β)+sinαcosα+sinβcosβ,減去四個小直角三角形的面積得S1=S-sinαcosα-sinβcosβ=sin(α+β),題圖2中陰影部分面積S2=sinαcosβ+cosαsinβ.兩個圖的陰影部分面積相等,即S1=S2,故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.9.(2024課標全國Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,則tan答案-43解析∵θ+π4+π4∴sinθ+π4=cosπ又2kπ-π2∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+∴cosθ+π4=45,∴sin∴tanπ4-θ=sin∴tanθ-π4=-tanπ10.已知函數f(x)=2cosx-(1)求f-π(2)若cosθ=35,θ∈3π2,解析(1)f-π6=2cos-π6-π12=2cos=2cosπ4(2)f2θ+π3=2cos2=cos2θ-sin2θ.因為cosθ=35,θ∈3π2,所以sin2θ=2sinθcosθ=-2425cos2θ=cos2θ-sin2θ=-725所以f2θ+π3=cos2θ-sin2θ=-72511.已知0<α<π4,0<β<π4且3sinβ=sin(2α+β),4tanα2=1-tan解析由4tanα2=1-tan2α2,得4tan得tanα=12由3sinβ=sin(2α+β),得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],進而得3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,∴2sin(α+又∵0<α<π4,0<β<π4,∴0<α+β<∴α+β=π4B組提升題組1.(2024臺州中學月考)已知直線l1∥l2,點A是l1,l2之間的一個定點,并且A點到l1,l2的距離分別為h1,h2,點B是直線l2上一個動點,作AC⊥AB,且使AC與直線l1交于點C,則△ABC面積的最小值為.

答案h1h2解析如圖,設∠ABD=α,則∠CAE=α,AB=h2AC=h1所以S△ABC=12·AB·AC=h易得當2α=π2,即α=π4時,S△ABC取最小值,且最小值為h1h2.(1)已知tanα+π4=12,且-(2)若π<α<3π2,化簡1+sinα1+cos解析(1)由tanα+π4=tanα+11又-π2<α<0,所以sinα=-10故2sin2α+sin2αcosα-(2)∵π<α<3π2,∴π2<α2∴cosα2<0,sinα∴原式=sinα2=sinα2=-sinα2+cosα22+3.(2024臺州中學月考)已知函數f(x)=Asinx+π4,x∈R,且f5π(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ∈0,π解析(1)∵f5π12=Asin5π12+π∴A·32=32,A=(2)∵f(θ)+f(-θ)=3sinθ+π4+3sin-∴322(∴6cosθ=32,cosθ=6又θ∈0,π2,∴sinθ=1∴f34π-θ=3sin(π-θ)=4.廣告公司為某游樂場設計某項設施的宣揚畫,依據該設施的外觀,設計成的平面圖由半徑為2m的扇形AOB和三角形BCO構成,其中C,O,A在同一條直線上,∠ACB=π4,記該設施平面圖的面積為Sm2,∠AOB=xrad,其中π(1)寫出S關于x的函數關系式;(2)如何設計∠AOB,使得S有最大值?解析(1)因為扇形AOB的半徑為2m,∠AOB=xrad,所以S扇形=12x·22過點B作邊AC的垂線,垂足為點D,如圖所示.則∠BOD=π-x,所以BD=2sin(π-x)=2sinx,OD=2cos(π-x)=-2cosx.因為∠ACB=π4所以S△BOC=12CO·BD=12(2sinx-2cosx)×2sinx=2sin所以S(x)=1-cos2x-sin2x+2x.(2)由(1