PAGEPAGE1專題四解析幾何[析考情·明重點]小題考情分析大題考情分析常考點1.雙曲線的漸近線、離心率及焦點問題(5年4考)2.橢圓的離心率問題，橢圓與直線、雙曲線的綜合問題(5年3考)直線與圓錐曲線解答題是高考的熱點也是重點部分，主要涉及以下兩種考法：(1)直線與橢圓有關范圍、最值的綜合問題；(2)直線與拋物線有關范圍、最值的綜合問題.偶考點1.圓與不等式的交匯問題2.拋物線的焦點、準線問題第一講小題考法——直線與圓考點(一)直線的方程主要考查直線方程、兩條直線的位置關系及三個距離公式的應用.[典例感悟][典例](1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數a的值為()A．－eq\f(3,2) B．0C．－eq\f(3,2)或0 D．2(2)已知點A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))(3)過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且到點P(0,4)距離為2的直線方程為_________________________________________________________________.[解析](1)由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－eq\f(3,2).經檢驗，當a＝0或a＝－eq\f(3,2)時均有l1∥l2，故選C.(2)易知BC所在直線的方程是x＋y＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝ax＋b))消去x，得y＝eq\f(a＋b,a＋1)，當a＞0時，直線y＝ax＋b與x軸交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))，結合圖形(圖略)知eq\f(1,2)×eq\f(a＋b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))＝eq\f(1,2)，化簡得(a＋b)2＝a(a＋1)，則a＝eq\f(b2,1－2b).∵a＞0，∴eq\f(b2,1－2b)＞0，解得b＜eq\f(1,2).考慮極限位置，即當a＝0時，易得b＝1－eq\f(\r(2),2)，故b的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2))).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴l1與l2的交點為(1,2)．當所求直線斜率不存在，即直線方程為x＝1時，明顯不滿意題意．當所求直線斜率存在時，設所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，∵點P(0,4)到直線的距離為2，∴2＝eq\f(|－2－k|,\r(1＋k2))，∴k＝0或k＝eq\f(4,3).∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0.[答案](1)C(2)B(3)y＝2或4x－3y＋2＝0[方法技巧]解決直線方程問題的2個關注點(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數的值后，要留意代入檢驗，解除兩條直線重合的狀況．(2)求直線方程時應依據條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的狀況是否符合題意．[演練沖關]1．已知直線l的傾斜角為eq\f(π,4)，直線l1經過點A(3,2)，B(－a,1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b＝()A．－4 B．－2C．0 D．2解析：選B由題知，直線l的斜率為1，則直線l1的斜率為－1，所以eq\f(2－1,3＋a)＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－eq\f(2,b)＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故選B.2．(2024·浙江名師預料卷)“m＝－1”是“直線l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0與直線l2：3x＋myA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A若直線l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0與直線l2：3x＋my則3m＋m(2m－1)＝0，即2m解得m＝0或m＝－1，則“m＝－1”是“直線l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0與直線l2：3x＋my3．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2A.eq\r(2) B.eq\f(8\r(2),3)C.eq\r(3) D.eq\f(8\r(3),3)解析：選B由l1∥l2，得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1與l2間的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋－12))＝eq\f(8\r(2),3).考點(二)圓的方程主要考查圓的方程的求法，常涉及弦長公式、直線與圓相切等問題.[典例感悟][典例](1)已知三點A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.eq\f(5,3) B.eq\f(\r(21),3)C.eq\f(2\r(5),3) D.eq\f(4,3)(2)(2024·廣州模擬)若一個圓的圓心是拋物線x2＝4y的焦點，且該圓與直線y＝x＋3相切，則該圓的標準方程是______________．[解析](1)設△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋D＋F＝0，,3＋\r(3)E＋F＝0，,7＋2D＋\r(3)E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－\f(4\r(3),3)，,F＝1，))∴△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2－2x－eq\f(4\r(3),3)y＋1＝0，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，故△ABC外接圓的圓心到原點的距離為eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(21),3).(2)拋物線x2＝4y的焦點為(0,1)，即圓心為(0,1)，設該圓的標準方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因為該圓與直線y＝x＋3，即x－y＋3＝0相切，所以r＝eq\f(|－1＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，故該圓的標準方程是x2＋(y－1)2＝2.[答案](1)B(2)x2＋(y－1)2＝2[方法技巧]圓的方程的2種求法幾何法通過探討圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程代數法用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數[演練沖關]1．圓(x－2)2＋y2＝4關于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的圓的方程是()A．(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4B．(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4解析：選D圓與圓關于直線對稱，則圓的半徑相同，只需求圓心(2,0)關于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的點的坐標即可．設所求圓的圓心坐標為(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)×\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b＋0,2)＝\f(\r(3),3)×\f(a＋2,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以圓(x－2)2＋y2＝4的圓心關于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的點的坐標為(1，eq\r(3))，從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，故選D.2．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程是()A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8解析：選A依據題意，直線x－y＋1＝0與x軸的交點坐標為(－1,0)，即圓心為(－1,0)．因為圓C與直線x＋y＋3＝0相切，所以半徑r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，則圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2，故選A.3．圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2eq\r(3)，則圓C的標準方程為________________．解析：設圓心坐標為(a，b)，半徑為r.由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2b＝0，,b>0，))又圓心(a，b)到y軸、x軸的距離分別為|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.綜上，解得a＝2，b＝1，r＝2，所以圓心坐標為(2,1)，圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4考點(三)直線(圓)與圓的位置關系主要考查直線圓與圓位置關系的推斷、依據直線與圓的位置關系解決參數問題或與圓有關的軌跡問題.[典例感悟][典例](1)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是()A．內切 B．相交C．外切 D．相離(2)(2024·麗水、衢州、湖州高三聯考)已知直線l1：2x－y＋1＝0，直線l2：4x－2y＋a＝0，圓C：x2＋y2－2x＝0.若圓C上隨意一點P到兩直線l1，l2的距離之和為定值2eq\r(5)，則實數a＝________.[解析](1)由題知圓M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2，即圓M的圓心為(0,2)，半徑為2.又圓N的圓心為(1,1)，半徑為1，則圓M，圓N的圓心距|MN|＝eq\r(2)，兩圓半徑之差為1，半徑之和為3,1<eq\r(2)<3，故兩圓相交．(2)由題可知l1∥l2，若圓C上隨意一點到兩直線的距離之和為定值2eq\r(5)，則兩平行線之間的距離為2eq\r(5)，且位于圓的兩側．因為直線l1：2x－y＋1＝0，直線l2：2x－y＋eq\f(a,2)＝0，所以l1與l2之間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,2))),\r(5))＝2eq\r(5)，解得a＝－18或a＝22，當a＝22時，兩條直線在圓的同側，此時圓C上的點到兩直線的距離之和大于2eq\r(5)，舍去，故a＝－18.[答案](1)B(2)－18[方法技巧]1．直線(圓)與圓位置關系問題的求解思路(1)探討直線與圓的位置關系主要通過將圓心到直線的距離同半徑做比較實現，兩圓位置關系的推斷依據是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較．(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算．2．直線截圓所得弦長的求解方法(1)依據平面幾何學問構建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即l＝2eq\r(r2－d2)(其中l為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)．(2)依據公式：l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|求解(其中l為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)．(3)求出交點坐標，用兩點間的距離公式求解．[演練沖關]1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝2x＋1與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則cos∠AOB＝()A．eq\f(\r(5),10) B．－eq\f(\r(5),10)C．eq\f(9,10) D．－eq\f(9,10)解析：選D因為圓x2＋y2＝4的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y＝2x＋1的距離d＝eq\f(|2×0－0＋1|,\r(22＋－12))＝eq\f(1,\r(5))，所以弦長|AB|＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))))2)＝2eq\r(\f(19,5)).在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝eq\f(|OA|2＋|OB|2－|AB|2,2|OA|·|OB|)＝eq\f(4＋4－4×\f(19,5),2×2×2)＝－eq\f(9,10).2．(2024·浙江名師預料卷)已知圓C的方程為x2＋y2＝1，直線l的方程為x＋y＝2，過圓C上隨意一點P作與l夾角為45°的直線，交l于點A，則|PA|的最小值為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\r(2)－1 D．2－eq\r(2)解析：選D由題意可知，直線PA平行于坐標軸，或與坐標軸重合．不妨設直線PA∥y軸，設P(cosα，sinα)，則A(cosα，2－cosα)，∴|PA|＝|2－cosα－sinα|＝|2－eq\r(2)sin(α＋45°)|，∴|PA|的最小值為2－eq\r(2).故選D.3．已知動圓C過A(4,0)，B(0，－2)兩點，過點M(1，－2)的直線交圓C于E，F兩點，當圓C的面積最小時，|EF|的最小值為________．解析：依題意得，動圓C的半徑不小于eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(5)，即當圓C的面積最小時，AB是圓C的一條直徑，此時圓心C是線段AB的中點，即點C(2，－1)，又點M的坐標為(1，－2)，且|CM|＝eq\r(2－12＋－1＋22)＝eq\r(2)<eq\r(5)，所以點M位于圓C內，所以當點M為線段EF的中點時，|EF|最小，其最小值為2eq\r(\r(5)2－\r(2)2)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)eq\a\vs4\al([必備知能·自主補缺])(一)主干學問要記牢1．直線方程的五種形式點斜式y－y1＝k(x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)斜截式y＝kx＋b(b為直線在y軸上的截距，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐標軸和平行于坐標軸的直線)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)一般式Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)2．點到直線的距離及兩平行直線間的距離(1)點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).3．圓的方程(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F(3)圓的直徑式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圓的直徑的兩端點是A(x1，y1)，B(x2，y2))．4．直線與圓位置關系的判定方法(1)代數方法(推斷直線與圓方程聯立所得方程組的解的狀況)：Δ>0?相交，Δ<0?相離，Δ＝0?相切．(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設圓心到直線的距離為d，則d<r?相交，d>r?相離，d＝r?相切．5．圓與圓的位置關系已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則(1)當|O1O2|＞r1＋r2時，兩圓外離；(2)當|O1O2|＝r1＋r2時，兩圓外切；(3)當|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2時，兩圓相交；(4)當|O1O2|＝|r1－r2|時，兩圓內切；(5)當0≤|O1O2|＜|r1－r2|時，兩圓內含．(二)二級結論要用好1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關系(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C(2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C(3)相交?A1B2－A2B1≠0；(4)垂直?A1A2＋B1B2[針對練1]若直線l1：mx＋y＋8＝0與l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，則m解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m答案：12．若點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則圓過該點的切線方程為：x0x＋y0y＝r2.[針對練2]過點(1，eq\r(3))且與圓x2＋y2＝4相切的直線l的方程為____________．解析：∵點(1，eq\r(3))在圓x2＋y2＝4上，∴切線方程為x＋eq\r(3)y＝4，即x＋eq\r(3)y－4＝0.答案：x＋eq\r(3)y－4＝0(三)易錯易混要明白1．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如依據直線在兩坐標軸上的截距相等設方程時，忽視截距為0的狀況，干脆設為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1；再如，忽視斜率不存在的狀況干脆將過定點P(x0，y0)的直線設為y－y0＝k(x－x0)等．[針對練3]已知直線過點P(1,5)，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為__________________．解析：當截距為0時，直線方程為5x－y＝0；當截距不為0時，設直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，代入P(1,5)，得a＝6，∴直線方程為x＋y－6＝0.答案：5x－y＝0或x＋y－6＝02．探討兩條直線的位置關系時，易忽視系數等于零時的探討導致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0.假如利用直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件A1A2＋B1B2[針對練4]已知直線l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1與l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0相互垂直，則t的值為________．解析：∵l1⊥l2，∴(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0，解得t＝1或t＝－1.答案：－1或13．求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數不相等，而干脆代入公式eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，導致錯解．[針對練5]兩平行直線3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為________．解析：把直線6x＋4y＋5＝0化為3x＋2y＋eq\f(5,2)＝0，故兩平行線間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－5－\f(5,2))),\r(32＋22))＝eq\f(15\r(13),26).答案：eq\f(15\r(13),26)4．易誤認為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內切的狀況導致漏解．[針對練6]已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0相切，則m＝________.解析：由x2＋y2－2x－6y－1＝0，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，由x2＋y2－10x－12y＋m＝0，得(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.當兩圓外切時，有eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(61－m)＋eq\r(11)，解得m＝25＋10eq\r(11)；當兩圓內切時，有eq\r(5－12＋6－32)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(61－m)－\r(11)))，解得m＝25－10eq\r(11).答案：25±10eq\r(11)eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])A組——10＋7提速練一、選擇題1．已知直線l：y＝k(x＋eq\r(3))和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝()A．0 B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)或0 D.eq\r(3)或0解析：選D因為直線l與圓C相切，所以圓心C(0,1)到直線l的距離d＝eq\f(|－1＋\r(3)k|,\r(k2＋－12))＝1，解得k＝0或k＝eq\r(3)，故選D.2．(2024·寧波十校高三5月適應性考試)已知直線l過圓(x－1)2＋(y－2)2＝1的圓心，當原點到直線l距離最大時，直線l的方程為()A．y＝2 B．x－2y－5＝0C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－5＝0解析：選D設圓心為M，則M(1,2)．當l與OM垂直時，原點到l的距離最大．作出示意圖如圖，∵kOM＝2，∴l的斜率為－eq\f(1,2).∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.3．直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則“k＝1”是“|AB|＝eq\r(2)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A依題意，留意到|AB|＝eq\r(2)＝eq\r(|OA|2＋|OB|2)等價于圓心O到直線l的距離等于eq\f(\r(2),2)，即有eq\f(1,\r(k2＋－12))＝eq\f(\r(2),2)，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝eq\r(2)”的充分不必要條件．4．若三條直線l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能圍成三角形，則實數m的取值最多有()A．2個 B．3個C．4個 D．6個解析：選C三條直線不能圍成三角形，則至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點．若l1∥l2，則m＝4；若l1∥l3，則m＝－eq\f(1,4)；若l2∥l3，則m的值不存在；若三條直線相交于同一點，則m＝1或－eq\f(5,3).故實數m的取值最多有4個，故選C.5．(2024·溫州模擬)在直角坐標系xOy中，已知點A(0，－1)，B(2,0)，過A的直線交x軸于點C(a,0)，若直線AC的傾斜角是直線AB傾斜角的2倍，則a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C．1 D.eq\f(4,3)解析：選B設直線AC的傾斜角為β，直線AB的傾斜角為α，即有tanβ＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).又tanβ＝eq\f(1,a)，tanα＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,a)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))，解得a＝eq\f(3,4).6．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標準方程是()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2D．(x－2)2＋(y－2)2＝2解析：選D由題意知，曲線方程為(x－6)2＋(y－6)2＝(3eq\r(2))2，過圓心(6,6)作直線x＋y－2＝0的垂線，垂線方程為y＝x，則所求的最小圓的圓心必在直線y＝x上，又圓心(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離d＝eq\f(|6＋6－2|,\r(2))＝5eq\r(2)，故最小圓的半徑為eq\f(5\r(2)－3\r(2),2)＝eq\r(2)，圓心坐標為(2,2)，所以所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.7．(2024·長沙模擬)若直線(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)被圓C：(x－1)2＋y2＝4所截得的弦為MN，則|MN|的最小值是()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：選C直線方程(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)可化為λ(2x＋y＋1)＋(－x＋2y＋2)＝0(λ∈R)，若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋1＝0，,－x＋2y＋2＝0，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))所以直線恒過圓C：(x－1)2＋y2＝4內的定點P(0，－1)，當直線(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)與直線CP垂直時，|MN|最小，此時|MN|＝2eq\r(r2－|CP|2)＝2eq\r(4－\r(2)2)＝2eq\r(2).故選C.8．(2024·合肥質檢)設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：選B由題可知，圓心C(1,1)，半徑r＝2.當直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝0，計算出弦長為2eq\r(3)，符合題意；當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2eq\r(3)可知，圓心到該直線的距離為1，從而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，所以直線l的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，故選B.9．兩個圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條公切線，則a＋b的最小值為()A．3eq\r(2) B．－3eq\r(2)C．6 D．－6解析：選B兩個圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標準方程為圓C1：(x＋a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，所以C1(－a,0)，C2(0，b)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1C2))＝eq\r(a2＋b2)＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)，得(a＋b)2≤18，所以－3eq\r(2)≤a＋b≤3eq\r(2)，當且僅當“a＝b”時等號成立．所以a＋b的最小值為－3eq\r(2).10．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是()A．(4,6) B．[4,6]C．(4,5) D．(4,5]解析：選A設直線4x－3y＋m＝0與直線4x－3y－2＝0之間的距離為1，則有eq\f(|m＋2|,5)＝1，m＝3或m＝－7.圓心(3，－5)到直線4x－3y＋3＝0的距離等于6，圓心(3，－5)到直線4x－3y－7＝0的距離等于4，因此所求圓半徑的取值范圍是(4,6)，故選A.二、填空題11．直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒過定點________，P(1，1)到直線l的距離的最大值為________．解析：直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)，即λ(y－3)＋x＋2＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3＝0，,x＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))∴直線l恒過定點(－2,3)．不妨記Q(－2,3)，則P(1,1)到直線l的距離的最大值為|PQ|＝eq\r(－32＋22)＝eq\r(13).答案：(－2,3)eq\r(13)12．若直線l1：y＝x＋a和直線l2：y＝x＋b將圓(x－1)2＋(y－2)2＝8分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝________.解析：由題意得直線l1和l2截圓所得弦所對的圓心角相等，均為90°，因此圓心到兩直線的距離均為eq\f(\r(2),2)r＝2，即eq\f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝2，得a2＋b2＝(2eq\r(2)＋1)2＋(1－2eq\r(2))2＝18.答案：1813．已知點M(2,1)及圓x2＋y2＝4，則過M點的圓的切線方程為________，若直線ax－y＋4＝0與該圓相交于A，B兩點，且|AB|＝2eq\r(3)，則a＝________.解析：若過點M的圓的切線斜率不存在，則切線方程為x＝2，閱歷證滿意條件．若切線斜率存在，可設切線方程為y＝k(x－2)＋1，由圓心到直線的距離等于半徑得eq\f(|－2k＋1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)，故切線方程為y＝－eq\f(3,4)(x－2)＋1，即3x＋4y－10＝0.綜上，過M點的圓的切線方程為x＝2或3x＋4y－10＝0.由eq\f(4,\r(a2＋1))＝eq\r(4－3)，得a＝±eq\r(15).答案：x＝2或3x＋4y－10＝0±eq\r(15)14．已知⊙C的方程為x2－2x＋y2＝0，直線l：kx－y＋x－2k＝0與⊙C交于A，B兩點，當|AB|取最大值時，k＝________；當△ABC的面積最大時，k＝________.解析：圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，圓心C(1,0)，半徑為1，當直線過圓心時，弦AB為直徑，|AB|最大，此時k＝1.設∠ACB＝θ，則S△ABC＝eq\f(1,2)×1×1×sinθ＝eq\f(1,2)sinθ，當θ＝90°時，△ABC的面積最大，此時圓心到直線的距離為eq\f(\r(2),2)，由d＝eq\f(|1－k|,\r(k＋12＋1))＝eq\f(\r(2),2)，解得k＝0或k＝6.答案：10或615．已知圓O：x2＋y2＝r2與圓C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)在第一象限的一個公共點為P，過點P作與x軸平行的直線分別交兩圓于不同兩點A，B(異于P點)，且OA⊥OB，則直線OP的斜率是________，r＝________.解析：兩圓的方程相減得，4x－4＝0，則點P的橫坐標x＝1.易知P為AB的中點，因為OA⊥OB，所以|OP|＝|AP|＝|PB|，所以△OAP為等邊三角形，所以∠APO＝60°，因為AB∥x軸，所以∠POC＝60°，所以直線OP的斜率為eq\r(3).設P(1，y1)，則y1＝eq\r(3)，所以P(1，eq\r(3))，代入圓O，解得r＝2.答案：eq\r(3)216．(2024·浦江模擬)設A是直線y＝x－4上一點，P，Q是圓C：x2＋(y－2)2＝17上不同的兩點，若圓心C是△APQ的重心．則△APQ面積的最大值為________．解析：如圖，∵圓心C是△APQ的重心，∴AC⊥PQ，設C到PQ的距離為x，則PQ＝2eq\r(17－x2)，則A到PQ的距離為3x，∴S△PAQ＝eq\f(1,2)×2eq\r(17－x2)×3x＝3eq\r(17－x2)·x≤3·eq\f(17－x2＋x2,2)＝eq\f(51,2).當且僅當eq\r(17－x2)＝x，即x＝eq\f(\r(34),2)時等號成立．∴△APQ面積的最大值為eq\f(51,2).答案：eq\f(51,2)17．定義：若平面點集A中的任一個點(x0，y0)，總存在正實數r，使得集合{(x，y)|eq\r(x－x02＋y－y02)<r}?A，則稱A為一個開集，給出下列集合：①{(x，y)|x2＋y2＝1}；②{(x，y)|x＋y＋2>0}；③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0<x2＋(y－eq\r(2))2<1}．其中是開集的是________．(請寫出全部符合條件的序號)解析：集合{(x，y)|eq\r(x－x02＋y－y02)<r}表示以(x0，y0)為圓心，以r為半徑的圓面(不包括圓周)，由開集的定義知，集合A應當無邊界，故由①②③④表示的圖形知，只有②④符合題意．答案：②④B組——實力小題保分練1．若a，b是正數，直線2ax＋by－2＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長為2eq\r(3)，則t＝aeq\r(1＋2b2)取得最大值時a的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(3,4)解析：選D因為圓心到直線的距離d＝eq\f(2,\r(4a2＋b2))，則直線被圓截得的弦長L＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－\f(4,4a2＋b2))＝2eq\r(3)，所以4a2＋b2＝4.則t＝aeq\r(1＋2b2)＝eq\f(1,2\r(2))·(2eq\r(2)a)·eq\r(1＋2b2)≤eq\f(1,2\r(2))×eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)a2＋\r(1＋2b2)2))＝eq\f(1,4\r(2))·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝eq\f(9,4\r(2))，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8a2＝1＋2b2，,4a2＋b2＝4))時等號成立，此時a＝eq\f(3,4)，故選D.2．已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，且有|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|，那么k的取值范圍是()A．(eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(2)，＋∞)C．[eq\r(2)，2eq\r(2)) D．[eq\r(3)，2eq\r(2))解析：選C當|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|時，O，A，B三點為等腰三角形AOB的三個頂點，其中OA＝OB＝2，∠AOB＝120°，從而圓心O到直線x＋y－k＝0(k>0)的距離為1，即eq\f(|k|,\r(2))＝1，解得k＝eq\r(2)；當k>eq\r(2)時，|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|>eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|，又直線與圓x2＋y2＝4有兩個不同的交點，故eq\f(|k|,\r(2))<2，即k<2eq\r(2).綜上，k的取值范圍為[eq\r(2)，2eq\r(2))．3．已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．設條件p：0<r<3，條件q：圓C上至多有2個點到直線x－eq\r(3)y＋3＝0的距離為1，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C圓C：(x－1)2＋y2＝r2的圓心(1,0)到直線x－eq\r(3)y＋3＝0的距離d＝eq\f(|1－\r(3)×0＋3|,\r(12＋－\r(3)2))＝2.當2－r>1，即0<r<1時，直線在圓外，圓上沒有點到直線的距離為1；當2－r＝1，即r＝1時，直線在圓外，圓上只有1個點到直線的距離為1；當0<2－r<1，即1<r<2時，直線在圓外，此時圓上有2個點到直線的距離為1；當2－r＝0，即r＝2時，直線與圓相切，此時圓上有2個點到直線的距離為1；當0<r－2<1，即2<r<3時，直線與圓相交，此時圓上有2個點到直線的距離為1；當r－2＝1，即r＝3時，直線與圓相交，此時圓上有3個點到直線的距離為1；當r－2>1，即r>3時，直線與圓相交，此時圓上有4個點到直線的距離為1.綜上，當0<r<3時，圓C上至多有2個點到直線x－eq\r(3)y＋3＝0的距離為1；由圓C上至多有2個點到直線x－eq\r(3)y＋3＝0的距離為1可得0<r<3.故p是q的充要條件，故選C.4．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心在直線ax－by＋1＝0上，則ab的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))解析：選B把圓的方程化為標準方程得，(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圓心坐標為(－1,2)，依據題意可知，圓心在直線ax－by＋1＝0上，把圓心坐標代入直線方程得，－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，則ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,4)))2＋eq\f(1,8)≤eq\f(1,8)，當b＝eq\f(1,4)時，ab有最大值eq\f(1,8)，故ab的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))).5．已知點A(3,0)，若圓C：(x－t)2＋(y－2t＋4)2＝1上存在點P，使|PA|＝2|PO|，其中O為坐標原點，則圓心C的橫坐標t的取值范圍為________．解析：設點P(x，y)，因為|PA|＝2|PO|，所以eq\r(x－32＋y2)＝2eq\r(x2＋y2)，化簡得(x＋1)2＋y2＝4，所以點P在以M(－1,0)為圓心，2為半徑的圓上．由題意知，點P(x，y)在圓C上，所以圓C與圓M有公共點，則1≤|CM|≤3，即1≤eq\r(t＋12＋2t－42)≤3，開方得1≤5t2－14t＋17≤9.不等式5t2－14t＋16≥0的解集為R；由5t2－14t＋8≤0，得eq\f(4,5)≤t≤2.所以圓心C的橫坐標t的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，2)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，2))6．設點M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________．解析：由題意可知M在直線y＝1上運動，設直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點P(0,1)．當x0＝0即點M與點P重合時，明顯圓上存在點N(±1，0)符合要求；當x0≠0時，過M作圓的切線，切點之一為點P，此時對于圓上隨意一點N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特殊地，當∠OMP＝45°時，有x0＝±1.結合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]．答案：[－1,1]其次講小題考法——圓錐曲線的方程與性質考點(一)圓錐曲線的定義與標準方程主要考查圓錐曲線的定義及其應用、標準方程的求法.[典例感悟][典例](1)已知雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線上，且滿意|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，則△PF1F2的面積為()A．1 B.eq\r(3)C.eq\r(5) D.eq\f(1,2)(2)已知橢圓的中心在原點，離心率e＝eq\f(1,2)，且它的一個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點重合，則此橢圓方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1[解析](1)在雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1中，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2.不妨設P點在雙曲線的右支上，則有|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(3)，又|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，∴|PF1|＝eq\r(5)＋eq\r(3)，|PF2|＝eq\r(5)－eq\r(3).又|F1F2|＝2c＝4，而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×|PF1|×|PF2|＝eq\f(1,2)×(eq\r(5)＋eq\r(3))×(eq\r(5)－eq\r(3))＝1.故選A.(2)由題可知橢圓的焦點在x軸上，所以設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，而拋物線y2＝－4x的焦點為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故選A.[答案](1)A(2)A[方法技巧]1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點到準線的距離)．[留意]應用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導致錯誤．2．求解圓錐曲線標準方程的思路方法(1)定型，即指定類型，也就是確定圓錐曲線的類型、焦點位置，從而設出標準方程．(2)計算，即利用待定系數法求出方程中的a2，b2或p.另外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設為y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，橢圓常設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設為mx2－ny2＝1(mn>0)．[演練沖關]1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4eq\r(5)，漸近線方程為2x±y＝0，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,16)＝1解析：選A易知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2x±y＝0，得eq\f(b,a)＝2，因為雙曲線的焦距為4eq\r(5)，所以c＝2eq\r(5).結合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.2．(2024·杭二中高三期中)過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點F的直線l：y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)與雙曲線C只有一個公共點，則雙曲線C的焦距為________，C的離心率為________．解析：雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，因為過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點F的直線l：y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)與雙曲線C只有一個公共點，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\r(3)，,0＝\r(3)c－4\r(3)，))又因為a2＋b2＝c2，所以a＝2，b＝2eq\r(3)，c＝4，所以2c＝8，e＝eq\f(c,a)＝2.答案：823．已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PA⊥l于點A，當∠AFO＝30°(O為坐標原點)時，|PF|＝________.解析：法一：令l與y軸的交點為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝eq\f(2\r(3),3).設P(x0，y0)，則x0＝±eq\f(2\r(3),3)，代入x2＝4y中，得y0＝eq\f(1,3)，所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝eq\f(4,3).法二：如圖所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，又|PA|＝|PF|，∴△APF為頂角∠APF＝120°的等腰三角形，而|AF|＝eq\f(2,cos30°)＝eq\f(4\r(3),3)，∴|PF|＝eq\f(|AF|,\r(3))＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)考點(二)圓錐曲線的幾何性質主要考查橢圓、雙曲線的離心率的計算、雙曲線漸近線的應用以及拋物線的有關性質.[典例感悟][典例](1)(2024·浙江名師預料卷)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則拋物線C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x(2)(2024·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________．[解析](1)因為拋物線C的方程為y2＝2px(p>0)，所以焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).設M(x，y)，由拋物線的性質可得|MF|＝x＋eq\f(p,2)＝5，所以x＝5－eq\f(p,2).因為圓心是MF的中點，所以依據中點坐標公式可得圓心橫坐標為eq\f(5,2)，又由已知可得圓的半徑也為eq\f(5,2)，故可知該圓與y軸相切于點(0,2)，故圓心縱坐標為2，則點M的縱坐標為4，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4)).將點M的坐標代入拋物線方程，得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C.(2)雙曲線的右頂點為A(a,0)，一條漸近線的方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，則圓心A到此漸近線的距離d＝eq\f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(ab,c).又因為∠MAN＝60°，圓的半徑為b，所以b·sin60°＝eq\f(ab,c)，即eq\f(\r(3)b,2)＝eq\f(ab,c)，所以e＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).[答案](1)C(2)eq\f(2\r(3),3)[方法技巧]1．橢圓、雙曲線的離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是依據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求eq\f(c,a)的值．2．雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零，分解因式可得．(2)用法：①可得eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值；②利用漸近線方程設所求雙曲線的方程．[演練沖關]1．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(3)或eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(2\r(3),3)或2解析：選D∵兩條漸近線的夾角為60°，且兩條漸近線關于坐標軸對稱，∴eq\f(b,a)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)或eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3).由eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\f(2\r(3),3)(舍負)；由eq\f(b,a)＝eq\r(3)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝3，∴e＝2(舍負)．故選D.2．(2024·全國卷Ⅰ)設A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿意∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)解析：選A當0＜m＜3時，焦點在x軸上，要使C上存在點M滿意∠AMB＝120°，則eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(3),\r(m))≥eq\r(3)，解得0＜m≤1.當m＞3時，焦點在y軸上，要使C上存在點M滿意∠AMB＝120°，則eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(m),\r(3))≥eq\r(3)，解得m≥9.故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)．3．如圖，拋物線y2＝4x的一條弦AB經過焦點F，取線段OB的中點D，延長OA至點C，使|OA|＝|AC|，過點C，D作y軸的垂線，垂足分別為點E，G，則|EG|的最小值為________．解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則y3＝2y1，y4＝eq\f(1,2)y2，|EG|＝y4－y3＝eq\f(1,2)y2－2y1.因為AB為拋物線y2＝4x的焦點弦，所以y1y2＝－4，所以|EG|＝eq\f(1,2)y2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,y2)))＝eq\f(1,2)y2＋eq\f(8,y2)≥2eq\r(\f(1,2)y2×\f(8,y2))＝4，當且僅當eq\f(1,2)y2＝eq\f(8,y2)，即y2＝4時取等號，所以|EG|的最小值為4.答案：4考點(三)圓錐曲線與圓、直線的綜合問題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系以及圓錐曲線與圓相結合的問題.[典例感悟][典例](1)已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點M，N，則實數t的取值范圍是()A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3,0)D．(－2,0)(2)已知雙曲線C：mx2＋ny2＝1(mn<0)的一條漸近線與圓x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，則C的離心率為()A.eq\f(5,3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(5,3)或eq\f(25,16) D.eq\f(5,3)或eq\f(5,4)[解析](1)因為直線與圓相切，所以eq\f(|t＋1|,\r(1＋k2))＝1，即k2＝t2＋2t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3.故選A.(2)圓x2＋y2－6x－2y＋9＝0的標準方程為(x－3)2＋(y－1)2＝1，則圓心為M(3,1)，半徑r＝1.當m<0，n>0時，由mx2＋ny2＝1得eq\f(y2,\f(1,n))－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，則雙曲線的焦點在y軸上，不妨設雙曲線與圓相切的漸近線方程為y＝eq\f(a,b)x，即ax－by＝0，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|3a－b|,\r(a2＋b2))＝1，即|3a－b|＝c，平方得9a2－6ab＋b2＝c2＝a2＋b2，即8a2－6ab＝0，則b＝eq\f(4,3)a，平方得b2＝eq\f(16,9)a2＝c2－a2，即c2＝eq\f(25,9)a2，則c＝eq\f(5,3)a，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)；當m>0，n<0時，同理可得e＝eq\f(5,4)，故選D.[答案](1)A(2)D[方法技巧]處理圓錐曲線與圓相結合問題的留意點(1)留意圓心、半徑和平面幾何學問的應用，如直徑所對的圓周角為直角，構成了垂直關系；弦心距、半徑、弦長的一半構成直角三角形等．(2)留意圓與特殊線的位置關系，如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)，與雙曲線的實軸(虛軸)的關系；圓與過定點的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準線的位置關系等．[演練沖關]1．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F2(c,0)，P是雙曲線C右支上一點，且|PF2|＝|F1F2|，若直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C．2 D．3解析：選B取線段PF1的中點為A，連接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，則AF2⊥PF1，∵直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋2c，∴|PA|＝eq\f(1,2)·|PF1|＝a＋c，則在Rt△APF2中，4c2＝(a＋c)2＋4a2，化簡得(3c－5a)(a＋c)＝0，則雙曲線的離心率為eq\f(52．已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，則直線OM與直線l的斜率之積為()A．－9 B．－eq\f(9,2)C．－eq\f(1,9) D．－3解析：選A設直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(kb,k2＋9)，yM＝kxM＋b＝eq\f(9b,k2＋9)，故直線OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(9,k)，所以kOM·k＝－9，即直線OM與直線l的斜率之積為－9.eq\a\vs4\al([必備知能·自主補缺])(一)主干學問要記牢圓錐曲線的定義、標準方程和性質名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)圖形幾何性質軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1)e＝1漸近線y＝±eq\f(b,a)x(二)二級結論要用好1．橢圓焦點三角形的3個規律設橢圓方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點F1(－c,0)，F2(c,0)，點P的坐標是(x0，y0)．(1)三角形的三個邊長是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，(2)假如△PF1F2中∠F1PF2＝α，則這個三角形的面積S△PF1F2＝c|y0|＝b2taneq\f(α,2).(3)橢圓的離心率e＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P).2．雙曲線焦點三角形的2個結論P(x0，y0)為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的點，△PF1F2為焦點三角形．(1)面積公式S△PF1F2＝c|y0|＝eq\f(1,2)r1r2sinθ＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)．(2)焦半徑若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.3．拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB的4個結論(1)xA·xB＝eq\f(p2,4)；(2)yA·yB＝－p2；(3)|AB|＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)；(4)|AB|＝xA＋xB＋p.4．圓錐曲線的通徑(1)橢圓通徑長為eq\f(2b2,a)；(2)雙曲線通徑長為eq\f(2b2,a)；(3)拋物線通徑長為2p.5．圓錐曲線中的最值(1)橢圓上兩點間的最大距離為2a(2)雙曲線上兩點間的最小距離為2a(3)橢圓焦半徑的取值范圍為[a－c，a＋c]，a－c與a＋c分別表示橢圓焦點到橢圓上的點的最小距離與最大距離．(4)拋物線上的點中頂點到拋物線準線的距離最短．(三)易錯易混要明白1．利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要留意兩種曲線的定義形式及其限制條件．如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不行的：其一，肯定值；其二，2a＜|F1F[針對練1]△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________．解析：如圖，設內切圓的圓心為P，過點P作AC，BC的垂線PD，PF，垂足分別為D，F，則|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，∴|CA|－|CB|＝|AD|－|BF|＝6.依據雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．答案：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)2．解決橢圓、雙曲線、拋物線問題時，要留意其焦點的位置．[針對練2]若橢圓eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則k的值為________．解析：當焦點在x軸上時，a2＝8＋k，b2＝9，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(k－1,k＋8)＝eq\f(1,4)，解得k＝4.當焦點在y軸上時，a2＝9，b2＝8＋k，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1－k,9)＝eq\f(1,4)，解得k＝－eq\f(5,4).答案：4或－eq\f(5,4)3．直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構成的方程組有實數解，消元后得到的方程中要留意：二次項的系數是否為零，判別式Δ≥0的限制．尤其是在應用根與系數的關系解決問題時，必需先有“判別式Δ≥0”；在解決交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應在“Δ>0”下進行．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])A組——10＋7提速練一、選擇題1．(2024·浙江高考)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點坐標是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)解析：選B∵雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點在x軸上，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3＋1)＝2，即得該雙曲線的焦點坐標為(－2,0)，(2,0)．2．雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝eq\f(\r(13),2)，則它的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(3,2)x B．y＝±eq\f(2,3)xC．y＝±eq\f(9,4)x D．y＝±eq\f(4,9)x解析：選A由雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝eq\f(\r(13),2)，可得eq\f(c2,a2)＝eq\f(13,4)，∴eq\f(b2,a2)＋1＝eq\f(13,4)，可得eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x.3．(2024·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)解析：選A以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由圓心到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝eq\f(2ab,\r(b2＋a2))＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3).4．(2024·溫州適應性測試)已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e∈(1,2]，則其經過第一、三象限的漸近線的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析：選C因為雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e∈(1,2]，所以1<eq\f(c,a)≤2，所以1<eq\f(c2,a2)≤4，又c2＝a2＋b2，所以0<eq\f(b2,a2)≤3，所以eq\f(a2,b2)≥eq\f(1,3)，所以eq\f(a,b)≥eq\f(\r(3),3).因為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)經過第一、三象限的漸近線的方程為y＝eq\f(a,b)x，設其傾斜角為α，則tanα＝eq\f(a,b)≥eq\f(\r(3),3)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，故選C.5．(2024·全國卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為eq\r(3)的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：選C由題意，得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝eq\r(3)(x－1)．由eq\b\lc\