河北省秦皇島市昌黎縣河北昌黎第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期第

二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若集合/={x|--3x+2V0,xeR},8={0,1,2,3},則4nB目()

A.{0,1}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.若(3+4i)z=5i,貝”=()

43.n43.

A.—+-1

5555

C.3+3c34-

D.------1

5555

I

3.已知向量萬=（T,2）,—,且(標一B)_L(22+B),則心=()

44

A.—2B.—C.一D.2

77

JT4e__2兀、.

4.已知。為銳角，若sin（-—。）=-■—,則cos(2a+3-)=()

6

,7724

A.—B.-----C.——D.—

2425725

5.某圓臺上底面圓半徑為1,下底面圓半徑為2,母線長為血,則該圓臺的體積為（)

7兀5兀C.也

A.—B.—D.3兀

333

/、[ax-siwc,x<0

6.已知函數(shù)/(x)=2C2八在R上單調(diào)遞增，則“1的取值范圍是（）

IX+ZdX—+3,X>U

A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)

jr

7.函數(shù)/（無）=2sin（2x+§）與函數(shù)g（x）=lm?的圖象交點個數(shù)為（)

A.3B.5C.6D.7

8.已知函數(shù)/（x）的定義域為RJ（x+l）是偶函數(shù)，/國+2）為奇函數(shù)，則下列等式一定成立

的是（）

；

A./(-1)=0B./(-)=0

C."3)=0D./(4)=0

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.為了解目前宜興市高二學(xué)生身體素質(zhì)狀況，對某校高二學(xué)生進行了體能抽測，得到學(xué)生

的體育成績X?N（70,100）,其中60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀?則下列說法正確

的是（）

參考數(shù)據(jù)：隨機變量自?貝gpS-bvJvH+o）=0.6826,

P（ju-2cr<^</j+2<T）=0.9544,-3cr<J<〃+3<r）=0,9974.

A.該校學(xué)生體育成績的方差為10

B.該校學(xué)生體育成績的期望為70

C.該校學(xué)生體育成績的及格率不到85%

D.該校學(xué)生體育成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)相當

10.設(shè)函數(shù)/（無）=X，+ax-l,則（）

A.當。=-1時，/（無）有三個零點

B.當。上；時，/（x）無極值點

C.SaeR,使/（x）在R上是減函數(shù)

D.VaeRJ（x）圖象對稱中心的橫坐標不變

II.數(shù)學(xué)家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一

個數(shù)學(xué)表達式：r=。（1-sin。），克里斯蒂娜用極坐標知識畫出了該曲線圖象“心形線

{\一fx=rcos0?----------

卜，明白了笛卡爾的心意.已知利用關(guān)系式.Q和.=+2可將信中

\/[y=rsm3v/

表達式轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過點（0,-2）,則（）

試卷第2頁，共4頁

B.曲線經(jīng)過點(-1,0)

當點(x0,比)在曲線上時，-竽4彳。4竽

當點(%,%)在曲線上時，-2V為V；

12.已知圓。:/+/-6》+5=0與中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線。的一條漸近線相切，

則雙曲線。的離心率為.

13.過點尸(2,e)可以作兩條直線與曲線y=ae，(a>0)相切，則實數(shù)。的取值范圍是.

14.如圖所示，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點。出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右

移動一個單位，共移動5次.該質(zhì)點在有且僅有一次經(jīng)過-1位置的條件下，共經(jīng)過兩次1位

置的概率為.

■O----0----0—0

-6-5-4-3-2-10123456

四、解答題

15.已知V48c的內(nèi)角4瓦C所對的邊分別為。，Ac,且2c-6=2asin(c

⑴求角/；

⑵若°，。為邊8C上一點，為/比1C的平分線，且/。=1,求VN8C的面積

16.已知橢圓C：/+/=1(。>6>0)的焦距為20，離心率為當.

(1)求C的標準方程；

⑵若直線/：x=)+|("0)交橢圓C于￡，尸兩點，且△/所的面積為半,

求t的值.

17.已知四棱錐尸尸為的中點，P/_L平面/BCD,BC±PC.

P

試卷第3頁，共4頁

(1)若AD=OC,證明：OE〃平面尸8C；

(2)若NC=8C=2,二面角N-尸C-3的大小為120。，求尸4.

18.甲、乙兩名運動員進行乒乓球訓(xùn)練賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分，比賽一

直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的

概率為D乙獲勝的概率為q,每局比賽結(jié)果相互獨立.

(1)若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局數(shù)X的分布列及期望E(X)的最大值；

(2)甲、乙兩人為達到最佳訓(xùn)練效果，倆人約定不限制比賽局數(shù)，記“甲運動員贏得比賽”為事

2

件證明：

p+q

19.已知函數(shù)g(x)=21n(-x-l)+cos(-x-2).

⑴函數(shù)/(X)與g(x)的圖象關(guān)于x=T對稱，求“X)的解析式；

⑵/卜)-14ax在定義域內(nèi)恒成立，求。的值;

2〃(1]\

(3)求證：Z/1彳<1口4,wGN*.

k=n+l1)

試卷第4頁，共4頁

《河北省秦皇島市昌黎縣河北昌黎第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題》參考

答案

題號12345678910

答案CBBDACBDBCBD

題號11

答案ABD

1.C

【分析】解不等式化簡集合A,再利用交集的定義求解.

【詳解】解不等式*-3尤+240,得1VXW2,則N=*|lWx42},而8={0,1,2,3},

所以/門8={1,2}.

故選：C

2.B

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z,進而求出口

【詳解】由（3+4i）z=5i,得2=言5i-(3-4i)20+15i_駕3_,

(3+4i)(3-4i)-。5『

所以-z=4)3_?.

故選：B

3.B

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示計算可得.

【詳解】由題意可得肪一3=（-左-1,2左+1）,23+3=（-1,3）,

4

貝!］（標一5＞（22+B）=左+1+3（2左+1）=0,解得左=—,.

故選：B.

4.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計算得解.

7T4

【詳解】由sin（B-a）=-9,得

65

cos（2a+"）=cos［兀一（―-2（7）］=-cos2（-cr）=-［1-2sin\—6Z）］=-.

336625

故選：D

5.A

【分析】先求出圓臺的高，再由圓臺的體積公式求出即可.

答案第1頁，共14頁

【詳解】設(shè)圓臺的母線長為/,高為肌

因為圓臺上底面圓的半徑r為1,下底面圓半徑尺為2,母線1=五,

因此圓臺的IWJ為人=yfl2—(7?—r)2=12-1=1,

所以圓臺的體積為V=g兀(火2+&-+/)〃=:兀(4+2+1)、1=票.

故選：A

6.C

【分析】由分段函數(shù)在兩個區(qū)間上的單調(diào)性分別求出。的范圍，再考慮由x=0時左右函數(shù)

值的大小關(guān)系得到的。的范圍，求其交集即得

【詳解】當x?0時，/(%)=內(nèi)一5也》,依題須使((、)=〃一(308^20恒成立，貝！J〃21;

當%>0時，由/(%)=%2+2"一〃+3=0+〃)2—42一。+3在(0,+8)上遞增，須使一440,即

tz>0；

又由-a+320解得a<3.

綜上可得，。的取值范圍是[1,3].

故選：C.

7.B

【分析】在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)》=/(%)/=g(%)的圖象即可得解.

JT

【詳解】函數(shù)〃x)=2sin(2x+.)定義域為R,最小正周期為兀，/(x)max=2,當0<xWl時,

〃尤)>0,

函數(shù)g(x)=lwc在定義域(0,口)上是增函數(shù)，當0<xVl時，g(x)<0,當X>e2時，g(尤)>2,

7T

因此函數(shù)〃x)=2sin(2x+夕與函數(shù)g(x)=質(zhì)的圖象交點橫坐標只能在區(qū)間(1,e2]±,

在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)>=/(尤)/=g(x)的部分圖象，如圖：

答案第2頁，共14頁

jr

觀察圖象知，函數(shù)/(無)=2sin(2x+y)與函數(shù)g(x)=1政的圖象交點個數(shù)為5.

故選：B

8.D

【分析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)的性質(zhì)，再逐項判斷.

【詳解】函數(shù)/(x)的定義域為R,

由〃x+l)是偶函數(shù)，得/(f+l)=/(x+l),即/(2-x)=/(x),

由/(3x+2)為奇函數(shù)，得了(-3x+2)=_/(3x+2),即〃2-x)=-"》+2),

則f(x+2)f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

由/(2-x)=-/(x+2),得"2)=0,因此/(4)=/(0)=-"2)=0,

/(-1)=-/(1)=/(3),/(-1)=-/(|))無條件保證/⑴J(全都為為0，

7T

所以選項ABC不一定成立，選項D一定成立，如函數(shù)/(%)using%符合題意，

22

故選：D

9.BC

【分析】根據(jù)隨機變量x?N(70,100),求得期望和方差，再結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，

求得相應(yīng)的概率，即可求解.

【詳解】由題意知，隨機變量X?N(70,100),

可得期望〃=70,方差b2=ioo,所以A錯誤，B正確；

選項C中：由尸(X>70)=0.5,P(60<X<80)=P(〃-<T<X<〃+CF)=0.6826,

所以尸(X>60)=尸(60V￡M70)+P(X>70)=0.3413+0.5=0.8413<85%,

所以C正確；

09544

選項D中，優(yōu)秀的概率為P(X>90)=尸(X>70)-P(70VXV90)=0.5--=0.0228,

626

不及格的概率為P(X<60)=P(X<70)-P(60<X<70)=0.5-0'1=0,1587,

兩者不同，所以D錯誤.

故選：BC.

10.BD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值判斷A；由/'(x)NO恒成立判斷B；由/(x)V0的解集

答案第3頁，共14頁

能否為R判斷C；求出/(x)圖象的對稱中心判斷D.

【詳解】對于A,當〃=一1時，f(x)=x3-x2-x-\,求導(dǎo)得/〈X)=3%2一2x-1,

令/'(x)=0得x=-；或x=l,由/'(x)>0,得x<-;或x>l,由r(x)<0,

得-;<x<l,于是〃x)在(-*-(1,+8)上單調(diào)遞增，在(_51)上單調(diào)遞減，

〃刈在》=-g處取得極大值+因此〃x)最多有一個零點，A錯

誤；

對于B,f'(x)=3/-2x+a,當時，A=4-12tz<0,即/'(x)20恒成立，

函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞增，/(x)無極值點，B正確；

對于C,要使“X)在R上是減函數(shù)，則八x)=3x2-2x+“W0恒成立，

而不等式3/一2x+0V0的解集不可能為R,C錯誤；

小十e.「2、//、/2、3/2、2/2、1321258

對'于'D,由/(—X)+f(%)—(—x)—(—X)+d(—X)-I+X—X+ctx_I——u---,

3333327

得〃龍)圖象對稱中心坐標為D正確.

故選：BD

ll.ABD

【分析】根據(jù)題目所給已知條件進行化簡，得到/=。(廠-力，然后根據(jù)曲線圖象所過點、

曲線方程、導(dǎo)數(shù)與極值、換元法以及判別式(或者三角恒等變換)的方法對選項進行分析,

從而確定正確答案.

【詳解】因為r=a(l-sin6),所以/=a(r-rsin。)，

一[x=rcos0°/、

利用關(guān)系式.。得一y,…(*)

[y=rsm3

A選項：因為曲線圖象過點(0,-2),所以此時一5/+田=2,

代入(*)得4=“2-(-2)),所以a=l,故A正確；

B選項：因為a=l,所以(*)化為/=r-y,

所以直角坐標系下的曲線方程為x2+/+y=M⑶,

代入點(-1,0)滿足，故B正確；

答案第4頁，共14頁

C選項：x=rcos0=(1-sin0)cos0,設(shè)/(0)=(l—sin8)cos。,

貝ijf'?)=2sin2。一sin。一1,令/'(。)=0,得sin6=—g或sin9=l,

sin6=-；時，cos0=~~^2~,所以0一sin6)cose=±^^,

sin0=l時，(l—sin8)cos9=0,

則有極值土宓，由對稱性，所以-±84x42仔，故C錯誤；

444

D選項：方法1：由弱+產(chǎn)+y=J?+j?兩邊平方整理得:

卜2+/)+(2y-+/)+/=0,1=x1+y2,

則/+(2了-1)/+/=0(*),由判另U式A=(2了一1>—4y220,^y<—.

令/()=7+(2廣巾+/*由于方程(*)在fe[「,+8)有解,

(1)當對稱軸即”-號§或時，

由/(/)WO得一2VyW0,所以一

(2)當對稱軸仁二^>/，即一匕也<y<二幼時，

222

由A20,得所以—""cywL

424

綜上，—2VyV).故D正確.

方法2：y=rsinO=(l-sinO)sine=-]sine-g]+：,sin8e[-1,1],

所以-20V；.故D正確.

故選：ABD

【點睛】方法點睛：求解參數(shù)的取值范圍，可以考慮利用導(dǎo)數(shù)來進行求解，也可以利用換元

法來進行求解.其中換元法可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后結(jié)合判別式來求解，也可以考慮

利用三角換元，利用三角恒等變換的知識來求解.

,,3^/5

5

【分析】由圓心到漸近線的距離等于半徑求解.

【詳解】因為。：/+/-6》+5=0可化為(X-3)2+J?=4,則圓C的圓心為(3,0),半徑為2,

答案第5頁，共14頁

22

因為雙曲線的焦點在X軸上，故設(shè)雙曲線方程為二-[=1,

a2b2

則其漸近線方程為及±@=0,

由題意得得J=2,即5從=4/,所以±=3,

2

揚a5

所以

故答案為：

5

⑶2

【分析】設(shè)出切點的坐標，利用導(dǎo)數(shù)研究切點和斜率，根據(jù)切線有2條，通過構(gòu)造函數(shù)法,

結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得。的取值范圍.

【詳解】設(shè)切點坐標為&ae'),

x

y=ae,y'=ae,故斜率為ae'，

切線方程為y-ae'=ae'(xT),代入尸(2,e)得e-溫=ae，(2T),

整理得￡=(/-3)e'，

構(gòu)造函數(shù)/⑴=(-3*,廣⑺=("2)后，

所以/⑺在區(qū)間(-s,2)/(。<0J(f)遞減;在區(qū)間(2收)/?)>0J")遞增.

所以「(。在/=2時取得極小值也即是最小值/(2)=-e2,

當t<3時，/(0<0,當然3時，/(/)>0,

要使過點尸(2,e)可以作兩條直線與曲線y=ae(a>0)相切，

一e1

貝!J—e<—<0,a>一,

ae

所以“的取值范圍是g,+s).

故答案為：

【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線，關(guān)鍵點有兩個，一個是切點的坐標，另一個是切線的斜

率.切線的斜率可以利用導(dǎo)數(shù)求得，然后利用點斜式了-%=/■'(%)(無-/)來求得切線方程.

答案第6頁，共14頁

14.—/0.5

2

【分析】設(shè)事件/="有且僅有一次經(jīng)過-1”，事件8=”共經(jīng)過兩次位置1”，分1步到位為

事件4,3步到位為事件4和5步到位為事件4,三種情況討論，結(jié)合獨立事件的概率乘

法公式，求得尸（⑷，再利用列舉法求得尸（45）,利用條件概率的計算公式，即可求解.

【詳解】設(shè)事件/="有且僅有一次經(jīng)過-1”，事件8=”共經(jīng)過兩次位置1”，

按到-1位置需要1步，3步，5步分類討論.記￡=向左，R=向右，

①若1步到位為事件4,則滿足要求的是mR"?,LRRR（第5步無關(guān)），LLLRL,LLLL（第

5步無關(guān)），所以P（4）=6xg]=5；

②若3步到位為事件4,則滿足要求的是RLLRR,RLLLL

所以尸（4）=2x]：=：；

③若5步到位為事件4，則滿足要求的是五電RLRLL

所以P（4）=：+[=）'

323210

所以P（/）=P（4）+尸（4）+尸（4）="

10

滿足的情況有：LRRLR,LRRRL,RLLRR,RLRLL,RRLLL,所以P（AB）=*

所以尸必六常斗

故答案為：!

15.⑴/、

⑵g

2

【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運算求解；

（2）根據(jù)面積關(guān)系可得b+c=?c,再結(jié)合余弦定理解得加=2,進而可得面積.

【詳解】（1）因為2c—b=2asin（。一弓）=V5asinC—QCOSC,

由正弦定理可得2sinC-sin5=sin^4sinC-sinAcosC，

答案第7頁，共14頁

且sin8=sin(%+C)=sin4cosC+cosZsinC,

BP2sinC-sin^cosC-cos^sinC=^Asin^sinC-sinAcosC，

整理可得2sinC=sinAsinC+cosAsinC=2sinCsin/勺)，

且Ce（O,7i）,貝UsinCwO,可得sin［/+；|=l,

又因為/e（O,無），則+可得/+g=所以N

ooo623

jr

（2）因為/。為/A4C的平分線，則/氏

6

因為S"BC=S*BAD+S&CAD,則

-AB-AC-sinZBAC=-AB-AD-smZBAD+-AD-AC-sinZCAD,

222

&P-bcx^-=—exlx—+—xlx/?x—,可得b+c=V^6c，

222222

在AA4c中，由余弦定理可得力=62+c2-%ccos/A4C=@+c戶處c-~ccos/A4c,

即6=39C）2-26C-6C,整理可得僅c丫-6c-2=0,解得6c=2或歷=-/（舍去），

所以VN8C的面積%而=!6c-sin/S/C=LX2X—=—.

%c2222

22

16.（1）—+^-=1

42

⑵血

【分析】（1）根據(jù)題意得到2c=2血，e=-=—,即可得到答案.

a2

（2）首先設(shè)EA，M）,尸（無2,%）,根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根系關(guān)系得到

卜-小理半，設(shè)直線/與x軸的交點為。臥］'再根據(jù)S"=）叫限為=￥

t+2、乙）幺L

求解即可.

【詳解】⑴由題意得，2c=2夜，c=6,

又e，=亞，貝1］。=2,

a2

JW-C?=2,

22

所以C的標準方程為土+匕=1.

42

（2）由題意設(shè)磯再,必）,產(chǎn)（乙,%）,如圖所示：

答案第8頁，共14頁

7

整理得(〃+2)V+3(y——=0,A>0,

3t7

則…加—近旬，

7y/l6t2+14

故?一%I=鈉%

7+2t2+2-

設(shè)直線/與x軸的交點為嗒oj,

又/'go1貝(一g)=4,

故同朝=今/外區(qū)-刃=2義也富

結(jié)合/>0,解得f=y/^.

17.(1)證明見解析

(2)PA=2

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)定理可得8c1AC,且。EINC,即可得到D￡〃8C,

再由線面平行的判定定理，即可證明；

(2)方法一：作/K,尸C交FC于K,連接8K,由二面角的定義可得44KB是二面角

/-尸的平面角，再由勾股定理代入計算，即可求解；方法二：建立空間直角坐標系,

結(jié)合空間向量的坐標運算以及二面角的公式代入計算，即可求解.

【詳解】(1)證明：???3=DC且￡為NC的中點，.?.DEL/C,

VP4±ABCD,BC<ZABCD,:.PA1BC,

又VPC，8c且P4cPC=P,PA,PCu平面PAC,BC1平面尸/C,

■.■ACu平面PAC,:.BC1AC,

?.?OE與BC共面，DE//BC,

又?.?BCu平面PBC,DE(ZPBC,

答案第9頁，共14頁

DE//平面PBC.

(2)

法1：如圖，作交尸C于K,連接BK.

由AF=BF,AC=BC得AACF*BCF，

NAFK=ZBFK:.AAKF*BKF，

：.BKVFC,且NK=8K,

N/KB是二面角工-尸。-8的平面角,

乙4KB=120°,又?；AC=BC=2AB=272，

"3=巫

AK=

33

在△/CF中，AF=CF,由NC-E尸=BC2K,解得4F=CF=百,

BP=2AF=2其PA=」尸#-A百=2

法2：如圖，以C為原點，C4cB所在直線分別為陽y軸,

建立空間直角坐標系.則C(0,0,0)^(2,0,0),5(0,2,0),

設(shè)尸(2,02)(f>0),則尸(LU),

.?0=(2,0,0)不=(0,2,0),CF=([,1,?),

設(shè)面NCF的法向量為麗=(再,必/]),

答案第10頁，共14頁

m-CA=2x,=0/、

由《一.，令句=—1,可得比=(0/,—1),

m-CF=玉+y+G=0

設(shè)面BC廠的法向量為元=(%,%,z2),由_..-，令Z2=-l,可得

n?CF=x2+y2+tz2=0

?=(Z,O,-1).

設(shè)二面角力-尸。-8的大小為。，則|cosq=n=^—=1,■■■?=1,

|叫,風(fēng)t+12

PA=2t=2.

13

18.⑴分布列見解析，,

⑵證明見解析

【分析】(1)由題意得X的所有可能取值為：2,4,5,求出對應(yīng)的概率，列出分布列及求出

數(shù)學(xué)期望，并求出最大值；

(2)設(shè)事件48分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”.得前兩局比賽結(jié)果可能有：

AA,BB,AB,BA,其中事件44表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件28表示“乙學(xué)員贏得比賽”，事

件/瓦以表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時，甲學(xué)員贏

得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同，所以

P(M)=P(AA)-1+P(BB)-0+P(AB>P(M)+P(BA)-P(M)即可求解.

【詳解】(1)因為每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，所以。+q=l,

由題意得X的所有可能取值為2,4,5,則尸(X=2)=p2+/,

P(X=4)=(pq+qp)p1+(pq+qp)q°=2pq(p2,

P(X=5)=(pq+qp)-(pq+qp)-l=4p2q2.

所以X的分布列為

X245

p2P4(/+/)4p72

所以X的期望E(X)=2(p?+/)+8p?(p2+/)+20p2/

=2(1-2pq)+8pqQ-2pq)+20p2q2=4p2q2+4pq+2,

答案第11頁，共14頁

因為p+q=122j海，所以pqV；,當且僅當〃=?=；時，等號成立，

所以,所以￡(萬)=4。2才+4內(nèi)+2=(2。4+1)2+1{24+1+1=^,

13

故E(X)的最大值為

4

(2)設(shè)事件43分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”.

由題設(shè)可知前兩局比賽結(jié)果可能是也4,BB,AB,BA,其中事件//表示“甲運動員贏得比

賽”，

事件23表示“乙運動員贏得比賽”，事件48,A4表示“甲、乙兩名運動員各得1分”，

當甲、乙兩名運動員得分總數(shù)相同時，甲運動員贏得比賽的概率與比賽一開始甲運動員贏得

比賽的概率相同.

所以P(M)=P(AA)-1+P(BB》0+P(AB)-P(M)+P(BA>P(M)

=尸(/)尸(/)+P(A)P(B)P(M)+P(B)P(A)P(M)

=p2+pqP(M)+qpP(M)=p1+2pqP(M),

所以(l-2pq)尸(M)=p2,即尸(M)=_—,

\-2pq

因為p+q=i,

222

所以P(W)=-------g--------=F--------J------=措十.

(P+夕)-2pqP+2pq+q-2pqp+q

【點睛】關(guān)鍵點精：當甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開

始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同.

19.(1)/(^)=21n(x+1)+cosx,(x>-1).

(2)a=2

(3)證明見解析

【分析】(1)設(shè)/(X)圖象上任意一點坐標為(%,%),利用其對稱點在g(x)的圖象上可得

函數(shù);'(X)的解析式;

(2)令/z(x)=f("-1-辦，可得x=0為A(x)的一個極大值點，求得。，再證明當a=2時

/?(%)<0,在X€(-l,+8)恒成立即可;

2

(3)由(2)可知:/(x)-l<2x,可得了~~k,進而可