函數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題

I考情分析

近年來(lái)同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在模擬試卷導(dǎo)數(shù)解答題中，高考真題中也出現(xiàn)過(guò)同構(gòu)函數(shù)的身影，同構(gòu)法是將

不同的式子通過(guò)變形,轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子,通過(guò)整體思想或換元等將問(wèn)題轉(zhuǎn)化的方

法,這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.此方法常用于求解具有對(duì)數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式、不等式問(wèn)題中，或利

用函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)單調(diào)性，利用此方法求解某些導(dǎo)數(shù)壓軸題往往能起到秒殺效果.

解題秘籍

(一)同構(gòu)函數(shù)揭秘

同構(gòu)式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式，導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)函數(shù)問(wèn)題大多屬于指對(duì)跨階問(wèn)題，比

如e'+,與2+Inc屬于“跨階函數(shù)"，而e'+lna:屬于“跳階函數(shù)”，對(duì)于指對(duì)跳階的函數(shù)問(wèn)題，直接求解,

一般是通過(guò)隱零點(diǎn)代換來(lái)簡(jiǎn)化，并且有很大局限性，有些題若采用指對(duì)跨階函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)，可將跳階函

數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為跨階函數(shù)問(wèn)題，從而使計(jì)算降階，通常構(gòu)造的同構(gòu)函數(shù)有以下幾類：/(，)=，e",/(c)=

xlnx,f(x)=x+ex,f(x)=x+Ina;,f(x)=ex—x+a,/(rc)=In/—力+Q等，在一些求參數(shù)的取值范圍、

零點(diǎn)個(gè)數(shù)、不等式證明、雙變量問(wèn)題中，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問(wèn)題中常通過(guò)構(gòu)造同

構(gòu)函數(shù)求解.利用同構(gòu)函數(shù)解題要注意一些常見(jiàn)的湊形技巧，如；。=einx,x=lne',xe'==

X

x—\nx

題1(2024居陜西南西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期考試)已知函數(shù)/⑺=Inx-3-；

(1)當(dāng)a=2,求/(宏)的極值;

(2)若/Q)e-如恒成立，求a的取值范圍.

-1-

題2（2024屆重慶市南開(kāi)中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)/（乃=/+lnc+加在①=1處的切線

I和直線x-\-y=Q垂直.

（1）求實(shí)數(shù)Q的值；

（2）若對(duì)任意的^,^6（0,2］，，芹g,都有/（&）—1曲）11+忌>小成立（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），

eJe2

求實(shí)數(shù)M的取值范圍.

（二）趾。型同構(gòu)

皿（2023屆吉林看長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三上學(xué)期才試）已知函數(shù)/（乃=e—ac（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求/（%）的極值點(diǎn)；

（2）討論函數(shù)/（力）的單調(diào)性；

x

（3）若g（力）=e（x—l）—alnx+/（a?）有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

?2?

(三)(劣+a)lnx型同構(gòu)

用14(2023屆福建省寧嬉市博健培文學(xué)校高三高考讀最后一卷)已知函數(shù)/(%)=野+rn(meR).

(1)討論函數(shù)/(①)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)小=0時(shí)，若對(duì)任意0,恒有*+1)>/(。)(/+1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(四)e"+ac+b型同構(gòu)

題15(2024居耦定盾漳州市高三上學(xué)期第一次載學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)/(2)=aex+x+1.

(1)討論了(,)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)c>1時(shí),/Q)>In①二1+re,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

?3?

（五）lnc+ax-\-b型同構(gòu)

016已知/（，）=1+-2,。（乃=a+*+ln”,aER

XX

（1）當(dāng)力e（l,+oo）時(shí),求函數(shù)g（宏）的極值；

（2）當(dāng)a=0時(shí),求證：f（x）>g（力）.

典例展示

吼JJ2024居江蘇省徐州市邳州市新世紀(jì)學(xué)校方三上學(xué)期月考）已知函數(shù)/（乃=（/+l）lnc—g.

（1）若Q=l,求/（力）的最小值；

（2）若方程/（為=0趾2。一力2有解,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

?4?

吼2（2024居安微南六校載IT研究會(huì)高三上學(xué)窺素質(zhì)測(cè)試）已知函數(shù)/（C）=ae—He是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)/（①）的單調(diào)性；

（2）若g（C）1）—In力+/（力）有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

幽3（2024居重慶市常北中學(xué)南三上學(xué)期月才）已知函數(shù)/⑺=5旺心（力-1）,g⑶=/（2）+/—52

+力.

⑴當(dāng)。=一1時(shí),求函數(shù)/（力）的極值；

（2）若任意為、X2E（1,+OO）且2聲電，都有"&）一儀切＞1成立,求實(shí)數(shù)如的取值范圍.

力1一/2

4已知/(力)=x2ex—a(x+21n/)

⑴當(dāng)L=e時(shí)，求/(力)的單調(diào)性;

(2)討論/(力)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

5已知函數(shù)/(C)=ex—alnx,aER.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，若曲線g=/(力)與直線g=k/相切于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，證明：/(6)>e；

(3)若對(duì)任意力e(0,+oo),不等式/⑺>alna恒成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍.

,6,

Ml6已知函數(shù)/(2)=x—alnz,(aGR)

(1)請(qǐng)討論函數(shù)/(，)的單調(diào)性

⑵當(dāng)ce「工,+8)時(shí)，若e》—(ln(lnz+2+1)+1)恒成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍

L6/X

------\-1

厘1兀(2023居廣東省深圳市光明區(qū)高三二模)已知函數(shù)/(力)=*二1的圖象在(1,7(1))處的切線經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(^2.2).

(1)求a的值及函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

2_1

(2)設(shè)g(x)=半二L，若關(guān)于x的不等式雙父多)We如—1在區(qū)間(l,+oo)上恒成立,求正實(shí)數(shù)A的取值范

mx

圍.

?7?

期底(2023居海南看海口市龍華區(qū)海命華僑中學(xué)高三一模)已知函數(shù)/(z)=］物+1.

(1)討論函數(shù)/(，)的單調(diào)性；

(2)已知4>0,若存在cC(1,+8),不等式—>.(，)J>lnx成立,求實(shí)數(shù)4的最大值.

(遍產(chǎn)+1x-1

畫(huà)自名(2024屆山東看部分學(xué)校方三上學(xué)期聯(lián)考)已知函數(shù)/(①)=aln(rc+l)—a工.

(1)當(dāng)aW0時(shí)，討論/(力)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)c>-1時(shí),f(x)>咐—f：+&恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

x-rl

?8?

題目⑷已知函數(shù)/（力）=e3g（力）=sin/.

（1）求g（x）=sin/在力=0處的切線方程；

（2）求證:g（力）?g'（力）+1V力?/（力）—In/.

（3）當(dāng)力G[0,7r]時(shí)，g（力）—2[J（x）—1]<mln（rr+1）,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

題目互j已知函數(shù)九（力）=x^—mx.g{x）=Inx+a:+1.

（1）當(dāng)館=1時(shí),求函數(shù)h{x}的單調(diào)區(qū)間：

（2）若人（力）>g（力）在力e（0,+8）恒成立，求實(shí)數(shù)7n的取值范圍.

題目五|已知函數(shù)/（力）=力e1—a力一aln力.

（1）若。=已,求/（力）的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實(shí)數(shù)Q,使/（力）＞1對(duì)力G（0,+8）恒成立，若存在，求出。的值或取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明

理由.

［題目7］已知函數(shù)/㈤=Q/+ln/+l.

（1）若/Q）在（0,+8）上僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若對(duì)任意的。＞0,/3）＜既21恒成立,求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

?10?

——2_i

題目回已知函數(shù)/(，)=氣其圖象在；r=e處的切線過(guò)點(diǎn)(2e,2e2).

(1)求a的值；

(2)討論/(2)的單調(diào)性；

(3)若4>0,關(guān)于，的不等式Axf(x)<e加一1在區(qū)間［1,+oo)上恒成立，求A的取值范圍.

題目回已知函數(shù)f(x)=e。一ac—a，g(0=ax2+a-e>o),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

X

⑴當(dāng)a=e時(shí)，

(i)求在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(ii)求/㈤的最小值；

(2)討論函數(shù)g(