專題13函數模型及其應用

【考點預測】

1.幾種常見的函數模型:

函數模型函數解析式

一次函數模型f(x)=ax+b(a,。為常數且。。0)

反比例函數模型k

/(%)=—+優左，6為常數且4工。)

二次函數模型/(%)=ax2+bx+c(a,b,c為常數且〃wO)

指數函數模型/(x)=bax+c(a,b,。為常數，bwO,a>0,awl)

對數函數模型

f(x)=b\ogax+c(a,b,c為常數，6w。，a>0,awl)

幕函數模型/(x)=axn+b(a,Z?為常數，

2.解函數應用問題的步驟：

(1)審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數學模型;

⑶解模：求解數學模型，得出結論；

⑷還原：將數學問題還原為實際問題.

【題型歸納目錄】

題型一：二次函數模型，分段函數模型

題型二：對勾函數模型

題型三：指數函數、對數函數模型

【典例例題】

題型一：二次函數模型，分段函數模型

例1.（2022.黑龍江?哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次

小區居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的尸點處接球，此時tanZAM=W，假設甲沿著平行

邊線的方向向前帶球，并準備在點Q處射門，為獲得最佳的射門角度（即NAQ3最大），則射門時甲離上

方端線的距離為（）

C.10A/2D.106

例2.（2022?甘肅酒泉?模擬預測（文））如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,。是A8的中點，點P

沿著邊BC、C。與"運動，記=將鉆的面積表示為關于x的函數f（x）,則〃x）=

（）

A.當時，/(x)=2tanx

八23兀

B.當尤i|o,—w,/(x)=-tanx

一3九\

C.當工￡時，/(x)=-tanx

D.當xw彳,》)時，/(x)=tanx

例3.（2022.上海交大附中高三開學考試）2020年11月5日至10日，第三屆中國國際進口博覽會在上海

舉行，經過三年發展，進博會讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創意和理念，聯通中國和世界，國際

采購、投資促進、人文交流，開放合作四大平臺作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產品.在消費品展

區，某企業帶來了一款新型節能環保產品參展，并決定大量投放市場.已知該產品年固定研發成本為150萬

元，每生產1萬臺需另投入380萬元.設該企業一年內生產該產品x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為

500-2x,0<x<20

R（x）萬元,且尺（九）=\"214062502.

370+.................-,x>20

、xx

（1）寫出年利潤S（萬元）關于年產量X（萬臺）的函數解析式；（利潤=銷售收入一成本）

（2）當年產量為多少萬臺時，該企業獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.

例4.（2022.全國?高三專題練習）某廠借嫦娥奔月的東風，推出品牌為“玉兔”的新產品，生產“玉兔”的固

定成本為20000元，每生產一件“玉兔”需要增加投入100元，根據初步測算，總收益滿足函數

,、400X--X2,（0<X<400）

刈無尸2I',其中x是“玉兔”的月產量.

80000,（x>400）

（1）將利潤Hx）表示為月產量尤的函數；

（2）當月產量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）

例5.（2022.河北.模擬預測）勞動實踐是大學生學習知識、鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社會、回

報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產的一種衣服日產量為x

件時，售價為s元/件，且滿足s=820-2x,每天的成本合計為600+20x元，請你幫他計算日產量為

件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

【方法技巧與總結】

1.分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規律分別

找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2.構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏.

題型二：對勾函數模型

例6.（2022.全國?高三專題練習）某企業投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5萬元，

此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一

年增加2萬元.為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備的年數為（）

A.8B.10C.12D.13

例7.（2022.全國?高三專題練習）迷你K7V是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電

話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意

3

圖，其中A8=AE=],ZA=ZB=ZE=90°,曲線段8是圓心角為90。的圓弧，設該迷你K7V橫截面的

面積為S,周長為乙則^的最大值為.（本題中取"=3進行計算）

例8.（2022?全國?高三專題練習）如圖所示，設矩形438（鉆＞4。）的周長為20加，把ABC沿AC折

疊，4?折過去后交。C于點P,設AB=xcm,AD-ycm.

B'

（1）建立變量y與x之間的函數關系式y=/（%）,并寫出函數y=/（%）的定義域;

（2）求△ADP的最大面積以及此時的X的值.

例9.（2022?全國?高三專題練習）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統磚雕精致細膩、

氣韻生動、極富書卷氣.如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形3S所得部分.已知扇環

周長=300cm,大扇形半徑OZ）=100cm,設小扇形半徑Q4=xcm,=6弧度，貝！]

①。關于尤的函數關系式8（尤）=.

②若雕刻費用關于X的解析式為以x）=10x+1700,則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為

【方法技巧與總結】

1.解決此類問題一定要注意函數定義域；

2.利用模型/（%）=ax+b巳求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.

x

題型三：指數函數、對數函數模型

例10.（2022?全國?模擬預測）天文學上用絕對星等衡量天體的發光強度，用目視星等衡量觀測者看到的天

體亮度，可用加=相-51gq■近似表示絕對星等“、目視星等機和觀測距離d（單位：光年）之間的關

系.已知織女星的絕對星等為0.58,目視星等為0.04,大角星的絕對星等為-0.38,目視星等為-0.06,則

觀測者與織女星和大角星間的距離的比值約為（）

A.10幺2B.10。172c.IO-0044D.1O-0172

例11.（2022.河南?模擬預測（文））金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時

需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度場與其采摘后時間f（天）滿足的函數解析式為

〃=加ln?+a）,（a>0）.若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%,采摘后3天，金針菇失去的新鮮度

為80%.那么若不及時處理，采摘下來的金針菇在多長時間后開始失去全部新鮮度（已知左。1.414,結

果取一位小數）（）

A.4.0天B.4.3天C.4.7天D.5.1天

例12.（2022.陜西西安?三模（理））2022年4月16日，神舟十二號3名航天員告別了工作生活183天的

中國空間站，安全返回地球中國征服太空的關鍵是火箭技術，在理想情況下，火箭在發動機工作期間獲得

速度增量的公式刈=匕比%，其中為火箭的速度增量，匕為噴流相對于火箭的速度，砥和%分別代

表發動機開啟和關閉時火箭的質量，在未來，假設人類設計的某火箭以達到5公里/秒」，從100提高到

mx

600,則速度增量增加的百分比約為（）（參考數據：1112=0.7,ln3~l.l,ln5~1.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

例13.（2022.貴州?模擬預測（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環境，從而對入侵地

的生態系統造成危害的現象.若某入侵物種的個體平均繁殖數量為Q,一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相

鄰兩代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數模型K5）=21n〃（4為常數）來描述該物種累

計繁殖數量〃與入侵時間K（單位：天）之間的對應關系，且。=；+1,在物種入侵初期，基于現有數據

得出Q=6,7=50.據此估計該物種累計繁殖數量比初始累計繁殖數量增加11倍所需要的時間為

（ln2?0.69,ln3~1.10）（）

A.22.0天B.13.8天C.24.8天D.17.9天

例14.（2022.四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘

帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號

召，積極參與幫扶活動.該企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補

貼10萬元.若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：

VL82?1.22,1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

例15.（2022?廣西?模擬預測（理））異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系

通常以基函數形式表示.比如，某類動物的新陳代謝率,與其體重x滿足＞=履"，其中人和a為正常數，

該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀

態的8倍，則&為（）

A.-B.1C.-D.-

4234

例16.（2022?貴州貴陽?二模（理））2021年11月24日，貴陽市修文縣發生了4.6級地震，所幸的是沒有

人員傷亡和較大財產損失，在抗震分析中，某結構工程師提出：由于實測地震記錄的缺乏，且考慮到強震

記錄數量的有限性和地震動的不可重復性，在抗震分析中還需要人工合成符合某些指定統計特征的非平穩

地震波時程，其中地震動時程強度包絡函數/（。=L（單位：秒）分別為控制強震

1

平穩段的首末時刻；f,（單位：秒）表示地震動總持時；。是衰減因子，控制下降段衰減的快慢.在一次

抗震分析中，地震動總持時是20秒，控制強震平穩段的首末時刻分別是5秒和10秒，衰減因子是0.2,

則當/=15秒時，地震動時程強度包絡函數值是（）

A.e-B.1C.9D.e-2

【方法技巧與總結】

1.在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的一類函數模型，與增長率、

銀行利率有關的問題都屬于指數模型.

2.在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數圖像求

解最值問題.

【過關測試】

一、單選題

1.（2022?遼寧葫蘆島?二模）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產卵數y與溫度x（單位：℃）的關系.現

收集了7組觀測數據（%,y）［=l,2,L,7）得到下面的散點圖：

350

300

250

200

150

100

50

?02224262830323436

溫度/°C

由此散點圖，在20℃至36℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產卵數y和溫度x的回歸方

程類型的是（）

b

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+bexD.y=a+blnx

x

2.（2022.全國.模擬預測）影響租金的因素有設備的價格、融資的利息和費用、稅金、租賃保證金、運

費、各種費用的支付時間、租金的計算方法等，而租金的計算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法

每期租金R的表達式為R=+（其中尸為租賃資產的價格；N為租賃期數，可按月、季、半

N

年、年計；i為折現率；r為附加率）.某小型企業擬租賃一臺生產設備，租金按附加率法計算，每年年末

支付，已知設備的價格為84萬元，折現率為8%,附加率為4%,若每年年末應付租金為24.08萬元，則

該設備的租期為（）

A.4年B.5年C.6年D.7年

3.（2022?全國?模擬預測）隨著社會的發展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻

繁，這對信息技術的要求越來越高，無線電波的技術也越來越成熟.其中電磁波在空間中自由傳播時能量

損耗滿足傳輸公式：￡=32.44+201g￡>+201gF,其中。為傳輸距離，單位是km,P為載波頻率，單位是

MHz,L為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB.若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB,則傳輸距

離增加了約（參考數據：愴2。0.3,34。0.6）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

4.（2022?全國?模擬預測）施工企業承包工程，一般實行包工包料，需要有一定數量的備料周轉金，由建

設單位在開工前撥給施工企業一定數額的預付備料款，構成施工企業為該承包工程儲備和準備主要材料、

結構件所需的流動資金.確定工程預付款起扣點的依據是：未完施工工程所需主要材料和構件的費用等于

工程預付款的數額.計算公式為：7=尸-三（r：工程預付款起扣點，尸：承包工程合同總額，M：工

N

程預付款數額，N：主要材料及構件所占比重）.某施工企業承接了一個合同總額為208萬元的新工程，

該工程預付款起扣點為160萬元，主要材料及構件所占比重為65%,則建設單位應預付給施工企業的金額

為合同總額的（）

A.12%B.15%C.18%D.21%

5.（2022.北京.二模）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）

與時間單位：h）間的關系為尸=4片,其中玲，人是正的常數.如果在前10h污染物減少19%,那么

再過5h后污染物還剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

6.（2022?全國?模擬預測）某污水處理廠為使處理后的污水達到排放標準，需要加入某種藥劑，加入該藥

劑后，藥劑的濃度C（單位：mg/m3）隨時間單位：h）的變化關系可近似的用函數

100(7+1)

c。＞0）刻畫.由此可以判斷，若使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值，需經過

(0=/+41+19

)

A.3hB.4hC.5hD.6h

7.（2022?云南曲靖.二模（文））某大型家電商場，在一周內，計劃銷售A、8兩種電器，已知這兩種電器

每臺的進價都是1萬元，若廠家規定，一家商場進貨B的臺數不高于A的臺數的2倍，且進貨8至少2臺，

而銷售A、8的售價分別為12000元/臺和12500元/臺，若該家電商場每周可以用來進貨A、8的總資金為

6萬元，所進電器都能銷售出去，則該商場在一個周內銷售A、B電器的總利潤（利潤=售價一進價）的

最大值為（）

A.1.2萬元B.2.8萬元C.1.6萬元D.1.4萬元

8.（2022?全國?高三專題練習）基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數，基本再生數指一

個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以

用指數模型：/?）="描述累計感染病例數/?）隨時間f（單位：天）的變化規律，指數增長率廠與4,T

近似滿足&=1+".有學者基于已有數據估計出&=3.28,7=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計

感染病例數增加3倍需要的時間約為（ln2,0.69）（）

A.3.6天B.3.0天C.2.4天D.1.8天

二、多選題

9.（2022?全國?高三專題練習（理））某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km（不超過

3km按起步價付費）；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分

按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元，下列結論正確的是（）

A.出租車行駛2km,乘客需付費8元

B.出租車行駛4km,乘客需付費9.6元

C.出租車行駛10km,乘客需付費25.45元

D.某人兩次乘出租車均行駛5km的費用之和超過他乘出租車行駛10km一次的費用

10.（2022?全國?高三專題練習）某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注

射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間f（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲

線.據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（）

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小時

C.注射該藥物1小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

O

、_31

D.注射一次治療該病的有效時間長度為5魚時

11.（2022?全國?高三專題練習）“雙H”購物節中，某電商對顧客實行購物優惠活動，規定一次購物付款總

額滿一定額度，可以給與優惠：（1）如果購物總額不超過50元，則不給予優惠；（2）如果購物總額超過

50元但不超過100元，可以使用一張5元優惠券；（3）如果購物總額超過100元但不超過300元，則按標

價給予9折優惠；（4）如果購物總額超過300元，其中300元內的按第（3）條給予優惠，超過300元的部

分給予8折優惠.某人購買了部分商品，則下列說法正確的是（）

A.如果購物總額為78元，則應付款為73元

B.如果購物總額為228元，則應付款為205.2元

C.如果購物總額為368元，則應付款為294.4元

D.如果購物時一次性全部付款442.8元，則購物總額為516元

2

12.（2022?全國?高三專題練習）某一池清里浮萍面積了（單位：m）與時間r（單位：月）的關系為

y=2"下列說法中正確的說法是（）

A.浮萍每月增長率為1

B.第5個月時，浮萍面積就會超過30m2

C.浮萍每月增加的面積都相等

D.若浮萍蔓延到2m2,Bn?,6m?所經過時間分別為6,則

三、填空題

13.（2022.全國?模擬預測）一種藥在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有療效，而低于500mg病人就有

危險.現給某病人靜脈注射了這種藥2000mg,如果藥在血液中以每小時10%的比例衰減，為了充分發揮

藥物的利用價值，那么從現在起經過小時內向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.（附：

lg2?0.3010,lg3?0.4771,精確至iJO.lh）

14.（2022.遼寧丹東?模擬預測）某公司2021年實現利潤100萬元，計劃在以后5年中每年比上一年利潤

增長4%,則2026年的利潤是萬元.（結果精確到1萬元）

15.（2022?北京?二模）某公司通過統計分析發現，工人工作效率E與工作年限廠（廠>0）,勞累程度

HO<T<1）,勞動動機儀1<6<5）相關,并建立了數學模型E=10-10T為如".

己知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個結論:

①甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長,勞累程度弱，則甲比乙工作效率高;

②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長,勞動動機高，則甲比乙工作效率高;

③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強:

④甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱.

其中所有正確結論的序號是

16.（2022?全國?高三專題練習）長江流域水庫群的修建和聯合調度，極大地降低了洪澇災害風險，發揮了

重要的防洪減災效益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量

的基礎上聯合調度，統一蓄水，用蓄滿指數（蓄滿指數=（水庫實際蓄水量）-（水庫總蓄水量）X100）來

衡量每座水庫的水位情況.假設某次聯合調度要求如下：

（i）調度后每座水庫的蓄滿指數仍屬于區間［。,100］;

（ii）調度后每座水庫的蓄滿指數都不能降低；

（iii）調度前后，各水庫之間的蓄滿指數排名不變.

記彳為調度前某水庫的蓄滿指數，y為調度后該水庫的蓄滿指數，給出下面四個y關于x的函數解析式：

①,=一萬廠+6%；?y=lOyfx；③y=而；@y=lOOsin——x.

乙U乙uu

則滿足此次聯合調度要求的函數解析式的序號是.

四、解答題

17.（2022?上海交大附中高三期中）“跳臺滑雪”是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞

性和挑戰性極強.如圖：一個運動員從起滑門點A出發，沿著助滑道曲線〃尤）=-相二，（-6《尤40）滑

到臺端點8起跳，然后在空中沿拋物線g（x）=62-20④->（尤>0）飛行一段時間后在點C著陸，線段BC

的長度稱作運動員的飛行距離，計入最終成績.已知8（力=加-206在區間［0,30］上的最大值為

-30,最小值為-70.

/（起滑門）

助滑道

7、、空中飛翔

8（臺端）\

。（著陸點）

⑴求實數。，6的值及助滑道曲線A8的長度.

（2）若運動員某次比賽中著陸點C與起滑門點A的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米,

75?2.236）.

18.（2022.上海市建平中學高三階段練習）有一條長為120米的步行道。4,A是垃圾投放點?，以。為

原點，為x軸正半軸建立直角坐標系.設點以x,0）,現要建設另一座垃圾投放點e&0）,函數￡（x）

表示與點B距離最近的垃圾投放點的距離.

⑴若7=60,求啟。0）、江（80）、啟（95）的值，并寫出啟⑺的函數解析式；

（2）若可以通過f（x）與坐標軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利.問：垃圾投放點？

建在何處才能比建在中點時更加便利？

19.（2022?上海市松江二中高三開學考試）某市環保部門通過研究多年來該地區的大氣污染狀況后，建立

了一個預測該市一天中的大氣污染指標與時間t（單位：小時）之間的關系的函數模型：

“f）=g（t）+g