熱點03函數及其性質

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2022年，第4題，考察函數的概念與指對幕化簡

2022年，第11題，考察函數的定義域

2022年，第14題，考察分段函數的最值函數的定義域、函數值以及分段函數與基本初等函數

2023年，第4題，考察函數單調性的判斷及其性質依舊是重點關注方向，主要是選擇填空題為

2023年，第11題，考察函數值與指對幕運算主

2023年，第15題，考察分段函數與平面解析幾何

2024年，第9題，考察函數的單調性與基本不等式

熱點題型解讀

題型1函數的定義域

(1)求具體函數定義域的幾種類型：①若/(”是整式，則函數的定義域是R.

②若/(x)是分式，則應考慮使分母不為零；③若/(x)是偶次根式，則被開方數大于或等于零.

④若/(X)是由幾個式子構成的，則函數的定義域是幾個部分定義域的交集；

(2)抽象函數的定義域的求法：

①已知/(x)的定義域，求/[g(x)]的定義域：若/(x)的定義域為以㈤，則/[g(x)]中

I______________________________________________________________________________________

a<g(x)<bt從中解得x的取值集合即為/[g(x)]的定義域；

②已知/[g(x)]的定義域，求/(x)的定義域：若/[g(x)]的定義域為,即aWxWb,求得g(R

：的取值范圍，g(x)的值域即為/(x)的定義域.■

I.(2024?北京通州?二模)已知函數〃x)=/+lg(x-2)的定義域為-

【答案】{#>2}

fx>0

【詳解】根據題意可得°C，解得X>2

故定義域為。k>2}.

故答案為：{x\x>2]

2.(2024?北京西城?二模)函數/(x)=Jl+lo/x的定義域是.

【答案】《，+8)

【詳解】函數〃x)=Jl+logjX的定義域是:

fl+log,x>01

3，解得：

[x>0n3

故答案為：[g，+8).

3.(2024?吉林延邊?模擬預測)已知函數夕=/(》+1)的定義域是[-2,刃，則y=/(x-l)的定義域是

【答案】[0,5]

【詳解】由函數y=〃x+l)的定義域是[-2,3],得一24x43,M-1<x+1<4,

由-lWx-144,解得04xW5,

所以，=/(x-l)的定義域是[0,5].

故答案為：⑼5]

1.i-9

4.(2024?北京懷柔?模擬預測)函數/(x)=lg=二r的定義域是.

【答案】(F,-；)U(0,+8)

【詳解】函數/'(x)=lg匕三有意義，則上F>0OX(2X+1)>0,解得x<-g或X>0,

所以函數〃x)=lg匕產的定義域是(-8「g)U(0,+8).

故答案為：(-*-g)U(0,+?5)

5.(2023?北京延慶?一模)已知函數y=Jax+1的定義域為A,且-3e/,則。的取值范圍是.

【答案】［*；

【詳解】由一可知一3々+120,

解得4"§，

故答案為：16,1.

題型2求函數的最值或值域

一立一

（1）配方法：當所給函數是二次函數或可化為二次函數處理的函數時，可利用配方法求其值域；

（2）分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為"反比例函數類"的形式，便于求

值域

（3）換元法：運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域.

1.（20234京施赳一般若函莪/1（乃=.-°卜1而值金由二+8）,危薪.訪一個最寇可H/.

【答案】1

【詳解】如果a?0,〃力=|2，一4一1=2，一°一1,其值域為（一。-1,+⑹，

-a-12-1,不符合題意；

如果a>0,當x=log2a時，2X-a=0,

|2A-a|就是把函數x<log2a的部分以x軸為對稱軸翻折上去，

.?.此時忙-a|的最小值為0,“力=|2，-4-1的最小值為一1,值域為卜1,+8）,

所以ae（0,+co）,不妨取0=1；

故答案為：1.

2.（2023?北京海淀?模擬預測）若函數〃x）=M的定義域是［0,+功，則〃x）的值域是.

【答案】［T#

—

--Ir(\X-}X+122

【詳解AT1】由〃力—

12

當xNO時，x+l>l,所以0<——<1,貝IJ—2?-----<0

x+lX+1

所以T<1-^O-<1,即/（x）=Y=-■］（》>0）的值域為卜”）

X十1X十1

故答案為：

3.（2023?北京通州?一模）下列函數中，是偶函數且值域為［0,+8）的是（）.

A./(x)=x2-1B.f(x)=

C./(x)=log2xD./(x)=|x|

【答案】D

【詳解】對A,/(x)=x2-l>-l,即值域為卜1,+8),故A錯誤；

對B,/(x)=3的定義域為[0,+s),定義域不關于原點對稱，不是偶函數，故B錯誤；

對C,/(耳=1。82》的定義域為(0,+8),定義域不關于原點對稱，不是偶函數，故C錯誤；

對D,〃x)=|x|的定義域為R,/(-x)=|x|=/(%),故〃x)是偶函數，且/(力=120,即值域為

[0,+co),故D正確.

故選：D.

4.(2024?北京懷柔?模擬預測)已知函數了仁人親不，則對任意實數x,函數/(x)的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【答案】C

2(21)2

【詳解】依題意，/M=X7~=2一一L,

V72X2+12X2+1

22

顯然2》2+啟1,則0<L^W2,于是042-L^<2,

2X2+12X2+1

所以函數的值域是[0,2).

故選：C

5.(2020?北京通州?一模)給出下列四個函數：①y=/+l；?y=\x+l\+\x+2\.③>=2，+1；

④y=/+cosx,其中值域為[1,+8)的函數的序號是.

【答案】①②④

【詳解】①:/WO,.占+121,故函數>=*+1的值域為口,+8),符合題意；

②y=卜+1|+卜+2隹卜+1)-(x+2)|=l,故函數y=|x+l|+|x+2|的值域為口,+8),符合題意；

③2*+1>1，故函數y=2'+l的值域為。,+8),不合題意；

④函數〃x)=x2+cosx為偶函數，

且/'(x)=2x-sinx,/,,(x)=2-cosx>0,故y=7'(x)在R上單調遞增，

又/'(0)=0,故當xe(0,+8)時，/,(x)>/'(0)=0,函數y=〃x)單調遞增；

則當xe(ro,0)時,/,(x)</,(0)=0,函數y=/(x)單調遞減,

又"0)=1,故函數〉=Y+cosx的值域為[1,+8),符合題意.

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查的是有關函數的問題，涉及到的知識點有求函數的值域，在解題的過程中，注意結合基

本初等函數的值域以及借助導數研究函數的值域，屬于中等題目.

題型3分段函數問題

1立T

!

已知函數值，求自變量的值時，要分類討論自變量的取值范圍，將脫掉，轉化為關于自變量的方程

求解

y2_1x<0

{早Q0，若/(加)=8,則加=.

【答案】-3或;3

【詳解】因為=工：；°旦/(加)"，

時_1=8(4m=8

所以{八或IC，

[m<0[m>0

,3

解得加=—3或加=,.

3

故答案為：-3或5

f+[x<]

2.(2024?北京朝陽?二模)已知函數/(6=-'一，，存在最小值，則實數0的取值范圍是()

[2-a,x>l

A.(-℃,!]B.(-℃,1)C.[l,+8)D.(1,+℃)

【答案】A

【詳解】當xWl時,f(x)=x2+l,

所以/(x)在(-8,0)上單調遞減，在(0』上單調遞增，則/(x)1nhi=/(0)=1,

當x>l時，f(x)=T-a,所以〃x)在(1,+⑹上單調遞增，無最小值，

根據題意，/(x)存在最小值，

所以2-a21,即aW1.

故選：A.

,、x2+x,-2<x<0,、

3.(2024?北京西城?一模)已知函數〃無)=廠，若/(x)存在最小值，貝ijc的最大值為()

-y/x,0<x<c

【答案】A

2

【詳解】當一2<x<0時，/(X)=x+x=^+^—故當x=-；時，/(x)有最小值為一;；

0<x<c時，八>)=-6單調遞減，所以-五</(x)40,

由題意“X)存在最小值，則-五2一，解得0<cV5，即C的最大值為工

41616

故選：A

logj(l-x),-l<x<n

4.(2024?北京通州?三模)已知函數〃x)=2的值域是[-1J,若，，則優的取值

22-IT-'I-3,n<x<m一

范圍是.

【答案】[1,2]

【詳解】當x>l時，x-l>0,此時7=22*”-3=22-加-3=23-，-3單調遞減，

當T<x<l時，x-l<0,止匕時7=22#-4-3=22+，一一3=25一3單調遞增，

所以y=22*"-3在(-U)上單調遞增，在(L+8)上單調遞減，

所以當x=l時，y=22-4-3取得最大值，為2=3=1,

作出夕=log,(1-x)與了=22Tl-3在[-1,+8)上的圖象如圖所示:

2

當力€[0,1)，xe[-l,n]0t,1-XE[1-H,2],此時/'㈤=log,。-x)e[Tlogdl-叫，

222

此時T&f(x)<log,(1一〃)<1,

2

因為“X)的值域為[-1,1],則xe(〃,利時,/(x)=l必有解，即22Tl一3=1,解得X=l,由圖知me[l,2],

故答案為：口,2]

【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數的綜合問題，考查分段函數，考查由函數的值域確定參數的范圍，解

題的關鍵是根據題意作出函數圖象，結合圖象求解，考查數形結合的思想，屬于較難題.

中|<1,則了出

5.(2024?北京東城?二模)設函數/(x)=<,不等式〃x)</(2x)的解集

尤;國>1

是.

1og+oo

【答案】1-co--

2

【詳解】由題意可知：f/Qj=/(l)=l；

因為/(%)</(2x),

當|2司<1,即一g<x<g時，則同<g<l,可得1<1,不合題意；

［2x1>1(1］「1、，、2

當［‘I,即xe「l,一〃。匕口時，可得1<(24，

解得x>；或x<-；，所以

當國21,即x21或xV-l時，則|2耳=2國22>1,可得x2<(2x)2=4d,符合題意；

綜上所述：不等式/(x)</(2x)的解集是(一叫一

故答案為：1;1“'-gU'+e］

題型4函數的單調性

!00?式

已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法是：視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函

?

數的單調區間，通過與已知單調區間比較，求參數的取值范圍.

J--_■―-_■_■_.|_-_■-_■_(■■_■|b?■_——!-_■IM■一■―-_>■_一■■■

1.(2024?北京西城?三模)已知函數［(x)=2，，若X/Xi./eR,且占<工2，則下面結論錯誤的是()

(I</(4)+/(<2)

A./(西)</(無2)I2)2

C.f(xxx2)=f(xi)+f(x2)D,f(xx+x2)=/(X1)/(x2)

【答案】C

【詳解】由指數函數的單調性可知“X)在R上單調遞增，

又玉<龍2，所以/(再)</。2),故A正確；

因為2%>0,2%>0,

所以/(芭)+/口2)=2為+2*"2*、.2*2=2學=/{^^

又占<七，所以上式取不到等號，所以詈;故B正確；

f^x2)=,/(%,)+/(%)=2』+2%,

Vxj,x2eR,再<々，/■(占馬)2/(%)+/區)，故C錯誤；

/(演+%)=2Q也,/(占)/。2)=2%?2工2=2?力=/&+%),故D正確.

故選：C.

x-l,x<0

2.(2024?北京順義?二模)若函數〃x)=，0,x=0,則“再+迎>0”是“〃龍1)+〃尤2)>0”的()

x+l,x>0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】由題意可知：/(x)的定義域為R,且/(。)=0,

若x>0,則一x<0,可知/(x)+/(-x)=(x+l)+(-x-l)=0,

若x<0,同理可得〃x)+〃-x)=0,所以〃龍)為奇函數，

作出函數〃x)的圖象，如圖所示，

由圖象可知/(x)在R上單調遞增，

若占+%>0,等價于再>f,等價于〃%)>/(-％)=-/(3),等價于〃xJ+〃X2)>0,

所以“再+%>0”是“/(%)+/(無2)>0”的充要條件.

故選：C.

3.(2023?北京朝陽?二模)已知aeR,則“a=0”是“函數〃x)=|x-a|在區間(0,+功上單調遞增”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

一［x.x>0

【詳解】當。=0時，〃x)=x=c，顯然在(0,+功上單調遞增，充分性成立；

11l-x,x<0

I?IX+1,x—1

而〃x)=k+l|=|在區間(o,+功上單調遞增，此時。=-1,必要性不成立；

所以“4=0”是“函數/⑴=|X-〃|在區間(0,+co)上單調遞增”的充分而不必要條件.

故選：A

4.(2023?北京通州?三模)設。=ln0.2,6=0.2，,c=e02,則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【詳解】因為y=lnx在(0,+s)上單調遞增，且!<0,2<1，

ee

所以ln4<ln0.2<ln1，化簡得一2<。<一1；

ee

因為y=02，在R上單調遞減，且2<e<3,

所以0.23<0.2,<0.22,化簡得0.008<><0.04；

因為y=e"在R上單調遞增，且0<0.2<1,

所以e°<e°-2<e1化簡得l<c<e；

綜上，可知a<6<c.

故選：A

5.(2024?北京朝陽?一模)已知aeR,則“0<a<1”是“函數/(x)=。-4)無⑶在R上單調遞增”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】對于函數/(x)=(l-

當a=l時，/(%)=0,為常數函數，

當。>1時，函數/(x)=(l-a)x3在R上單調遞減，

當a<l時，l-a>0,函數/(x)=0-a)無3在R上單調遞增，

所以"0<a<1”是“函數/⑴=(1-a］在R上單調遞增”的充分而不必要條件.

故選：A.

題型5函數的奇偶性

■■■■■■■■■■■

匕

!00目雹

(i)判斷奇偶的方法：先檢查定義域是否關于原點對稱，若不是，則為非奇非偶函數；若是，則判斷是

否滿足/(-x)=-/(X)或/(-x)+/(x)=O,若不是，則為非奇非偶函數，若是，則為偶函數或奇函

i數；；

(2)利用奇偶性求參數的2種類型：

II

①定義域含參數：奇偶函數/(X)的定義域為[a，6],根據定義域關于原點對稱，利用。+6=0求參數.

II

②根據/(f)=-/(%)或/(f)=/⑺列式，比較系數利用待定系數法求解.

I_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________I

'3\x<0,

1.(2024?北京海淀?二模)函數/(》)=門丫是()

II拼"。

A.偶函數，且沒有極值點B.偶函數，且有一個極值點

C.奇函數，且沒有極值點D.奇函數，且有一個極值點

【答案】B

【詳解】當x40時，T>0,則/(一x)=(；尸=3'=〃x),

當x>0時，一x<0,貝IJ〃-x)=3f=d『=/(x),

2.(2023?北京豐臺?一模)已知“X)是定義在R上的奇函數，當x>0時，/(x)=log2x,則/(-2)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【詳解】因為“X)是定義在R上的奇函數，當x>0時，/(x)=log2x,

所以〃-2)=-/(2)=7og22=-l.

故選：A

3.(2023高三?北京海淀?專題練習)函數/(工)=35(%+4)+5由(％+6),則()

A.若a+6=。，則/(x)為奇函數B.若。+6=',則/(x)為偶函數

C.若b-a=5,則〃x)為偶函數D.若"6=兀，則/(x)為奇函數

【答案】B

【詳解】/(%)的定義域為R,

對A：若Q+6=0,/(x)=cos(x+?)+sin(x-6z),若/(x)為奇函數，貝4/⑼=0,而/⑼=cosq-sina=0

不恒成立，故/(x)不是奇函數；

=COS(X+Q)+COS(X-Q),

/(-x)=cos(-x+di)+cos(-x-^)=cos(x-^)+cos(x+tz)=/(x),故/(x)為偶函數，B正確;

71

X+—+6Z=2cos(x+a),/(-X)=2COS(-X+Q)W/(X),故/(%)

不是偶函數，故C錯誤；

對D：若1一6=兀，/(x)=cos(x+6+7i)+sin(x+b)=—cos(x+6)+sin(x+b),

若〃無)為奇函數，則〃0)=0,而〃0)=-cos6+sin6=0不恒成立，故〃x)不是奇函數；

故選：B

4.(2023?北京?模擬預測)下列函數中為偶函數的是()

A.y=|lnx|B.y=e-xC.y=xsinxD.y=xcosx

【答案】C

【詳解】A：由函數定義域為xe(0,+s),不關于原點對稱，不可能為偶函數；

B：由e9)=e、士尸,故歹=尸不為偶函數；

C：(-x)sin(-x)=xsinx且定義域為R,故〉=xsinx為偶函數；

D：(-x)cos(-x)=-xcosx且定義域為R,故了=》<：05%為奇函數.

故選：C

2

5.(2023?北京昌平?二模)已知函數〃x)為奇函數，且當x>0時，f(x)^x2--,則〃-1)=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

2

【詳解】已知函數〃x)為奇函數，且當x>0時，f(x)=x2--,

則/(T)=-/⑴=-(1-2)=1.

故選：A.

題型6單調性，奇偶性的結合

00

奇偶性與單調性解不等式:

?________________________

①利用已知條件，結合函數的奇偶性，把已知不等式轉化為/（為）＜/（%）或/（為）＞/（》2）的形式；

②根據奇函數在對稱區間上的單調性一致，偶函數在對稱區間上單調性相反，脫掉不等式中的轉化

II

為簡單不等式求解.

I__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________I

-4+3,則不等式/（1a）＞3的解集為（

1.（2023?北京西城?模擬預測）已知函數/（x）=log2)

A.1:,可B.

C.（1,10）D.馬隊⑼

【答案】D

【詳解】由啊":得"0,即函數/（尤）的定義域為（-8,O）U（O,+8）.

x

g+3=/(x),

因為/(f)=10g2F￥+3=10g2

所以/⑴為（-8,0）U（0,+8）上的偶函數,

當%>0時，f(x)=log-T+3，

X

因為函數7=^+1在（0,+8）上單調遞減，所以＞=10g2，1+1在（0,+動上單調遞減,

XX

￡+3都是在（。,+⑹上單調遞減,

又〉=

根據單調性的性質，可知函數/（無）在（0,+8）上單調遞減,

又因為函數/（X）為偶函數，所以函數/（X）在（-00,0）上單調遞增,

又/⑴=3,所以〃續）＞3=/⑴,可得|1謝＜|1|=1,

所以且IgxwO,解得3＜x＜l或l＜x＜10,

所以不等式/（贖）＞3的解集為（'JU。』。）.

故選：D

2.（2023?北京豐臺?二模）已知偶函數/（x）在區間［0,+8）上單調遞減.若〃lgx）＞〃l）,則x的取值范圍

是（）

C-曲。］D.叫卜（1。,+功

【答案】C

【詳解】解：偶函數/（無）在區間［0,+8）上單調遞減，所以/（X）在區間（-8,0］上單調遞增；

則〃lgx）>/⑴等價于|lgx|<1,即-1<Igx<1,

即lg：<lgx<lglO,解得右x<10,即原不等式的解集為io］；

故選：C

3.（2024?北京?模擬預測）函數=記?==/（3心）,0=/1085￡|,則（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【詳解】注意到〃x）定義域為全體實數，且/（-工）=（_，+1=/3=",

所以/（X）是R上的偶函數，

lo2

從而。==小叫g］=/（g5），

因為y=/+1在（0,+8）上單調遞增，

所以〃x）=￡T關于x在（6+8）上單調遞減，

而抽2<皿5；=；</半=37,

所以b<a<c.

故選：B.

4.（2023-23高三?河北邯鄲?期中）設〃x）為定義在R上的偶函數，且/（x）在乩+⑹上為增函數，則

-2）、/（-兀卜〃3）的大小順序為（）

A./（-K）</（-2）</（3）B./（-2）</（3）</（-7i）

C./（-TI）</（3）</（-2）D./（3）</（-2）</（-^）

【答案】B

【詳解】因為/（x）為定義在R上的偶函數，

所以/（一2）=/⑵,/（甸=/（兀）,

又因為/（x）在［0,+功上為增函數，2<3<7t,

所以/(2)</(3)</(功,gp/(-2)</(3)</(-7T).

故選：B.

5.(2023?北京?模擬預測)設函數〃x)=2|xT+log3(x-l)2,不等式/(辦)4/(尤+3)在xe(l,2]上恒成立,

則實數。的取值范圍是()

A.B.(-?>,2]

「，5]「35-

C.-1,—D.U1,—

L2jL22；L2j

【答案】D

【詳解】解：設g(x)=/(x+l),即g(x-l)=/(x),

因為/(x)=21尤-1+logs(x-I)2,

所以/(上2卜-1|+210g3卜-1|,

所以g(x)=2|x|+210g3MxwO,

由g(-尤)=2|-x|+21og3|-尤|=g(x),

所以函數>=g(x)為偶函數，

當x>0時，g(x)=2x+2k)g3x為單調遞增函數，

當x<0時，y=g(x)為單調遞減函數，

因為f(")</(x+3)在xe(l,2]上恒成立,

所以g(辦T)4g(x+2),

|ajc-l|<|x+2|

根據函數g(x)的奇偶性與單調性得，<辦-120,

x+2w0

又因為xe(l,2],

以—x—24ax—1Kx+2,

13

即一1——<a<l+~,

xx

即1-1—|11+—|,

\XJmax\Mmin

又因為函數>=-1-'在、￡(1,2]上單調遞增,

x

3

所以當、=2時，|-1--

xmax2

7

又因為函數＞=1+三在xe(l,2］上單調遞減,

35

所以

22

又xe(l,2］時，ax-1^0,所以。￡

「

所以實數0的取值范圍是卜-天31拜1［1，55

故選：D.

題型7函數的周期及類周期

函數周期的常用結論：①若〃x+a)=〃x),則7=。；②若小+。)=小-。)

,則7=2。；

③若/(x+a)=—/(x),貝UT=2a;④若/(》+。)=,則T=2a;

⑤若/(x+a)=/(x+6),則7=卜一回gb、;

1.(2024?陜西?一模)己知定義在R上的函數“X)滿足〃x+3)=-〃x),且/(—1)=2,則/(2024)=

()

A.-4B.-2C.4D.2

【答案】B

【詳解】因為〃x+3)=-/(x)且/(—1)=2,可得/⑵=-/(-1)=-2,

由/(x+3)=-/(%),可得〃x+6)=-/(x+3)=〃x),

所以函數〃無)的一個周期為6,貝廳(2024)=〃6x337+2)=〃2)=-2.

故選：B.

2.(2023?福建寧德?模擬預測)已知〃x)是定義在R上且周期為2的函數，當xe［Tl)時,

—2x~+4,—14x<0

sinTtr,0<x<1

A.—B.D.也

2

【答案】D

【詳解】由題意：/(3)=/(3-4)=/(-1)=-2+4=2,

所以〃3"15=2義務技

故選：D

3.(2024?安徽蕪湖?模擬預測)已知函數〃x)是定義在R上的偶函數，且〃x+4)=/(x),當2<x<4時,

f(x)=2x-2,則/(1)=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】C

【詳解】由2cx<4時，函數〃x)=2i,可得〃3)=2,

因為函數〃x)是定義在R上的偶函數，且/(x+4)=/(x),

可得〃1)=〃T)=〃3)=2.

故選：C.

4.(202023-24高一下?安徽合肥?開學考試)設函數/⑴的定義域為凡滿足〃x+l)=，且當xe(0,1]

Q

時，/(%)=%(%-1).若對任意工￡[加,+8),都有-則加的最小值是()

4556

A.——B.——C.——D.——

3345

【答案】A

【詳解】根據函數在(0,1]上的解析式，以及/(x+l)=g/(x),求出函數在(-1,0],(-2,-1]上的解析式，求出

滿足題意的臨界值即可.

"(x)=2/(x+l)

當xe(O,l]時，/(x)=x(x-l)e-；,0,

xe(-l,0]時，x+1e(0,1],/(x)=2/(x+l)=2(x+l)xe--^,0,

工￡(一2,-1]時，x+1e(-1,0],f(x)=2/(x+1)=4(x+2)(x+1)G[-1,0],

將函數大致圖象繪制如下:

Q

時，令4(x+2)(x+l)=_§,

54

解得：x1=--,x2=--,

Q

若對于任意xe|m,+co),都有/(x)N-§,

4

所以加

故選：A.

【點睛】本題考查函數解析式的求解，以及數形結合求解恒成立問題的能力，屬綜合性中檔題.

5.(2023-24高一上?陜西咸陽?階段練習)設函數/(x)的定義域是R,滿足2/(x+l)=〃x),且當xe(0,l]

Q

時，/(x)=x(x-l).若對任意xe|m,+8),都有-則加的取值范圍是()

7「5[「5]「4、

A.--,+ooIB.--,+ooIC.--,+ooID.--,+ooI

【答案】D

【詳解】因為函數/(X)的定義域是R,滿足2〃x+l)=〃x),則〃x+l)=g/(x),

且當xe(O,l]時，/(x)=x(x-l)=L-1^-1,0,

當xe(-l,0]時，0<x+l<l,貝=2/(x+l)e-g,0

當xe(-2,-l]時,-l<x+l<0,則/(x)=2/(x+l)w[T,0],

且當工￡(-2,-1]時，0<x+2<l,

則/(x)=2/(x+l)="(x+2)=4(x+2)(x+l),

245

令/(x)=4(x+l)(x+2)=—解得x=—g或％=—如下圖所示:

QA

因為對任意xe卜％+°°),都有/由圖可知，加

因此，實數加的取值范圍是-g，+s]

故選：D.

題型8函數的對稱性

(1)對稱軸：①函數"X)對于定義域內任意實數X滿足/(a+x)=〃6-x),則函數“X)關于直線

》=答對稱，特別地當〃x)=〃2"x)時，函數〃x)關于直線x=。對稱；

②若/(x+。)是偶函數，則/⑴關于直線*="寸稱；

(2)對稱中心：①對任意》,都有/(a+x)+〃a-x)=2J則點(。力)稱為函數小)的中心；

②若/(x+a)是奇函數，則/(x)關于直線(。，0)對稱

i_________________________________________________________________________________________________

1.(2024?北京?模擬預測)定義在R上的函數/(x)滿足：/(-l+x)-/(-l-x)=0,且

/(l+x)+/(l-x)=0,當時,f(x)=ax-2,則〃x)的最小值為()

A.-6B.—4C.-3D.—2

【答案】B

【詳解】由〃T+x)-/(T一x)=0可得”-1+x)="-1一x),

即/(無)關于》=-1對稱，即〃x)=/(-2-x),

由f(l+x)+/(l-x)=0可得/(x)關于(1,0)對稱,

即/(尤)=-/(2—“),所以/(一2-x)=-〃2-x),

令-2-x=t,則x=-2-/,代入可得/'(。=-/'(4+。，

BP/(x)=-/(4+x),則〃x+8)=-〃x+4)=/(x),

所以/(x)的周期為8,

由/(x)是定義在R上的函數，且/(x)關于(1,0)對稱，

可得/(1)=0,又當時，/(X)=G-2,

即/(l)=a-2=0,所以a=2,

當時，/(x)e[-4,0],

且/(x)關于x=-l對稱，則xe[-3,-l]時,/(x)e[-4,0],

又/(x)關于。,0)對稱,則xe[l,5]時,/(x)e[0,4],

即f(x)在一個周期內的值域為[-4,4],

則/'(x)的最小值為-4.

故選：B

【點睛】結論點睛：函數的對稱性與周期性：

(1)若〃x+a)+〃-x+6)=c,則函數關于(皇,?!)中心對稱;

(2)若/(x+a)=/(-x+6),則函數/(x)關于》=巴乎對稱；

(3)若/(x+a)=f(x-a),則函數/(x)的周期為2a；

(4)若〃無+。)=-〃x),則函數的周期為2a.

2.(2023?北京大興?三模)已知函數〃x)對任意xeR都有"x+2)=-〃力，且〃-x)=-/(x)，當xe(-1,1]

時，〃x)=x3.則下列結論正確的是()

A.函數＞=/(》)的圖象關于點住,0)(￡eZ)對稱

B.函數V=〃x)的圖象關于直線工=2左(hZ)對稱

C.當xe[2,3]時，/(x)=(x-2)3

D.函數＞=|/(刈的最小正周期為2

【答案】D

【詳解】因為〃x+2)=-〃x),所以/@)=一/(無一2),故f(x+2)=〃x-2),

所以/(x)的周期為4,

又/(-x)=-/(x)，所以/(f)=/(x-2),故“X)關于x=_l對稱,

又時，/(x)=x3,故畫出〃x)的圖象如下：

A選項，函數V=/(x)的圖象關于點(1,0)不中心對稱，故A錯誤；

B選項，函數y=/(x)的圖象不關于直線x=2對稱，B錯誤；

C選項，當xe[2,3]時，x-2e[0,l],則〃x)=-〃x-2)=-@-2丫，C錯誤;

D選項，由圖象可知丁=/(x)的最小正周期為4,

又,(x+2)卜卜=故y=|〃x)|的最小正周期為2,D正確.

故選：D

3.(2023?北京昌平?二模)對于兩個實數。力，設min{a,b}=，；：[，則)=1”是“函數〃x)=min{|x|,|xM}

的圖象關于直線x=；對稱”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】如圖，在同一個坐標系中做出兩個函數＞=國與了=卜-4的圖象,

殊

則函數=的圖象為兩個圖象中較低的一個，即為圖象中實線部分,

根據圖象令x=-x+f,解得x=；,

分析可得其圖象關于直線x=；對稱，

要使函數/(x)=min{|x|,|x-班的圖象關于直線x=；對稱，貝"的值為f=1,

當f=l時，函數"x)=min{W，|xT|}的圖象關于直線x=g對稱，

所以)=1，，是，函數〃x)=min{|x|,|x-t\]的圖象關于直線x=1對稱”的充分必要條件.

故選：C

4.(2024?河南?模擬預測)函數/V)=lg(叱石石T+x-1)圖象的對稱中心是(

A.(M)B.[13C.(2,1)D.(2』

【答案】B

【詳解】易知/(X)=lgQ(iy+10+X-1]的定義域為R,

所以可得〃2一x)=lgQ(1)，10+1j,

因此/(%)+/(2—x)=lg]不(1-x)+10+1—x]+lg]1)+10+x—11

=lg^P(x-l)2