重難點(diǎn)03函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性

明考情?知方向

2025年考向預(yù)測(cè)：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值結(jié)合

新定義的解答題

重難點(diǎn)題型解讀

題型1函數(shù)的單調(diào)性

1.(2024?上海?三模)已知〃回=盧|,函數(shù)/=/")是定義在(-2,2)上的奇函數(shù)，且/⑴=；

⑴求/(X)的解析式；

(2)判斷>=/(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.

【答案】(1)/。)=三r(-2<x<2)

(2)/(x)在區(qū)間(-2,2)上為嚴(yán)格增函數(shù)，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得〃0)=0,求出b的值，結(jié)合函數(shù)的解析式求出“的值，計(jì)算

可得答案；

(2)根據(jù)題意，根據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法證明可得答案.

【詳解】(1)根據(jù)題意，=是定義在(-2,2)上的奇函數(shù)，

4-x2

則有/'(0)=4=0,解得6=0，

4

又由「⑴二三二:，解得。=1,

所以…占，"X)定義域?yàn)?-2,2),

且〃f)=7Z7TV=I?1=-/?，所以/?=7^(-2<x<2)；

4—y—x)4—x4—x

(2)“X)在區(qū)間(-2,2)上為嚴(yán)格增函數(shù).

證明如下：設(shè)任意一2<±<%<2,則/(為一/(%)=占-梟=七:j),

由一2<再<馬<2,得一4<項(xiàng)/<4，

BP4+XjX2>0,x1-x2<0,(4-x；)(4-x；)>0,

所以“xj-/(%)<0,BP/(X1)</(X2),

故〃x)在區(qū)間(-2,2)上為嚴(yán)格增函數(shù).

2.(2023?上海?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=a'+x(a>0),且〃l)=e+l.

(1)判斷/(x)在R上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；

⑵g(x)=/(x)-&,且g(x)在(。,+為上有零點(diǎn)，求X的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；

(2)2>e+l

【分析】(1)由題意解出。的值，再利用單調(diào)性的定義證明即可；

(2)轉(zhuǎn)化問(wèn)題為e'+x-2x=0在(0,+功上有解，貝！U=h+l有解，利用導(dǎo)函數(shù)求《+1的單調(diào)性，進(jìn)而求

XX

得取值范圍即可.

【詳解】(1)由題意可得/(l)=a+l=e+l,解得“=e,所以/(x)=e，+x,

/(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：

X2x,%2

任取X]>x2eR,則/(西)-/(%)=爐+xl-e-x2=e-e+x1-x2,

因?yàn)閥=e，在R上單調(diào)遞增，且再>々，

1

所以e*-e*2>0,xt-x2>0,

所以/(須)-/(無(wú)2)>。，即/(再)>/(%),

所以f(x)在R上單調(diào)遞增.

(2)由(1)得g(x)=e*+尤-Ax,

g(x)在(0,+動(dòng)上有零點(diǎn)，即e*+x-&=0在(。,+8)上有解,貝(U=《+i有解，

X

令尸(x)=f+l,則/卜)=丑”=蟲曰，

XXX

令尸'(x)>0解得x>l,令尸'(x)<0解得0cx<1,

所以尸(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+?0單調(diào)遞增，

所以/(x).=/(l)=e+l,沒(méi)有最大值,

所以；lNe+1.

3.(2023?上海青浦?二模)設(shè)y=/(x)、y=g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，當(dāng)g(xj*g(%)時(shí),

〃西)一/。2)

5(西,切=

g(xj-g(x2)

(1)已知y=g(x)在區(qū)間/上嚴(yán)格增,且對(duì)任意再,％e/,無(wú)產(chǎn)/，有5(%戶2)>0,證明：函數(shù)>=/(尤)在區(qū)

間/上是嚴(yán)格增函數(shù)；

(2)已知8。)=；/+如2-次，且對(duì)任意尤“XzeR,當(dāng)g(xjwg(x2)時(shí)，有5(%,％)>0,若當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)

>=/(》)取得極值，求實(shí)數(shù)。的值；

(3)已知8(力=$.%/停)=1,/]-|^=-1,且對(duì)任意Xi,zeR,當(dāng)g(xjwg(x2)時(shí)，有忖(西,工2)|W1,證明：

/(x)=sinx.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)a=l

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；

(2)結(jié)合(1),利用極值的定義進(jìn)行求解即可；

(3)利用題目條件，代入，分情況進(jìn)行討論即可證明.

【詳解】(1)不妨設(shè)玉<》2，=g")在區(qū)間/上嚴(yán)格增，

對(duì)任意X[,X2€I,Xj<x2,有g(shù)(t)-g(%2)<。，

又5(占,上)=/?(x,)-/(x2)<0,

g(尤

；?函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上是嚴(yán)格增函數(shù)；

(2)由(1)可知：y=g(x)在區(qū)間/上嚴(yán)格增時(shí)，y=/(x)在區(qū)間/上是嚴(yán)格增，

當(dāng)y=g(x)在區(qū)間/上嚴(yán)格減時(shí)，y="X)在區(qū)間/上是嚴(yán)格減，

又當(dāng)x=i時(shí)，函數(shù)y=〃x)取得極值，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)y=g(x)也取得極值，

g'(x)=/+2ctx—3,g，(l)=l~+2iz-3=0,可得a=1)

當(dāng)a=l時(shí)，g<x)=(x+3)(x-l),g'(x)在x=l左右附近兩側(cè)異號(hào)，

滿足條件，所以。=1.

(3)當(dāng)左EZ)時(shí)，

由條件知1，/[卜sinx,

I2Jsinx+1

5%^=--""<l.\/(A)>sinx,/./(?=sinx.

(2)1-sinx

當(dāng)x=E+](左EZ,左wO)時(shí)，對(duì)任意，!■，!?],有Hi：]

BP2sinZ-l</(x)<l,

又"sinf-l的值域是(-3,1),/(尤)=1,

當(dāng)工=析_](后eZ,后WO)時(shí)，對(duì)任意有B(x,。歸';二；；'<1,

-1</(x)<l+2sin/,

又?.?l+2sinf的值域是(-1,3),f(力=-1,

綜上可知，任意xeR,/(x)=sinx.

4.(2023?上海長(zhǎng)寧?一模)若函數(shù)N=/(x)與y=g(x)滿足：對(duì)任意Xp^eR,都有

|/(x1)-/(x2)|>|g(x1)-g(x2)|,則稱函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y=g(x)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)y=/(x)是函數(shù)

了=g(無(wú))的"約束函數(shù)

⑴若〃x)=/,判斷函數(shù)y=g(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由：

(2)若〃x)=ax+x3(a>0),g(x)=siwc,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若y=g(x)為嚴(yán)格減函數(shù),/(0)</(1),且函數(shù)y=〃x)的圖像是連續(xù)曲線，求證：y=〃x)是(0,1)上

的嚴(yán)格增函數(shù).

【答案】(i)y=g(x)是偶函數(shù)；理由見(jiàn)解析

⑵a21

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的定義分析證明；

(2)根據(jù)題意結(jié)合y=〃x)的單調(diào)性分析可得/(xj+g(xjw/(x2)+g(xj,/(^)-g(x1)</(x2)-g(x2),

設(shè)〃(x)=/(x)+g(x),v(x)=f(x)-g(x),可知y="(x)與y=v(x)均為R上的嚴(yán)格增函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析求

解；

(3)根據(jù)題意分析可得任意再〈尤2,都有/(占)片/仁)，利用反證法先證當(dāng)0<x<1時(shí)，〃0)</(尤)</⑴，

再明當(dāng)0<1時(shí)，/(%1)</(%2),即可得結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=x2,故對(duì)任意的x」R都有〃X)--(T)=0.

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/(尤)是函數(shù)y=g(x)的“約束函數(shù),'，

則對(duì)任意再,凡eR，都有|/(xJ-/(X2)|2|g(X])-g(X2)|,

取再=xeR,X2=-x,可得0=|/(X)-/(-X)|N|g(x)-g)|恒成立，

即g(x)=g(-x)對(duì)任意的尤eR成立，故y=g(x)是偶函數(shù)；

(2)因?yàn)閥=G(a>0)/=x3是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，則>=是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，

設(shè)再<%,則/(占州/仁)，

進(jìn)而|g(再)-g(%)|v/(%)-/(%)，

可得g(再),g(x2)-g(xl)</(x2)-/(x.),

所以/(xj+g(工Jw/(工J+g(三)，/(x1)-g(x1)</(x2)-g(x2),

設(shè)"(x)=/(x)+g(x)，v(.x)=/(x)-g(x),

則y=〃(x)與y=v(x)均為R上的嚴(yán)格增函數(shù)，

因?yàn)椤?(%)=〃+3%2+cosx20,v'(x)=Q+3r一cosx20恒成立，

對(duì)于v'(x)=Q+3/-cosx20恒成立，

因?yàn)?/20,-cosx>-l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

所以a+3x2-cosx>a-l>0，解得得a>\,

當(dāng)a21時(shí),=Q+3工2+cosx2〃+cosx20'恒成立,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為“21.

(3)設(shè)占<<2,因?yàn)閥=g(<是嚴(yán)格減函數(shù),所以g(xj>g(z)，即g(xJ-g(x；!)>0,

而|/(工2)-/(%)閆g(xj-g(x2)|,所以|/(*)-/(三)|>0,

所以對(duì)任意王<馬，都有/(尤1)片/k2),

①首先證明:當(dāng)0<x<l時(shí),/(o)</(x)</(l),

假設(shè)存在0<%<1,且/⑴</(%),

設(shè)〃(工)=/(工)-/⑴，則〃⑼<0,A(x0)>0,

所以存在斗e(0,%),使得〃(.匕)=0,

得/(三)=/⑴，與結(jié)論對(duì)任意王<馬，/(XJN/(XJ矛盾，

所以不存在0<%<1,使得/⑴</(%),

同理可得：也不存在0<%<1,使得/(/)</(0),

所以當(dāng)0<x<l時(shí),/(O)</(x)</(l).

②再證明：當(dāng)0〈占〈三〈1時(shí)，/(^)</(^2),

假設(shè)存在0〈』〈x2〈l,使得/(再)>/(%),則/(())</(9)</&)</⑴，

設(shè)g)=/(x)-/(xj,貝!]〃(0)<0,A(Xj)>0,

所以存在三?0,再),使得〃(三)=0,

得/(退)=/(%)，與結(jié)論對(duì)任意王<馬，/(七)片/卜2)矛盾，

所以假設(shè)不成立，即對(duì)任意士,尤2<0,1),都有"再)<"%)

所以y=〃x)是(0,1)上的嚴(yán)格增函數(shù).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：“新定義”題型的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然

后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解,

(3)中也結(jié)合反證法分析求解.

5.(2024?上海楊浦■一模)已知y=/(x)是定義域?yàn)閇0』的函數(shù),實(shí)數(shù)pe(O,l),稱函數(shù)

了=(-。)/(。)+0'(力-/(加)廣€[0,1]為函數(shù)卜=/(力的“夕-生成函數(shù)”,記作y=/(x),xe[0,l].

⑴若/'(X)=COS2TU,求函數(shù)〉=、(》)的值域；

2

⑵若/■(x)="2+in(i+x),函數(shù)夕=々3滿足4(》)2。對(duì)任意的0?處1恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

33

(3)若y=/(x)滿足:①/(0)=0；②y=/(x)在(0,1)上存在導(dǎo)函數(shù)產(chǎn)/'(X),且產(chǎn)/'(尤)在(0,1)上是嚴(yán)

格增函數(shù)；③對(duì)于任意pe(o,l)j=/(x)的“。-生成函數(shù)"尸耳(x),xe[0,l]的圖像是一段連續(xù)曲線，求證:

函數(shù)>=在(0,1)上是嚴(yán)格增函數(shù).

X

【答案】(1)-7,2

_4_

⑵

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意得到耳(x)=(cos欣-xe[0,l],結(jié)合cosae[-l,l],求出函數(shù)的最值，得到

值域；

(2)(x)=|o?+^ln(l+x)-ln|1-Ux|,xe[0,l],故2a/+』ln(l+x)-ln(l+Lb0對(duì)任意的0VxW1

§93V3793<37

恒成立，構(gòu)造函數(shù)Mx)=|ax2+；ln(l+x)-l"l+$j,xe[0,l],結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，多次求導(dǎo)，由端點(diǎn)

值效應(yīng)得到時(shí)，滿足要求，并得到a<1時(shí)，不滿足要求，得到答案；

22

(3)得到遙(x)="(x)-/(px),xe[0』,求導(dǎo)得到g：(尤)=p[r(x)-r(px)],

由V=/'(x)的單調(diào)性，得到Fp(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,又g(o)=o,故加'(x)>/(px),兩邊同時(shí)除以必

得工區(qū)證明出結(jié)論.

xpx

【詳解】(1)々(x)=m(o)+：/(@-/&d=TcosOJcos2rx-eos兀J

：2

11(1Y

22L,XG[0,1],

=一+COSTIX----COS7LX=COSTIX-COS7TX=COS71X——--

22I2

因?yàn)閄e[0,l],所以7LT￡[O,7l],COS7LXG[-1,1],所以當(dāng)COS7LX=g,

即X=g時(shí)，/-；取得最小值，最小值為一；,

當(dāng)COS7LX=-1,即X=1時(shí)，/(X)=]cOS7lX-；]取得最大值，最大值為2,

故函數(shù)值域?yàn)椤?；21；

(2)/(x)=ax2+In(1+x),故/⑼=0,=；辦?+i“l(fā)+gx

W=|/(O)+1/W-/f1^=1^2+|ln(l+x)-16ZX2-lnfl+1.

§3j\jJjjyVj

21(1

——ctx^H—In(1+x)—In1H—x，xe[0』],

93v7I3

—ax2+—ln(l+x)—ln^l+—xj>0對(duì)任意的0<x<1恒成立,

令=+gln(l+x)-ln[l+；x),xG[0,1],

則/(。)=0，其中%'(X)=_QXH------------,xG[0,1],

93+3%3+x

顯然(0)=0,令q(x)=?x),XG[0,1],

貝xe[0,l],

/\rf\31,

令w(x)=g(x)、”"+而產(chǎn)xe[0r,l],

,(x____18_______2_________2_________2___

"x)=(3+3x廠my=M可彳7，

令e(x)=亍,則e(x)=/在(0,+8)上單調(diào)遞減,

又r(x)=^+小一(3+x)=4■-3+(51卜在xe［0,l］上單調(diào)遞增，

r(l)=V3-3+V3-l<0,故肉病<3+x在xe［0,l］上恒成立，

22

故叫上…孑一1>"4。』恒成立，

故/(x)在xe［0,l］上單調(diào)遞增，

4o1

其中,(。卜^加?若4'(0)20，即心］時(shí)，，(x)20在xe［0,l］上恒成立,

f(x)=-ax+—-----匚在xe［0,1］上單調(diào)遞增，［(x)"⑼=0,

93+3%3+x

故'(x)=~+§ln(l+x)—ln[l+在xe[0,1]上單調(diào)遞增，

t(x)>t(O)=O,滿足要求，

若a<,貝lj/⑼=(-1。，故存在適當(dāng)?shù)脑?0,1),使得xe(O,xJ時(shí)，q'(x)<0,

故q(x)=t'(x)在xe(0,匹)上單調(diào)遞減，又，(0)=0,

故，(x)<0在xe(O,xJ恒成立，不合要求，

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(3)^6(0,1),Fp(x)=(l-p)f(o)+pf(x)-f(px),xe[o,l],

由于/'⑼=0，故g(x)=獷(x)-f(px),xe[0,1],

與'(x)="(x)-"(px)=P(x)-f(px)],

因?yàn)榱?/'(x)在(0,1)上是嚴(yán)格增函數(shù)，x>px,

所以/'(x)-/'(px)>0,(x)p\_f｛x)-f\px)\>0,

故g(X)="(X)-/(px)在(o,1)上單調(diào)遞增，

又々(0)=0,故加(x)>y(px)在(0,1)恒成立，

兩邊同時(shí)除以"得-"'>,

xpx

由于。為(0,1)上的任意數(shù)，故函數(shù)>=在(0,1)上是嚴(yán)格增函數(shù).

X

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一

端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.

二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函

數(shù)圖象確定條件.

題型2函數(shù)的最值

i:石行江瀛蒲二超7前集吝A贏'定薪贏甚匚冗5二Tx彘:百丁

f(x+t)-f(x)^A,則稱/(X)是關(guān)于/的同變函數(shù).

⑴當(dāng)N=(O,+8)與(0,1)時(shí)，分別判斷/'("=2'是否為關(guān)于N的同變函數(shù)，并說(shuō)明理由；

(2)若/(x)是關(guān)于｛2｝的同變函數(shù),且當(dāng)xe[0,2)時(shí)，f(x)=岳,試求〃x)在[2后,2左+2)(左eZ)上的表達(dá)

式，并比較[(X)與x+；的大小；

(3)若〃為正整數(shù)，且/(x)是關(guān)于的同變函數(shù)，求證：〃x)既是關(guān)于加2"｝(加eZ)的同變函數(shù),

也是關(guān)于[0,+8)的同變函數(shù).

【答案】⑴當(dāng)4=(0,”)時(shí),/("=2'是關(guān)于(0,+8)的同變函數(shù);當(dāng)4=(0,1)時(shí),〃尤)不是關(guān)于(0,1)的

同變函數(shù)，理由見(jiàn)解析.

⑵=《2(x-2k)+2k,當(dāng)x=2左+；(keZ)時(shí)，〃x)=x+；；當(dāng)xw2斤+；(keZ)時(shí)，f(x)<x+~-

(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)當(dāng)么=(0,+8)時(shí)，運(yùn)用定義證明即可；當(dāng)/=(0,1)時(shí)，舉反例說(shuō)明即可.

(2)由定義推導(dǎo)出了=/(x)-x是以2為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而可得〃尤)在[2左,2左+2乂左eZ)解析式，再

運(yùn)用作差法后使用換元法研究函數(shù)的最值來(lái)比較〃x)與x+!的大小.

(3)運(yùn)用定義推導(dǎo)出/'(x)-x是以2-"為周期的周期函數(shù)，再用定義分別證明""2一"?eZ)與/目0,+8)

兩種情況即可.

【詳解】(1)當(dāng)/=(0,+8)時(shí)，對(duì)任意的f”,xeR,/(x+?)-/(x)=2x(2,-l),

由T>1，可得2'-1>0,又2*>0,所以,

故/■(無(wú))=2*是關(guān)于(0,+8)的同變函數(shù)；

當(dāng)/=(0,1)時(shí)，存在2eR,使得〃x+fH/(x)=22(正即/(x+/)-/(x)任/,所以〃x)

不是關(guān)于(0,1)的同變函數(shù).

(2)由1(X)是關(guān)于｛2｝的同變函數(shù)，可知/(x+2)=/(x)+2恒成立，

所以/'(x+2)-(尤+2)=/(x)-x恒成立，故y=f(x)-x是以2為周期的周期函數(shù).

當(dāng)xe[2后,2/+2)(無(wú)eZ)時(shí),x-2ke[0,2),由/(x)-x=/(x-24)-(x-2%),

可知/'(x)=/(x—2左)+2左=也卜_2。+2k.

(提示：/(無(wú))=/(x-2左)+2人也可通過(guò)分類討論與累加法予以證明，下面的*式也同理可證)

對(duì)任意的xeR,都存在(左eZ),使得尤e[2人,2左+2),故/(x)=j2(x-2都)+21.

所以/(x)-+5J=)2(x-2k)+2k—x——

____________2

令j2(x-2左)=1,貝!]x-2左=g,可得/e[0,2),

所以/'卜)一「+1)="[一：=一；(”1)240(當(dāng)且僅當(dāng)仁1,即x=2上+；時(shí)取等號(hào)).

所以當(dāng)x=2左+；(左eZ)時(shí)，/(%)=%+-；

當(dāng)x片2左+g(后eZ)時(shí)，/(x)<x+g.

(3)因?yàn)?(可是關(guān)于［2-",2?］的同變函數(shù)，

所以對(duì)任意的］,xeR,都有〃x+/)-〃x)e［2f,2,

^/(x+2-)-/(x)>2-\用x+2-"代換x,可得/(x+2~)-+

所以［/(x+2f)-/(x)］+［/(x+2“)-/9+2f卜2，"，即+

又/卜+2~)_/(%)22~,故/(尤+2j)-/3=2~,且/1+2-")-〃”=2二

所以/(x+2-')-(x+2-')=/(x)-x,故〃x)-x是以2-"為周期的周期函數(shù).

對(duì)任意的，=m2f(meZ),xeR,由/(x+加?2一")-卜+加-2一")=/(x)-x,

可得/(x+加(*)

所以/(無(wú))是關(guān)于｛“2-"｝(meZ)的同變函數(shù).

對(duì)任意的相［0,+8),存在非負(fù)整數(shù)%,使+

所以”(m-1)2"42-",2~］,對(duì)任意的xeR,/(x+f)-/(x)=

>2-"+(m-l)-2-"^m-2~">0,即/卜+。_/卜)e［0,+”)，

所以/"(x)是關(guān)于［0,+e)的同變函數(shù).

故/'(x)既是關(guān)于｛“21(〃?")的同變函數(shù)，也是關(guān)于［0,+司的同變函數(shù).

2.(2023?上海金山?一模)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物行業(yè)日益發(fā)達(dá)，各銷售平臺(tái)通常會(huì)配備送貨上門服務(wù).小金正在配送客

戶購(gòu)買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計(jì)示意圖.

7T

⑴為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流’要求運(yùn)送過(guò)程中發(fā)生傾斜時(shí)’外包裝的底面與地面的傾斜角a不能超過(guò)

且底面至少有兩個(gè)頂點(diǎn)與地面接觸.外包裝看作長(zhǎng)方體，如圖1所示，記長(zhǎng)方體的縱截面為矩形/BCD,

TT

AD=0.8mAB=2Am,而客戶家門高度為2.3米，其他過(guò)道高度足夠.若以傾斜角。的方式進(jìn)客戶家

f4

門，小金能否將冰箱運(yùn)送入客戶家中？計(jì)算并說(shuō)明理由.

（2）由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長(zhǎng)方體形狀的舊冰箱進(jìn)行回收.為了省力，小金選擇將冰

箱水平推運(yùn)（冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長(zhǎng)寬均小于冰箱背面）.推運(yùn)過(guò)程中遇到一處直

角過(guò)道，如圖2所示，過(guò)道寬為1.8米.記此冰箱水平截面為矩形EFG/Z,EH=12m.設(shè)乙PHG=0,當(dāng)

冰箱被卡住時(shí)（即點(diǎn)H、G分別在射線PR、尸。上，點(diǎn)。在線段所上），嘗試用月表示冰箱高度跖的長(zhǎng)，

并求出跖的最小值，最后請(qǐng)幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運(yùn)的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結(jié)

果精確到0.1m）

【答案】（1）冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中，理由見(jiàn)解析；

⑵EF最小值為電|二巨米，此情況下能推運(yùn)冰箱高度的最大值為2.6米.

【分析】（1）過(guò)4。作水平線4,4,作CFLhDEU，由〃=。￡+。尸可得；

（2）延長(zhǎng)樣與直角走廊的邊相交于M、N,由EF=MN-ME-NF表示出EF,設(shè)

/=sin￡+cos￡=^sin（￡+￡|進(jìn)行換元，利用單調(diào)性即可求解.

【詳解】（1）過(guò)/,。作水平線4,4,作C/，/2，。E，/l如圖，

JT

當(dāng)傾斜角時(shí)，冰箱傾斜后實(shí)際高度（即冰箱最高點(diǎn)到地面的距離）

4

/z=￡>￡,+CF=0.8sin-+2.4cos-=—<2,3,

445

故冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中.

(2)延長(zhǎng)￡尸與直角走廊的邊相交于M、N,

1Q1Q17

則JW=(W+ON=—+—,EM=—,m=1.2tan〃，

sin/}cos°tan/?

又EF=MN-ME-NF,

則EF=上一+上一一1.2(tan/7+^―)=M11-T.2,

sin0cosPtan0sin/?cos/?2J

設(shè)％=sin夕+cosP=V2sinI/?+—|,

因?yàn)樗?+：€],手；所以/],

H“H---1-.-8--Z---1-.-2-----6--3--t-—---2

則一封_「5?，

EF=0?=巴e(1,36-21

再令％=3-2,則5[加+2]_]5/M_A+4'」，

I3J-m，

易知，y—mF4在上單調(diào)遞增，

所以了=?不'優(yōu)e(L3sL2]單調(diào)遞減，

m--------F4

m

故當(dāng)加=3后一2,即/=正，￡=]時(shí)，跖取得最小值應(yīng)|二上土2.69.

由實(shí)際意義需向下取，此情況下能順利通過(guò)過(guò)道的冰箱高度的最大值為2.6米.

3.(23-24高三上?上海浦東新?階段練習(xí))若存在使得1(x)4/(%)對(duì)任意xe。恒成立，則稱毛為函

數(shù)/(X)在。上的最大值點(diǎn)，記函數(shù)/(X)在。上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為M

⑴若，(x)=*+2x+l,O=R,求集合M；

(2)若〃X)=(2：：)X,D=R,求集合M;

⑶設(shè)。為大于1的常數(shù)，若/(x)=^+asinx,D=[O,可，證明，若集合〃中有且僅有兩個(gè)元素，則所有滿足

條件的b從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

【答案】(1)M={1}

⑵八{(lán)1,2}

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)配方得到當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，〃同=-尤2+2尤+1取得最大值，得到”={1}；

(2)求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，求出當(dāng)x=l或2時(shí)，/(x)取得最大值，故〃={1,2}；

(3)求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，并得到了'(x+2勸=/'(x),得到/(ah/CE-Tt-arccos：],結(jié)合

〃加)-/(3=2兀，得到如-4為定值,

故所有滿足條件的6從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

【詳解】(1)/(X)=-X2+2X+1=-(X-1)2+2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，/(x)=r2+2x+l在R上取得最大值，故M={1}；

(2)定義域?yàn)镽,

/,()[(2Iln2-l)x+2x-x]4r-(21-x)x-4xIn4

(2x-2x)(l-xln2)

—4X'

令夕(％)=2"—2%,則，(x)=2"ln2-2,

令尤)=0得X=log2=,

-m2

?2[bg/W

Xlog—

2m2

d(x)-0+

q(x)極小值/

其中l(wèi)n2e(ln癡,lne)=(g,l],故上e(2,4),log2*e(1,2),

可以看出"(1)=002)=。，

故q(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，分別為1和2,

令廠(x)=0得》=白€(1,2)或1或2,

、忌)1

X(fl)12(2,+oo)

In2

/‘(X)+0-0+0-

/(X)/極大值極小值/極大值

其中〃1)=/(2)=：,

故當(dāng)x=l或2時(shí),/(x)取得最大值,故〃={1,2}；

(3)/(x)=x+〃sinx,Z>=[0,6],a>\,

(x)=1+?cosx,D=[0,b\,a>l,

令/'(x)=°得％=2而土arccos]-，)=2加±1兀一arccos，],kRZ,

當(dāng)0<x<兀-arccosL時(shí)，/r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

a

當(dāng)兀一arccos^vx<兀+arccosL時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

aa

當(dāng)兀+arccos—<X<3TI-arccos，時(shí)，/"(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

aa

當(dāng)3兀一arccosL<x<3兀+arccosL時(shí)，/r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

aa

當(dāng)37i+arccos—<x<5TI-arccos—,/z(x)>0,單調(diào)遞增，

aa

由于/'(x+2兀)=1+QCOS(X+2兀)=1+QCOSX=/'(%),

故所有的單調(diào)遞增區(qū)間經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移可重合，同理，所有的單調(diào)遞減區(qū)間經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移可重合，

要想集合M中有且僅有兩個(gè)元素，

則需要兀-arccos：)或/(仇)=/(3兀-arccos],

或/(4)=/(5兀一arccos),.......,f(bQ=/(2E—兀一arccos：,

其中/(x+Zit)=x+2兀+asin(x+27t)=x+27t+asinx,

f(x+27t)-/(x)=x+2jt+asin龍一x-asin尤=2兀，

又(4)=f+2K-7i-arccos—-f^lkn-n-arccos—=2%,

所有的外均處在單調(diào)遞增區(qū)間上，

所以為+「人為定值，

故所有滿足條件的6從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義問(wèn)題，命題新穎，且存在知識(shí)點(diǎn)交叉，常常會(huì)和函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，值域等進(jìn)

行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類問(wèn)題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解

問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.

4.(2023?上海閔行?一模)定義：如果函數(shù)＞=/(x)和y=g(x)的圖像上分別存在點(diǎn)M和N關(guān)于x軸對(duì)稱,

則稱函數(shù)y=/(x)和〉=g(x)具有c關(guān)系.

⑴判斷函數(shù)"X)=嚏2(8/)和g(x)=log；x是否具有C關(guān)系；

⑵若函數(shù)〃x)=ag和g(x)=r-l不具有c關(guān)系,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(x)=xe，和g卜)=msinx(m<0)在區(qū)間(0,兀)上具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【答案】⑴是

⑵卜凡2旬

⑶(fT)

【分析】(1)根據(jù)C關(guān)系的理解，令〃x)+g(x)=o,解得x=：,從而得以判斷；

O

(2)利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到7+〃一2<0在［0,+8)上恒成立，分類討論:0與"0,利

用基本不等式即可求得。的取值范圍；

(3)構(gòu)造函數(shù)〃(x)=xe*+機(jī)sin無(wú)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在(0,兀)上存在零點(diǎn)，分類討論-1V機(jī)<0與機(jī)<-1,

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系證得加<-1時(shí)，〃(無(wú))在(0,兀)上有零點(diǎn)，從而得解.

【詳解】(1)八可與g(x)是具有C關(guān)系，理由如下：

根據(jù)定義，若/(力與g(x)具有C關(guān)系,則在與g(x)的定義域的交集上存在x,使得/(x)+g(x)=0,

因?yàn)?卜)=10歷(8*),g(x)=log;，x>0,

所以/(》)+8(為)=1。82(&2)+1。83=10828+1082*-log2log2料3,

2

令〃x)+g(x)=0,即log2尤+3=0,解得x=J,

O

所以/(X)與g(x)具有C關(guān)系.

(2)令0(x)=/(x)+g(x),

因?yàn)?X)=ajx-l,g(x)=-JC-l,所以夕=

令t=Jx-l(t20),貝Ux=f2+1，故y=e(x)=由_(廠+1)_］=—廣+at—2,

因?yàn)?(x)與g(x)不具有C關(guān)系，所以e(x)在［0,+<?)上恒為負(fù)或恒為正，

又因?yàn)閥=-/+成-2開(kāi)口向下，所以了=-『+必-2在［0,+8)上恒為負(fù)，即+必-2<0在［0,+℃)上恒成

立，

當(dāng)，=0時(shí)，-/+血-2=-2<0顯然成立；

2

當(dāng)，>0時(shí)，。<，+：在［0,+8)上恒成立，

因?yàn)閒+也，當(dāng)且僅當(dāng)1即f=后時(shí)，等號(hào)成立，

所以“+=26,所以°<2也，

\t7min

綜上：a<242>即0€卜℃,2后).

(3)因?yàn)?(x)=xe"和g(x)=n?sinx(m<0),

令〃(％)=/(x)+g(x),貝!J=xe"+冽sinx,

因?yàn)?(X)與g(x)在(0,71)上具有c關(guān)系,所以力。)在(0,兀)上存在零點(diǎn),

因?yàn)閔'(x)=(x+l)ex+mcosx，

當(dāng)一1(加<0且%￡(0,兀)時(shí)，因?yàn)?x+l)e*>l,|mcosx|<|m|<l,所以〃'(x)〉0,

所以力卜)在(0,兀)上單調(diào)遞增，則〃(%)>7/(0)=0,

此時(shí)〃(x)在(0,兀)上不存在零點(diǎn)，不滿足題意；

當(dāng)機(jī)<-1時(shí)，顯然當(dāng)xe；,兀卜寸，h\x)>0,

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?(x)在(0,￡|上單調(diào)遞增，且"(0)=1+加<0,”[曰=(1+1]/>0,

故“(X)在，上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為a,則”(a)=0,

所以當(dāng)xe(0,a),〃'(x)<0；當(dāng)xe>0；又當(dāng)xe兀卜寸，A'(x)>0,

所以〃(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(4兀)上單調(diào)遞增，4x)在(0,兀)上存在唯一極小值點(diǎn)C，

因?yàn)榱?0)=0,所以/z(a)<0,

又因?yàn)椤?兀)=7te">0,所以為x)在(0,兀)上存在唯一零點(diǎn)力,

所以函數(shù)/(X)與g(x)在(0,兀)上具有C關(guān)系，

綜上：m<-\,即we(-8,-1).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是理解新定義，得到/(x)與g(x)具有C關(guān)系，則在定義域上存在七,

使得/(x0)+g(x0)=0,從而得解.

5.(2023?上海黃浦?二模)三個(gè)互不相同的函數(shù)了=/(%),了=8(%)與〉=/;("在區(qū)間。上恒有

/(x)>/z(x)>g(x)或恒有/(x)<A(x)<g(x),則稱V=/?(X)為>=/(x)與y=g(x)在區(qū)間。上的“分割函

數(shù)”.

(1)設(shè)%(X)=4X,A2(X)=X+1,試分別判斷y=%(x),y=h2(x)是否是y=2x?+2與y=-x?+4x在區(qū)間

上的“分割函數(shù)，，，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵求所有的二次函數(shù)J=a/+cx+d(a片0)(用。表示c,d),使得該函數(shù)是y=2x?+2與y=4x在區(qū)間

(-8,+00)上的“分割函數(shù)”；

(3)若［私”仁［-2,2］,且存在實(shí)數(shù)匕6,使得y=丘+6為了=苫4-4尤2與了=4工2-16在區(qū)間［72,〃］上的“分害I］函

數(shù)”，求〃一加的最大值.

【答案】(1)V=%(x)是y=2/+2與了=一，+4x在(-00,+oo)上的“分割函數(shù)”；

y=4(x)不是夕=2/+2與y=--+4x在(-℃,+℃)上的“分割函數(shù)”；

(2)y=ax2+(4-2a)x+a(fi<a<2)；

(3)2A/3.

【分析】(1)根據(jù)題意可得當(dāng)xe(-8,+s)時(shí)2-+2242*+4》恒成立，結(jié)合”分割函數(shù)，，的定義依次判斷,

即可求解；

(2)根據(jù)“分割函數(shù)”的性質(zhì)，貝1］2-+22&+5+八4X對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和恒成立

2

可得(2-a)(x-l)20且a(x-l)220對(duì)一切實(shí)數(shù)尤恒成立，結(jié)合圖形即可求解；

(3)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)卜=--4/的極值，貝同=(4/-劭)力。=4/-3〃，作出其函數(shù)與函數(shù)y=4x2-16的圖

象，設(shè)直線了=履+6與y=-16的圖象交于點(diǎn)(國(guó),必),(馬,%),利用代數(shù)法求出弦長(zhǎng)

2

\x,-x2\<^+16+/)0=V?-7s+8s+16(S=〃e［2,4］),結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)MS)=S3-7S2+8S+16的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?，+2-4x=2(x-l)2±0恒成立,且4計(jì)(--+4%)=-20恒成立，

所以當(dāng)&e(-*+8)時(shí)，2#+224x2--+以恒成立，

故V=4(x)是y=2/+2與y=+4x在(-s,+功上的“分割函數(shù)”.

又因?yàn)閤+1-(--+4X)=/_3X+I,當(dāng)x=0與1時(shí)，其值分別為1與一1,

所以似x)2-x?+4x與飽。)4-r+4》在(-℃,+?>)上都不恒成立，

故y=飽。)不是y=2/+2與了=一，+4x在(-00,+oo)上的“分割函數(shù)”.

(2)設(shè)y=公2+次+"。20)是3；=2/+2與夕=4彳在(-00,+oo)上的“分割函數(shù)”,

貝I2犬+2》o?+ex+"24x對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，由(2/+2),=4x,

當(dāng)x=l時(shí)，它的值為4,可知y=2/+2的圖象在x=l處的切線為直線y=4x,

它也是y=ax2+cx+"的圖象在x=l處的切線,

2。+。=4Jc=4-2a,

所以可得

a+c+d=4Id=a.

所以2工2+2之中2+(4—2。)1+4241對(duì)一切實(shí)數(shù)獷恒成立,

即(2-a\x-I》20且。(x-之0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，

可得2-心0且。>0,即0<。(2,

又。=2時(shí)y=。/+(4一加)X+Q與y=2/+2為相同函數(shù)，不合題意,

故所求的函數(shù)為V=a/+(4-2a)x+?(0<a<2).

(3)關(guān)于函數(shù)了=x"-4尤2,令y'=4/_8x=0,可得x=0,土立，

當(dāng)xe板)與xe(0,后)時(shí),y'<0；當(dāng)xe(-0,0)與xe(V2,+oo)時(shí),y'>0.

可知土也是函數(shù)>=X4-4X2極小值點(diǎn)，0是極大值點(diǎn)，

該函數(shù)與了=4x2-16的圖象如圖所示.

由y=Ax+b為了=X，-4無(wú)2與y=4/-16在區(qū)間上"產(chǎn)]上的"分割函數(shù)”，

故存在b?使得b<b0且直線y=h+d與y=/-4,的圖象相切，

并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)fe[-2,-6]U[V2,2],此時(shí)切線方程為y=(4/一8t)x+4/-3/,

即后=(4/_劭)力o=4/-3〃,

設(shè)直線了=米+6與y=4i-16的圖象交于點(diǎn)(西,"),(馬,%),

fy=kx+b,

則由I-z,2?可得4x2-H-16-'=°，

[y=4x~-16

=yl(t3-2/)2+16+4C-3Z4=46-71+8H+16=-7s2+8s+16(s=f~e[2,4]),

令后(S)=--7S2+8S+16(se[2,4]),

軟s)=314-s-2)(s-4)V0(僅當(dāng)s=4時(shí)，〃(s)=0),

所以左(S)嚴(yán)格減，故后(S)的最大值為*(2)=12，可知|XjI的最大值為JU=26,

所以〃一加的最大值為26.

【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去

解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概

念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，