2024年秋季高一年級期末考試試卷

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章至第五章第5節(jié).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

a

1.若a是鈍角，則2是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

【解析】

a

【分析】利用鈍角的取值范圍得出一的范圍即可得出其對應(yīng)象限.

2

a

【詳解】若a是鈍角可得90。＜a＜180°，因此45°〈一＜90°；

2

顯然此時區(qū)是第一象限角.

2

故選：A

2.已知集合/={—2,—1,0,1,2},B=[X\X2-X-2=Q\,則/口8=()

A.{-1,0,2}B.{-2,0,1}C.{-1,2}D.{-2,1}

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次方程求得集合8,利用交集運算，可得答案.

【詳解】由5={x[(x+l)(x—2)=0}={—1,2},則=

故選：C.

TT2.71

3.若扇形O4S的圓心角為一，面積為一，則該扇形的弧長是()

33

4兀2兀71

A.—B.兀C.—D.-

333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)扇形的弧長和面積公式列式運算求解.

【詳解】設(shè)扇形048的半徑為「，弧長為/,

71

—V

3

則[],解得丫=2,I-——

12713

—lr=——

123

故選：C.

4.函數(shù)/(x)=d+2x—4的零點所在區(qū)間是()

A.i1B.9D.2盤

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)零點存在性定理判斷即可.

【詳解】因為y=x3,y=2x—4均在R上單調(diào)遞增，則/(x)=d+2x—4在R上單調(diào)遞增,

319

由已知/(o)=—4<0,/(1)=1+2-4=-1<0,f+2x——4:——>0,

28

?5,133八

/(2)=8+4-4>0,f+2x——4二----->0，

28

3

???/(!)/<0,

3

由零點存在性定理可得函數(shù)/(x)=d+2x-4的零點所在區(qū)間是1,

故選：C.

5.若幕函數(shù)/(x)=(加2+加—1卜'"+1是偶函數(shù)，則加=()

A.-2B.3C.ID.1或3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義得到方程，求出"2=1或加=-2,結(jié)合函數(shù)奇偶性排除加=-2,得到答案.

【詳解】因為/(x)是幕函數(shù)，所以加2+加—i=i，解得加=1或加=—2.

當(dāng)m=1時，/(x)=/是偶函數(shù)，符合題意；

當(dāng)加=-2時，/卜)=/是奇函數(shù)，不符合題意.

故選：C

6.已知。=log25,b=logo_809c=1.產(chǎn)2,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b>a>c

B.a>b>c

C.c>b>a

D.a>c>b

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值1,2分析判斷即可.

【詳解】因為l=l.l°<c=l.產(chǎn)2<I[I=LI<2，

且a=log25>log24=2,b=log0S0.9<log080.8=1,

所以a>2>c>l>6.

故選：D

7.已知函數(shù)/(x)=7-二；—不一^的定義域是R,則。的取值范圍是()

(Q—+yCl—IjX+2

A.(1,9)B.(1,8)C.[1,9)D.[1,8)

【答案】c

【解析】

【分析】將定義域是R的問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，對a-1是否為零進(jìn)行分類討論即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意(。-1)/+(。-1)》+2>0對于\/%611恒成立；

當(dāng)a-1=0時，2>0顯然成立，可得a=1符合題意；

(7—1>0

當(dāng)”1〉0時，若滿足題意可得1/、2/、，解得l<a<9；

A=(?-l)--4x2(?-l)<0

tz—1<0

當(dāng)a-1<0時，若滿足題意可得</、2/、，此時無解;

A=(a-1)-4x2(^z-l)<0

綜上可得，。的取值范圍是[1,9).

故選：C

8.已知a>0,且awl,則“)<a<2”是“函數(shù)/(x)=|："一'在R上單調(diào)遞增”

2[x2-(a-2)x+2a,x>0

的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先由/(x)在R上單調(diào)遞增求得。的取值范圍，再利用充分條件，必要條件的定義即得.

a>l

n—23

【詳解】由〃>)在R上單調(diào)遞增，得〈——<0,解得一

22

2?>3

3

故"一<a<2”是“函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

2

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知角a的終邊經(jīng)過點(加,3),且cosa=g,則()

A.m=4B.m=±4

3,3

C.tana=—D.tancr=±—

44

【答案】AC

【解析】

m4

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義列式=y(m>0),求得〃7,再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解.

ylm~+32

A加4

【詳解】由題意角a的終邊經(jīng)過點(加,3),且cosa=1，可知J二+32=《(加>0)，

解得加=4,故A正確，B錯誤;

3

所以角a的終邊經(jīng)過點(4,3),所以tana=7,故C正確，D錯誤.

故選：AC.

10.已知a〉l〉b〉0,則下列不等式一定成立的是()

ba

A.a-l>bB.a>b

C.Ina>InZ?D.a2—a>ab-b

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用賦值法可判斷A；由題意可得d〉l，勿<1，可判斷B；利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；

利用不等式的性質(zhì)可判斷D.

31

【詳解】當(dāng)。=一，6=—時，a-X=b,則A錯誤.

22

因為a〉l〉b〉0,所以/〉1，ba<1>所以a">6"，則B正確.

因為y=lnx在(0,+“)上單調(diào)遞增，因為。〉6〉0,所以lna>lnb,則C正確.

因為a〉l〉Z?〉0,所以a>6,o-l>0,所以,所以"一。〉。/,—/),則D正確.

故選：BCD.

11.對于函數(shù)/(x),存在/,使得/(%)=Xo,我們稱/(x)為“不動點”函數(shù).下列函數(shù)中，是“不動點”

函數(shù)的是()

A./(x)=x2+3x+2

B./(x)=2x+--3

A

C./(x)=log2x+2'-x

,z、fx2+4x+2,x>0,

D.f(x)=\

v7[3，,x<0

【答案】BC

【解析】

【分析】將函數(shù)是否為“不動點”函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程是否有解，根據(jù)方程判別式的符號判斷AB；根據(jù)x=l

是方程log2X+2、-2x=0的一個解判斷C；分兩種情況討論分別判斷方程是否有解即可判斷D.

【詳解】令X2+3X+2=X，即工2+21+2=0.

因為A=2?-4x2<0，所以*+2x+2=0無解，

則/(x)=、2+3x+2不是“不動點”函數(shù)，A不正確；

令2XH---3=x即XH------3=0,即X?—3x+l=0.

XfX

因為△=(—3)2—4〉0,所以V—3x+i=0有兩個不同的非零實根，

則/(x)=2x+--3>“不動點”函數(shù)，B正確；

X

XX

令log2x+2-x=x,即log2%+2-2x=0,

x

易知x=1是方程log2x+2-2x=0的一個解，

則/(%)=地2%+2—是“不動點”函數(shù)，C正確；

當(dāng)x>0時，令12+41+2=%，即％2+31+2=0，解得x=-l或1二一2,

則方程/+4工+2=%在(0,+8)上無解；當(dāng)x<0時，3"〉0,

X2+4x+2x>0

則方程3,=x在(—8,0)上無解.故/(x)=''不是"不動點”函數(shù)，D不正確;

[3,x<0

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)〃x)=sin(2x+，的最小正周期為.

【答案】兀

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦型函數(shù)周期公式計算作答.

【詳解】T=—=7l

2

故答案為：兀

33.

13.已知a>0,b>0,且—F2b=2,則2aH—的最小值是_____.

ab

【答案】12

【解析】

【分析】利用基本不等式中“1”的應(yīng)用計算即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可知：

2?+-=ifl+26￥2?+-V-f6+—+4?6+6^>-[12+2.￡<4^^=12;

621a人b）21abJ2^\ab

91

當(dāng)且僅當(dāng)一=4ab,即a=3,b=—時，等號成立；

ab2

3

因此2a+—的最小值是12.

b

故答案為：12

14.溶液的酸堿度是用來衡量溶液酸堿性強弱程度的一個指標(biāo)，在化學(xué)中，常用pH來表示溶液的酸堿度pH

的計算公式為pH=-lgc（H+）,其中c（H+）表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.已知某溶液中氫離

子的濃度是12x10—3摩爾/升，則該溶液的pH約為（結(jié)果保留2位小數(shù)，參考數(shù)據(jù):

1g3土0.477,1g5土0.699）

【答案】1.92

【解析】

【分析】直接將氫離子的濃度代入并利用對數(shù)運算性質(zhì)計算即可.

【詳解】易知pH=-lgc（H+）=-Igl2x10-3=-Igl2-lgl0-3=-lg（3x4）+3

=-lg（3x4）+3=-lg3-21g2+3=-lg3-2（lgl0-lg5）+3

=-Ig3-2（l-lg5）+3=l+21g5-lg3?1+2x0.699-0.477=1.921^1.92.

故答案為：1.92

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于將氫離子濃度代入后由對數(shù)運算法則計算并結(jié)合參考數(shù)據(jù)計算可得.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合/={x|/-6x-7<0},B-{x\a-2<x<a+3}.

（1）當(dāng)a=—1時，求/U5；

（2）若求。的取值范圍.

【答案】（1）A'UB={x|—3<x<7}

（2）（―co,-4]U[9,+00）.

【解析】

【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化簡集合H當(dāng)a=-1時求出集合5,再求并集即；

(2)根據(jù)=列不等式即可求。的取值范圍.

【小問1詳解】

因為Z={x|x2-6x-7<0|={x|-1<x<7}.

當(dāng)a=-1時，5={x|-3<x<2},

則/u8={x|-3<x<7}.

【小問2詳解】

因為/={x|-l<x<7},B={x\a-2<x<a+3},

且2口8=0,

所以a-2±7或a+3<-1,

解得a29或aK-4,

即。的取值范圍是(-e,-4]u[9,+8),

16.已知函數(shù)/(x)=gsin2x+2cos2x-l.

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

771

(2)求/(x)在0,—上的值域.

【答案】(1)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為—￡++E，k?Z

|_36

「7兀1

(2)/(x)在0,—上的值域為『"2]

【解析】

【分析】(1)化簡可得/(x)=2sin(2x+巴],利用—四+2EW2x+巴三工+eZ,可求單調(diào)遞增

I6J262-

區(qū)間；

(2)由已知得工+如，進(jìn)而得—G<2sin(2x+工]W2,可求值域.

663I6J

【小問1詳解】

f(x)=V3sin2x+2cos2x-1=jsin2x+cos2x

=2——sin2x+—cos2x=2sin2x+—,

[22JI6j

兀兀兀兀兀

由---F2左兀V2xH—<—F2kn,k￡Z,得----FkuVxV-Fkn^kGZ,

26236

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一;++E,k@Z；

【小問2詳解】

,「C7兀17Tc714兀

由X￡0,,可待一<2xH—<—，

L12J663

所以—乎<sin[2x+已]W1,所以—G<2sin^2x+^<2,

「7兀1

所以/(x)在0,—上的值域為卜6,2].

17.已知Gsin[，+$J+2cos[，一=0.

(1)求tan。的值；

(2)求tan[e+g卜勺值；

(3)求2shi26—cos%的值.

【答案】（1）tand=@

2

(2)—3百

(3)8A/3—4

07

【解析】

【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡條件式，結(jié)合商數(shù)關(guān)系求解；

（2）利用兩角和的正切公式求解；

（3）利用二倍角公式和平方關(guān)系，將原式化為齊次式，再將弦化切計算可得.

【小問1詳解】

0,所以一J§cos6+2sine=0，

所以2sin。=Geos。，

sin。V3

則tan。二

cos3~T

【小問2詳解】

c71

tan"+tan—

tan,+73

兀

1一tanOtan一

3

【小問3詳解】

4sin^cos6^-cos2^

2sin2^-cos2^=

sin2^+cos26^

4tan^-l

tan2^+l

5+Y

18.已知/(x)=log3土」(a>0)是奇函數(shù).

（l）求a的值及/（x）的定義域;

（2）判斷/（x）的單調(diào)性并用定義法證明；

（3）求不等式/（2x—3）+/（x—3）20的解集.

【答案】（1）a=5,函數(shù)/（x）=log3上上的定義域為（一5,5）

5-x

cI

（2）函數(shù)/卜）=1083土」r在（-5,5）上單調(diào)遞增，證明見解析

（3）[2,4）

【解析】

【分析】（1）由已知得log'j+logsOnO,可求得a=5,進(jìn)而根據(jù)2〉0,可求定義域;

a+xa-x5-x

（2）函數(shù)/（》）=1。83出在（-5,5）上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性的定義證明即可；

5-x

2x—323—x

（3）不等式可變形為/（2x-3）N/（3-x）,由（2）可得卜5<2x-3<5,求解即可.

—5<x—3<5

【小問1詳解】

因為/（X）是奇函數(shù)，所以/（—x）+/（x）=O恒成立，所以logsjm+log32t±=0,

22

即logs今25-三x=log31，所以25今-x三=1,所以25—

a-xa-x

所以。2=25，因為Q>0,解得。=5,

5+Y5+Y

所以/（x）=log3——，由——>0,等價于（x+5）（x—5）<0,解得一5<x<5,

5-x5-x

所以函數(shù)/（x）=10g3±H的定義域為（—5,5）；

【小問2詳解】

cI

函數(shù)/（同=1。83二」T在（-5,5）上單調(diào)遞增；

證明：\/^,%2（-5,5）,且再<了2，

l(5+玉)(5—X2)]25+5(%1-x)-XjX

/(x1)-/(x2)=log3ji^-log322

J_X]□一/3(5-玉)(5+工2)325-5(X[-工2)-西工2'

因為所以再一工2<0，所以5（再一工2）<-5（%一工2）,

25+5（再一%）一西馬

所以25+5（西一工2）-石工2<25-5（/一馬）一石乙,所以0<<1

25-5（石一9）一石工2

所以/（西）—/（%）<。，即/（、1）</（々），所以/（X）在（—5,5）上單調(diào)遞增;

【小問3詳解】

由/（2x—3）+/（x—3）20,可得/（2x—3）2—/（x—3）=/（3—x）,

因為/(x)在(—5,5)上單調(diào)遞增，

2x—323—x

所以<-5<2x—3<5,解得2<x<4?

—5<x—3<5

所以不等式/（2%—3）+/（》—3"0的解集為［2,4）.

19.若函數(shù)/（x）滿足對任意的為，x2e（0,+co）,都有/（再）>0,/（x2）>0,且

/(x1)+/(x2)</(x1+x2),則稱/(x)為“超加性傾向函數(shù)”.

(1)若函數(shù)/(x)=log3(x+4),試判斷/(X)是否是“超加性傾向函數(shù)”，并說明理由.

(2)證明：函數(shù)g(x)=2*+ax—l(a〉O)是“超加性傾向函數(shù)”.

(3)若函數(shù)〃(%)=4工+1-加-2是“超加