廣西桂林市2024年中考數學一模考試試卷

姓名：班級：考號：

題號——總分

評分

一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合要求的,

用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑）

1.-2024的相反數是（）

A.-2024B.2024C.±2024D.

2.下列交通標志圖形中是軸對稱圖形的是（）

?@

血

3.“品桂林經典，享激情桂馬”，2024年3月17日上午8時，2024桂林馬拉松賽在桂林市中心廣場鳴槍開

跑，30000名選手全力以赴，共享桂林山水.將數據30000用科學記數法表示為（）

A.3X105B.30X103C.3x104D.0.3X105

4.下列單項式中，能夠與24/2合并的是（)

A.xyB.3y2%C.2y2D.

5.直角三角形的一個銳角是70。，則它的另一個銳角是()

A.20°B.70°C.110°D.20°或70°

6.為了解某縣七年級8000多名學生的心理健康情況，心理老師從中抽取了500名學生的評估報告進行統計

分析，下列說法不正確的是（）

A.樣本容量是500

B.樣本是500名學生的心理健康情況

C.個體是一個學生的心理健康情況

D.總體是8000多名學生

7.如圖，直線a〃b,若二135。，則42等于（）

1

8.如圖，在RtAZBC中，ZC=90。，tanA=。BC=8,貝l]4C等于（）

9.據某品牌新能源汽車經銷商6月至8月份統計，該品牌新能源汽車6月份銷售120輛，8月份銷售144輛.

設月平均增長率為％,根據題意，下列方程正確的是（）

A.120（1+%）2=144B.144（1—久下=120

C.120（1+2久）=144D.144（1-2%）=120

10.如圖，把長短確定的兩根木棍AB,AC的一端固定在4處，和第三根木棍BM擺出△ABC固定，木棍AC繞4

轉動，得到△48。，這個實驗說明（）

A.有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等

B.有兩角分別相等且其中等角的對邊相等的兩個三角形不一定全等

C.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等

D.有兩邊和其中一邊對角分別相等的兩個三角形一定不全等

11.如圖，△^。可的頂點時在第一象限，頂點N在久軸上，反比例函數y=1的圖象經過點M,若MO=MN,

△MON的面積為8,貝丸的值為（）

A.32B.16C.8D.4

12.對于一個函數：當自變量支取a時，其函數值y也等于a,我們稱a為這個函數的不動點.若二次函數y=

X2+2X+C（c為常數）有兩個不相等的不動點，貝k的取值范圍是（）

2

11

A.c-TB.c<-2C.c>—2D.c>——

44

二'填空題（共6小題，每小題2分，共12分，請將答案填在答題卡上）

13.點P（2,—3）在第象限.

14.因式分解：m2—9=.

15.如圖是某地球儀的主視圖，AB、CD、EF分別是赤道平面、地軸、黃道平面，我們知道地球儀的地球是傾

斜的，地球儀的地球姿態是公轉時的姿態，地球公轉時，地軸并不是垂直于黃道平面（地球公轉軌道平面），

所以地球是斜著身子進行公轉的，就產生了黃赤交角，其度數為乙40F=23。26地球儀上地軸的傾斜角度

與黃赤交角是互余的，所以地球儀上地軸的傾斜角/COF等于.

16.不透明的袋子中裝有2個紅球和3個黃球，兩種球除顏色外其余均相同，從中隨機摸出一個球，摸到黃球

的概率是.

17.如圖，在等邊△ABC中，AB=6,BD平分乙ABC,點E在BC的延長線上，且ZE=30。，則CE的長

18.如圖，點。是以力B為直徑的半圓的圓心，。是半圓上的一動點，以。。為對角線作菱形。CDE,且NCDE=

60°,經過C、E的直線分別與半圓交于F、G點，交。。于點M.已知CE=28，貝UFG的長為.

三,解答題（本大題共8題，共72分，請將解答過程寫在答題卡上）

19.計算：2義（_3）+返_（巡—1）°.

3

20.解不等式：3%-1>4-2%,并把解集表示在數軸上.

-4-3-2-101234

21.如圖，在△ABC中，AC=BC,ZC=36。，點。在AC邊上，且ZD=4B.

（1）求NB4c的度數；

（2）尺規作圖：作ZBAC的平分線，交BC于點E,連接DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（3）在（2）的條件下，求證：BE=CD.

22.某校開學初對七年級學生進行一次安全知識問答測試，設成績為％分（久為整數），將成績評定為優秀、良

好、合格，不合格四個等級（優秀，良好，合格、不合格分別用A,B,C,。表示），A等級：90<%<100,

B等級：80<x<90,C等級，60W久<80,。等級：0W久<60.該校隨機抽取了一部分學生的成績進行調

查，并繪制成如圖不完整的統計圖表.

等級頻數（人數）

4(90<x<100)a

8(80<90)16

C(60<%<80)C

￡)(0<x<60)4

請你根據統計圖表提供的信息解答下列問題：

(1)直接寫出圖表中的a,c,m的值；

(2)請判斷這組數據的中位數所在的等級；

(3)該校決定對分數低于80分的學生進行安全再教育，已知該校七年級共有1000名學生，請通過計算估

計該校七年級需要進行安全再教育的學生有多少人？

23.為了響應“綠色環保，節能減排”的號召，小華家準備購買4B兩種型號的節能燈，已知購買1盞A型和2

盞B型節能燈共需要40元，購買2盞4型和3盞B型節能燈共需要70元.

(1)A,B兩種型號節能燈的單價分別是多少元？

(2)若要求這兩種節能燈都買，且恰好用了50元，則有哪幾種購買方案？

24.聯想與思考

【提出問題】同學們已經研究過銳角三角形面積與內切圓半徑之間的關系，即：如圖1,在銳角AABC中，

乙4、乙B、NC的對邊分別是a、b、c,設△ABC的內切圓。。半徑為r,△ABC的面積為S,貝心=空竽蟲.小

明同學在學習了以上的知識后提出了另一個問題：任意一個銳角三角形都有內切圓與外接圓，那么銳角三角

形的面積S與它的外接圓半徑有怎樣的關系呢？

BaC

圖1

【分析問題】為解決該問題，老師讓同學們進行了如下的思考與探究：

(1)如圖2,設銳角△ABC的外接圓半徑為R,同學們得出猜想：忌=2兄

在證明的過程中，同學們發現該猜想的結論與sin4有關，由此啟發：添加輔助線構建直角三角形來解決問

5

題.小明經過思考做了以下嘗試解答，請你補全證明過程:

（2）請你根據上述啟發，結合圖3,證明：S=：bcsin4

（3）【解決問題】

結合（1）、（2）的結論，請探究出銳角三角形的面積S與它的外接圓半徑R之間的關系（用含有a、b、c和R

的式子表示S）,并說明理由.

25.綜合與實踐

【材料閱讀】我們知道，（迎—7^）2之0（a>0,b>0）,展開移項得a+b之當a=b時，取到等

號；我們可以利用它解決形如“X+?（久>0,n為常數且n>0）的最小值”問題.

例如：求式子尤+q（久〉0）的最小值.

解：l0=4-當久=緝寸，即久=2時，式子有最小值，最小值為4.

x+X->27Xx

【學以致用】在一次踏青活動中，某數學興趣小組圍繞著一個有一面靠墻（墻的長度為12租）的矩形籬笆

花園（如圖1所示）的面積S和籬笆總長Z與力3的長度。之間的關系進行了研究分析.

6

墻長12

圖1

(1)當該矩形花園的面積S為3262,籬笆總長/為20m時，求a的值;

(2)當籬笆總長/為20nl時,

①寫出S關于a的函數關系式，并寫出a的取值范圍;

②當a取何值時，S有最大值？最大值是多少？

(3)當面積S為32加2時,/關于a的函數解析式為/=2a+半,數學興趣小組的小李同學利用數學軟件作出

了其函數圖象如圖2所示，點P為圖象的最低點，觀察圖象并結合［材料閱讀］,當自變量a的取值范圍為多少

時，1隨a的增大而減小？(直接寫出a的取值范圍)

26.探究與推理

如圖1,在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,連AC,點P為OC上的一個動點，點P從。點出發，以每秒4個

單位的速度沿DC向終點C運動.過點P作AC的平行線交于點Q,將APOQ沿PQ對折，點O落在點E處，連DE

交PQ于點G,設運動的時間為t秒;

備用圖

(1)用含有t的式子表示DG.

(2)當t為何值時，點E恰好落在線段AC上；

(3)如圖2,在點P運動過程中，以PE為直徑作。0,當t為何值時，。。與矩形的邊相切？請說明理由.

7

8

答案解析部分

L【答案】B

【解析】【解答】解：-2024的相反數是2024,

故答案為：B.

【分析】根據相反數的定義即可求出答案.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：A、\?該圖形既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，二A不符合題意；

B、?.?該圖形既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，.。上不符合題意；

C、?.?該圖形既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，.?.€：不符合題意；

D、?.?該圖形是軸對稱圖形，；.D符合題意；

故答案為：D.

【分析】根據軸對稱圖形的定義逐項分析判斷即可。

3.【答案】C

【解析】【解答】解：30000=3X103

故答案為：C.

【分析】將一個數表示成ax1(F的形式，其中1<⑷<io,n為整數，這種記數方法叫做科學記數法.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：A、xy與2%必不是同類項，無法合并，故本選項不符合題意；

B、3y2久與2久y2是同類項，能合并，故本選項符合題意；

C、2y2與2xy2不是同類項，無法合并，故本選項不符合題意；

D、與2%y2不是同類項，無法合并，故本選項不符合題意；

故答案為：B

【分析】根據同類項定義，合并同類項法則逐項進行判斷即可求出答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：???直角三角形的一個銳角是70。，

它的另一個銳角是90。一70°=20°,

故答案為：A.

【分析】利用直角三角形的兩銳角互余，可求出結果.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：???為了解某縣七年級8000多名學生的心理健康情況，

二總體是8000多名學生的心理健康情況，

9

?*.D選項不正確，

故答案為：D.

【分析】根據數據統計中樣本容量定義，樣本定義，總體定義逐項進行判斷即可求出答案.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖：

'：a//b,

.,.Z2+Z3=180°,

VZ1=Z3,Zl=135°,

.-.Z3=135°,

.\Z2=45°,

故答案為：C.

【分析】根據兩直線平行，同旁內角互補可得N2+N3=180。，根據對頂角相等可得N3=135。，即可求解.

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】A

【解析】【解答】解：在AABC和AABD中，AB=AB,AC=AD,ZABC=ZABD,

此時△ABC和4ABD不全等，

,有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.

故答案為：A.

【分析】根據有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等，即可求解.

n.【答案】c

【解析】【解答】解：過M作MA±ON于A,

；.OA=AN,

10

設M點的坐標為（a,b）,

貝ljOA=AN=a,AM=b,

,/△MON的面積為8,

1

??2,x2axb=8,

ab=8,

在反比例函數y=1上，

/.ab=k,

即k=8,

故答案為：c.

【分析】過M作MALON于A,根據等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線重合可得OA=AN,設M點的

坐標為（a,b）,結合三角形的面積和反比例函數的幾何意義即可求解.

12.【答案】A

【解析】【解答】解：?..二次函數y=/+2久+c（c為常數）有兩個不相等的不動點，

.?.二次函數y=x2+2x+c與函數y=%有兩個交點

.,.x2+2x+c=久有兩個不相等的實數根

.'.x2+x+c=0

A=非—4ac=12—4xlXc>0

解得c<J.

故答案為：A.

【分析】根據題意得到二次函數y=/+2%+c與函數y=x有兩個交點，即方程/+久+。=。有兩個不相等

的實數根，則判別式4=所-4ac>0,解不等式即可求出答案.

13.【答案】四

【解析】【解答】解：（2,-3）的橫坐標大于0,縱坐標小于0,

.?.點P（2,-3）在第四象限，

故答案為：四.

【分析】根據象限內點的坐標特征：第一象限（+，+）;第二象限（-,+）;第三象限第四象限（+,

-）,即可求解.

14.【答案】（m+3）（m-3）

【解析】【解答】m2-9=（m+3）（m-3）

故答案為：（m+3）（加一3）.

【分析】觀察此多項式的特點：含有；兩項，都能寫成平方形式，兩項的符號相反，由此利用平方差公式分

11

解因式。

15.【答案】66°34'

【解析】【解答】解：???/AOF=23O26',地球儀上地軸的傾斜角度與黃赤交角是互余的，

地球儀上地軸的傾斜角ZCOF=90°-23o26,=66°341,

故答案為：66°341.

【分析】根據如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即可求解.

16.【答案】|

【解析】【解答】解：摸到黃球的概率為：殺=|；

故答案為：|.

【分析】根據隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數即可求解.

17.【答案】3

【解析】【解答】解：ABC是等邊三角形，AB=6,BD平分/ABC,

???AD=CD=3,NACB=60。，

VZE=30°,

:.NCDE=NACB-NE=30。，

???NE=NCDE=30。，

???CE=CD=3；

故答案為：3.

【分析】根據等邊三角形的性質可得AD=CD=3,NACB=60。，結合三角形的外角等于與它不相鄰的兩個

內角之和可得NCDE=30。，根據等邊對等角可得CE=CD=3.

18.【答案】6V3

【解析】【解答】解：如圖所示，連接OF,

???四邊形OCDE是菱形，

AOD±CE,MD=MO,CM=EM,CD=DE,

ZCDE=60°,CD=DE,

???△CDE是等邊三角形，

則CE=DE=2?

12

.".ME=百,

故DM=<DE12-ME2=J（2V3）2—（V3）2=3，

VOD1CE,

；.FM=GM,0M=DM=3,OF=OD=6,

-,-FM=VOF2-OM2=V62-32=3翼,

'.FG=2FM=6V3;

故答案為：6V3.

【分析】連接OF,根據菱形的對角線互相平分且垂直，四條邊都相等可得ODLCE,MD=MO,CM=EM,

CD=DE,根據有一個角是60。角的等腰三角形是等邊三角形，等邊三角形的三條邊都相等可得CE=DE=

2V3,根據直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求出DM=3,根據垂直于弦的直徑平分弦可得

FM=GM,根據直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求出FM的值，即可求解.

19.【答案】解：2x（-3）+四一（遙-1）°

=-6+2-1

=—5.

【解析】【分析】先將算術平方根和0次幕化簡，再進行計算即可.

20.【答案】解：3%—1>4—2x,

3x+2x>4+1,

5%>5,

x>1,

把其解集在數軸上表示，如圖所示:

1?1??什1?

-4^-2-101234

21.【答案】（1）解：?.YC=BC,ZC=36°,

乙180°-zC1800-36°

???Z-BAC=B2=2

（2）解：如圖所示，射線4E、線段。E為所求.

（3）解：由（2）可知AE平分ABAC,

13

??.^BAE=乙CAE=36°,

在434E和中，

AB=AD

乙BAE=乙CAE,

、AE=AE

BAEDAE（SAS）,

???乙ADE=LB=72°,BE=DE,

???2DEC=^ADE-ZC=72°-36°=36°=zC,

??.DE=CD,

??.BE=CD.

【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的兩底角相等和三角形內角和是180。，求解即可；

（2）根據角平分線的尺規作圖方法作圖即可；

（3）根據從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線得到

ZBAE=ZCAE=36°,根據兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應邊相等，對應角

相等可得NADE=NB=72。，BE=DE,根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和可得NDEC=NC,根

據等角對等邊可得DE=CD,即可證明BE=CD.

22.【答案】（1）a=8,c=12,m=30.

（2）解：把這組數據從小到大排列，排在中間的兩個數都在B等級，

所以這組數據的中位數所在的等級是B等級.

（3）解：1000x^^=400（人）

4U

答：該校七年級需要進行安全再教育的學生有400人.

【解析】【解答］解：（1）解：由題意得，樣本容量為：16：40%=40,

???a=40x20%=8,

0=40-8-16-4=12,

19

m%=±^=30%,即m=30.

【分析】（1）用B等級的頻數除以B等級的頻率可得樣本容量，再用樣本容量乘A等級所占百分百20%可得

a的值；用樣本容量分別減去其他三個等級的頻數可C等級的頻數，進而得出c和m的值；

（2）根據將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的

數就是這組數據的中位數，如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數即

可求解；

（3）用1000乘樣本中C、D等級所占百分百之和即可求解.

23.【答案】（1）解：設A種型號節能燈的單價為x元，B種型號節能燈的單價為y元，

14

(x+2y=40

(2%+3y=70，

解得：憂工

答：4種型號節能燈的單價為20元，B種型號節能燈的單價為10元

(2)解：設購買4種型號節能燈m盞，B種型號節能燈n盞，

：?20m+10n=50,

因為根、n均為正整數,

???共有兩種購買方案，分別是：

方案①：購買/種型號節能燈1盞，B種型號節能燈3盞；

方案②：購買A種型號節能燈2盞，B種型號節能燈1盞.

24.【答案】(1)D；90；sin。

AK

/\E

⑵證明：過B作BELAC于E,如圖：C/\b

HaC

???在R"ABE中，*sin4

/.BE=c*sinA,

11

??.S—3BE?AC--^bcsmA9

(3)解：由(1)、(2)可知會=sinZ,S=^bcsinAf

「17aabc

-S=2bc-2R=^R-

【解析】【解答］解：(1)連接BO2并延長交。02于點D,連接CD,

???NA=ND,ZBCD=90°,

???玲=sinD=sinA,

工品=2七

故答案為：D；90；sinD.

15

【分析】(1)連接BO2并延長交。02于點D,連接CD,根據等弧所對的圓周角相等得到NA=/D,直徑所對

的圓周角是直角可得/BCD=90。，根據正弦的定義得到看=s仇。=即可求解；

(2)過B作BELAC于E,根據正弦的定義得到BE=c”inA,利用三角形面積公式即可得到結論；

(3)根據(1)、(2)中的結論即可求解.

25.【答案】(1)解：依題可知32=以20—2a),即：a2-10a+16=0,

解得=2,=8,

當a=2時，20—2a=16>12,不符合題意，舍去，

?1?a=8.

⑵解:①S=a(20-2a),

'a>0

V20-2a>0,

.20—2a412

解得：4<a<10,

故S=a(20-2a)=-2a2+20a(4<a<10)；

@S=-2a2+20a=-2(a-5)2+50,

V-2<0,4<a<10,

.?.當a=5時，S有最大值，最大值為50.

(3)解：根據題意可得：2a+%>212a至，

a~ya

即2a+——>16,

a

當2a=%時，2a+%有最小值為16,

aa

解得：a=4或a=-4(舍去)，

.?.點P的坐標為(4,16),

又■>()且當M12,

解得：§4①

綜上，當時，1隨a的增大而減小.

26.【答案】(1)解：依題可知PD=4t,由折疊可知PQIE。，

在矩形力BCD中，^ADC=90°,AB=CD8,BC=AD=6,

AC=siAD2+DC2=V82+62=10,

又???PQ//AC,

:.Z-ACD=Z-GPD,

.AD3.DG

??sinz.j4C/0DrA==耳=sinZ.GP￡)=

16

312

DG=PD?smZ-GPD=4tx=-g-t.

(2)解：由折疊可知PQ垂直平分ED,

?.?點E恰好落在線段AC±,

324

:?DE=CD?sin^ACD=8x[=學

?24,24

??虧”工

解得：t=1.

(3)解：連接0G

依題可知，。為EP的中點，G為ED的中點，PQ1ED,PD=PE=4t,即半徑為23

???0G||PD,

在矩形ABCD中，NABC=乙BCD=^ADC=90°,

XvPQ||AC,PQ1ED,"DC=90。，

???Z-PDG-Z-CAD-Z.PQD,

34

??.cosZ-PDG-cosZ-CAD=耳，sinZ-PDG=sinZ-CAD—耳；

①當