20242025學年廣東省廣州市西關外國語教育集團九年級（上）期中

數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

2.已知二次函數(shù)?=I-,則其二次項系數(shù)a,一次項系數(shù)6,常數(shù)項c分別是()

A.a=1,A=-3,c=5B.a=1,h=3,c=5

C.J=5,b=3,c=lD,a=5,b=-3,c=l

A.(Z1)B.(2,1)C.(-2,l)D.-2,-1)

5.用配方法解方程1-9=()時，此方程可變形為()

A.i.v+4|；=7B.(.r+4|,=25C.(K+4/=9D.(.r+4T=-7

,.2024

6.點La）與點H（A2）關于原點對稱，則的值為（）

A.lB.lC.2024D.2024

7.如果函數(shù)H2|+h+1是關于尤的二次函數(shù)，那么女的值是（）

A.1或2B.0或2C.2D.0

8.某商品原售價為200元，連續(xù)兩次降價心。后售價為100元，下面所列方程正確的是（）

A.200（l+a%l：=100B.200（l-a°<>r=100

C.（200+a%）'=100D.100-a%I'=200

9.已知實數(shù)a,b分別滿足』-6U-4=Q,-6/）+4=0,且則：的值是（）

ab

A.7B.7C.llD.ll

1OJ=/+（1-a）x+l是關于x的二次函數(shù)，當x的取值范圍是I4x43時，>在x=l時取得最大值，則

實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a?-5B.a>SC.a=3D,a>3

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.已知關于x的一元二次方程「-K-3=。的兩個實數(shù)根分別是m,〃，則"L〃-.

12.一元二次方程x-6）=0的兩個實數(shù)根中較大的根是.

13.如圖所示，在正方形ABC。中，AC,8。相交于點O,△繞點。逆時針旋轉90。后與△8OF重合,

AB=2,則四邊形BEOF面積是.

14.有m支球隊要進行籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），共比賽了10場，則，”=.

15.二次函數(shù)了=-2（X-1「+3的圖象關于原點對稱的圖象解析式為.

16.拋物線｝="/+版+C的對稱軸為直線x=-1,圖象過（LO）點，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①

abc>0；②尸-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若點（-05凹），（-2.打）均在拋物線上，則》>必；

⑤5a26+c<0.其中正確的序號有.

y

-1：0\/Ix

三、計算題：本大題共1小題，共4分。

17.解方程：二「+5l3=0.

四、解答題：本題共8小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.（本小題4分）

已知二次函數(shù)『=-2./的圖象經(jīng)過點（L。）,（2,7）,求此二次函數(shù)的表達式.

19.（本小題6分）

如圖，Rd48c中，=90。.

（1）將△.48C繞點8逆時針旋轉180。得到△.■T8C',連接.4C',CA'（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求證：四邊形4C'.4'C是菱形.

20.（本小題6分）

已知關于無的方程/+久+4-2=0.

（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）當該方程的一個根為1時，求。的值及方程的另一根.

21.（本小題8分）

如圖所示，拋物線M-V'+m與直線”=2v+〃相交于點A,B.

（1）直接寫出實數(shù)式,"的值，并求出點A,2的坐標；

（2）若M>/，請直接寫出x的取值范圍.

水果店王阿姨在水果批發(fā)市場以20元/kg的價格購進一種水果，若這種水果的銷售量ykg與銷售單價x元/kg

的滿足如圖所示的一次函數(shù)關系.

（1）求y與龍之間的函數(shù)關系式.并在不虧錢的情況下直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）請你幫王阿姨拿個主意，將這種水果的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

如圖所示，拋物線經(jīng)過點30）,1,0）,C|0,3）,它的對稱軸為直線.

（1）求△.48c的面積；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點尸是該拋物線上的一個動點，過點尸作直線的垂線，垂足為點。，點E是直線上的點，若以點P,

D,E為頂點的三角形與△.40C全等，求滿足條件的點P,點E的坐標.

V

24.（本小題12分）

如圖，A.-ISC中，￡ACB=90°,將△」8C繞點C順時針旋轉得到△DEC,點。落在線段,"上，連

接BE.

(1)求證：DC平分乙4DE；

(2)試判斷線段對與線段,48的位置關系，并說明理由；

(3)若8E；BF,請你求出二」的度數(shù).

E

25.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標系t。「中，拋物線E：V=-1.V-ffi|r2"，加＜01的頂點尸在拋物線尸：

?二」「上，直線X-/與拋物線E,F分別交于點A,B.

(1)求。的值；

(2)將A,8的縱坐標分別記為.匕，乂，設5=.%-1),若s的最大值為4,則根的值是多少？

(3)。是x軸的正半軸上一點，且尸。的中點M恰好在拋物線廠上.試探究：此時無論加為何負值，在y

軸的負半軸上是否存在定點G,使/PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：選項A、B、C均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所

以不是中心對稱圖形；

選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形.

故選：D.

根據(jù)中心對稱圖形的定義逐項判斷即可.

2.【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的定義進行解答即可.

【解答】

解：：函數(shù)「=I-兀+是二次函數(shù)，

整理得：J=5/-3K+1,

二二次項系數(shù)a=5,一次項系數(shù)6=-3,常數(shù)項c=l.

故選D.

3.【答案】C

【解析】解：：二次函數(shù)J=.V+2.v-1=(I?1r-2,

???拋物線開口向上，對稱軸為直線*=1,頂點為(1,-2),

故選項C符合，

故選：C.

利用二次函數(shù)的性質判斷即可.

4.【答案】A

【解析】解：二次函數(shù)1=2(\-2「+1圖象的頂點坐標為(2J),

故選：A.

對于二次函數(shù)J=+A(awO),其頂點坐標為據(jù)此求解即可.

5.【答案】B

【解析】解：—+8i-9=0,

移項得：廣?=9,

配方得：「?八T6="，即㈠+4/=25.

故選B.

將方程常數(shù)項移到右邊，兩邊都加上16,左邊化為完全平方式，即可得到結果.

6.【答案】B

【解析】解：：點41Ml與點4s,2)關于原點對稱，

.*./>=1,a=2,

則，。+6|=(-2+11=I.

故選：B.

直接利用關于原點對稱點的性質得出。，6的值，即可求出答案.

7.【答案】D

【解析】【分析】

依據(jù)二次函數(shù)的定義可知k2^0,4:-2A?2=2,從而可求得k的直

【解答】

解：?.?函數(shù)I="-2|+h+l是關于x的二次函數(shù)，

-2=o,1.

解得ko.

8.【答案】B

【解析】解：當商品第一次降價V。時，其售價為200200。％=200(1。％|(元).

當商品第二次降價u"。后，其售價為200("a%)-200(1-a%)a%=200(1-。％)：(元).

200(1-a%?=100.

故選：B.

9.【答案】A

【解析】【分析】

根據(jù)已知兩等式得到。與6為方程廠-6i+4=0的兩根，利用根與系數(shù)的關系求出與，曲的值，所

求式子通分并利用同分母分式的加法法則計算，再利用完全平方公式變形，將。與，曲的值代入計算即

可求出值.

【解答】解：根據(jù)題意得：。與6為方程「-U+4=U的兩根，

.,."6=6,ab=4,

(</+/>)-2ab36—8

貝！J原式=:="=7.

ab4

故選A.

10.【答案】B

【解析】解：第一種情況：

當二次函數(shù)的對稱軸不在14x43內(nèi)時，此時，對稱軸一定在1<x<3的右邊，函數(shù)方能在這個區(qū)域取得

最大值，

fl—1

x----23,即a27,

2

第二種情況：

當對稱軸在14x43內(nèi)時，對稱軸一定是在區(qū)間14x43的中點的右邊，因為如果在中點的左邊的話，就

是在主=3的地方取得最大值，即：

x==,即（此處若。取5的話，函數(shù)就在1和3的地方都取得最大值）

綜合上所述“25.

故選:B.

由于二次函數(shù)的頂點坐標不能確定，故應分對稱軸不在［L3］和對稱軸在［L3］內(nèi)兩種情況進行解答.

n.【答案】1

【解析】解：..?關于X的一元二次方程「-K-3=（I的兩個實數(shù)根分別是出〃，

m*n=1,

故答案為：1.

根據(jù)一元二次方程ax-+顯+c=0（。X0|的根與系數(shù)的關系$+V，=-￡得出結論.

a

12.【答案】6

【解析】解：???x=0或x6=0,

；I',r=6,

原方程較大的根為6.

故答案為6.

原方程轉化為*=0或x-6=0,然后解兩個一次方程即可得到原方程較大的根.

13.【答案】1

【解析】解：???△繞點。逆時針旋轉90。后與△BOF重合，

AOE二△BOF,

.?54，=S工做”,

四邊形8EOF面積==；S正方a”。=9x2?=1,

44

故答案為：1.

由旋轉的性質可得Sum=%崢，由面積和差關系可求解.

14.【答案】5

【解析】解：依題意得：=10,

整理得：m;-20=（I,

解得：〃4=5,m,=-4（不合題意，舍去）.

故答案為：5.

根據(jù)賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），共比賽了10場，列出一元二次方程，解之取符合題意的

值即可.

15.【答案】=21-3

【解析】解；1=-2（.「1|'+3的頂點坐標為{1,3},故變換后的拋物線為『=2（*+1廣-3,

故答案為：I=2（x+l「-3.

根據(jù)關于原點對稱點的特點，可得答案.

16.【答案】②③⑤

【解析】解：?vU>o,.-./）>0,

,/（-<o,/.ahc<0,故①錯誤.

②：拋物線與x軸有兩個交點，

-4八、>0,故②正確.

③：拋物線與x軸的一個交點是（LO）,對稱軸是x=1,

...拋物線與x軸的另一個交點是（3,0）,

9。3b+c=0,故③正確.

④?.?點（-0.5,y,）在拋物線上，對稱軸為x=1,

15凹）也在拋物線上,

V1.5>2,且（1-5,yj（-2,心都在對稱軸的左側，

<工，故④錯誤.

⑤：拋物線對稱軸為x=1,且經(jīng)過（LO），

b

a+/)+c=0,

2a

/.h-la,c=-3a,

/.5a-2Afc=5a-4A-3a=-2a<0,

???⑤正確.

故正確的判斷是②③⑤.

故答案為②③⑤.

①根據(jù)二次函數(shù)的圖像可知：①。>0,b>o,c<0,據(jù)此判斷即可；

②根據(jù)拋物線與x軸有兩個不同的交點，結合一元二次方程根的判別式判斷即可；

③由圖象可知拋物線與x軸的一個交點是（LO）,對稱軸為x=-l,進而確定另一個交點，然后判斷即可;

④結合二次函數(shù)對稱軸確定其增減性判斷即可；

⑤根據(jù)對稱軸為x=I可得=進而可得b=2a,c=3a

2?

5a-2/>-c=5a-4a-3o=-2fl<0.

17.【答案］【解答】

解：因式分解得，（.v+3i|2.r1|=0,

x+3=0或2xT=0,

、I

解得巧=_3,工=,.

【解析】【分析】

將等號左邊寫成兩個一次因式的積，分別令每個因式等于零，得到兩個一元一次方程，分別解這兩個一元

一次方程，得到方程的解.

-2+b+c=O

18.【答案】解：依題意，得,

-8+2b+c=-7

b=-I

解得

c=3

所以二次函數(shù)表達式為J：Tr-i+3.

【解析】把兩已知點的坐標代入.1'=-2￥+尿+。得到關于從C的方程組.然后解方程組求出b、C的值即

(2)證明：繞點8逆時針旋轉180。得到△，8C',

/.BC=BC,BA=BA',

四邊形HC'TC是平行四邊形，

?///?=90。，；.工。1CC,

四邊形.4CN'C是菱形.

【解析】(1)根據(jù)旋轉的性質作圖即可.

(2)根據(jù)旋轉的性質、菱形的判定證明即可.

20.【答案】解：(1)..?方程有兩個不相等的實數(shù)根，

:.△=h2-4ac=22-4x1x(。-2)=12-4。>0,

解得：〃<3.

*,?。的取值范圍是《<3；

(2)設方程的另一根為I,由根與系數(shù)的關系得：

則。的值是1,該方程的另一根為3

【解析】(1)關于X的方程1+21+』-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，即判別式4=卜-加。0.即可得

到關于。的不等式，從而求得a的范圍.

(2)設方程的另一根為r,根據(jù)根與系數(shù)的關系列出方程組，求出。的值和方程的另一根.

21.【答案】解：(1)..?拋物線的頂點坐標為(0,5),

m=5,

...直線與X軸的交點坐標為(0,2),

：.n=1,

C，一

v=—v+5

解方程組：.一得

y=2.v+2

.-..>111,41,8(3,4)；

(2)若V,>.V,,V的取值范圍為3<x<I.

【解析】(1)利用拋物線的頂點的縱坐標為5確定機的值，利用直線與y軸的交點坐標確定〃的值，然后

F=-r+5

解方程組.、.得點A和點B的坐標；

y=2x+2

(2)利用函數(shù)圖象，寫出拋物線在一次函數(shù)圖象上方所對應的自變量的范圍即可.

22.【答案】解：⑴設所求關系式為一h+八，

165=i-25+5

由圖得:

0=>40+力

k=-11

解得:

b=440

所求關系式：y=ll.v-440(20<.v<40i；

(2)設這種水果的利潤為w元，

依題意：H=|X-20)(-H-<+440|=-11(.r-30|；+1100(20<.r<40),

,這種水果定價30元/kg時，可獲最大利潤1100元.

【解析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)由“=[x-20)(-llx+440)=-U(x-3O『+IIOO,(204x440),即可求解.

23.【答案】解:⑴；/(-3,0),8(1,0),C|0,3),

S…=；.4BOC=1X4X3,

(2)由題意得：I=o|x+3)(x-l),

貝13=a[O+3)|O-I],

解得：a=l,

則所求解析式：.r=./+2x-3；

(3):拋物線：j'=.J+2x-3,對稱軸直線工=一2，

2a

.?.即直線為直線x=1,

-4(-3,O|,C|O,3),

...等腰R/40.4C中0.4=0C=3,

△POE與△40C全等；PD，直線，

PD=DE=3且點D、E在直線x=1上，

設P\A,,,yr),則七,=-l±3,

當x,,=-1+3=2時，.1',,=2*+2X2-3=5,即

.?.當入=-I-A=—時，_vP=|-4|'+2x(-4l-3=5,Bp/<(4,5|,

VPD1直線,L=5,

J'D=y,,=5，

即。L5),

?.?DE=3,點。，E在直線x=-1上，

yt=1力±3=5±3，

￡；|1,2),

2.5),/<i：4,5|,E,(-l,8i,￡2|1,2).

【解析】(1)由5工”「=!.4B,OC=;K4X3,即可求解；

(2)由待定系數(shù)法的即可求解；

(3)等腰R20/C中0/=0C=3,而^PDE與4A0C全等，P。，直線,得到戶。=0E=3且

點。、E在直線x=1上，設/'(號,％),則七,=-1±3,進而求解.

24.【答案】(1)證明：二?將△.48C繞點C順時針旋轉得到△DEC,

AC=DC,￡,4=ZCDE,：.Lk=/.CDA,：.ZCDA=ZCDE,

：.DC平分/IDE.

(2)解：BE1AB,

理由：由旋轉得=/』C8=90°,

￡BCE=Z.UD=90。上BCD,

-J-l180°-|=-|180°-Z^CD|,

22

VBC=EC,AC=DC,

:.ZCBE=/CEB=J180°-ZBCE\,LA=ACDA=-(180°-ZJCD),

/.ZCBE=」.」，

A=ZCS￡+Z.4BC=Z.4+Z.OC=90°,

BEAB.

?：-ABE=90：,ZBDE=90；/BEF,

由⑴、Q)得N』=/CD」=/CDE=ZC8E,

ZB￡F=ZBFE=-(180°-ZCfi￡)=-(180°-Z/l)=90°--J-Z^,

AZfiDE=90°-(90-yZ^

VZCDA+ZCDE+/BDE=1X(1JZ.-l+ZJ+-J-ZJ=180°,

2

』的度數(shù)是72。.

【解析】(1)由旋轉得.4C=0C,N/=/CD￡,則=所以/CD.4=』CD￡,即可證明

DC平分乙4。￡；

(2)由旋轉得/DCE=/ACB=90°,貝=/.ACD=90°-ZSCD,由8C=EC,AC=DC,

得ZCB￡=1(180°-ZflC￡),Z/l=y(180°-Z^CD),所以ZCBE=￡A,則

/.ABE=/.CBE+Z.UC=L\+AABC=90°,所以8E1AB；

(3)由(1)、(2)得LA=ZCD.4=ZCD￡=ZCB￡,因為BE=BF,所以

ZBEF=ABFE=-(^0°-ZCBE]=9Q0--ZA,則=90。-(90°-]=，/力,于