廣州市真光中學(xué)2025屆市一模適應(yīng)性考試

高三數(shù)學(xué)

2025.3

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知全集。=R集合L<”=Q=ln（3x—5）｝.則人何止（）

3

2知a,beR,若(a+bi)(2—5i)=3-i2°25,則()

1111313

A.—B.—C.—D.------

29292929

3.已知在正六邊形4BCDEE中，G是線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，則及=()

8—?4—?10—■2—?10—?4—?10—?4—?

A.-BA——CEB.——BA——CFC.—BA——CED,——BA+-CE

33333333

4.已知函數(shù)/(x)=Msin(ox+o)(/>0,0>0)的部分圖象如圖所示，其中Z(0,—J5"

若將/(x)的圖象向右平移￡個(gè)單位長度后關(guān)于了軸對稱，則河=()

A2V2

5.為了加快生產(chǎn)進(jìn)度，公司決定使用某種檢測機(jī)器對加工零件的等級（分為一等品和二等品）進(jìn)行初篩和

32

復(fù)查，已知該機(jī)器初篩的過程中零件被標(biāo)記為一等品的概率為1，被標(biāo)記為二等品的概率為y，被標(biāo)記為

一等品的零件有」■的概率為二等品，被標(biāo)記為二等品的零件中也有工的概率為一等品.在初篩的過程中，

已知一個(gè)零件是二等品，則它被正確標(biāo)記的概率為（）

13654

A.——B.一C.一D.-

14777

ln0.3,1.5TI,

6.已知”而/=扇?…】法，則。也。的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b

7.如圖，由函數(shù)y=e“—e+1與y=ln（x+e-l）的部分圖象可得一條封閉曲線「，則下列說法不正確的

A.r關(guān)于直線>=x對稱B.r的弦長最大值大于28

C.直線X+V=/被「截得弦長的最大值為V2（e-2）D.r的面積大于兀e-2

8.已知長方體ASCD—481GA外接球的表面積為手，其中4g=2必4=正,￡為線段的中點(diǎn),

22

過點(diǎn)A的平面a與直線8E垂直，點(diǎn)S在平面a與底面4片。。1形成的交線段上，且"=SE,則四面體

SABE外接球的體積為（）

A2兀4行兀「4兀8岳i

3333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知Z],Z2是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z2為實(shí)數(shù)，則Z是實(shí)數(shù)B.若z2為虛數(shù)，則Z是虛數(shù)

C.若Z2=I，則乎2是實(shí)數(shù)D.若Z；+Z；=O,則Z]Z2=0

10.口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地均相同，顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個(gè)球.從口袋內(nèi)無放回地依次抽取2個(gè)球，

記“第一次抽到紅球”為事件/,“第二次抽到黃球”為事件2,則（）

A尸（/）=，B.P[B\A）=-C.N與3為互斥事件D.N與8相互獨(dú)立

,32

11.已知正方體ABC。—451GA的棱長為2,E,尸分別是棱48,4口的中點(diǎn)，則()

B.向量4瓦而，的不共面

C.平面CEF與平面ABCD的夾角的正切值為正

3

D,平面CEF截該正方體所得的截面面積為V29

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.直線3%+2y=6經(jīng)過橢圓加2%2+n2y2=1的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.

1

13.已知tanatanS=2,cos(a—S)=-,則cos(a+/?)=.

14.已知正方體4B[C]Z)i的表面積為6,三棱柱EPG—g片5為正三棱柱，若&￡=AAXA,

乖瓦，麗=4而(0<4<1),且用,片,5在正方體—48CQ1的表面上，則當(dāng)三棱柱

EFG-E{FXG{的體積取得最大值時(shí)，2=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

ch1+he

15.已知V4SC的內(nèi)角45,C所對應(yīng)的邊分別為。，“c,若。=1,：+—=---.

bcbe

(1)求A；(2)求V4SC面積的最大值.

2

16.如圖，在直四棱柱/BCD—451GA中，ZBAD=ZABC=90°,AD=2AB=2BC=-CjC=2,

點(diǎn)村的線段G。上.

(1)是否存在點(diǎn)河，使得平面/CM?若存在求GM；若不存在，請說明理由;

BCM

(2)若平面GZC里平面NCM夾角的正切值為?工，求7%的值.

3CQ

17.已知雙曲線C：土-必=1的右焦點(diǎn)為/，直線/與C的右支交于〃,N兩點(diǎn).

3.

(1)若線段"N的中點(diǎn)坐標(biāo)為求直線/的方程；

3

(2)當(dāng)/過點(diǎn)尸時(shí)，過點(diǎn)分別作直線/':%二—的垂線，垂足分別為〃且直線MN',MN

2

交于點(diǎn)尸，求△MW面積的最小值.

18.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足：%=3,且%匕1—2(片—1)4+1-%=O,neN*

⑴設(shè)“=%-一，求數(shù)列抄“｝的通項(xiàng)公式

(2)設(shè)S,=吊+雨+…+a；,7；=二+二+…+二，求邑+7；,并確定最小正整數(shù)〃，使得5“+北

為整數(shù).

19.給定兩個(gè)正整數(shù)m,n,函數(shù)/(x)在x=0處的［〃,間階帕德逼近定義為

區(qū)("=子產(chǎn)三匯，且滿足/⑼=刈0),/<0)=氏'⑼,…,1十九0)=臚?0)(注：

1十DyX十，,?十。加X

/'(X)為/(X)的導(dǎo)函數(shù)，/〃(X)為了'(X)的導(dǎo)函數(shù)，/⑶(X)為了"(X)的導(dǎo)函數(shù)，以此類推).已知函數(shù)

/(x)=ta(x+l).

(1)記)(X)為/(X)在x=0處的［1,1］階帕德逼近,判斷函數(shù)g(x)=/(x)-R(x)的單調(diào)性;

(2)Vx>0,a(x+l)/(x)<x2+2x,求。的取值范圍；

(3)求證：V〃wN*?分方>上一；,.——>e3(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

ynn-4n)L(M+1)M+1-V?+1J

廣州市真光中學(xué)2025屆市一模適應(yīng)性考試

高三數(shù)學(xué)參考答案

1.【答案】B2,【答案】A3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】B

6.【答案】D

7【答案】D

8.【答案】C

[9題答案】【答案】BC[10題答案】【答案】AB[11題答案】【答案】AC

12.【答案】號

13.【答案】

設(shè),貝ij6a2=6，解得a=l.

連接4G,BR,A,C,則4GJLBR,

因?yàn)镃G，平面，所以CG，耳A,

因?yàn)?qncG=G，4G，cqu平面4G。，所以4口，平面4qc,

所以4幺，4c.

因?yàn)轶?U7=2,所以尸G〃用2,所以4c，尸G,

A,B,AD,

同理可得4。，EG,

因?yàn)镋GcEG=G,FG,EGu平面EFG,所以4C，平面EFG,

連接ZC,過點(diǎn)E作4c的平行線與NC交于點(diǎn)因?yàn)槭|=幾，所以EF=C入，

A,/L

在△z/c中，第=i—4，所以Eg=,

易得7EFG為正三角形，所以SVEFG="@＞

則三棱柱EFG-￡田仁的體積F（2）=S、EFG?Eg=T（分—分）"右（0,1）,

則『（刈=|（2/1_3%），

9

令/”）=0,解得4=（,

當(dāng)時(shí)，r（2）＞0,當(dāng)時(shí),廠（田＜0,所以「（㈤

故當(dāng)三棱柱EFG-EXFXGX的體積取得最大值時(shí),

故答案為：一.

3

15■【解析】

(1)

cb1+bc4口…。o

—+——，得至U6+c=bc+l,

bcbe

7,2,2_222

由余弦定理知，cos/=3^——b+c-l_be_1

2bc2bc2bc2

因?yàn)閆e（O,兀），所以/='.

（2）

bc+l^b-+c2>2bc，得到6cVI，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l取等,

所以Sv/M=，AsiiL4vY3,（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l取等.）故VN5c面積的最大值為

V4BC244

16【答案】(1)存在，CW=2叵

111

⑵2

3

【解析】

(1)

依題意得GC，平面平面Z5cD,

所以GCLNC.取的中點(diǎn)N,連接CN,

因?yàn)閆N=8C=』AD,ZN//BC,

2

所以四邊形ABCN是平行四邊形，

所以CN=ZB=LAD,

2

所以CD,幺C.

又QCcCD=C,C[C,CDu平面CXCDDX,

所以平面GCDD],

因?yàn)镚￡)U平面C]C￡>2，

所以

故要使得平面ZCM,假設(shè)存在點(diǎn)

只需GDLCN,此時(shí)，顯然RtVGCQ:RtvqMC

CMC.CL

則加=才有，易得CC、=3,CD=母,

所以G。=y/ccf+CD2=ViT,

所以存在點(diǎn)且。1河=見亙.

111

(2)

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，國，而，西的方向分別為X軸，

》軸，Z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

Z,

因?yàn)锽C=1,所以C(0,0,0),2(1,1,0),

。(1,一1,0),。(0,0,3),

則第=(1,1,0),CC{=(0,0,3),彳=(1,-1,-3),

則由=西+殺=(%—43—3X).

因?yàn)镃G，平面45CO,CDu平面ABCD,

所以CG_LC。，又由(1)知CZ)_LNC,

CCXIAC=C,所以c。，平面GZC，

所以平面CXAC的一個(gè)法向量為CD=(1,-1,0).

設(shè)平面NCM的法向量為方=(xj,z),

，---------?

n-CA-x+y=0,

則《—,

n-CM=+(3-32)z=0,

取x=3X-3,則y=3—34z=22,

則為=(34—3,3—342%).

設(shè)平面C/C與平面4cM的夾角為巴

因?yàn)閠an8=2^2,所以cos。二士

317

?月

所以cos8=\cos(CD,n\\=Ie5二

1、71\CD\\n\

32-3|3V17

71U2-182+9*

2

解得2=—或4=2（舍去）,

3

C.M2

所以m=§.

17.【解析】

(1)

直線,的斜率人箕

設(shè)〃(XQJ,N(X2，%)，則再+。=5,%+%=2,

x；2

7f―I

22

因?yàn)镸,N在橢圓上，貝人2,兩式相減得)=0,

X22_,

y,-yx,+x55

整理可得^^2=方-2[=2,即左

%一％23(必+%)66

可得直線/的方程為

y-1=3x-|,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,

6

513

所以直線/的方程為y=—%——

612

由題意可得：F(2,^,M'\^,y},N'\3^,yX

2

顯然直線/的斜率不為0,設(shè)直線/：x=my+2,

x-my+2

聯(lián)立方程X227,消去X整理得（機(jī)2-3）了2+4z町+1=0,

---y=1

13,

4m

加2-3w0%+%=——

m-3

則

A=16m2-4（m2-3）=12m2+12>01

%為二

m-3

因?yàn)椋?<0，可得加2<3,

X

因?yàn)橹本€MN的方程為'％341

“2—2

-小-j1

令y=0,得3—叼1%一不弘

x=-----------+-=------------+1'

y2f2%一必

%%1

因?yàn)?myy,=,可得一42”+3-7,

x%："

4九一

y2f24

所以直線MN過定點(diǎn)

7

由對稱性可知直線跖V'過定點(diǎn)即直線與跖V'的交點(diǎn)為尸

4

m2+1

則風(fēng)"網(wǎng)=/尸周卜―外上^義；

2，

m2-3^

令，=??+l，則14/<4,

m2+1t_i

則m2一3、

因?yàn)楹瘮?shù)了=7+”—8在區(qū)間［1,4）內(nèi)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)，=1,加=0時(shí)，△〃吶的面積取得最小值，最小值為也=@

4912

18.【解析】

【詳解】（1）。"匕i—2（片—1）%+「4=On%（a；+i—1）=2（片一1）%+1

.?"%’=通匚=2.椀=211

an=2b.

aaa

%+ln+lnnJ

.,.也｝是公比為2的等比數(shù)歹！J,

,18,2〃+2

3

1)11

(2)S〃+<=a\+~+a2H—-----1~d+1

a\。27an)

(

<i丫(1丫

Q]---------+a?+…+an+2〃

<a\)\an)

I1+[l)-4+?⑷+…+04T+2〃

—(4n

n

=-2----------+2n=-(4-l)+2n

4-127V)

若S“+7；為整數(shù)，因?yàn)?〃eZl)eZ,即g(4"—l)eZ

4"—1=(3+1)"=C：3"+C：3"T+…+C733+c；-232+Qi3+c;_i

=C：3"+Cb+--+C^333+C"~232+C^3

.?.￡-232+073能被27整除

9n2-3n

；32+c：i

C23=9,12,+3/7=2-

所以可得，。時(shí)，C/3。+C『3能被27整除

，〃的最小值是9

19【解析】

（1）

a+ax

由題意得R（x）=0x

1+bx

/(x)=ln(x+l),/,(x)=^—=-1,由/(O)=R⑼，得4=0,

?X十1〈人?1)

所以氏(x)=H—,則R(x)=:由r(O)=R(O),得q=l,

1+4%(1+4可

所以")=-八2：、3,由/"(O)=R〃(O),得則

(1+*)21+—%

2x4

故g(x)=ln(x+l)-----=ln(x+l)-2+----?x>-l,則

x+2x+2

,(\=_J_____4=(x+2)2-4(x+l)=/〉

g⑴―I+T—(x+2)2—(x+l)(x+2)2—(x+l)(x+2)2-，

所以g(x)在區(qū)間(-1,+")內(nèi)單調(diào)遞增.

(2)

依題意得a(x+1)In(x+1)一--2x<0在區(qū)間［0,+。)內(nèi)恒成立.

令/z(x)=6z(x+l)ln(x+l)-x2-2x(x>0),注意到/z(0)=0,則=aln(x+l)+a—2x—2,

因?yàn)椤?x)(/z(O)在區(qū)間［0,+。)內(nèi)恒成立，所以羽〉0,使〃(力在區(qū)間［0,%)內(nèi)單調(diào)遞減，

即當(dāng)工￡［0,%)時(shí)，故/(0)=a—2V0,則Q02.

當(dāng)QW2時(shí)，=6z(x+l)ln(x+l)-x2-2x<2(x+l)ln(x+l)-x2-2x.

令H(x)=2(x+l)ln(x+l