重難點專題04妙用等和線解決平面向量系數和差商方問題

【題型歸納目錄】

題型一：x+y問題（系數為1）

題型二：儂:+型問題（系數不為1）

題型三：〃既-利問題

題型四：一+—問題

xy

題型五：mx2+町2問題

【方法技巧與總結】

（1）平面向量共線定理

已知樂=2而+〃無，若2+〃=1,則A,3,C三點共線；反之亦然。

（2）等和線

平面內一組基底函，礪及任一向量而，歷=2次+〃麗（2,〃eR）,若點P在直線鉆上或者在平行

于的的直線上，則彳+〃=左（定值），反之也成立，我們把直線鉆以及與直線AB平行的直線稱為等和線。

①當等和線恰為直線AB時，k=l；

②當等和線在O點和直線9之間時，*￡（0,1）;

③當直線"在點O和等和線之間時，）te（l,+w）；

④當等和線過O點時，k=O;

⑤若兩等和線關于。點對稱，則定值%互為相反數；

【典型例題】

題型一：x+y問題（系數為1）

【例1】（2024?山東濱州?統考一模）在AABC中，M為3c邊上任意一點，N為線段AM上任意一點，若

AN=AAB+//AC（2,，wR）,則2+〃的取值范圍是（）

A.0,|B.C.[0,1]D.[1,2]

【答案】C

【解析】由題意，設麗=/布T，（0<?<1）,

A

當，=0時，麗=6，所以丸通+以*=6,

所以4=〃=0,從而有4+4=0；

當。<141時，因為麗=2屈+〃正(A,〃￡R),

所以tAM=A,AB+uA.C'>即AA/=—AB+—AC,

tt

因為M、B、C三點共線，所以3+：=1,即2+〃=re（O』.

綜上，幾+〃的取值范圍是[。/].

故選：C.

【變式7】如圖，O河〃AB,點P由射線OM,線段。3及A5的延長線圍成的陰影區域內（不含邊界）,

且QP=MM+yO3，則實數對（乂y）可以是（）

22￡7

C.D.

5,5

【解析】由OM〃AB,設初=4加，且丸>0,

uunuun、uunuunuuix

OB-AB\+yOB=(x+y)OB-xWM

|x+y>0Ix+y>0

由圖可知,因…,所以…,故人。錯;

1

X=——

7^時，x+y>l

當點尸在A3的右上方，不滿足題意，故D錯.

故選：B.

TT

【變式1-2X2024?上海浦東新?高三上海市建平中學?？奸_學考試）已知AABC的外接圓圓心為0,=f，

6

^AO=xAB+yAC（x,y&R）,則*+>的最大值為（）

A.4+2石B.4-2括C.BD.逅

24

【答案】B

【解析】如圖，過點。作COLM,OE1AC

-.OA=OB,OA=OC,??.VQ48和AOAC是等腰三角形，

，。為A3中點，E為AC中點，

4叫I____JUUflUUJflIUUDIlUlffli

設網=a,M=b,則48.4。=網./回看7r=三油

UUttuumiuuniIUUHIuufliiuumii

ABAO=\ABi\AO\cosZBAO=AB^AD^=-a2

uumuuoIUUHIlUumiIUUKIiuunii

AC-AO=|AC|-1AO|cosZCAO=|AB|-|AE|=-Z?2

UUIULILIUUUU

QAO=xAB+yAC,

uunuunuun/uunuumuunuunumn15

ABAO=AB?(xAB+yACjx=xAB2+yABAC,BR-i-tz2

uunuumuum/uunuumxumn2uunuumiR

ACAO=AC?yxAB+yACj=yAC+xABAC9即+三皿

聯立解得：x=2-叵，y=2-縣

ab

x+y=2-息+2-&=4-同&3卜4-2反歸2=4-2君

ab^（7b）\ab

當且僅當2=1,即。=6時，等號成立.

ab

所以x+y的最大值為4-2后

故選：B

A

題型二：+問題（系數不為1）

【例2】（2024?江蘇南京?高一南京師大附中?？计谀┰谏刃沃?，ZAOB=60。，|況|=1,C為弧A3上

的一個動點，且元=礪.則x+4y的取值范圍為（）

A.[1,4）B.[1,4]C.[2,3）D.[2,3]

【答案】B

又OC=xOA+yOB,

八元

cos"=一+y

2

則

si.n6a=——出x

2

1

。

y=cos6-忑sin

則

2.八

x=—sine

V3

貝Ux+3y=-2fsing+4cos0,

又de[0。,60。],

易矢口/（0）=-￥sin0+4cos。為減函數，

由單調性易得其值域為[1,4].

故選：B.

【變式2-1]（2024.安徽合肥?高三階段練習）如圖，在扇形中，ZAOB=60°,C為弧A3上且與A,8不

重合的一個動點，且覺=x35+y礪，若〃=（2>0）存在最大值，則4的取值范圍為（）

A

A.(1,3)B.(1,3)C.(1,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】設扇形所在圓的半徑為1,以所在的直線為x軸，。為原點建立平面直角坐標系,

設"02=。(。€嗚))，則C(cos0,sind),8(1,0),尺,當，由題意可得

廠cos^=x+—yx=-j=sin6

(cos0,sin0)=x(l,0)+y(：,=)n{/={'.〃

22.73asin.

sin0=——yy=cos6---j=-

2—2(

令/⑻=〃=%+4>=—sin+2cos0,0\0,

則f(0)在ee[o,上不是單調函數，從而廣⑹=寵cos"2sine在ejo,上一定有零點

2—2(。,口時有解,

即tan0――-j=—在6￡可得道彳e(0,6)

A/3Z

解得/leg,2),經檢驗此時/G)取得最大值

故答案選。

【變式2-21(多選題)(2024?河北唐山?高二唐山一中?？茧A段練習)如圖，圓。是邊長為2道的等邊三角

形A8C的內切圓，其與BC邊相切于點。，點M為圓上任意一點，BM=xBA+yBD(x,yeR),貝|2x+y

可以取值為()

【答案】CD

【解析】根據三角形面積公式得到|xZwxr=5=1xABxACxsin600,可得到內切圓的半徑為1；

以。點為原點，BC所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立坐標系,

可得到點的坐標為：B(-V3,0),C(>/3,0),A(0,3),0(0,0),"(cos。,1+sin6),

W=(cos6>+A/3,1+sin6?),麗=(百,3),而=也0),

"：BM=xBA+yBD

.?.兩=(cos6?+G,l+sine)=(島+6y,3x),

:.cos?=4x+6y-6,sin，=3x-l,

1+sin6

x-

3cos。sin。42.(

??COS0sinO2'2尤+U百+3+3-3sm[

廣若一3+3

-1<sin(e+])<1,

2

:.—<2x+y<2,

故選項CD滿足.

故選：CD.

題型三：mx-利問題

【例3】(2024.上海嘉定?高二?？计谀?如圖,QM〃A5,點P在由射線OM、線段。3及A3的延長線圍成

的區域內(不含邊界)運動，且OP=xOA+yOB.當x=-；時

y的取值范圍是（）

、、X

、、

P\B

%，

oA

A.(0,+co)B.g'jC.t'+0°）D.信9

【答案】B

【解析】

點尸在由射線OM、線段02及AB的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動，

UUUUULULU

且OP=xOA+yOB.，

由向量加法的平行四邊形法則，

。尸為平行四邊形的對角線，

該四邊形應是以與Q4的反向延長線為兩鄰邊，

二當x=時，要使尸點落在指定區域內，即尸點應落在OE上，

2

13

CD=-OB,CE=—OB,

22

二y的取值范圍為g，|]

故選：B

【變式3-1]（2024?河南平頂山?高一統考期末）如圖所示，點尸在由線段AB,AC的延長線及線段2C圍成

的陰影區域內（不含邊界），則下列說法中正確的是.（填寫所有正確說法的序號）

―.1—._.

①存在點尸，使得AP=]A3+2AC；

②存在點P,使得4尸=-548+24？；

_.1.—.

③存在點尸，使得AP=5A3-2AC；

_-,1—>3—?

④存在點P,使得APujAB+eAC.

【答案】①④

【解析】設麗=幾通+〃記（4〃eR），由圖可知:

①④正確，

故答案為：①④

___,3___?___,1____,___

【變式3-2］（2024.高一課時練習）已知△ABC中，W=--BC,EC=-AC,AFk=1AB,若點尸為四邊形

AEDF內一點（不含邊界）且DP=-^DC+xDE,則實數尤的取值范圍為

【答案】段）

__,1__.

【解析】如圖所示，在線段8。上取一點G,使得。G=-1DC,

設DC=3a,則DG=a,BC=5afBG=a；

過點G作GH//DE,分別交DF^AE于K、H,

連接尸H,則點K、”為臨界點；

I24

GH//DE,所以AH=—EC,HG=—DE,

333

AH_1_AF

HC~2~FB?

所以bH〃3C；

所以尸

FHKH

所以——二——，

DGKG

3

所以KG=^HK,

31

KG=-HG=-DE.

82

14

所以實數x的取值范圍是《小

14

故答案為：（嗟§>

【例4】（2024.安徽合肥?合肥市第六中學校考模擬預測）如圖，在中，M,N分別是線段AB,AC上

21____._

的點，且AM=§AB,AN=-AC,D,E是線段上的兩個動點，S.AD+AE=xAM+yAN（x,y&R）,

則工+2的的最小值是（）

%y

49

A.4B.-C.-D.2

34

【答案】B

uuwuuuuum-------?----?

^AD=mAB+nAC^m+n=l9AE=AAB+JLLAC,X+〃=l,

__kkk3___.______________

貝lj而+通=mAB+nAC+AAB+JLIAC=(m+2)A8+(n+//)AC=-(m+A)AM+3(〃+4)戲=xAM+yANf

32121

—(m+A)=x,3(〃+〃)=y=根+/1=,n+ju=—y,m+A+n+/2=2=>—x+—y=2^>2x+y=6.

1214

所以一+—二^(2x+y)

xyo3

3

當且僅當X=1,y=3時等號成立.

所以工+2的的最小值是g.

xy3

故選：B

【變式4-1］（2024?廣東汕頭?高一金山中學?？计谥校┤鐖D，在AABC中，分別是AB,AC的中點，D,E

14

是線段8C上兩個動點，^.AD+AE=xAM+yAN,則一+一的最小值為（）

尤>

【答案】B

AD=mAB+nAC^其中m+n=l

【解析】???民。，及。四點共線，.?.可設

AE=AAB+JLIACA+//=1

___.1—.—.1—.

??,”,N分別是AB,AC的中點，:.AM=-ABfAN=—AC,

22

...蒞+荏=2根磁+2〃麗+24麗+2〃麗=（2加+2丸）說+（2〃+2〃）.，

.\x=2m+22,y=2〃+2〃,...x+y=2（w+〃）+2（4+〃）=4,

??,。,石是線段J3C上兩個動點，廠.x〉。，y＞。,

41五y、o4xV

6+;=*+，）5+把+打”5+2=-（當且僅當一=2，即y=2x時取等號）,

yzy%4y%

149

.Tj的最小值為“

故選：B.

【變式4-2]（2024.山東荷澤?高一統考期末）在AABC中，點。是線段BC上的點，且滿足|困=3畫，過

12

點。的直線分別交直線A民AC于點瓦/，且麗=機亞，AC=nAF，其中機〉0且〃〉0,若士+*的最小

mn

值為.

【答案】山"

4

【解析】依題意，作出圖形如下,

因為|因=3畫，AB=mAE，AC=nAF,則由=；前,

I1QI

所以+麗=荏+：反?=荏+；國_砌=:而=網五+二襦,

44

3H7Y]

因為E,。，三點共線,所以彳+71,

因為m>0,n>0,

所以工+2=13mn5n6m5n6m5.2A/6

+——+—=-+——+——>-+2=—H---------，

mnm14444m4n44m4n44

當且僅當力*即〃=晶=4回2）時取等號,

所以工+2的最小值為出園.

mn4

故答案為：“2、

4

題型五：mx~+ny~問題

【例5】（2024?全國?高三專題練習）在AABC中，點。滿足麗=覺，當E點在線段AD上移動時，若

AE=AAB+//AC,則f=（2一的最小值為.

【答案】|

【解析】BD=DC'.

.:。為邊3。的中點，如圖，

?.?E在線段AD上；

：.^AE=kAD=^AB+^AC,0i女1；

5LAE=AAB+juAC-,

k

A=一

,2

"k'

即幾=〃，且噫山I；

t—（,_i）2+F

—〃2—2〃+1+42

=2（4—（）2+g;

「?4=!時，t取最小值g.

2/

故答案為：g.

【變式5-1］（2024.重慶北培.高三西南大學附中校考階段練習）在△ABC中，〃為邊3c上任意一點，N為

AM中點，且滿足麗=2而+〃/，則儲+的最小值為（）

【答案】C

【解析】在AABC中，M為邊8C上任意一點，則的=/宓=/恁-/而,

-----?1?1.1—t—?t?

于是得河=/AM=5（AB+3M）=^A5+]AC,而AN=XA3+〃AC,且而與XT不共線,

則％=---,〃=一,即有尤=fJ,,因此,萬十〃2=（4）2+"之=2筋_〃=2（〃）242一,

22224488

當且僅當彳=〃=1時取"=”,此時M為BC中點，

4

所以3+〃2的最小值為:

O

故選：C

【變式5-2］（2024?全國?高三專題練習）如圖，在AABC中，/為邊BC上不同于8,C的任意一點，點N

___________ULimULIULILUU

滿足麗=2而乙若㈤V=xAB+yAC,貝!|丁+9/的最小值為.

2

【答案】1/0.4

___,3___.3__

【解析】根據題意，＜AM=-A7V--xAB+2yAC.

因為Al,B,C三點共線，設麗=4畫（0＜九＜1）,則甌一通=川正一南）,

所以痂=（1一2）在+4/，

所以

33

所以有5彳+5>=1,

所以爐+9/=

12

所以當y=上時，V+9/取得最小值

2

故答案為：y

【同步練習】

一、單選題

1.（2024?上海金山?統考一模）已知AABC的外接圓圓心為。，乙4=120。，若瓦=x^+yH（x,yR）,

則無+》的最小值為（）

123

A.gB.-C.-D.2

232

【答案】D

【解析】設。4與BC交點為E,設|?；?加，圓的半徑為R,。為BC中點，如圖所示：

則衣=△-屈，設通=4通+〃正，因為氏C,E三點共線，則彳+〃=1

R-m

所以=/=—荏+〃/），故尤+y=—（2+〃）=—

R—m^/R—mR—m

因為NA=120。，則ZCOD=60。所以|。胃=Rcos60。=：R

R工2上=2

則式（根＜7?,故R-機口R所以％+丁的最小值為2

2R-2

故選：D

2.（2024?重慶?高三重慶南開中學校考階段練習）已知點。為AABC所在平面內一點，滿足加+麗+宓=6,

M為A3中點，點尸在AAOC內（不含邊界），若前:天麗+丫西，則x+y的取值范圍是（）

A.（1,2）B.1,2）C.削D-Q4）

【答案】A

【解析】如圖:

A

Q

N~~~

■.■OA+OB+OC=0^

.?.點。是AABC的重心，點N是3C的中點，

—?—-—?—?2----?——?2/---->--\1—??—?

BO=BC+CO=BC+-CM=BC+-（BM-BC\=-BC+-BM,

33、'33

13N=^BC,BA=2BM

當點P在AAOC內（不含邊界），

BP=BO+OP=BO+AOQ=BO+A,^OA+AQ^,0<A<1

="BO+A^NA+]LiAC^=Bd+A|■（麗一前）+〃（而-麗）,0<“<1

=前+心（2詢+〃麻-2麗■）

1__.2—-4--1—..__.

=-BC+-BM+-ABM——ABC+AuBC-2AuBM

3333

,“+、=；一？+/1〃+尹？一24〃

=1+4—丸〃=1+%（1一4）,

QO<2<1,。<〃<1,

/.0<1-//<1,0<2（1-//）<1,

1<1+2（1-//）<2,

故選：A

3.（2024?山東煙臺?統考三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,尸為圓。上任一點，若

AP=xAB+yAC,則2x+2y的最大值為（）

D.1

【答案】A

【解析】

作BC的平行線與圓相交于點尸，與直線A8相交于點E,與直線AC相交于點尸,

^AP=AAE+/JAF,貝1］彳+〃=1,

4

,.?BC//EF,則去e[0,y]

ABAC

：.AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+juAF=AkAB+jukAC

/.x=Ak,y=juk

Q

/.2x+2y=2(X+4)k-2k<—

故選：A.

4.（2024?遼寧沈陽?高三統考期中）如圖，在扇形Q4B中，ZAOB=30°,。為弧A5上且與43不重合的一

個動點，且無=xC5+y礪，若〃=x+（2>0）存在最大值，則X的取值范圍是（）

A

OB

【答案】D

【解析】

設射線。3上存在為"，使。8'=7。8,AZT交0C于C',

uumuuruunuuriutmuuruuir

由于OC=xOA+yOB=xOA+Ay—OB=xOA+AyOBr,

4

ULUUUUUUUUUULUUU

設OC=toe，OC=xfOA+AyOBr，

由A凡C三點共線可知/+R=1,

所以"=%+/1>=比'+，或)/=1,

UUU

OC

則以=也*存在最大值1，即在弧AB(不包括端點)上存在與AE平行的切線,

OC

向“7R2⑻

所以Xe—.

I2J1

MiJ62⑹

故答案為—

5.(2024?遼寧丹東?高三統考期末)已知扇形OAB的圓心角是60。，半徑是1,C是弧人？上不與AB重合的

一點，設反=xE+y礪(x,yeR),若“=尤+4》存在最大值，則實數2的取值范圍為()

A.(1,2)B.(1,1)C.(1,3)D.(1,3)

【答案】A

【解析】依題意可知三角形。鉆是等邊三角形，以。為原點建立如圖所示平面直角坐標系，

則A,2(1,0),設C(cosasin<9),0o<e<60。，

由于灰=HH+y區,

’1%](16]

所以(cos。,sin6)=—X,—X+(%。)=

22IF

八12?八

cos^=—x+yx=—j=sine

2百

所以，解得

.q四r

sm，二——xy=cos0-sin0

2

所以w=x+4y=—^=sin8+4cos0-—^sin8

6A/3

2-2

sin6+4cos0—J。3%)+%sin(e+p)，

2V32

其中tan°=Fj

2—4，

由于0°<e<60°,0°<cp<360°,0°<e+0<420°,

要使M有最大值，則存在6+9=90。，貝U30°<9<90°,

^^332134

所以tan(p=------>—,------->1,---------1>0

2—X32—42-2

42-21

-------->0<^(4A-2)(2-2)>0?-<A<2.

2—42

二、多選題

6.（2024.浙江寧波.高一寧波市北侖中學校考期中）已知。是AABC內一點，且函+而+3e=6,點M在

△O3C內（不含邊界），^AM=AAB+juAC,則2+2〃的值可能為（）

9?11_13_15

A.-B.—C.—D.—

7777

【答案】ABC

【解析】因為。是AABC內一點，且西+瓦+阮=0

所以。為AABC的重心

加在△O3C內（不含邊界），且當M與。重合時，力+2〃最小，止匕時

W=2AB+^AC=|x|（AB+AC）=|AB+|AC

所以X=；,〃=g,即4+2〃=1

當M與C重合時，2+2〃最大，此時

AM=AC

所以4=0,〃=1,即2+2〃=2

因為M在△03C內且不含邊界

所以取開區間,即彳+2〃?1,2）,

結合選項可知ABC符合，D不符合

故選：ABC

7.（2024.黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中校考階段練習）如圖，圓。是邊長為2的等邊三角形AASC的內切

圓，其與BC邊相切于點，點M為圓上任意一點，曲二彳麗+y麗（x,yeR）,則4x+y可以的取值為（）

【答案】BCD

【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，則A（0，￥）,0（0,-

等邊三角形AABC的內切圓的半徑為亞=走，

233

故可設,其中

uuirULU

故=,而麗=（1，石）50=(1,0),

cos6+l=x+y

結合兩=）麗+丫麗可得《二

V3sind+冬后

下

x=—sin6+一

33

故4%+y=—cos0+sin6+2=-----sin6+—|+2,

6A1?AJ33I6j

y=——cos"——sm"+一

333

因為-IVsin.+fwl,故2一與V4x+”2+半,

2工1=1一"o,1<2+洛

因為。住2—,2+

333

2一亞一2一"o,2+空一3=空一1>0,2工3―W<0,

333333

故le12一半2+,26^2--,2+,3』2一型,2+

33

8.（2024.福建三明.高二三明一中校考開學考試）如圖，在扇形。鉆中，ZAOB=,C為弧AB上的一個

動點，若歷=%方+丁詼，則％+4〉的取值范圍是.

【答案】[1,4]

所在直線為x軸，建立平面直角坐標系,

,設C（cosasin。），0啜］960°.

2.八

cos6=y+/x=—j=smU

V3

由反=x05+y礪，得＜

.y/3八sin。

sin〃a=——xy=cos3-----

2V3

.?.x+4y=4cos"乎si?

點C在弧AB上由A運動，。在［0,手上逐漸變大，cos。變小，sin。逐漸變大，

.?.當9=0。時尤+4〉取得最大值4,當。=60°時無+4y取得最小值1.

1+4y的取值范圍是［1,4］.

故答案為：［1,4］.

9.（2024?四川綿陽?高一統考期中）在扇形Q4B中，ZAOB=60°，C為弧AB上的一動點，若覺=尤次+^

則3x+y的取值范圍是.

【答案】［1,3］

【解析】以。為原點，而分別為無，y軸正方向建立平面直角坐標系.

.不妨設=(cos8,sine),0<0<

c1,3V3.

cosc/=x+—Vx=cos°------sin8

23

因為碇=%函+,礪，所以＜r;，解得:

.A代2A/3.0

sin8=——yy=-----sin0

23

所以3x+y=3cos6一日sin。.

因為y=cos。在0,|上單調遞減，y=-sin。在。￡0,|上單調遞減，所以3x+y=3cos。-^sin。在

TT

o,-上單調遞減.

所以當6=0時3x+y=3最大；當6=g時3x+y=3cos工-^-sin—=—--^--^-=1最小.

3,333232

所以3x+y的取值范圍是［1,3］.

故答案為：［1,3］.

TT

10.（2024.全國?高三專題練習）在扇形0AB中，。4=1,AAOB=~,C為弧A8上的一個動點，若

OC=xOA+yOB,則x+3y的取值范圍是.

【答案】[1,3]

【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系以。為坐標原點，Q4所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A。,。）,

cos。=x+—y,

由反=尤9+y而得《廣

sin9=@y,

[2

x=cos0——sin8,

故V=/(e)=cos8+3百sin6=J型sin(6+e)在0,-^-上單調遞增，

3V3_3_

Vmin=/(0)=1,ymax=/(—)=cos—+-^^-sin—=-+-=3.

-max333322

故x+3ye[l,3].

故答案為：口,3]

11.(2024?全國?高三專題練習)扇形。中，ZAOB=120°,C為45上的一個動點，且反=xE+y礪,

其中尤,yeR.

(1)的取值范圍為；

(2)2x+y的取值范圍為.

【答案】[1.2]口，考L

【解析】（1）解法一：（等和線）設0c與A3相交于點O,OD=AOC=AxOA+AyOB,Ax+Ay=l,

1oc

x+y=-e[l,2].

AOD

27r

解法二：(坐標法)C(cosa,sintz),6/G[0,—],

1.V30.26.

cosa=x——y,sma=——y,x=cosan-----sina,y=-----sma，

22,33

x+y=cosa+V^sina=2sin(a+—)e[1,2].

6

27r

解法三：設NAOC=ae[0，wd，

1

cosa=x——y

OCOA=xOA-OA+yOB-OA,2

一.一.—?一.—?，即V

OC-OB=xOA-OB+yOBOB,cos(120°-a)=-：x+y

x+y=2[cosa+cos（120°-a）]=cosa+百sincr=2sin（a+—）e[1,2].

6

（2）解法一：（等和線）

解法二：2x+y=2cosa+4fsina=sin（a+夕）s[1,^^^]，其中sin（a+6）先增后減.

12.（2024?河南平頂山.高一統考期末）如圖所示，點尸在由線段AB,AC的延長線及線段BC圍成的陰影區

域內（不含邊界），則下列說法中正確的是.（填寫所有正確說法的序號）

—.1—.—.

①存在點P,使得AP=5A2+2AC；

②存在點P,使得Q=-g通+21T；

③存在點P,使得Q都一2而；

—.1—，3—?

④存在點P,使得APujAB+gAC.

【答案】①④

【解析】設Q=X通+（4〃eR）,由圖可知:

丸>0,">0,且4+〃>1,

...①④正確，

故答案為：①④

13.（2024?全國?高一專題練習）在矩形ABC。中，A3=4,AO=3,M,N分別是AB,上的動點，且滿

足2AM+A/V=1,AC=xAM+y~AN,則2尤+3y的最小值為

【答案】49

【解析】如圖所示建立直角坐標系，設M=（。,。），N=（O⑼

AC=（4,3）,AM=（A,0）,AN=（O,b）

D

N

B

則2AM+AN=l^>2a+b=

ox=489

AC^xAM+yAN^—+—

by=3ab

898Z?18。，八

—+—?（2a+Z?）=2+—+>49

ab

故答案為：49

14.（2024?全國?高一專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,M,N分別為線段BC、CO上的

=1,若AC=xAM+yAN,則尤+V的最小值為.

【解析】由題意，易知羽）不為0,建立如圖所不坐標系,

設點M(3,a),N(。,4),0<a<4,0<b<3,

AC=(3,4),AM=(3,a),AN=(b,4),

AC=xAM+yAN,（3,4）一（3,加巡4）,即

b_3-3>_4-4y

y，%，

iij爐i_iJ/

CM2~(4-tz)2-16(x+y-1)2'CN2-(3-Z?)2-9(x+y-1)2'

故,--~~-+~―-~r=l,即三+J(x+y_l)2,

]6(x+y-1)-9(x+y-1)-169'

設x+y=〃z,

當M,N,C三點共線時尤+y=l,AC在直線肱V的異側，故勿>1,則x=〃-y,

貝(]y)+上=(加_i)2,即25y2-18根y+9m2-144(根-I)2=0,

1