重難點專題12利用幾何法求異面直線所成的角

【題型歸納目錄】

題型一：利用中位線平移

題型二：利用四邊形平移

題型三：補體法

題型四：平移兩次

【方法技巧與總結】

異面直線所成的角

①定義：設。是兩條異面直線，經過空間任一點（9作直線b'//b,把d與〃所成的銳角（或直

角）叫做異面直線。與。所成的角（或夾角）.

②范圍：（0,-]

2

③求法：平移法：將異面直線a,6平移到同一平面內，放在同一三角形內解三角形.

【典型例題】

題型一：利用中位線平移

27t

【典例1-1]（2024?全國?模擬預測）如圖，在圓錐尸。中，尸0=4,8,C為圓。上的點，且03=2,ZBOC=T，

若。為尸C的中點,E為。3的中點，則異面直線DE與依所成角的余弦值為（）

C

.11V35口7665

7070

C.且D.W

43

【答案】A

【解析】如圖，取CO的中點G,取PO的中點尸，連接EG,EF,DF,DG,

p

c

則DGIIPO,旦DG=^PO=2,EFUPB廁NDEF就是異面直線DE與PB所成的角或其補角.

易知「01平面BOC,所以DG，平面BOC,所以。G_LGE.

因為/86^=年,。6=0后=：08=1,所以6￡=2。651114=2*1*￥=石，

所以由勾股定理得QE="xF+GE?=12?+（省『=嶼，

又EF=；PB=^PO2+BO2=1V42+22=45,DF=^CO=1,

所以在△DEF中,由余弦定理得cosZDEF=（⑺+（灼一干=口底,

2x^7xy/570

故異面直線3E與PB所成角的余弦值為衛運.

70

故選:A.

題型二：利用四邊形平移

【典例2-1]（2024?高二.重慶?期末）在長方體ABC。-A4GA中，AB=AA,=l,AD=2,則異面直線

AC,AQ的夾角余弦值為（）

A.典B.1C.2D.逅

10536

【答案】B

【解析】連接用。，A用，根據正方體ABC。-AgCQ,得到AQBXC

所以異面直線AC，4。的夾角為AC4。的夾角，

又>15=例=1,AD=2,所以AC=5G=亞，AB]=e.,

—陰25+5-24

則cos/31cA=

2ACB.C2x百x百5

4

則異面直線AC,A.D的夾角的余弦值為

【典例2-2】（2024?高二.遼寧沈陽?期末）如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱

ABCD-^QD,中，AA=2AB=2,則異面直線AtB與AR所成角的余弦值為（）

D--1

【答案】A

【解析】連接AG，BG，

因為AB〃G2，A3=G2，所以四邊形ABG2是平行四邊形，

所以AR//BQ,所以異面直線AtB與A2所成角為NABG或其補角,

又因為A4,=2AB=2且四棱柱為底面是正方形的直四棱柱,

所以=BC]=J1+4=^5,4G-Jl+1—\/2,

4巧2+巧°]2-4。]2_5+5-24

所以cos443G

12A.BXBQ-2x石x石5

故選：A.

【變式2-1］（2024?高二?內蒙古呼和浩特?期末）在正方體ABCD-ABCQ中，。為AC的中點，則異面直線

CG與。片所成角的余弦值為（）

R也「73

A。—2D.---------

23D-T

【答案】D

【解析】設正方體棱長為2,連接。片,。8,如圖,

因為CCJ/5耳，所以/3耳。（或其補角）即為異面直線CG與。片所成的角,

在直角三角形。8片中，cosNBBQ=^=A/6

-V，

故選：D

題型三：補體法

【典例3”】在正方體ABC。-A4GA中，石為42的中點，平面AGB與平面C石￡的交線為/，貝心

與所成角的余弦值為（)

。.9

A.-B.-

B

【答案】D

【解析】在正方體ABCD-4用GR上面補上一個正方體482c22-A4G2，

易證AB//GR,，NGCR為1與AB所成的角.

設CQ=1,GR=字GG=JGD；+QD；=?

."GCQ口」逆

GQ763

2

【典例3-2】在三棱錐PABC中，|PA|=|ABHBC|=1，\AC\=\PB\=yf2,|PC|=G,則異面直線PC

與A8所成角的余弦值為（）

A.B凡由「變…

【答案】A

【解析】根據題給睪件，可以朋、AB,8C為棱將原圖補成正方體，顯然，正方體蛛長為1,則體對角

線尸C=6，NPCD即為所隸異面直線的平面角，cosZPCD=—=4=＞故選A.

PC￡

【變式3-1］（2024.湖北?高一統考期末）如圖，在三棱錐A-BCD中，

AB=AC=1,ABVAC,AD=2,AD,平面ABC,E為8的中點，則直線BE與AD所成角的余弦值為

()

A.孚B.|C,

【答案】D

【解析】因為ADJL平面ABC,Mu平面ABC,,ACu平面ABC,

所以AD±AC,又AB1AC,

所以AD,AB,AC兩兩垂直，將三棱錐A-BCD置于一個長方體中，如圖所示,

易知BFIIAD,所以直線8E與AD所成角即為正與8E所成角為NEBE（或其補角）,

在,FBE中，由余弦定理，得

BF?+BE?-FE?

cos/FBE=

2BFBE

所以直線仍與AD所成角的余弦值為|.

故選：D.

【變式3-2］（2024?高三?安徽?階段練習）在長方體（平面4用GR為下底面）中,

2AAi=3AD=6,AB=4,點下為線段G2的中點，則異面直線4。與M所成角的余弦值為.

［答案］7221

221221

【解析】在長方體ABCD-A與GA的上方補一個全等的長方體ABCD-ABZGQ,

所以，由長方體的性質可知：直線4。〃8c2，

因為2AA=3AO=6,AB=4,點/為線段G2的中點

所以=BC2=A/13,FC2=V40.

BF?+BC；-FC；5A/221

所以cosZFBC2

2BFBC2221

所以，異面直線4。與2尸所成角的余弦值為拽

221

故答案為：駕

題型四：平移兩次

【典例4-1】（2024?高一?上海楊浦?期末）如圖，長方體ABCO-ABIGR中，AB=9=2,A。=1,點E和

F分別為線段CC,和CD,的中點，則異面直線AE與9所成角的余弦值為

【解析】取A8的中點。，連接RQ,

因為點尸為CA的中點，所以2尸=QB,

又。///QB,故四邊形。必。為平行四邊形,

所以RQ//PB,

連接BE,取BE的中點尸，連接尸。，

因為。為的中點，所以PQ//AE,

所以NPQR或其補角為異面直線AE與即所成角，

過點P作尸G，CG于點G,于點連接RG,QM,RA,

因為AB=A4,=2,AZ)=1,

所以RA=JA￡>2+DD；=后,DIQ=JAD*AQ2=-^\=屈，

因為點E為線段CG中點，則9=［匿=1,PG=1BC=1,

2222

C,G=2—=一,BM=—,

222

由勾股定理得：Dfi=^c,2+qG2=J4+1=|,

pp=5G+PG=檸+；=警,MQ/BQ^+BM。

以=回。+尸"=1!=乎，

6式26

_

JQZ^2+z^2P_/)2I61

在，尸。2中，由余弦定理得：cos/PQ2=open：=44

2PQ.RQ2x艮巫6

2

異面直線AE與BF所成角的余弦值為5.

【典例4-2】(2024?全國?模擬預測)如圖，在長方體ABCD-ABC。中，AB=3,BC=CG=2,點尸在

矩形內運動（包括邊界），M,N分別為BC,CG的中點，若4尸〃平面M4N,當A,取得最小值

時，異面直線與。。所成角的余弦值為（）

【答案】D

【解析】如圖，取B片的中點瓦瑪G的中點尸，連接所，AtE,\F,所以所//BQ,

又M,N分別為3C,CG的中點，所以MN//BQ,

數EF//MN,所6平面M4N,所以￡F〃平面M4N,

又明〃知氏的二加工所以四邊形^人加廠為平行四邊形，故4斤〃加0,

片歹（z平面跖w,4歹〃平面KW,

又A尸，防＜=平面4現"=F＞故平面A]EF//平面M4N,

所以當APu平面4￡尸時，4尸〃平面眩W,則點尸在線段所上,

當APLE/時，AP取得最小值，易知陽召卜區尸仁歷三亞，

則此時尸為線段所的中點.（等腰三角形中三線合一）

由。口〃34可得，所以N與BP為異面直線3尸與。2所成的角，

且由平面幾何知識可知,\BE\=l,\EP\=^~,|BP|=—＞

儂2+忸*怪尸『_3加

cosZBjBP=

2|BE|x|BP|_10

所以異面直線BP與。。所成角的余弦值為題,

10

【變式4-1]（2024?高一?河南新鄉?期末）在正方體中，E,尸分別為棱BC,4月的中點,

則異面直線斯與0G所成角的余弦值為

【答案】B

6

【解析】如圖，在正方體ABCD-AMG。中，取他的中點G,連結FG,GE,可知。G〃44〃GF,則異

面直線EF與。G所成的角為/EFG或其補角.

設正方體ABCD-^C^的棱長為2,則FG=5獷+^產=應，EF=FB；+BB；+BE2=底,

EG=y/AG2+AB2+BE2=A,cosNEFG=空=g.

【變式4-2］（2024?高二?上海?期末）已知異面直線。、b所成角為。，過空間定點尸與。、6成65角的直

線/共有3條，則a的大小是.

【答案】50

【解析】分別將直線。力平移得到〃毛,使得。'萬經過點P,如圖所示，

設少所成角的角平分線為。，過點尸垂直于。',少所在平面的直線為d,

因為異面直線。、b所成角為a,所以直線。',加所成角為。，

所以，當直線/經過點P且直線/在直線"”所在平面，垂直于直線c時，直線/與直線所成角相等,

為65時，"一成角為180-2x65=50，即e=50;

當直線/在直線c,d平面內時，若直線/繞著點P旋轉，此時直線/與直線。',加所成角相等，且所成角從三

2

Of

變化到90,再從90變化到彳，此時滿足條件的直線有兩條，

2

所以，國二4=65，解得a=50.

2

所以，過空間定點P與〃、b成65角的直線/共有3條時，a=50.

故答案為：50

【過關測試】

1.（2024?高二?上海普陀?期中）在空間四邊形A5CD中，AB=CD=6,分別是對角線的中

點，若異面直線4仇CD所成角的大小為60。，則的長為.

【答案】3或36

【解析】取AD中點為E,連接NE,ME,

因為分別是AC,￡>8,D4的中點，

所以，ME//CD,NE//AB,^,ME=-CD=?>,NE=-AB=3.

22

又異面直線AB,CD所成角的大小為60°,

所以，/MEN=60。或120。.

當NMEN=60。時，

在，MEN中，由余弦定理可得，

MN2=ME2+NE2-2xMExNEcos60°=i2+32-2x3x3x-=9,

2

所以，MN=3；

當NMEN=120。時，

在，MEN中，由余弦定理可得，

W2=ME2+A?2-2xAffixA?cos120°=32+32+2x3x3x-=27,

2

所以，MN=3^3.

綜上所述，MN=3或MN=3/.

故答案為：3或3后.

2.（2024.高三.江西.階段練習）達?芬奇認為：和音樂一樣，數學和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時

起，他就本能地把這些主題運用在作品中，布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方胸，在正六邊

形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）,把三片這樣的達?芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合再

轉換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1,則異面直線CQ與尸尸所成角的余弦值

為______

圖I圖2

【答案】|

【解析】設CQCAQ=O,則。是A"的中點，連接

由于打7/CD,所以NDCO是異面直線CQ與尸尸所成角（或其補角）,

在三角形ocr＞中,

根據正方體的性質可知CD平面ADDJA,ODu平面ADDJA,

所以CZJLOD,所以oc=

所以在直角三角形OCD中,

2

3.（2024?高一?遼寧?期末）如圖，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB=2,AD=AF=1,且二面角

C-AB-F^J6Q,則異面直線AC與所成角的余弦值為

【答案】自7/0.7

【解析】連接CE,AE,AEBF=O,取CE中點連接，

.四邊形ABCRABE尸為矩形，.：AB13C,ABVBE,

平面ABCC平面ABF=AB,3Cu平面ABC,3Eu平面AflF,

;.NCBE即為二面角C-AB-尸的平面角，.?.NCB￡=60,

又BC=AD,BE=AF,：.BC=BE=1,:.Z\BCE為等邊三角形，：.BM=巫;

2

分別為AE,CE中點，OM//AC,OM=-AC,

2

ZMOB或其補角即為異面直線AC與BF所成角,

AC=BF=J12+2Z=5/5，MO=OB=-^―，

—5I--5----3

312+052—3^2444=7

cosZMOB=

20MoB5-10

2

7

即異面直線AC與砥所成角的余弦值為二.

7

故答案為：—.

4.（2024?高一?河南鄭州?階段練習）如圖，A3是半圓柱底面的直徑，B4是半圓柱的高，。是AB上一點，

&PA=AC=BCf。為尸B的中點，則異面直線與3。所成角的余弦值為

C

【答案】B鵬

33

【解析】設PA=AC=BC=1,

如圖，取尸C的中點E,連接。E,AE,可得DE//BC,

所以異面直線A。與8C所成的角為-4DE（或其補角）.

又因為R4,平面ABC,3Cu平面ABC,則PA_L3C,

且AC13C,PAAC=A,尸44（7（=平面必。，

所以BC/平面PAC.

且AEu平面B4C,則3C_LAE,所以DE_LAE.

因為。"=生=』,4。="=^^^=立，

22222

所以在RtZXAED中，cosZADE=—=^.

AD3

故答案為：也.

3

P

5.（2024.高一?陜西西安.階段練習）在四棱錐P-ABCD中，所有側棱長都為40,底面是邊長為2面的

正方形，。是尸在平面4BC。內的射影，M是PC的中點，則異面直線。尸與所成角為

【答案】60

【解析】由題意可知底面ABC