專題16平面向量及其應用（六大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01平面向量的有關概念

?題型02平面向量的線性運算

?題型03平面向量的數量積

?題型04平面向量的基本定理與坐標表示

?題型05平面向量的綜合應用

?題型06三角形的“心”的向量表示

?題型01平面向量的有關概念

1.下列說法錯誤的是（）.

A.零向量沒有方向

B.兩個相等的向量若起點相同，則終點必相同

C.只有零向量的模等于0

D.向量A8與的長度相等

【答案】A

【分析】A.由零向量的定義判斷；B.由相等向量的定義判斷；C.由向量模的定義判斷；D.由相反向量的定義

判斷

【解析】A.規定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故錯誤；

B.兩個相等的向量大小相同，方向相同，所以若起點相同，則終點必相同，故正確；

C.由向量模的定義可知只有零向量的模等于0,故正確；

D.向量AB與54是相反向量，大小相同，方向相反，故正確；

故選：A

2.若向量4與人為非零向量，下列命題中正確的是（

A.若a=b，貝12a>3b

BC-BA-DC=DA

若非零向量同+忖=|\a+b\,則4與b的方向相同

若同=W=|c|,則a=6=c

【答案】C

【分析】利用平面向量不能比大小可判斷選項A；利用平面向量的加法與減法法則可判斷選項B；由平面向

量的數量積和模的性質可判斷選項C；根據向量相等的定義判斷D選項.

【解析】對于A選項，由于向量不能比大小，所以A選項錯誤；

對于B選項，BC-BA-DC=AB+BC+CD=AD，B錯誤；

對于C選項，因為同+忖=k+可，所以（同+附=（卜+盯，

所以同2+忖+2\a\-^=a2+b2+2a-b,

所以2間似=2a-6,設向量同小卜瓦忖?cosa,b

又向量4與人是非零向量，所以cosa,6=l,又a,be[O,兀

所以a,b=O,故。與6的方向相同；C正確；

若問=卜|=同，上c方向不一定相同，則不一定相等，D錯誤；

故選：C.

3.與向量。=。,1）平行的所有單位向量為（）

（22）I22）

I22J122）（22）

【答案】D

lrl?/、aa

【分析】首先求出〃，則與向量a=（Ll）平行的單位向量為□或一口，即可判斷.

【解析】因為。=（u）,所以忖=JF+12=&,

所以與向量。=（1,1）平行的單位向量為'=5（1，1）=等，曰]或一，=一5。/）=一日，一￥

故選：D

4.已知兩個單位向量a,b的夾角是60。，貝|卜-3可=.

【答案】幣

【分析】利用單位向量模長以及夾角，將卜-3可平方即可求得結果.

【解析】由單位向量可知小忖=1,且02=忖忡。560=1；

所以可得,一361=|a|2+9|z?|2-6a-Z?=10-6x1=7,

即卜-36卜"

故答案為：近

?題型02平面向量的線性運算

5.在，ABC中，。是BC的中點，E在AZ）上，且AE=2ED，貝1J8E=（）

A.-AB--ACB.--AB+-AC

3333

2i?1011uu?

C.-AB——ACD.——AB+-AC

3333

【答案】D

【分析】根據題意利用平面向量基本定理結合向量的加減法運算求解即可.

【解析】因為。是BC的中點，所以AO=gA3+〈AC.

211

因為A￡=2即，所以4￡=耳4。=耳45+14。，

21

貝|5E=AE—A3=—1AB+]AC.

故選：D

6.如圖所示，在/ABC中，。為邊上的三等分點，若AC=b^E為AZ）中點，貝iJsE=（）

A

fE

BDC

A.3+4B.2/

3636

11711,

C.——a+—bD.-tzH—b

3636

【答案】A

【分析】根據向量的線性運算即可求解.

【解析】

AB+^BC

BE=AE-AB=-AD-AB=~-AB=--AB+-(AC-AB]=--AB+-AC=--a+-b

2226、)3636

故選:A

7.如圖，在平行四邊形中，E、尸分別是8邊上的兩個三等分點，則下列選項錯誤的是（

B.AD+DC=AB+BC

3

C.CB-CE=EBD.AF=-AD+-AC

33

【答案】D

【分析】根據向量加法法則、向量減法法則及平面向量基本定理即可求解.

【解析】對A：由題意知，E、尸分別是8邊上的兩個三等分點，且E尸與A5方向相同,

貝==故A正確;

對B：由圖可知，AD+DC=AC-AB+BC^AC，所以40+OC=AB+BC，

故B正確;

對C：CB-CE=EB,故C正確;

22-Ir\

對D：AF^AD+DF=AD+-DC=AD+~AC-AD]=-AD+-AC故D錯誤.

33)33F

故選:D.

8.在A5c中，。為BC中點，連接AZ）,設E為AD中點，S.BA=x,BE=y,貝l]BC=（）

A.4.x+2yB.-4x+y

C.-4x—2yD.4y-2x

【答案】D

【分析】利用平面向量基本定理將BE用Be"!表示出來，再用向量的線性運算把BC用表示即可.

【解析】由于5百=](3A+3D)=+,所以BC=45￡—2BA=4y—2x,

故選：D

9.如圖所示，a—b=()

A.2ex-3e2B.-2ex+3^2

C.3q—2qD.—3q+2/

【答案】A

【分析】結合圖形，由平面向量正交分解和向量的線性運算即可得到結果.

【解析】由題意得，6?=3^+e2,b=ex+4e2,

故ci-b—3q+e,-(q+4eJ=2e1—3%.

故選：A.

,13.

10.已知向量不共線，則向量-紜+b與-a-ub(teR)共線時，實數/=()

t2

A.逅B,土國C.2D.±-

3333

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用共線向量定理，列式計算即得.

【解析】由向量。力不共線，得向量-加+6片0，

1313

由向量Ta+b與-a—彳6共線，^-a——b=A(—ta+b),A.eR,

t2t2

,1

-A?=-I—

于是I,所以f=±也.

,33

故選：B

11.己知M是邊長為1的正,ABC的邊AC上靠近C的四等分點，N為A2的中點，則創介政V的值是(

【答案】A

3113

【分析】根據平面向量的線性運算可得+MN=^BA-^BC,結合數量積的運算律計算即可求

解.

【解析】如圖,

13113

MN=BN-BM=-BA-(-BC+-BA)=-BA——BC,

24444

3113

-MN=(.-BC+-BA)\-BA--BC)

3921.23911

=—BCBA--BC+—BA-—BABC=-—+—=——

1616161616162

故選:A

12.在一ABC中，=O且(AC+BCA(AC-BC)=O,則錯誤的選項為()

A.\CA-CB\=\CA+CB\B.\AB-AC\=\BA-BC\

C.|CA-BA|=|CB-AC|D.|CA+CB|2=|AB-AC|2+|BA-CA|2

【答案】C

【分析】先由條件推得ABC為等腰直角三角形，不妨作正方形ADBC,取邊長為1,結合圖形依次化簡等

式的左右向量式，計算即可判斷正誤.

【解析】由AC.BC=O可知NACB=90，又由(AC+BC)?(AC-BC)=0可得|AC|=|BC|,

故得一至C為等腰直角三角形.

如圖，作正方形ADBC,設邊長為1,連接C0AB.

對于A項，|CA-CB|=|BA|=￡|。4+0叫=|。4=應，故A項正確；

對于B項，|AB-4弓=|。@=1,而|BA-BC|=|CB+54|=|C4|=1,故B項正確；

對于C項，|CA-8A|=|CA+AB|=|CB|=1,W|CB-AC|=|CB+CA|=|CZ）|=A/2,故C項錯誤；

對于D項，|C4+C8|2=|COF=2,IAB-ACI2+|BA-C412=|CB|2+|BC|2=2,故D項正確.

故選：C.

?題型03平面向量的數量積

13.在&ABC中，內角A民C所對的邊分別為。涉,。，。是BC的中點，BCAD=2c2,則駕=___

sinC

【答案】V5

【分析】根據給定條件，利用數量積的運算律，結合正弦定理邊化角即可得解.

【解析】在ABC中，。是BC的中點，BCAD=(AC-AB).1(AC+AB)=2c2,

則\c_Ag2=4c2,BPb1-(?=4c°,因止匕〃=5c2,

所以當=

smCc

故答案為：非

2X+y

14.在“IBC中，BD=-BC,尸是線段AD上的動點(與端點不重合)，^CP=xCA+yCB,則飛上的最

小值是.

【答案】4+2拓

-9一

【分析】由友)二§5C,得到C3=3CD，AffiJWCP=xCA+3yCD,再根據AR。三點共線，得至!]%+3y=l,

然后利用基本不等式求解.

2

【解析】解：因為在一ABC中，BD=-BC,

所以CB=3C。，

又因為CP=xCA+yC8,則CP=xCA+3yC。，

因為A,尸,。三點共線，則x+3y=l,結合題意知x>0,y>0,

所以^^=工+工=（工+工］（》+3〉）,

孫>xI>龍J

J+型+4*注+4=26+4,

yxyx

I-6

故答案為：4+2百

15.已知向量￡,6滿足。="=2,k-0=2退，貝!]0力=

()

A.-2B.一2#>C.2A/3D.6

【答案】A

【分析】由條件\-4=2石，兩邊平方可得,-6)2=12,

結合數量積的運算律化簡可求結論.

【解析】因為：-力=24，

所以(a-b)=12,

所以J+/一2〃.=12，

所以忖+卜-2a-b=12,又M=M=2,

所以Q?。=一2,

故選：A.

16.已知平面向量加，〃均為單位向量，若|機-3〃|=近,則向量加，〃的夾角伽,力=()

【答案】c

【分析】|相-3〃|=五兩邊平方，求出力〃二g：

,利用向量夾角余弦公式求出答案.

222

【解析】m-3n=(m—=m_^m.n+gnf

因為機，〃均為單位向量，|加-3〃|=J7,

所以1—6m?幾+9=7，解得m-n=—,

所以cos/m〃)—生土—工―工，

cos6町網.同1X12

又〈根㈤e[0,兀],故例〃)=1.

故選：c.

17.若向量0=（41）與6=（4,2）的夾角為銳角，則實數幾的取值范圍是.

【答案】C"2,+⑼

【分析】由a與》的夾角為銳角，貝必.6＞（）,列出不等式解出2,要去掉使a與b同向（a與b的夾角為0）

的幾的取值.

【解析】回。與〃的夾角為銳角，^a-b＞0＞即4/+2＞0,解得力＞—5，

當a與Z?共線時，可得2丸一4=0,解得％=2,

所以當2=2時，a與b同向，

團實數2的取值范圍是（-；,2）7（2,+00）.

故答案為：（-1,2）u（2,+?）.

18.已知&是單位向量，且|2e-4=JIU,a+2e在e上的投影向量為5e,則。與e的夾角為（）

兀兀兀5兀

A.—B.—C.—D.—

64312

【答案】B

【分析】根據|2e-4=JI5,,推理得至I]/一4a-e=6,再由投影向量求得。-e=3,聯立得到同=3&,利

用兩向量的夾角公式計算即得.

【解析】因為g是單位向量，且陞-4=&5，

兩邊平方得,4e2-4a-e+a2=10,即必一4a-e=6（*）,

（a+leYe

由。+2e在e上的投影向量為5e,可得、?0汰=56

所以（a+2e）-e=5,即=3,代入（*）可得，a2=18,即問=3人，

所以cosa,e=^苫==?,

\a\\e\3j22

因為。,6￡[0,兀所以a,e=：.

故選：B.

19.已知向量|。4卜3,口目=2,5C=（m—〃）OA+（2〃一加一1）03,若Q4與08的夾角為60°,且OC團AB,

則實數2的值為（）

m

61

C.D.-

6

【答案】A

n7

【分析】利用向量的線性運算得到OC=（%-〃）。4+（2〃-利）。5,再由向量垂直得到方程，求出一=（.

m8

【解析】BC=(m-n)OA+(2n-m-l)OBf

即OC—OB=(m—n)OA+{2n—m—\)OB,

所以OC=^m—njOA+(2n—mjOB,

因為0C回AB，所以OC-AB^^m-n)0A+(2n-m^0B^(0B-0A^

=[(m-n)(9A+(2n-m)OB](OB-OA)

__.__.2__.2

=^2m—3n^OA-OB—^m—n)OA+(2n—m)OB

=(2m-3n)|(9A|-|(?B|COS60°-(m-n)|OA|+(2n-m)|0B|

=(2m-3n)x3x2xg-9(加-〃)+4(2n-m)

=6m-9zz-9m+9n+8M-4m=-7m+8z:=0，

解得乜YI7

m8

故選：A

20.在矩形ABC。中，AB=4,BC=2,E為AD的中點，尸為AB的中點，。為邊8上的動點（包括端

點），則。￡。尸的取值范圍為

【答案】[U0]

【分析】建立適當的平面直角坐標系，引入參數L結合向量數量積的坐標公式將QE?。尸表示成/的函數,

由此即可得解.

【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系：

姝

O(A)FBx

由題意A（0,0）,3（4,0）,C（4,2）,0（0,2）,E（0,1）,—2,0）,設Q&2）,（0VY4）,

從而坐=（—,-1）,少=（27,-2）,0￡0尸=產-2/+2=（7—1）2+11€[0,4],

所以0E?。尸=”l）2+lje[0,4]的取值范圍是[1,10].

故答案為：[1,10].

21.已知A2是圓O：尤2+/=2的直徑，M,N是圓。上兩點，且ZMQV=120。，貝!|（。M+皿＞43的最小

值為（）

A.0B.-2C.-4D.-4A/3

【答案】C

【分析】取MN的中點C,結合垂徑定理與數量積的運算表示出（OM+ON＞AB后，借助三角函數值域即可

得解.

【解析】設建V的中點為C,0ZMGW=120°,OM=ON,

則OC=Ain30?―,

2

EIC為MV的中點，^OM+ON=2OC.

設向量OC與AB的夾角為夕（。＜夕＜兀），

0(OM+ON、AB=2OC-AB=210cl網cos0=4cos0,

又cos?e[-1,1],+ON)-AB的最小值為-4.

故選：C.

22.在平行四邊形ABC。中，AC=23￡＞=4,點P為該平行四邊形所在平面內的任意一點，則

|尸4|2+|尸8|2+|尸(3|2+|2。|2的最小值為()

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】設AC與8。的交點為。，由PA=PO+QA,兩邊平方可表示出|PAF,同理可表示|F,|PC匕|F,

四個式子相加化簡可求得結果.

【解析】設AC與8。的交點為。，由PA=PO+OA，

得|PA|2=|尸O『+1OA|2+2POOA,

同理可得|PB『=|PO^+\OB^+2POOB,

|PC|2=|PO|2+1OC|2+2POOC,

|PD|2=|PO|2+1OD|2+2POOD,

所以IPA『+1PB『+1PCF+1PDF=

41PO|2+1OA|2+1OB|2+1OC|2+1OD|2+2PO-(OA+OB+OC+OD)

=4|P(9|2+10>10,當點P與點。重合時，等號成立.

故選：C

?題型04平面向量的基本定理與坐標表示

23.設e；、e；是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（）

A.q和G+2e2B.q+2e2與3q-e?

C.q+2e2與-2q-4e?D.3e1-e24e2-ex

【答案】C

【分析】根據基底的概念及平面向量基本定理判斷即可.

【解析】4、02是不共線的兩個非零向量,

對于A,q和6+2/中，,和q+2/不共線，可作基底，A不是；

12.

對于B,,+2/與3,-』中，彳工二，G+2C2與狷-/不共線，可作基底，B不是；

一3—1~

12

對于C,6+2/與一2q-中，—,q+2與與一26一41共線，不能作基底，C是;

--―2—4~~

3-1

對于D,3,-4與《與一"中，—,36-/與不共線，可作基底，D不是.

故選：C

24.在qABC中，內角A,B,。所對的邊分別為。，b,。.向量〃=（。+。,一/?），4=（。+/?,"-°）,若,//4,

則角。的大小為（）

.7C7C兀27c

A.—B.-C.—D.—

6323

【答案】D

【分析】先由P〃q得至11一々6=/+^一°2,再利用余弦定理即可得解.

【解析】因為方=（a+c,-6）,〉=（a+b,a-c）,p!Iq,

所以（。+。）?（《—。）一（一6>（。+人）=0,即-“6=〃+廿一/,

因為Ce（O,兀），所以C=（,

故選：D.

25.己知向量a,b的夾角為g,卜|=1,W=2,在ABC中，A8=2o+3〃，AC=2a-b>BD=^BC,

則固=（）

A.2B.20C.2A/3D.6

【答案】A

【分析】首先由數量積的定義求出°山，再由平面向量線性運算法則得到AO=2a+6,最后根據

\AIJ\=J（2a+/及數量積的運算律計算可得.

【解析】因為向量a，8的夾角為牛，忖=1,W=2,

J3|fl^1?-Z7=|?||z?|cos^=lx2x[--|=-1,

又因為">=42+2。="+L2。=42+14。-42）=1。+工45

22、>22

=g（2a-6）+；（2a+36）=2。+6,

所以2a+b）=V^2+4a-b+b

=^4xl2+4x（-l）+22=2.

故選：A

26.已知向量a=（L。）,。=（4,〃z）,若12a-司不超過2及，則機的取值范圍為（

A.[-B.[-C.[—3,3]D.[-2,2]

【答案】D

【分析】先求得的坐標，再由|2。-,不超過2近求解.

【解析】解:因為2a-6=（2,0）-（4,7〃）=（-2,-〃z）,且|2°-用不超過2垃，

所以J（-2）2+（TW）2W2A/5,解得-2V〃ZW2,

故選：D.

27.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,BC=4BE,則C4.￡>E=

【答案】

4

【分析】建立平面直角坐標系，坐標法求向量數量積.

【解析】在等腰梯形A8CO中，AB=BC=2,CD=3,

過B作C￡>的垂線，垂足為歹，FC=-,BF=y/BC2-FC2=—,

22

以8的中點。為原點，OC為X軸，建立平面直角坐標系，如圖所示:

(93岳'

由3c=4BE,得E石

o

(5后、

所以C4=--，^―,DE=

\22J

7曰r"521V153岳15

28284

故答案為：

4

.m

28.如圖，點。是..ABC的重心，點。是邊BC上一點，J!LBC=4DC，OD=mAB+nAC，則一=()

1

C.——D.

54

【答案】C

【分析】延長AO交BC于E,根據題意，得至l」A0=20E且AE=g（A5+AC）,再由BC=4￡>C，可得。是

BC的四等分點，根據向量的運算法則，求得。。=-二AB+^AC,求得狐〃的值，即可求解.

1212

【解析】如圖所示，延長A0交BC于

由已知。為ABC的重心，則點E為3C的中點，可得AO=2OE，且AE=g（A8+AC）,

又由2C=4DC，可得。是3C的四等分點，

l

貝UOO=OE+EO=』AE+』8C」xUA8+AC）+UAC_AJB）=---A3+?AC,

3432、,4、'1212

,157771

因為O。二mAB+及AC，所以機=一二，〃=二，所以一=~~?

1212n5

故選：C.

A

BEDC

29.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O,尸為圓。上任一點，若AP=xAB+yAC,則x+＞的最大

值為（）

33

【答案】C

【分析】以。為坐標原點，建立平面直角坐標系，設尸（半COS0,竿sin。），根據題意，求得

2x+y=2^cos6+l且若y=￡lsinO+且，得至Ij2x+2y=±sin（e+W）+d,結合三角函數的性質，即可求

333333

解.

【解析】以。為坐標原點，過點。平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標系,

如圖所示，可得4一1,一等）,2（1,-1）,。（0，￥）,

因為ABC是邊長為2的等邊三角形，可得其外接圓的半徑為R=2叵

3

因為點尸在一ABC的外接圓上，設尸（竿cos2,sin。），其中。以0,2兀）,

則AP=(竿cos0+1,當sin6+4)，且AB=(2,0),AC=(1,g),

又因為AP=xAB+yAC,可得2x+y=2fcos6+1且-J3y=^^-sm6+^-,

所以2x+2y=■^^-cos6)+l+—sin0+-=—sin(0+—)+—,

333333

當=E時，即e=$時，2尤+2y取得最大值為。，

3263

所以x+y取得最大值為;4.

故選：c.

30.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長O）至￡,使得DE=2CD.動點P從點A出發，沿正

方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，AP=^AB+pAE,則2+〃的取值范圍為

【答案】[0,4]

【分析】建立適當的平面直角坐標系，討論尸eAB.PeBCPeCnPeZM四種情況，即可求出2+〃的取值

范圍.

【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系：

則8（1,0）,磯一2,1）,所以AP=4AB+〃AE=（2—2〃,〃），

當尸eAB時，有j〃=0，即0W4Wl,〃=0,此時2+〃的取值范圍為[0,1],

fA—2〃=1/、r1

當尸cBC時，有，即1W幾+〃=（幾一2〃）+3〃=l+3〃V4,此時2+〃的取值范圍為[1,4],

當尸eCD時，有1]，即3W4+〃=（2—2〃）+3〃=（4—2〃）+3<4,此時幾+〃的取值范圍為[3,4],

當PeD4時，有，即0W2+〃=U—2〃）+3〃=3〃W3,此時2+〃的取值范圍為[0,3],

綜上所述，〃的取值范圍為[0,4].

故答案為：[0,4].

31.己知菱形ABCD邊長為1,且48必。=」,￡為線段相)的中點，若尸在線段。￡上,且時=/1瓦1+33。,

26

則彳=，點G為線段AC上的動點，過點G作BC的平行線交邊A3于點M,過點M做BC的垂線

交邊8C于點N,則(MG+MN)?兒牛的最小值為.

131

【答案】i而

【分析】建立適當平面直角坐標系，由題意可得各點坐標，從而可得所需向量的坐標表示，結合向量共線

的坐標表示可得2,借助向量的數量積公式計算即可得+的最小值.

【解析】如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，則有4(0,0)、8(1,0),

即，P=［一，一貝

則°廠=一丸+±,_力],EF=+

1212)66

又尸在線段CE上，故有［―九十'［*玄—1—4+=0，

1(35、

角軍得2=3,即8/=一:，言n

設AG=〃AC,/7e[0,l],

(1百)

則G-//，—A，由GM//3C,則

由MN，BC,ZDAB=120°,則NABC=60。，則/MWB=30。,

則MN==趙^(1—〃)，故N—+—//,-y-(l—//),

22v7(444、J

rix,—f1A/3)-(33y/3/.\\

則AfG=——",——ju,MN=------",——(1一4),MF=

I22J1444J

573

x-------

12

517355

2Ll-\1Ll-\

16---1616-----16

5231

=—Ll——￡/+—

442

5（3V31

=力一R+麗,

則當〃=5時，（MG+MN）-MR有最小值嘉.

131

故答案為：-；--.

3oU

?題型05平面向量的綜合應用

,ACABy/2

32.在..ABC中，BAAC+AC=0^網,網=彳，貝九4?。的形狀為（）

A.等腰直角三角形B.三邊均不相等的三角形

C.等邊三角形D.等腰（非直角）三角形

【答案】A

7TTT

【分析】由數量積的運算律得到8c?AC=0,即可得到ZAC8=5，再由數量積的定義求出/CAB=z，即

可判斷.

【解析】因為BA-AC+AC2=O,即（84+AC>AC=0,即BC-AC=0，

jr

所以BCLAC，即AC13C,則ZAC2=5，

uum

ACAB

又歸為表示與AC同向的單位向量，表本與AB同向的單位向量，

AC\AB\

/IC/inrY,—4c7乙/TV\TT

所以CpulxlxcosNCABM^,又NCABc0,彳，所以NG45=：,

AC\AB\2I2)4

7T

所以NCZM=T，

4

所以ABC是等腰直角三角形.

故選：A

33.已知圓錐SO的底面半徑為2,點P為底面圓周上任意一點，點Q為側面(異于頂點和底面圓周)上任

意一點，則。P。。的取值范圍為()

A.(-4,4)B.[T,4]C.(-2,2)D.[-2,2]

【答案】A

【分析】利用空間向量的線性運算及數量積公式結合夾角余弦的范圍計算即可.

【解析】

如圖所示，延長SQ交底面圓周于3,過。作QGL底面圓于G點,

顯然OP.OQ=QP.(OG+GQ)=OPOG=2cosOP,OG-\OG\,

由題意可知cosOP,OGe[-1,1],0<|OG|<2,

所以。尸?的取值范圍為(T4).

故選：A

34.已知圓C的半徑為1,過圓C外一點P作一條切線與圓C相切于點A,|PA|=2,。為圓C上一個動點,

則P4P。的取值范圍為()

A.[2,4]B.[2,6]C.[0,4]D.[4,6]

【答案】B

【分析】方法一：建立合適的坐標系，設。(cos。,sin。)，根據余弦函數的范圍即可得到數量積范圍；方法二:

根據數量積與投影向量之間的關系進行轉化即可.

【解析】方法一：不妨設圓心CQO),A(0,-l),P(-2-1),Q(cosasine),

所以尸A-P。=(2,0)?(cos0+2,sin。+1)=2cos0+4,

因為-1VcosOVl,

所以24PA/QW6.

方法二：如圖，過圓心C作MN〃上4,且與圓C交于點M,N,連接PM,PN,

過N分別作MG,上4,NHLPA,垂足分別為G,H,過。作QTLPA,垂足為T,

則PQ在PA方向上的投影向量為PT，

則尸從尸0=上4-尸7=網.附|,|PA|=2,

又lVpT?3,所以24PA?PQW6.

故選：B.

35.如圖所示，。點在—ABC內部，DE分別是AC,BC邊的中點，且有OA+2O8+3OC=0則4AEC的

面積與AOC的面積的比為()

【答案】A

DE3

【分析】由題意可知O,。,E三點共線，且萬萬=不，再由三角形面積公式即可求解.

【解析】由0A+202+30。=0可得04+00=_23+00,

又因為2E分別是AC/C邊的中點，

UULUUIUUUIU

所以0A+0C=2QD，OB+OC=2OE,

所以200=—4OE，即OD=-2OE，

\DE3

所以0,D,E三點共線，且稔=］，

所以E到AC的距離與。到AC的距離之比也為1,

又△AEC的面積與，A0C的面積都以AC為底，

所以△入￡C的面積與./OC的面積的比為三.

2

故選：A

?題型06三角形的“心”的向量表示

36.已知在ABC中，//為.ABC的垂心，。是..ABC所在平面內一點，且0A+08=CH，則以下正確的

是()

A.點。為一ABC的內心B.點。為一ABC的外心

C.ZACB=9QD.ABC為等邊三角形

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用向量數量積運算律，結合向量加減計算判斷得解.

【解析】在ABC中，由H為ABC的垂心，得CHLAB,

由0A+08=C〃，(OA+OB)-(OA-OB)=CH-(OA-OB)=CHBA=0,

貝Uo/=OB2，即|O4|=|08|,y.AH=AO+OC+CH=A0+0C+(0A+0B)=0C+0B,

顯然AHLBC，同理得10cl=|QBI，因此點。為ABC的外心，B正確，無判斷ACD成立的條件.

故選：B

37.已知。，A,B,C是平面上的4個定點，A,B,C不共線，若點尸滿足。尸=+4(AB+AC),其

中/leR,則點尸的軌跡一定經過ABC的()

A.重心B.夕卜心C.內心D.垂心

【答案】A

【分析】取線段BC的中點E,則AB+AC=2AE，依題可得AP//AE，即可得答案.

【解析】取線段BC的中點E,則A3+AC=2AE.

動點P滿足：OP=OA+A（AB+AC）,/leR,

貝!JOP-OA=2/L4E，BPAP=2AAE，所以AP〃AE，

又APAE=A,所以三點共線，即點P的軌跡是直線AE,

一定通過一ABC的重心.

故選：A.

38.在..ABC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,點O,G,尸，。分別為一ABC所在平面內一點，且有

|OA|2+|BC|2=|OB|2+|C4|2=|OC\L+\AB\L,GA+GB+GC=O,

（PA+PB）AB=（PB+PC）BC=（PC+PA）CA=O,aQA+bQB+cQC=0,則點O,G,P,Q分另ij為一ABC的

A.垂心，重心，外心，內心B.垂心，重心，內心，外心

C.外心，重心，垂心，內心D.外心，垂心，重心，內心

【答案】A

【分析】根據三角形垂心，重心，外心，內心的定義和性質結合平面向量的線性運算和共線定理，分別推

導即可.

【解析】i|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2,得網2-國2=1匈一四2,

即（0A+03）（0A_08）=（C4+3C）（04_8C）,

貝U（0A+OB）&4=BA（CA+網n（OA+OB-CA-CB）&1=0,

所以20c?8A=0，則OC_LAB，同理可得。4_L3C,OB1AC-

即。是一ABC三邊上高的交點，則。為,ABC的垂心；

由G4+GB+GC=0，得GA+G5=-GC，

設A3的中點為貝！JGA+GB=2GM=_GC，即G,M,C三點共線，

所以6在_鉆(？的中線CM上，同理可得G在工ABC的其余兩邊的中線上，

即G是J1BC三邊中線的交點，故6為_鉆。的重心；

由停+P孫刀=0,得2PM.A8=0，即PM_L45，

又“是45的中點，所以尸在A3的垂直平分線上，

同理可得，P在3C,AC的垂直平分線上，

即尸是_ABC三邊垂直平分線的交點，故尸是ABC的外心；

延長CQ交AB于點N,因為。，C,N三點共線，則設QN=Z:QC(4<0),

S.QA=QN+NA=kQC+NA,QB=QN+NB=kQC+NB,

AaQA+bQB+cQC=0,^a[kQC+NA^+b[kQC+NB^+cQC=O,

BP（^ak+bk+c^QC+aNA+bNB=O（l）,

又因為W4與NB共線，QC與NA、N8不共線，

則只能當成+》左+。=0且aN4+WVB=0時，①成立,

NAb_ACNANB

即aNA=-bNB=>=---,貝u=

aBCACBC'

sinZACN_sinZ8CN

由正弦定理得:

sinZANC~sinZBNC

又ZANC+/BNC=R,則sinN/WC=sinNBNC,

即sinNAQ