第14講直線與圓（3大考點+強化訓練）

［考情分析］1.求直線的方程，考查點到直線的距離公式，直線間的位置關系，多以選擇題、填空題的形式

出現，中低難度2和圓錐曲線相結合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度.

知識導圖

?考點一：直線的方程

★直線與圓

?考點二:圓的方程

考點分類講解

考點一:直線的方程

1.已知直線h：Aix+Biy+Ci=O,直線h：A^+B2y+C2=O,則/1〃/2今4%一心81=0,且(或

BIC2-B2CI^O),Zi±/2miA2+j5iB2=0.

|Axo+Byo+C|

2.點尸（尤o,yo）到直線/:Ax+By+C^0（A,B不同時為零）的距離d=

yjA^+B-

I_rI

3.兩條平行直線/i：Ax+By+Ci=0,b：而+By+C2=0（A,B不同時為零）間的距離』=金耳親.

易錯提醒解決直線方程問題的三個注意點

（1）利用482—4231=0后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性.

（2）要注意直線方程每種形式的局限性.

（3）討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在.

【例1】（23-24高三上?山東青島?期末）"相=3"是"直線乙：樞x+y+”7=0與/2,3x+O-2）y-3〃z=。平行”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1】（23-24高三上?河北?階段練習）已知直線4：ox+2y+6=。與直線乙：公->+。=0垂直，則

/+〃的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【變式2】（2024?陜西安康?模擬預測）已知直線/1"加—y-m+3=0（meR）與直線

4：X+和一〃2—5=0(〃?611)相交于點尸，貝!|尸至I]直線2x+y+7=o的距離的取值集合是()

A.[75,375]B.(6,3,6]C.[2A/5,4A/5]D.(26,4如]

【變式3】(2023高三?全國?專題練習)過點A(l,-4)且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程

為.

考點二:圓的方程

1.圓的標準方程

當圓心為(〃，/?),半徑為不時，其標準方程為(X—Q)2+(y—。)2=戶.

2.圓的一■般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中少+序一^^》。，表示以(一景一導為圓心，4』為半徑的圓.

規律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法

(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程.

(2)代數法：即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數.

【例4】(2024?江蘇?一模)萊莫恩(Lemoine)定理指出：過ABC的三個頂點4民。作它的外接圓的切線,

分別和所在直線交于點P,Q,R,則己。,尺三點在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的

Lemoine線.在平面直角坐標系xOy中，若三角形的三個頂點坐標分別為A(0,l),以2,0),C(0,T),則該三

角形的Lemoine線的方程為()

A.2%—3y—2=0B.2%+3y-8=0

C.3x+2y—22=0D.2x—3y—32=0

【變式1](2024?廣東?一模)過A(-1,0),B(0,3),C(9,0)三點的圓與,軸交于M,N兩點，則|MN|二

()

A.3B.4C.8D.6

考點三:直線、圓的位置關系

1.直線與圓的位置關系：相交、相切和相離.

其判斷方法為：

(1)點線距離法.

⑵判別式法：設圓C:(x—a)2+(y—6)2=”,直線/：Ax+By+C=0(A2+B2#0),聯立方程組

[Ax+By+C^O,

l（x—a）2+（y—Z?）2=r2,

消去y,得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為/,則直線與圓相離㈡/<0,直線與圓相切0/=0,

直線與圓相交㈡/>0.

2.圓與圓的位置關系，即內含、內切、相交、外切、外離.

考向1直線與圓的位置關系

規律方法直線與圓相切問題的解題策略

當直線與圓相切時，利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等

式，所以求切線方程時主要選擇點斜式.過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外一點的距

離，再結合半徑利用勾股定理計算.

【例3】（2024?云南昆明?模擬預測）已知如是圓C:/+（y_l）2=i的切線，點A為切點，若|上4|=2,則點

P的軌跡方程是（）

A.（x-1）2+y2=5B.x2+（y-l）2=5C.y2=2xD.x2=2y

【變式1】（23-24高三下?山東青島?開學考試）“圓心到直線的距離小于圓的半徑”是"直線與圓相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2】（2024?廣東佛山?模擬預測）過點（0,-2）與圓爐+產一4x-l=0相切的兩條直線的夾角為a,則

sina=（）

A.1B.姮C.叵D.漁E,均不是

444

【變式3】（2024?福建漳州?一模）過點尸（x0,九）作圓。：￡+>2=9的兩條切線，切點分別為A,B,若直

線A3與圓C：（尤一1）2+9=1相切，則y；+18x°=.

考向2圓與圓的位置關系

[例3]（2023?浙江紹興?模擬預測）已知圓￡:/+y-=亍,圓心為G（-2,o）c（4,o）的圓分別

與圓G相切.圓C?,C3的公切線（傾斜角為鈍角）交圓G于A,8兩點，則線段的長度為（）

33

A.一B.一C.3D.6

42

【變式1】（23-24高三上?廣東佛山,階段練習）已知圓”的圓心為且經過圓。:

兀2+,2+6%-4=0與圓。2：尤2+,2+6,_28=0的交點.則圓M的面積為（）

廠八25兀

A.5兀B.257tC.IOTUD.---

2

【變式2】（2024?廣西來賓?一模）若曲線G：/+（y一租）2=4與C2：x2_y2=o的圖象有3個交點，則

m=.

【變式3】（2023?河北衡水?三模）若圓4:V+『=1和c?：/+/一26辦-2ay-5a=Q^a>有且僅有一

條公切線，貝心=;此公切線的方程為

【變式4】（2024?廣東深圳?模擬預測）已知圓加：彳2+^-2*=0（4>0）的圓心到直線2彳+/=2距離是石，

則圓M與圓N:（x-2）2+（y+l）2=l的位置關系是（）

A.外離B.相交C.內含D.內切

【變式5］（2024?遼寧?二模）已知圓/+/=4與圓/+/-8x+4y+16=0關于直線/對稱，則直線/的方程

為（）

A.2x+y-3=0B.%-2丁-8=0

C.2x—y—5=0D.%+2y=0

口強化訓練

一、單選題

1.（23-24高三上?河南焦作?期末）若圓C:（x-2）2+［+（］=〃與無軸相切，則。=（）

A.1B.0C.2D.4

2.（2024?四川?模擬預測）已知直線依+勿-2=0（a>0,b>0）經過點（1,4）,則3+：的最小值為（）

ab

25

A.4B.8C.9D.——

2

3.（2024?四川南充?二模）已知圓C:/+2x+y2—i=o,直線/：X+九3-1）=0與圓。（）

A.相離B.相切C.相交D.相交或相切

4.（2024高三下?浙江杭州?專題練習）已知點A為曲線y=x+；（x>0）上的動點，B為圓（尤-2『+y?=1上

的動點，則|A@的最小值是（）

A.3B.4C.3yliD.40

5.（2024?廣東?一模）已知直線4:Ax-y+1-G左=0（k￡R）與直線6:x+炒+G+左=0（左ER）相交于點M,

若恰有3個不同的點M到直線/：%-，+匕=0的距離為1,貝（Jb=（）

A.±1B.土叵C.±^/3D.+2

6.（2024?浙江?模擬預測）如圖，直線丁=2+3交工軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于

原點。，另兩個頂點〃，N恰好落在直線>=上+3上，若點N在第二象限內，則tanNAON的值為（）

4

7.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知。為圓A:（x-lJ+y2=1上動點，直線4：MU-〃y+37"+2〃=0和直線

l2:wc+my-6m+n=0，”eR,。）的交點為P,則尸。的最大值是（）

A.6+75B.4-75C.5+75D.1+逐

8.（2023?浙江溫州?模擬預測）設°>0,bwR,已知函數/（x）=xe'+a（x-3）+6,xe[l,3]有且只有一個

零點，則Y+〃的最小值為（）

e2e2e2e2

A.—B.—C.—D.—

6543

二、多選題

1.（23-24高三上?湖北襄陽,期末）已知直線/：區+丫-左-1=0,圓。：％2+/+m=0,且圓c過點

（4,0）,直線/與圓C交于A3兩點，下列結論中正確的是（）

A.圓C的半徑為2

B.直線/過定點（1/）

C.|明的最小值是2山

D.CACB的最大值是0

2.（23-24高三上?浙江紹興?期末）直線/：（22+1卜+（1-4y-3=0,圓C：（x-2）2+y2=9,則下列結論正

確的是（）

A.直線/經過定點且與圓C恒有兩個公共點

B.圓心C到直線/的最大距離是2

C.存在一個2值，使直線/經過圓心

D.不存在2使得圓C與圓元2+。一4）2=9關于直線/對稱

3.（23-24高三上?福建?階段練習）已知直線/：〃氏+（加一2）〉+2=0與圓（7：X2+/-4%+6y-23=0,點

尸在圓C上，貝U（）

A.直線/過定點（1/）

B.圓C的半徑是6

C.直線/與圓C一定相交

D.點尸到直線/的距離的最大值是6+6

三、填空題

1.（23-24高三上?江蘇南通?期中）已知函數=加（aeR）在x=%,x=/處分別取得極大值和極

小值，記點4&"（占）），5（%2,/（X2））,〃x）的圖象與x軸正半軸的交點為C.若ABC的外接圓的圓心尸

在以為直徑的圓上，則“=.

2.（2024?河南鄭州?模擬預測）平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心（三角

形三條高的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對邊距離的2倍.若點A,B,C都在圓E上，

直線方程為尤+y-2=0,且忸C|=2j而，反48。的垂心G（2,2）在"BC內，點E在線段AG上，則圓E

的標準方程.

3.（2024?陜西?模擬預測）若直線/：（〃1戶+（2W-l）y=0與曲線。：、="-。-2）2+2有公共點,則實數

m的范圍是.

四、解答題

1.（2024高三?全國?專題練習）設拋物線C:/=2x,點A（2,0）,B（-2,0）,過點A的直線/與C交于

M,N兩點.

⑴當/與x軸垂直時，求直線的方程；

（2）證明：ZABM=ZABN.

2.（2024高三?全國?專題練習）已知點A為圓C:x2+y2-2而'x-6=0上任意一點，點8的坐標為

卜亞,0）,線段AB的垂直平分線與直線AC交于點。.求點D的軌跡E的方程.

3.（23-24高三上?廣東深圳,階段練習）已知圓C:尤2+（y-3）2=4,直線力:x+3y+6=O,過A（-l,0）的直線

/與圓C相交于P,。兩點，

⑴當直線/與直線機垂直時，求證：直線/過圓心C.

（2）當|PQ|=2/時,求直線/的方程.

4.（2024?甘肅蘭州?一模）已知圓C過點尸（4,1）,M（2,3）和甘（2,-1）,且圓C與y軸交于點尸，點尸是拋

物線E:d=2py（p>0）的焦點.

⑴求圓C和拋物線E的方程；

⑵過點尸作直線/與拋物線交于不同的兩點A,B,過點A,B分別做拋物線E的切線，兩條切線交于點

Q,試判斷直線與圓C的另一個交點￡>是否為定點，如果是，求出。點的坐標；如果不是，說明理

由.

5.（23-24高三上?天津?期末）設A,B兩點的坐標分別為（T,0）,（4,0）.直線8M相交于點V,且

3

它們的斜率之積是記點加的軌跡為C.

4

⑴求C的方程

（2）設直線x=2與C交于E,歹兩點，若△但1的外接圓在E處的切線與C交于另一點P,求的面

積.

第14講直線與圓（3大考點+強化訓練）

［考情分析】1.求直線的方程，考查點到直線的距離公式，直線間的位置關系，多以選擇題、填空題的形式

出現，中低難度2和圓錐曲線相結合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度.

知識導圖

?考點一：直線的方程

★直線與圓

?考點二:圓的方程

考點分類講解

考點一:直線的方程

1.已知直線:Aix+2iy+Ci=0,直線，2：Azx+B2y+C2=0,則20Al&—且A1C2—AzGWO(或

BIC2-B2CI^0),/jOAAi+W

|Axo+Byp+C|

2.點尸（龍0,如）到直線/:Ax+By+C=O（A,B不同時為零）的距離d=5+序■

_rI

3.兩條平行直線/i：Ax+By+Ci=O,h：Ax+By+C2=0（.A,B不同時為零）間的距離1=上耳看.

易錯提醒解決直線方程問題的三個注意點

（1）利用422—451=0后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性.

（2）要注意直線方程每種形式的局限性.

（3）討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在.

【例1】（23-24高三上?山東青島?期末）"相=3"是"直線4：?u+y+機=0與/2,3苫+0-2方-3帆=。平行”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據直線平行的條件，判斷"機=3"和"直線/|:皿+y+m=0與/2,3%+（上一2）?-37=0平行"之間

的邏輯關系，即可得答案.

【詳解】當"=3時，直線4：3x+y+3=O與4,3x+y-9=0平行;

當直線4：mx+y+m=0與/2,3x+（??_2）y—3w?=0平行時，

有m（m-2）-3=0-3m-m（m-2）0,解得〃z=3,

故"m=3"是"直線4.mx+y+m=Q^l2,3x+（m-2）y-,3m=Q平行”的充要條件,

故選：C

【變式1]（23-24高三上?河北?階段練習）已知直線4：or+2y+/?=。與直線4：bx-y+a=。垂直，貝U

/+〃的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據直線的垂直關系可得必=2,利用基本不等式即可求得答案.

【詳解】因為直線4：ax+2y+b=0與直線4：次一＞+。=0垂直，

所以應＞—2x1=0,即必=2,所以/+/22°6=4,

當且僅當a=b=0或a=b=-0時等號成立.

即的最小值為%

故選：B

【變式2]（2024?陜西安康?模擬預測）已知直線y-7〃+3=O（MeR）與直線

%：x+〃9-〃2-5=O（〃7wR）相交于點尸，則尸到直線2x+y+7=0的距離的取值集合是（）

A.[75,375]B.（6,3,6]C.[2石,4正]D.（2五,46]

【答案】D

【分析】先判斷4與4的位置關系，可知兩直線交點軌跡為圓，然后挖去點。,1）,轉化為圓心到直線的距

離求解即可.

【詳解】由兩直線垂直的判斷條件A4+用與=。，可知根」+（-!）?機=0,

所以直線4與4始終垂直，

又由條件可得直線「恒過定點"（1,3）,直線4恒過定點N（5,l）,

所以兩直線的交點尸是在以線段MN為直徑的圓上，

所以該圓的圓心坐標為（3,2）,半徑為世，

圓上點(1,1)是過定點M(l,3)且斜率不存在的直線與過定點N(5,l)且斜率為0的直線的交點，故挖去點

(1,1).

圓心(3,2)到直線2尤+y+7=0的距離4=〔6J=36，

所以，乙與4的交點到直線2尤+y+7=0的距離的最大值和最小值分別為46和2拓，

又(1,1)到直線2x+y+7=0的距離為26,應舍去，

所以取值集合是(2石,4q]

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，利用直線垂直的性質與過定點的知識，判斷得兩直線的交點P

是在以線段為直徑的圓上，從而得解.

【變式3】(2023高三?全國?專題練習)過點4L-4)且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程

為.

【答案】2元+3>+1。=0

【分析】根據題意設所求直線為2尤+3y+c=0(cw5),然后將點A(1,T)的坐標代入可求出c,從而可求得

直線方程

【詳解】設所求直線方程為2尤+3y+c=0(cH5),

因為點A(l,-4)在直線2x+3y+c=0(cw5)上，

所以2xl+3x(-4)+c=0,解得。=10,

故所求直線方程為2尤+3y+10=0.

故答案為：2x+3y+10=。

考點二:圓的方程

1.圓的標準方程

當圓心為(a,b),半徑為r時，其標準方程為(x—a)2+(y—b)2=，.

2.圓的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中。z+/-go,表示以(一孝，一?為圓心，4-為半徑的圓.

規律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法

(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程.

（2）代數法：即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數.

【例4】（2024?江蘇?一模）萊莫恩（Lemoine）定理指出：過ABC的三個頂點A民C作它的外接圓的切線，

分別和所在直線交于點則尸,。,尺三點在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的

Lemoine線.在平面直角坐標系xOy中，若三角形的三個頂點坐標分別為A（0,l）,3（2,0）,C（0,T）,則該三

角形的Lemoine線的方程為（）

A.2x—3y—2=0B.2%+3y-8=0

C.3x+2y—22=0D.2x—3y—32=0

【答案】B

【分析】待定系數法求出外接圓方程，從而得到外接圓在AC處的切線方程，進而求出的坐標，得到

答案.

【詳解】..A5c的外接圓設為必+，2+6+￡>+尸=0,

I+E+尸=0f￡>=0

4+2D+F=0,解得.E=3,

16-4E+F=01F=-4

；?夕卜接圓方程為/+9+3丫-4=0,即+=/，

易知外接圓在A處切線方程為y=l,

又8C：1+V=i，令y=i得,x=|,

2—42）

在C（0,T）處切線方程為y=T,

又A3:：+y=l,令y=T得x=10,.?.WlO.Y）,

y+4_x-10

則三角形的Lemoine線的方程為=即2尤+3y-8=0

------1U

2

故選：B.

【變式1］（2024?廣東?一模）過4-1,0）,8（0,3）,C（9,0）三點的圓與>軸交于N兩點，貝lJ|M7|=

（）

A.3B.4C.8D.6

【答案】D

【分析】設圓的方程為x2+y2+m+Ey+F=0,代入坐標得3E,尸的值，即可得圓的方程，再令x=0,即

可求得與y軸相交弦長.

【詳解】設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入點4(-1,0),3(0,3),C(9,0),

l-D+F=0

貝人9+3E+P=0,解得。=一8,￡=0,尸=一9,

81+9D+F=0

可得x2+y2-8%-9=0,整理得(x-4)2+/=25符合題意，

所以圓的方程為x2+y2-8x-9=0,

令x=0,可得/_9=0,解得y=±3,所以同=6.

故選：D.

考點三:直線、圓的位置關系

1.直線與圓的位置關系：相交、相切和相離.

其判斷方法為：

(1)點線距離法.

⑵判別式法：設圓C:(x-a)2+(y~b)2=r2,直線/:Ar+By+C=0(A2+B2#0),聯立方程組

[Ax+8y+C=0,

\^x-d)1+(y-b)l=r1,

消去y,得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為/,則直線與圓相離臺/<0,直線與圓相切0/=0,

直線與圓相交㈡/>0.

2.圓與圓的位置關系，即內含、內切、相交、外切、外離.

考向1直線與圓的位置關系

規律方法直線與圓相切問題的解題策略

當直線與圓相切時，利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等

式，所以求切線方程時主要選擇點斜式.過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外一點的距

離，再結合半徑利用勾股定理計算.

【例3】(2024?云南昆明?模擬預測)已知如是圓C:V+(y_l)2=i的切線，點A為切點，若|上4|=2,則點

尸的軌跡方程是()

A.(x-1)2+y2=5B.x2+(^-1)2=5C.y2=2xD.x2=2y

【答案】B

【分析】根據題意，由圓的定義可知點尸的軌跡為圓，再由圓的方程即可得到結果.

【詳解】因為|R4|=2,所以尸點到圓心的距離恒為萬丁=石，

所以點P的軌跡方程是以（0,1）為圓心，逐為半徑的圓，即f+（,-1）2=5,

故選：B

【變式1】（23-24高三下?山東青島?開學考試）"圓心到直線的距離小于圓的半徑"是"直線與圓相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據直線與圓的位置關系，結合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.

【詳解】根據直線與圓的位置關系的判斷可知，"圓心到直線的距離小于圓的半徑"是"直線與圓相交”的充

要條件.

故選：C

【變式2】（2024?廣東佛山?模擬預測）過點（0,-2）與圓d+y2-4丈-1=0相切的兩條直線的夾角為a,貝|

sin?=（）

A.1B.姮C.巫D.逅E.均不是

444

【答案】B

【分析】得到圓的圓心與半徑后，借助切線性質可得sin1,即可得cos1,即可得sine.

22

【詳解】圓/+/一4丈-1=0可化為（X—2）2+/=3,即圓心為（2,0）,半徑為

故圓心到點（。,-2）的距離為歷N=2魚，

則sin^=4=逅，由故cos4=

22V242V2；2

+h.0-a?V6A/10V15

型sina=2sin—cos—=2x——x------=------.

22444

故選：B.

【變式3】（2024?福建漳州,一模）過點尸（x。,兀）作圓。：/+》2=9的兩條切線，切點分別為4,B,若直

線AB與圓C：（x-iy+9=1相切，貝｝|北+18%=.

【答案】81

【分析】由題意可知點A8在以OP為直徑的圓上，結合兩圓相交可得直線AB的方程為％胚+%>-9=0,

再根據直線與圓相切列式求解.

【詳解】圓。：/+9=9的圓心為0（0,0）,半徑r=3；

圓C：（無一1）2+丁=1的圓心為。（1,0）,半徑R=l；

由題意可知：OA1PA,OB1PB,可知點A,2在以OP為直徑的圓上,

以OP為直徑的圓為1-口=竹宣，

整理得犬+'2-不了一%>=。，結合圓0：x2+y2=9,

兩圓方程作差，可得直線A8的方程為9-%x-%y=0,即x°x+-9=0,

若直線A2與圓C：（x-l）2+/=l相切,

整理得4+18尤。=81.

故答案為：81.

考向2圓與圓的位置關系

【例3】（2023,浙江紹興■模擬預測）已知圓G：x?+y—=亍,圓心為園（一2,0）,a（4,0）的圓分別

與圓G相切.圓C2,C3的公切線（傾斜角為鈍角）交圓G于A，2兩點，則線段A2的長度為（）

33

A.—B.-C.3D.6

42

【答案】B

【分析】判斷圓C2C3與G需外切，求出cz,C3的方程，進而求得圓C2，C3的公切線方程，再根據弦長的幾

何求法，即可求得答案.

【詳解】如圖，由已知C/Y+卜一半）=弓的圓心為G（o,乎），半徑為弓=|,

設C2，C3的半徑為4,4，

由題意知圓C2，Cj與G需外切，否則圓c2,C3無公切線或公切線（傾斜角為鈍角）與圓C1無交點;

由題意知|CCzl=j(-2)2+(平)2ng911

即Hn4+4.+4=5，”=1；

ICCI="(粵■)?=亮，即4+1?=六釬2,

故圓C2:(x+2)2+y?=1,圓G:(x—4)~+y?=4,

設圓C?,C3的公切線方程為〉=丘+6,（左＜0）,

'\-2k+b\_^

，下:，解得上=_且/=0,即y=_lx,

則

般+H33

百一

故C](0,普至(Jy=-gx的距離為d=~r==圭生

r3

故|陰=2舊_屋=23

2

故選：B

【變式1】（23-24高三上?廣東佛山?階段練習）己知圓〃的圓心為（T,-2）,且經過圓。：

/+_/+61-4=0與圓。2：尤2+y2+6y-28=o的交點.則圓加的面積為（）

二八八25n

A.5兀B.257iC.IOTUD.

2

【答案】B

【分析】聯立圓。與圓。2的方程，解得兩交點坐標，即可求得圓”的半徑，從而可得答案.

22

x+y+6尤-4=0

【詳解】解:聯立,解得:

f+6y—28=0

所以圓M的半徑為：J（-l+以+（3+2）2=5,

所以M的面積為257r.

故選：B.

【變式2】（2024?廣西來賓?一模）若曲線C］：x2+（y_〃z）2=4與C2：x2_y2=。的圖象有3個交點，則

m=.

【答案】±2

【分析】根據題意可知曲線G：f+（y-〃z）2=4過坐標原點。，從而建立方程，即可求解.

【詳解】曲線曲線。］：/+（?-加）2=4表示以（0,m）為圓心，半徑為2的圓，

曲線Cz：--/：。表示直線,川或好一》,

因為兩個曲線的圖象由3個交點，

如圖所示，曲線C］:必+（丫-m）2=4過坐標原點。，

故/—4,m=±2.

故答案為：±2.

【變式3】（2O23?河北衡水?三模）若圓G：尤2+y2=l和c2：x2+y2_26辦-2ay-5a=o（a>m有且僅有一

條公切線，貝產=;此公切線的方程為

【答案】1瓜+y+2=0

【分析】根據兩圓內切由圓心距與半徑關系列出方程求。，聯立圓的方程求出切點，根據圓的切線性質得

出斜率即可求解.

由題意得G與G相內切，又G：(%-66+(y—a)?=4-a2+5〃1a>,

所以|GQ|=S/+/={4a2+5a—1,

所以2a+l=j4/+5a，解得a=l,

1_A/3

所以C?（石，1），左GG

A/3-3?

（731、

所以切點的坐標為"「a

故所求公切線的方程為yXH--,即y/3x+y+2=0.

I2J

故答案為：1;J§x+y+2=0

【變式4】（2024?廣東深圳?模擬預測）己知圓加:彳2+'2-2"=0（0>0）的圓心到直線2工+、=2距離是斯,

則圓M與圓N:（x-2）2+（y+l）2=l的位置關系是（）

A.外離B.相交C.內含D.內切

【答案】C

【分析】首先由圓心〃（。,0）到直線2x+y=2距離是岔列式求出a的值，進而可得圓心M的坐標以及圓

”的半徑，比較兩圓圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對值的大小關系即可求解.

【詳解】圓M：x2+y2-2ax=0（a>0）即圓M：（無一a）2+y2=/（a>o）的圓心半徑分別為“（氏0）百=。,

圓―（》-2）2+仃+1）2=1的圓心半徑分別為雙（2,-1），4=1,

因為d="%2|=若,解得a=g或°=_|_（舍去）,

q,o],所以

從而M

因為河=《7?=半<廠4=|>

所以圓M與圓N:（尤-2）2+（v+l）2=l的位置關系是內含.

故選：C.

【變式5]（2024?遼寧?二模）已知圓Y+9=4與圓Y+/一8x+4y+16=0關于直線I對稱，則直線/的方程

為（）

A.2x+y-3=0B.x-2y-8=0

C.2x-y—5=0D.%+2y=0

【答案】C

【分析】根據對稱可知/是圓C1和圓c2圓心連線的垂直平分線，利用垂直關系求解斜率，由點斜式方程即

可.

【詳解】圓G：/+y2=4,圓心G（0,0）,半徑4=2,

22

C2:x+y-8x+4y+16=0,圓心C?(4,-2),半徑馬=2,

由題意知，/是圓G和圓G圓心連線的垂直平分線,

G（0,0）,C2（4,-2）,C0的中點（2,T）,

圓心GC2連線的斜率為kCiCi=-1,則直線/的斜率為2,

故/的方程：y+l=2（尤-2）,即―,故C正確.

故選：C.

口強化訓練

一、單選題

1.（23-24高三上?河南焦作?期末）若圓C：（x—2）2+卜+5]=。與x軸相切，則。二（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】D

2

【分析】求出圓心和半徑，數形結合得到幺=。且。＞0,得到答案.

4

【詳解】C:(x-2)2+(y+3=a的圓心為半徑為夜(°＞0),

2

因為圓C與X軸相切，所以幺=。且。＞0,解得。=4

4

故選：D

2.(2024?四川?模擬預測)已知直線"+勿-2=。(4＞08＞0)經過點(1,4),則a的最小值為()

ab

25

A.4B.8C.9D.——

2

【答案】B

【分析】依題意可得々+45=2,再利用乘〃1〃法及基本不等式計算可得.

【詳解】因為直線雙十外-2=0(，＞0力＞0)經過點(1,4),

所以a+4Z?=2,

所-以4Z+g1=J1f_4+1(a+4b)=；(8+16ba

abab

116ba

>—8+2,=8,

2ab

當且僅當詈噎即。=1、時取等號.

故選：B

3.(2024?四川南充?二模)已知圓。：必+2了+丁2一1=0,直線/:尤+”(y—l)=0與圓C()

A.相離B.相切C.相交D.相交或相切

【答案】D

【分析】根據題意，由直線的方程分析可得直線過定點(0,1),結合圓的方程分析可得尸在圓上，據此由直

線與圓的位置關系分析可得直線與圓一定相交或相切，即可得答案.

【詳解】根據題意，直線/的方程為/：X+〃(，-1)=0,恒過定點(0,1),

設尸為(0,1),又由圓C:x2+2x+y2_]=0,即(x+iy+y2=2,

其圓心為(T,。)，半徑r=0,

由|尸。|2=儼+12=2=/,則尸在圓C上,

則直線/與圓C相交或相切.

故選：D.

4o

4.（2024高三下?浙江杭州?專題練習）己知點A為曲線>=%+（@>0）上的動點，2為圓（x-2）?+丁=1上

的動點，貝l|A5|的最小值是（）

A.3B.4C.36D.4A/2

【答案】A

【分析】數形結合分析可得，當4（2,4）時能夠取得|A例的最小值，根據點到圓心的距離減去半徑求解即

可.

【詳解】圓（x-2y+y2=i的圓心為（2,0）,半徑為1,

4

由對勾函數的性質，可知y=x+->4,當且僅當％=2時取等號，

x

結合圖象可知當A點運動到（2,4）時能使點A到圓心的距離最小，最小值為4,

從而的最小值為4—1=3.

5.（2024?廣東?一模）已知直線4:Ax-y+l-J5左=0/￡R）與直線6：1+由+6+左=0（左￡即相交于點M,

若恰有3個不同的點M到直線/：%-y+〃=0的距離為1,貝ljb=（）

A.±1B.+^/2C.D.±2

【答案】B

【分析】根據直線垂直確定M軌跡為圓，再由圓上存在三點到直線距離相等轉化為圓心到直線距離為1求

解.

【詳角軍】由《\kx-y+\-yfik=0(^GR)KTWk(x-V3)-y+l=0,

即4過定點4有,1）,

由/2:x+初+6+k=0(左eR)可得x+G+K(y+l)=O,

即4過定點8（-若,-1），

又所以M的軌跡是以AB為直徑的圓（不含點（石，-1））,

其中圓心為（0,0）,半徑為4=|期=2,

所以圓上恰有3個不同的點M到直線/：彳-，+6=。的距離為1,

|0-0+fe|

只需圓心到直線的距離等于1,即1=解得人=±0,

~ir~=1,

此時（石,1）至I]直線x-y+6=。的距離不為1,故6=±0符合.

故選：B

6.（2024?浙江?模擬預測）如圖，直線y=1x+3交無軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于

原點。，另兩個頂點M,N恰好落在直線y=1x+3上，若點N在第二象限內，則tanNAON的值為（）

4

【答案】A

【分析】過。作OC，回于C,過N作NDLQ4于。，根據等面積求出|OC|,運用在直角三角形等知識求

出結果.

【詳解】設直線與y軸的交點為8,過。作于C,過N作ND_L6H于

因為N在直線y=%+3上且在第二象限內，設小,1+3],

貝=z尤+3,|OD|=_x,又A（T,0）,3（0,3）,即=4,|。同=3,

所以|AB|=5,在AC?中，由三角形的面積公式得：^\OB\\OA\=^\AB\\OC\,

17

所以|oc|=（，

12

在RfNOW中，|QW|=|ON|,/MM9=45,所以$也45=1=工

|ON||ON|

即|0叫=工|2,

在也A?O中，|呵+|￡>0『=3『，即++（-x）2=

841284

解得：玉二一石"2=不，因為N在第二象限內，所以冗=-石，

所,,⑼1噗9,,卬?喋84，所以tanNAONNnD^、1，

故選：A.

7.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知。為圓人:（工-1）2+丁=1上動點，直線乙：e-〃y+3〃z+2〃=0和直線

22

l2:wc+my-6m+n=0（m,z?eR,m+n^0）的交點為尸，則P。的最大值是（）

A.6+75B.4-&C.5+75D.1+75

【答案】A

【分析】由《、4可得4,且乙過定點磯-3,2）,4過定點C（-l,6）,則可得點尸在以BC為直徑的圓

上，則PQ的最大值為AM+4+4.

【詳解】由4