2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)第一次學(xué)業(yè)診斷檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

考試時(shí)間：120分鐘試卷分值：150分

一、單選題（共8小題，每小題5分）

1.已知集合"={一1'°」},則滿足4^8={—1，°，1，2,3}的集合8可能是（）

A.{-1,2}B.{-1,0,1,3}C.{-1,0,1}D,{0,2,3}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)并集定義計(jì)算，選出正確答案.

【詳解】{-1,0,1},^.{-1,2}={-1,0,1,2},A錯(cuò)誤；

{-1,0,1}^{-1,0,1,3}={-1,0,1,3}-B錯(cuò)誤;

{-1,0,1}1{-1,0,1}={-1,0,1},C錯(cuò)誤；

{—1,0,1}U{0,2,3}={—1,0」,2,3},D正確.

故選：D

2.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在（0,+?）上單調(diào)遞增的是（）

A.y—x3B.y=x~2C.y=log|x\D.y=|A'I+-~-

2|x|

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,y=x3,為尋函數(shù)，是奇函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于8,y=xL為累函數(shù)，是偶函數(shù)，但在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減，不符合題意；

對(duì)于C,y=10g2|%|,為偶函數(shù)，又在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合題意；

對(duì)于。，y=|x|+j|j,為偶函數(shù)，在區(qū)間（0,1）上，為減函數(shù)，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

3.命題“也?0,+?)),%2+2出1，，的否定是().

A3x0,X；+2%<1B.3XQ,Xg+2^>1

2X2X

C.Vxe(0,+oo),x+2<1D.Vxe(0,+co),x+2<1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.

【詳解】命題“Vxe(O,+8),尤2+2工21，，為全稱量詞命題，

其否定為：3XOG(O,+?)),X；+2%<1.

故選：A

4.己知第二象限角a的終邊與單位圓交于Pm,|,則sin21=()

24

D.

25

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的定義可求出sine,進(jìn)而可求出cosa,sin2a.

【詳解】因?yàn)榻恰甑慕K邊與單位圓交于PL機(jī),I),所以sina=|,

又角a是第二象限角，所以cos。<0,

所以coso=-Vl-sin2a二一、，

24

所以sin2a=2sinocosa-----,

25

故選：B.

5.已知正數(shù)X,>滿足x+y=i,若2孫恒成立，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是()

11

A.(一,+8)B.(—00,—)C.(l,+oo)D.(—oo,l)

22

【答案】A

【解析】

【分析】恒等式成立轉(zhuǎn)化為求2孫的最大值，根據(jù)均值不等式可求出2孫的最大值即可.

【詳解】，正數(shù)%y滿足x+y=l,

?…"寧)2=］當(dāng)且僅當(dāng)戶一時(shí)，等號(hào)成立,

即2孫<：,

t>2孫恒成立,

1

,?t>一，

2

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用均值不等式求最值,不等式恒成立，屬于容易題.

sin6Z(l-sin2a)(

6,若tana=3>則

sin。一cos。

366

A.-B.-cD.——

55--15

【答案】A

【解析】

【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系、正弦的二倍角公式化簡(jiǎn)該式子即可求值.

［詳解］sin(z(l—sin2a)sin(z(sin2(z+cos2?_2sinecosa)sina(sina-cos6z)2

sin。一cos。sin。一cos。sincif-coscif

sin2cr-sincircoscirtan2cr-tancif9-363

二sina(sina-cosa)=

si?n2a+cos2atan2or+19+1105

故選：A.

Y2

7.函數(shù)/(%)=-------的圖象大致為(

2X-2-X

yjk

A.B.

oxox

【答案】A

【解析】

【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)和特值法對(duì)不符合題意的選項(xiàng)加以排除，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閺d―2一'#0,所以xwO,定義域?yàn)?—8,0)(。,+8)；

22

因?yàn)閥(x)=廣一,所以/(—%)=:」故/(%)=—/(—x),所以/(力為奇函數(shù)，排除B,

2*—22-2”

當(dāng)X趨向于正無(wú)窮大時(shí)，元2、2兀-2-均趨向于正無(wú)窮大，但隨X變大，2'-2一、的增速比不2快,

所以/(%)趨向于0,排除D,

由"1)=|'佃呼則”1)〉/

,排除C.

故選：A.

ex~2—1,(x..a\

8.已知函數(shù)/(x)=<2若函數(shù)/(X)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

—x—x+2,(x<a),

A.[-2,1)O(2,-H?)B,[-1,2)0[2,+oo)c.(-2,1]0(2,+oo)D.(-2,1]O[2,^O)

【答案】C

【解析】

【詳解】結(jié)合函數(shù)〉=/2—1與y=—必一x+2圖象可知：當(dāng)④—2時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)ae(—2,1]

時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)ae(l,2]時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)ae(2,+oo)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故選C.

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的研究，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

二、多選題（共3小題，每小題6分）

9.若收2＞慶2,則下列不等式一定成立的是（

11b+cb

A.a3>b3C.-<-D.---->-

aba+ca

【答案】AB

【分析】由題意可得。＞6且cwO,利用y=d是R上的增函數(shù)，可判斷A;利用y=是R上的減函

數(shù)，可判斷B；利用賦值法可判斷CD.

【詳解】因的2＞加2,所以。且cwO.

對(duì)于A,因?yàn)閥=d是R上的增函數(shù)，所以標(biāo)＞/,故A正確;

對(duì)于B,因?yàn)閥=是R上的減函數(shù)，所以（g），故B正確；

對(duì)于C,取a=l,b=-l,顯然有工＞!，故C錯(cuò)誤；

ab

b+c12h

對(duì)于D,取a=3,b=2,c=-l,顯然有一故D錯(cuò)誤.

a+c23a

故選：AB.

10.有以下判斷，其中是正確判斷的有（）

A.7%=巴Ixl與g(/x、)=l,x>0八表示同一函數(shù)

B.函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l的交點(diǎn)最多有1個(gè)

C./(%)=%2—2x+l與g(7)=產(chǎn)—2f+l是同一函數(shù)

「3~

D.函數(shù)丁=/(力的定義域?yàn)椋?,3］,則函數(shù)y=/(2x—1)的定義域?yàn)?,2

【答案】BCD

【解析】

【詳解】對(duì)于A,先求出兩函數(shù)定義域，由兩函數(shù)定義域不同即可判斷；對(duì)于B,由函數(shù)定義分函數(shù)

y=/(x)在X=1處有沒(méi)有定義即可判斷；對(duì)于C,由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系即可判斷；對(duì)于D,先由

函數(shù)y=/(x+l)定義域?yàn)椋?,2］得2WX+1W3,從而得函數(shù)y=/(2x—l)有2<2x—1<3,解該不等

式即可得解.

【分析】對(duì)于A,函數(shù)的定義域?yàn)椴?/0},函數(shù)g(x)=J；：^定義域?yàn)镽,

故函數(shù)/(%)和g(x)不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若函數(shù)y=/(x)在x=l處有定義，則y=/(x)的圖象與直線x=l的交點(diǎn)有1個(gè)，

若函數(shù)y=/(x)在％=1處沒(méi)有定義，則y=/(x)的圖象與直線x=l的沒(méi)有交點(diǎn)；

所以函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l的交點(diǎn)最多有1個(gè)，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=f—2x+l與g?)=/—2/+1的定義域均為R,

且兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，所以函數(shù)/(尤)與g(。是同一函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D,對(duì)函數(shù)y=y(x),其定義域?yàn)椋?,3］,

3

所以對(duì)函數(shù)y=/(2x—1)有2V2x—1<3,解得

~3-

所以函數(shù)y=/(2x—1)的定義域?yàn)?,2,故D正確.

故選：BCD.

11.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+。)。〉0,闡<5的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,6),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若/(%)的最小正周期是兀，則6y=2

B.若“力的圖象關(guān)于直線％=巴對(duì)稱，則0=1+3左(左eN)

C.若/(%)在o,|上單調(diào)遞增，則0的取值范圍是

25

D.若則〃尤)在[0,兀]上有且只有1個(gè)零點(diǎn)

【答案】ACD

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)“X)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)僅，百)求出。，根據(jù)正弦函數(shù)的周期即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)

的對(duì)稱性即可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷D.

【詳解】因?yàn)?(%)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)倒,、可，所以/(O)=2sin0=JL即sin°=岑，

又時(shí)＜：，所以9所以/(x)=2sin/x+|^,

對(duì)于A,因?yàn)?(%)的最小正周期是兀，所以7=生=兀，解得口=2,故A正確；

CD

對(duì)于B,因?yàn)?(%)的圖象關(guān)于直線x=《對(duì)稱，則”+]=]+E(左eZ),

又口〉0,所以。=1+6左(左eN),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由XC0,—,得0尤+1€+y,

zxjr7171717171

因/(X)在0,—上單調(diào)遞增，所以—,—(v+—o

一乙」LL

即一0)-\—<一,解得0<。W—即。的取值范圍是故C正確;

2323

7171

對(duì)于D,因?yàn)閤e[0,7i],所以+—,na)+—

33

25兀

因?yàn)橐唬肌＃家?所以兀K兀。+—＜2兀，

333

所以/(九)在[0,可上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故D正確.

故選：ACD.

三,填空題（共3小題，每小題5分）

3

12.已知sin（〃一二）=），貝!Jcos2a=—

7

【答案】-

【解析】

3

【分析】化簡(jiǎn)sin（〃—a）=《可得sin。，再由二倍角公式求cos2。.

3

【詳解】sin（7r-cr）=-,

,3

sma=—

5

又cos2a=l-2sin2a，

7

cos2a=——，

25

7

故答案為：—.

25

仆—3)二；則

13.設(shè)函數(shù)〃x)=<

log2(-x),x<0

【答案】1

【解析】

【分析】由分段函數(shù)解析式，根據(jù)周期性可得/Q023）=/（-2）,再代入解析式求值即可.

【詳解】由/(2023)=/(2023—675x3)=/(―2)=log2[-(-2)]=1.

故答案為：1.

1%2+九+177X

1y4l.函數(shù)y=--------與y=3sin$-+l的圖象有〃個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)依次為心,%），（々,%），…，

X

（乙，九），則X(%+%)=

J=1

【答案】4

【解析】

+1兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱中心均為（0,1）畫出

y=C="+],y=3sinW+l的圖象，由圖可知共有四個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于（0,1）對(duì)稱,

xx2

4

石+z=%+￡=0，，%+%=%+%=2,故za+x）=4，故答案為4.

i=l

四、解答題（共77分）

2

15.。=R,A-x|x-4%+3<0J,B-^x||x-3|<1},C=\x\a<x<tz+l,tzGR1.

（1）分別求Ac5,

（2）若C=C,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴[x\2<x<3],{小<3或x?4}

（2）（2,3）

【解析】

【分析】（1）先求出集合A3,進(jìn)而根據(jù)交集、并集及補(bǔ)集的定義計(jì)算即可;

（2）由題意可得。￡3,進(jìn)而結(jié)合包含關(guān)系求解即可.

小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳={x]%2—4x+3V0x|l<x<31,B=<j^x||x-3|<1x\2<x<

所以Ac5={x|2<%4

又2JB={X|XK2或xN4},

所以Au（2呂）={x\xK3或xN4}.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?C=C,所以

a>2

所以《,即2vav3,

〃+1<4

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（2,3）.

4A/31371

16.已知sin(TT-cr)=1廠,cos(a-尸)=P<a<~,

TT

(1)求sin(a+§)的值;

（2）求角夕的大小.

(1)至；(2)-

【答案】

143

【解析】

【分析】（1）先通過(guò)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出Sin。,cosa,進(jìn)而可求出sin（a+-）；

3

（2）先通過(guò)cos（a—分）求出sin（a-，），再通過(guò)以）51=85［。一（戊一1）］展開(kāi)可得答案.

【詳解】解：（1）因?yàn)閟in（?-a）=?乂5,所以sina=

77

因?yàn)?<。<2，所以cosa=J1一sin2c=>

27

.71..46116

所以sin(tz+y)=smacos——Fcosasm—=-----x—+—x——=-----；

33727214

13717L

(2)因cos(a-〃)=五，且0</?va<5，所以0<o

所以sin。一,)=yjl-cos2(a-J3)-~~~

cosp=cos[a-(a-夕)]=cosacos(a—，)+sinasin(tz一，)=gx+孚x哼=1

TT

因?yàn)?<尸<5,

兀

所以尸=§?

【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變形公式的應(yīng)用，是中檔題.

其中a>0且Qwl.

、[|x+l|,x<0/、

⑵設(shè)函數(shù)g(zx)=、1，請(qǐng)你在平面直角坐標(biāo)系中作出g(x)的簡(jiǎn)圖.

①根據(jù)圖象寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：

②求g(x)Wl的解集.

【答案】（1）fl=2J=log23

(2)圖象見(jiàn)解析；①[-1,0],(0,+“)；②[-2』.

【解析】

【分析】(1)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得。的值，再由/"+2)=3求解/的值；

(2)直接由函數(shù)解析式作出圖象；①由圖象可得函數(shù)的增區(qū)間，②求出滿足g(x)=l的無(wú)值，結(jié)合圖象可

得g(x)4l的解集.

【小問(wèn)1詳解】

由函數(shù)/(x)=ax-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)[1,J]可得a-？=1,

解得a=2,即/(耳=2、一2；

又〃/+2)=3,因此[+2-2=3,可得)=3，

解得f=log23；

【小問(wèn)2詳解】

|x+l|,x<0

易知g(x)=<

2x-l,x>0,

在平面直角坐標(biāo)系中作出g(x)的簡(jiǎn)圖如下:

①根據(jù)圖象可得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-1,0］和(0,+8)；

②由g(尤)=1可得x=-2或x=0或x=l；

結(jié)合圖象可得g(x)Wl的解集為［―2,1］.

18.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(tyx-§)+cos(t9x-萬(wàn))，其中0＜。＜3.已知/(§)=0.

(1)求0和y=/(x)的周期.

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平

yr7C71

移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在一三上的最值.

436_

13

【答案】(1)。=5，T=4萬(wàn)；(2)最小值-不，最大值也

【解析】

【分析】

(1)利用三角恒等變換化函數(shù)/(%)為正弦型函數(shù)，根據(jù)/(?)=0求出。的值，進(jìn)而可得周期；

JTTTJT2tJJ".

(2)寫出了(%)解析式，利用平移法則寫出g(x)的解析式，由得,

結(jié)合正弦函數(shù)可得結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)?(%)=sin(G%—工)+COS(G%—工)=LsinG%一cos5：+sincox

=-sincox-cos(ox=y/3sin(cox-—)

226

由題設(shè)知二0,

所以竺一四二女兀，左wZ,故@=工+34，keZ,

362

又0＜幻＜3,所以啰二一

2

27r

周期丁=一二4?

3

(2)由(1)得f(x)=A/3sin(—x---)

26

將函數(shù)y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1倍(縱坐標(biāo)不變),

得y=6sin[2x-j

JT

再將得到的圖象向左平移一個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象,

4

則g(x)=Gsin(2x+§,

7171n2〃

當(dāng)xe2%+fe

~3,~6

717T7T3

所以當(dāng)2%H—=—，即%=—時(shí)，g(%)取得最小值—，

3332

r)I'J/')I_

當(dāng)2%+耳=5,即％=正時(shí)，g(x)取得最大值班.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等變換與正弦型函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，將函數(shù)式化為

y=Asin(a)x+9)的形式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

19.已知函數(shù)/(x)=logfl-------(a＞0,awl)是奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)加的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)，，a,當(dāng)xc(p,a—2)時(shí)，函數(shù)/(九)的值域是。,+⑹.若存在，求出實(shí)數(shù)P,a；

若不存在，說(shuō)明理由；

⑶令函數(shù)g(x)=—成：2+6(%-1)/(*)—5,當(dāng)xe[2,3]時(shí)，求函數(shù)g(x)的最大值.

~9（1+19,0<aVl

93

【答案】⑴1；⑵存在實(shí)數(shù)。=2+若，。=1；⑶g(x)

maxa2

3

—4ci+13,〃2—

I2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得有〃-x)+/(x)=O,即

1+1—vny

log,-----+log,-----=0,解可得：m=±l,結(jié)合對(duì)數(shù)的定義驗(yàn)證即可得答案；

x-l-X-1

(2)分類討論，利用當(dāng)xe(pM—2)時(shí)，函數(shù)八％)的值域是(L+8),可得結(jié)論；

⑶化簡(jiǎn)得g(x)=—“r2+6x+l,xe[2,3]且a>0,awl,分類討論，求出函數(shù)g(x)的最大值.

I+True

【詳解】(1)根據(jù)題意，函數(shù)/'(x)=k)ga-----(a>0,awl)是奇函數(shù)，