重難點專題21三角函數壓軸小題十五大題型匯總

題型1新文化問題................................................................1

題型2新定義問題................................................................3

題型3黃金分割相關問題..........................................................4

題型4扇形相關問題..............................................................6

題型5三角函數公式相關問題......................................................9

題型6三角函數性質問題.........................................................10

題型7識圖問題.................................................................11

題型8湊角求值問題.............................................................14

題型9最值相關問題.............................................................15

題型103相關問題..............................................................16

題型11⑴相關問題...............................................................17

題型12實際應用問題............................................................18

題型13恒成立問題..............................................................21

題型14零點相關問題............................................................22

題型15與數列相關問題..........................................................23

題型1新文化問題

【例題1】(2023秋?江蘇蘇州?高三統考開學考試)我國人臉識別技術處于世界領先地位.所

謂人臉識別，就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.

假設二維空間中有兩個點4(肛％),BQ2,及)，O為坐標原點，余弦相似度為向量雨，而夾

角的余弦值,記作cos(4B),余弦距離為1-cos(A,B).已知P(cosa,sina),Q(cos/7,si呼),R

(cosa,-sina),若P,Q的余弦距離為tana?tan。=則Q,R的余弦距離為()

A.-2RD--3CJ-4D-7

【變式1-1]1.(2023?全國?高三專題練習)法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一

個幾何定理："以任意三角形的三條邊為邊向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形

的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點”.如圖，在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b

,c,且10(sin等丫=7-COS2A以4為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依

次為。1,。2,。3.則角a=

【變式1-1】2.（2023?全國?鎮海中學校聯考模擬預測）天文學家、數學家梅文鼎，為清代

"歷算第一名家"和"開山之祖"，在其著作《平三角舉要》中給出了利用三角形的外接圓

證明正弦定理的方法.如圖所示，在梅文鼎證明正弦定理時的構圖中，。為銳角三角形4BC外

接圓的圓心.若sin/BAC=苧，則COS2/0BC=（）

【變式1-1】3.（2023春?河北石家莊?高三校聯考階段練習）古希臘畢達哥拉斯學派在公元

前6世紀研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割值約為0.618,這一數值也可

以表示為a=2cos72°,貝廣^^=.

【變式1-1】4.（2023?浙江?校聯考二模）數學里有一種證明方法叫做

Proofwithoutwords,也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的

數學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時被認為比嚴格的數學證明更為優雅與有條

理.如下圖，點c為半圓。上一點，垂足為H,記/。。8=依貝!］由tanz_BCH=器可

以直接證明的三角函數公式是（）

c

AOHB

A.tan；=-^-B.tan；=-f^-

21—cos^2l+cos^

4.,?01-COS0c.1+cos。

Urta%=F^D.ta%=多廠

【變式1-115.（2023?江蘇南京?南京航空航天大學附屬高級中學校考模擬預測）我國古代

數學家僧一行應用"九服號影算法”在《大衍歷》中建立了暑影長I與太陽天頂距。

（0。＜。＜90。）的對應數表，這是世界數學史上最早的一整正切函數表.根據三角學知識可

知，暑影長度I等于表高h與太陽天頂距。正切值的乘積，即/=htan。，對同一"表高"兩

次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為a、P,若第一次的"號影長"是"表高"的3

倍，且tan（a—8）=1則第二次“號影長"是"表高"的（）倍.

A.1B.|C.|D.I

【變式1-1】6.（2022秋?安徽合肥?高三校考期中）數學必修二101頁介紹了海倫-秦九韶

公式：我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中，提出了已知三角形三邊

長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高

的數學水平，其求法是："以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大

斜幕減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積若把以上這段文字寫成公式，即5=

J強2c2_（七）］,其中&b、c分別為△ABC內角4艮c的對邊.若宗等=熹,

b=2,則△ABC面積S的最大值為（）

A.y/3B.V5C.2D.V2

題型2新定義問題

【例題2】（2023?湖南長沙?長沙市實驗中學校考二模）正割（Secant）及余割

（Cosecant）這兩個概念是由伊朗數學家、天文學家阿布爾?威發首先引入，sec,esc這兩

個符號是荷蘭數學家基拉德在《三角學》中首先使用，后經歐拉采用得以通行.在三角中,

定義正割seca=高，余割csca=熹.則函數f(刀)=去+總的值域為()

A.[—1,1]B.[—

C.[-2,2]D.[-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2]

【變式2-1】1.(多選)(2023?安徽安慶?安慶一中校考模擬預測)正割(Secant)及余割

(Cosecant)這兩個概念是由伊朗數學家、天文學家阿布爾?威發首先引入，sec,esc這兩個

符號是荷蘭數學家基拉德在《三角學》中首先使用，后經歐拉采用得以通行.在三角中，定

1111

義正割seca=—,余割csca=/京.已知函數f(x)=京+京，給出下列說法正確的是

bllI14-(-九人

()

A./(%)的定義域為｛K|%豐k-nkez｝；

B./(x)的最小正周期為2n；

C.f(久)的值域為[-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2]；

D./(x)圖象的對稱軸為直線x=—￡+kir(kez).

【變式2-1]2.(2023?全國?高三專題練習)一般地，存在一個幾次多項式〃(久)，使得cosnx

22

=7\(cos久)，這些多項式rn(久)稱為切比雪夫多項式.由cos2x=2cosx-1,知R。)=2x

-1,通過運算，可以得到cos3x的切比雪夫多項式J")=—,結合上述知識計算cos

36°=.

題型3黃金分割相關問題

【例題3】(2022?貴州安順?統考模擬預測)黃金分割點是指將一條線段分為兩部分，使得

較長部分與整體線段的長的比值為亨的點.利用線段上的兩個黃金分割點可以作出正五角

星，如圖所示，已知C,D為AB的兩個黃金分割點，研究發現如下規律：笨=登=等=

亨.若等腰十口￡的頂角”口=8,則cose=()

E

l強_]B遮+]C3yD3+西

?4?4?8?8

【變式3-1】1.（2023?江西?校聯考二模）被譽為"中國現代數學之父”的著名數學家華羅

庚先生于1946年9月應普林斯頓大學邀請去美國講學,之后又被美國伊利諾依大學聘為終

身教授.新中國成立的消息使華羅庚興奮不已，他放棄了在美國的優厚待遇，克服重重困難,

終于回到祖國懷抱，投身到我國數學科學研究事業中去.這種赤子情懷，使許多年輕人受到

感染、受到激勵，其中他倡導的"0.618優選法"在生產和科研實踐中得到了非常廣泛的應

用，0.618就是黃金分割比匕=亨的近似值，黃金分割比還可以表示成2sinl8。，則

A.-4B.4C.-2D.2

【變式3-1】2.（2023?全國?高三專題練習）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研

究過正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割均為0.618,這一數值也可以表示為4=2

sinl80,則管穿=（）

A.1B.1C.孝D.唱

【變式3-1]3.（2023?全國?高三專題練習）黃金分割比例廣泛存在于許多藝術作品中.在

三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認為是最美的三角形,

它是兩底角為72。的等腰三角形.達?芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個畫面里形成了一

個黃金三角形.如圖，在黃金三角形ABC中，第=亨，根據這些信息，可得sin540=

A2V5-lg逐+1

?4°4

r遮+4口遮+3

?8,8

A

【變式3-1]4.（2023?遼寧?大連二十四中校聯考三模）隨著智能手機的普及，手機攝影越

來越得到人們的喜爰，要得到美觀的照片，構圖是很重要的，用"黃金分割構圖法”可以讓

照片感覺更自然.更舒適，"黃金九宮格"是黃金分割構圖的一種形式，是指把畫面橫豎各

分三部分，以比例1：0.618:1為分隔，4個交叉點即為黃金分割點.如圖，分別用4BCD

表示黃金分割點若照片長、寬比例為4:3,設=a,則告著-tana=（）

DC

AB

題型4扇形相關問題

【例題4】（2023秋?貴州?高三統考開學考試）已知"水滴"的表面是一個由圓錐的側面和

部分球面（常稱為"球冠"）所圍成的幾何體.如圖所示，將"水滴"的軸截面看成由線段

AB,AC和優弧BC所圍成的平面圖形，其中點B,C所在直線與水平面平行，AB和AC與

圓弧相切.已知"水滴"的"豎直高度"與"水平寬度"（"水平寬度”指的是平行于水平

面的直線截軸截面所得線段的長度的最大值）的比值為￡則sinNB4C=（）

【變式4-1】1.（多選）（2023?全國?高三專題練習）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，

其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜爰.古人曾有詩贊曰："開合清風紙半張,

隨機舒卷豈尋常；金環并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形COD,

其中NC。。=第OC=3OA=3,動點P在而上（含端點），連接0P交扇形04B的弧近于

A.若y=2x,則而?而=一|7^B.x+ye[|,|]

C.PA-~PB>YD.AB-PQ>-2

【變式4-1]2.（2023春?廣東深圳?高三校考階段練習）以乙4cB的頂點C為圓心作圓交角

的兩邊于A,B兩點；取線段力B三等分點O,D;以B為焦點，A,D為頂點作雙曲線，與

圓弧AB交于點E,連接CE,貝此4cB=3NBCE.若圖中CE交力B于點P,SAP=6PB,貝JcosN

ACP=

【變式4-1】3.（2023?河南焦作統考模擬預測）如圖，已知P,Q分別為乙4OB兩邊上的點,

^AOB=f,PQ=3,過點P,Q作圓弧，R為所的中點，且"QR=顏］線段。R長度的最大

【變式4-1】4.（2022?全國?高三專題練習）為創建全國文明城市，上饒市政府決定對某小

區內一個近似半圓形場地進行改造，場地如圖，以。為圓心，半徑為一個單位，現規劃出

以下三塊場地，在扇形AOC區域鋪設草坪，△OCD區域種花，△OBD區域養殖觀賞魚，

若乙4OC=NCOD,且使這三塊場地面積之和最大，則cos乙4OC=.

【變式4-1】5.（2022?湖北?恩施市第一中學校聯考模擬預測）共和國勛章，是中華人民共

和國最高榮譽勛章，授予在中國特色社會主義建設和保衛國家中作出巨大貢獻、建立卓越功

勛的杰出人士.2020年8月11日，國家主席習近平簽署主席令，授予鐘南山“共和國勛章”.

某市為表彰在抗疫中表現突出的個人，制作的榮譽勛章的掛墜結構示意圖如圖，0為圖中

兩個同心圓的圓心，三角形ABC中，AB=AC,大圓半徑。4=2,小圓半徑。B=0C=1,

記S為三角形OAB與三角形OAC的面積之和.設陰影部分的面積為S,當S，-S取得最大值

時cosNBOC=

A

掛哈結構示意圖

題型5三角函數公式相關問題

【例題5】（2023秋?江蘇南京?高三統考階段練習）已知aGQn）,且3tana=10cos2a,則

cosa可能為（）

A_Vw_V5VwV5

RrnU

A.10D-5J10-5

【變式5-1】1.（2023?全國?高三專題練習）已知0<a<3<2兀，函數/（x）=5sin

（久一今，若/'（a）=/（0）=1,則cos（8—a）=（）

A.||B.-||C.|D.

【變式5-1】2.（2023?全國?高三專題練習）已知銳角三角形4BC的內角A,B,C所對的

7

邊分別是a,b,C,目力〉B,若sinC=2cos4sinB+元，則tanB的取值范圍為.

【變式5-1】3.（2023秋?黑龍江七臺河?高三勃利縣高級中學校考階段練習）在“BC中,

已知sin4sinBsin（C-8）=Asin2C,其中tan。=|（0<6?<%若高+高+高為定值，則

實數4=.

【變式5-1】4.（2023?全國?高三專題練習）在直角坐標系中，△ABC的頂點4（cosa,sina

),B(cosS，sin￡),C(竽,2偽,且△ABC的重心G的坐標為(竽,&)，cos(a-0)=

【變式5-1】5.（2022?全國?高三專題練習）已知點G是aABC的重心，目G41GC,若

+熹=1,貝!JtanB的值為

【變式5-1】6.（2021秋?四川成都?高三成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考期中）在

△4BC中，已知sinAsinBsin(C-0)=Asin2C,其中tan。=|(其中0<8<5)，若意+高

+高為定值，則實數4的值是（）

A.嚼B.坐C.國D.普

題型6三角函數性質問題

【例題6】（多選）（2023?全國?高三專題練習）（多選題）設函數f（x）=cos（（3"—,）+學

3>0）,若f（x）的圖象與直線y=-1在［0,2汨上有且僅有1個交點，則下列說法正確的是

（）

A.3的取值范圍是黑第

B.人久）在［0,2汨上有且僅有2個零點

C.若f（x）的圖象向右平移各個單位長度后關于y軸對稱，則3=g

D.若將/（久）圖象上各點的橫坐標變為原來的，得到函數以久）的圖象，則g（x）在|。用上單

調遞增

【變式6-1】1.（多選）（2023秋河南鄭州?高三鄭州外國語學校校考階段練習）設函數/（

%）的定義域為R,f（x-當為奇函數，/（久+5為偶函數,當xe［—甥］時，/（x）=cosx,則

下列結論正確的是（）

A./（爭=WB./（X）在（3TT,4TT）上為減函數

C.點（手,0）是函數f（x）的一個對稱中心D.方程/⑶-lgx=o僅有3個實數解

【變式6-1】2.（多選）（2023?全國?高三專題練習）關于函數f（x）=2sin洗一3sin|%|

+1,以下說法正確的有（）

A.f（x）是偶函數

B./（X）在區間（―?0）上單調遞增

C.f（X）在［—Bn］上有4個零點

D.久久）的值域是［―5,6］

【變式6-1］3.（2023秋?黑龍江鶴崗?高三鶴崗一中校考開學考試）已知函數人久）=謁cos

x-m-2，+i的圖象和函數g（x）=聶—3的圖象有唯一交點，則實數m的值為（）

A.1B.3C.—1或3D.1或3

【變式6-1]4.（2023秋?河南信陽?高三信陽高中校考階段練習）已知函數〃“）=sin（cos

x）+cos（sinx）,則下列結論錯誤的是（）

A.VxeR,/（x—2TT）=/（x）

B.V%G[0,n],/（x+n）>0

c.八久）是奇函數

D./（久）的最大值大于迎

【變式6-1】5.（2023秋?河南?高三校聯考開學考試）已知函數八久）=cos（3久+0）,e

N+,”[0,n],在％e（一年,以內恰有兩個極值點，目/■（一芟）+胞）=0,貝切的所有可

能取值構成的集合是.

【變式6-1】6.（2023秋?北京?高三北京市陳經綸中學校考開學考試）已知函數/'（X）=2sin

（3X+w）+1（3>0,|卬|</）,滿足/'（久）+/（-5一乂）=2,且對任意x€R,都有/'（x）2f

（-/，當3取最小值時，則下列正確的是.

①/⑶圖像的對稱軸方程為X="+等kez

②f（x）在[—工，&上的值域為[2,3]

③將函數y=2sin（2x—勺+1的圖象向左平移區單位長度得至II函婁好⑴的圖象

④/⑶在已同上單調遞減.

題型7識圖問題

10?^1]#6

已知/（x）=4sin（3x+0）（4>0,w>0）的部分圖象求其解析式時，4比較容易看圖得出，

困難的是求待定系數3和◎,常用如下兩種方法：

⑴由3=年即可求出3；確定0時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的"零點"

橫坐標%0,則令3*0+9=0（或3久o+W=兀），即可求出

（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或"零點"）坐標代入解析式，再結合圖

形解出3和0,若對43的符號或對0的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.

【例題7】（2023?北京?高三專題練習）已知函數+

部分圖象如圖1所示，4B分別為圖象的最高點和最低點，過4作無軸的垂線，交x軸于4,

點C為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時

\AB\-Vioz貝!M=

給出下列四個結論:

TT

①0=5；

②圖2中，AB-AC^S;

③圖2中，過線段AB的中點且與4B垂直的平面與久軸交于點C;

④圖2中，S是△48C及其內部的點構成的集合股集合T={QeS||42|W2},貝療表示的區

域的面積大轉.

其中所有正確結論的序號是—.

【變式7-1]1.（2021秋?重慶銅梁?高三銅梁一中階段練習）已知函數/（%）=2sin?x+（p

）（3>0）,無€[—會知的圖像如圖，若/Q1）=/（尤2）,且久1大刀2,則/。1+%2）的值為

A.V3B.V2C.1D.0

【變式7-1】2.（2022?全國?高三專題練習）如圖，點P（-2,a）和點Q（l,b）分別是函數

/'（%）=4sin（3x+0）cos（3久+力（4>0,3>0,0<。<與圖像上的最低點和最高點，若

P、Q兩點間的距離為5,則關于函數。（久）=4cos（3x-2。）的說法正確的是（）

A.在區間［-4,2］上單調遞增B.在區間［0,6］上單調遞減

C.在區間［1,7］上單調遞減D.在區間［4,10］上單調遞增

【變式7-1】3.（2020?全國?高三專題練習）如圖，函數f（x）=4sin（3X+9）（其中

力>0,3>0,|<p|<5與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P（2,0）,乙PQR，M為QR的

中點，PM=2V5,貝!M的值為（）

A.^/3B.p/3C.8D.16

【變式7-1】4.(2022?浙江?高三專題練習)如圖，直線AB與單位圓相切于點0,射線OP

從。4出發，繞著點。逆時針旋轉，在旋轉分入過程中，記乙48=穴0<”<兀)，OP經過的

單位圓。內區域(陰影部分)的面積為S,記S=f(久)，對函婁好(久)有如下四個判斷:

①當久=苧時，5=^+|;

②xe(o,兀)時，f(x)為減函數；

③對任意Xe(o)?,都有府7)+府+支)=兀;

④對任意％e(o,(),都有f停+")=/?+?

其中判斷正確的序號是

題型8湊角求值問題

三角函數求值的類型及方法

(1)"給角求值"：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊

角總有一定關系.解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數公式轉化為特殊角的三角

函數.

(2)"給值求值"：給出某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在

于“變角"，使其角相同或具有某種關系.

(3)"給值求角"：實質上也轉化為"給值求值"，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的

式子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角，有時要壓縮角的取值范圍.

【例題8】(2020?全國?高三專題練習)若ae[(U],—AER,且a3—cosa—22

=0,6一2/7)—2sin￡cosS—24=0,若cosa=亮，貝[jtan。=()

A.1B.|C.V3D.3

【變式8-1]1.(2023?江蘇徐州?校考模擬預測)已知sin(2a—卷=辛，則tan(a+f)tan(

a+合=-

【變式8-1】2.(2022?全國?高三專題練習)已知點P(0,m)是y軸上到省1,1)網2,4)距離和

最小的點，且cos(a—卞=巳貝|sin(2a—)的值為(用數據作答).

【變式8-1】3.(2023?全國?高三專題練習)已知cos(2a-()=tanatan(a—=P,

則正常數p的值為.

【變式8-1】4.(2020?全國?高三專題練習)已知8cos(2a+0)+5cos0=0,且cos(a+0

)cosa*0,則tan(a+￡)tana=.

題型9最值相關問題

【例題9】(2022秋?山東青島?高三校考階段練習)在3BC中,C=90°,若XWR,則f(x)

=sin(x+A)+sin(x+B)的最大值為()

A.V2B.1C.2D.辛

【變式9-1】1.(2022秋?江蘇常州?高三校考開學考試)已知a/,y是互不相同的銳角，則

1

在sinacosS，sin￡cosy,sinycosa三個值中，大為的個數的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【變式9-1】2.(2022秋?山東青島?高三統考期中)已知8￡(0,^,則盛+磊—2揚an

。的最小值為()

A.8B.12-2V2C.6D.5

【變式9-1】3.（2020?全國?高三專題練習）如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原

點），4（1,0）,“OB=可.點P（x,y）是4B上任意一點，則xy+x+y的最大值為（）

A.吟-'B.1C.乎+JD.V2+1

42422

【變式9-1】4.（2023?全國?高三專題練習）△說中,角A,B,C滿足cos24-cos2O=2

sinC（sinB-sinC）,則百焉+焉的最小值為

【變式9-1】5.（2023秋?重慶?高三重慶一中校考開學考試）在△ABC中，若sinA=2cosB

cose,則COS2B+cos2c的最大值為.

【變式9-1]6.（2022秋?河北?高三校聯考階段練習）定義在R上的函婁好。）單調遞減，

且滿足/（1㈤+/（1+%）=0,對于任意的即滿足/'（acosa）+/（bsina）20恒成立，貝!Ja+6的最

大值為.

題型1。3相關問題

【例題101（2022秋?福建龍巖?高三福建省龍巖第一中學校考階段練習）已知函數/（久）=sin

5+aCOS3x（a>0,3>0）圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離小于兀，/②=V3,且/（久）<f

七），則3的最小值為.

【變式10-1】1.侈選）（2023?河北秦皇島校聯考二模）已知函數/（*）=sin（s+B⑷>0）

是在區間得,給上的單調減函數，其圖象關于直線x=-敘寸稱，目/■仁）+匈）=0,則3

的值可以是（）

A.4B.12C.2D.8

【變式10-1】2.（2023福建泉州統考模擬預測）已知函數八x）=2sin（g—勺+或（3

>0）在[0,2]內有且僅有3個零點，貝必的值可以是（）

A.3B.5C.7D.9

【變式10-113.（2023?河北唐山?模擬預測）已知4B,C為f（%）=sins與g（%）=coss的

交點，若△力BC為等邊三角形，則正數3的最小值為.

【變式10-1】4.（2023秋?安徽?高三宿城一中校聯考階段練習）已知函數f（x）=3sin

（5—乎（3>0）,當xe[o用時，函數/（x）的最大值為3,則滿足條件的3的個數

為.

題型相關問題

【例題11】（2023?全國?高三專題練習）已知/（%）=sinxcosx+V3cos2^,若對任意實數x

都有f⑺=asin（s+租）+冬其中43GR,（pG[0,3Tt）,則9的所有可能的取值有（）

A.2個B.4個C.6個D.8個

【變式11-1]1.（2023?內蒙古赤峰?校聯考一模）在函數外嗎=sin（2x-<p）（<p>0）圖象

與x軸的所有交點中，點住,。）離原點最近，貝加可以等于（寫出一個值即可）.

【變式11-D2.（2022秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學校考期中）將函婁好（%）=2

sin2久的圖象向右平移a（0<卬<兀）個單位后得到函數g（x）的圖象，若對滿足If（久。-。（久2

）|=4的5、x2,有Z-冷1的最小值為*則9=-

【變式11-1]3.（2022?安徽?南陵中學校聯考模擬預測）將函數f（久）=2sinx-1的圖象上

所有點的縱坐標伸長為原來的2倍，再向下平移1個單位長度，最后向左平移9@>0）個

單位長度，得到函數9。）的圖象.若對任意4e[oj],都存在冷e[冶川,使得/（久1）=93）,

則W的值可能是（）

A△.-4DQ.—12CJ—12D—4

題型12實際應用問題

【例題12】（2023秋?內蒙古赤峰?高三統考開學考試）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉

工具，既經濟又環保.明代科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖

1）.假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動，如圖2,將筒

車抽象為一個半徑為10的圓。，設筒車按逆時針方向每旋轉一周用時120秒，以筒車的中

心O為原點，線段OA,OB所在的直線分別為x,y軸建立如圖所示的直角坐標系（A,B

為圓。上的點）,分別用f（t）,g（t）表示t秒后A,B兩點的縱坐標，則y=f（t）,g（t）的最

大值為（）

圖1圖2

A.50B.75C.50V3D.100

【變式12-1】1.（多選）（2023春?福建廈門?高三廈門一中校考期中）筒車是我國古代發

明的一種灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用.明朝科學家徐光啟在

《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）.現有一個半徑為3米的簡車按逆時

針方向每分鐘旋轉1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米.設筒車上的某個盛水筒P到水

面的距離為d（單位：米）（在水面下則為負數），若以盛水筒剛浮出水面開始計算時間，設

時間為t（單位：秒），已知COS48。4,貝（）

A.d=2-3cos德t+8）,其中cos。=I，且8e（0,1）

B.d=3sin德t+g）+2,其中sin。=—|,且9e（—5,（））

C.大約經過38秒，盛水筒P再次進入水中

D.大約經過22秒，盛水筒P到達最高點

【變式12-1]2.（2021秋?江蘇蘇州?高三蘇州市相城區陸慕高級中學校考階段練習）如圖,

某大風車的半徑為2米，每12秒旋轉一周，它的最低點0離地面1米，點。在地面上的

射影為A.風車圓周上一點M從最低點0開始，逆時針方向旋轉40秒后到達P點則點P

到點A的距離與點P的高度之和為

4地面

A.5米B.（4+歷米

C.（4+g）米D.（4+回）米

【變式12-1]3.（2021秋河南洛陽?高三校聯考階段練習）水車在古代是進行灌溉引水的

工具，是人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為

R的水車，一個水斗從點4（3四-3）出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時

60秒，經過t秒后，水斗旋轉到P點，設P的坐標為(%,y),其縱坐標滿足y=f(t)=Rsin(o)t

+<p)(t>0,1^1<5,則下列敘述正確的是

②當te[35,55]時，點P到x軸的距離的最大值為6;

③當te[10,25]時，函數y=f(t)單調遞減；

④當t=20時,\PA\=6V3

【變式12-1】4.(2023秋?江蘇蘇州?高三蘇州中學校考階段練習)某小區有一個半徑為r

米，圓心角是直角的扇形區域，現計劃照圖將其改造出一塊矩形休閑運動場地，然后在區域

I(區域ACD),區域II(區域CBE)內分別種上甲和乙兩種花卉(如圖)，已知甲種花卉每

平方米造價是a元，乙種花卉每平方米造價是3a元，設zBOC=e,中植花卉總造價記為/

⑻，現某同學已正確求得：f(9)=ar2g⑼,則g(°)=;種植花卉總造價最小

值為.

1、根據題意問題轉化為已知條件轉化為三角函數的解析式和圖象，然后在根據數形結合思

想研究三角函數的性質，進而加深理解函數的性質.

2、熟練應用三角函數的圖象與性質，結合數形結合法的思想研究函數的性質（如：單調性、

奇偶性、對稱性、周期性與最值等），進而加深理解函數的極值點、最值點、零點及有界性

等概念與性質，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯解.

【例題13】（2023秋?四川成都?高三樹德中學校考開學考試）已知函數/⑶=acos（2x-^）

+6sinxcos久一2cos2久+1的圖象關于直線久=手對稱.若對任意治中,品，存在冷€

（0,+8）,使/勺）<2*+，川成立，則m的取值范圍是（）

111

A.m>—1B.m>--C.m>--D.m>

Z4o

【變式13-1]1.（2023秋?四川成都?高三樹德中學校考開學考試）已知函婁好（X）=acos

（2支一勺+6sin久cosx-2cos2久+1的圖象關于直線x=多對稱.若對任意久i￡[o,y],存在

21

mx

%2e（0,+8）,使人久1）<2z+及+已成立,則m的取值范圍是（）

111

A.m>—1B.m>--C.m>--D.m>

Z4o

【變式13-1J2.（2023春?河南許昌?高三鄢陵一中校考階段練習）已知函數f（x）=2sinxcos

x+4cos2x-1,若實數a、b、C使得af（x）-+c）=3對任意的實數x恒成立，則2a+

b一cose的值為()

A.1B.|C.2D.|

【變式13-1]3.（2021秋?重慶巴南?高三重慶市清華中學校校考階段練習）若不等式nicos

%-cos3x-i<0對任意久￡（0,9恒成立，則實數小的取值范圍是（）

A.（-8,-HB.（-oo,-2]C.（-oo,1]D.（—8,胃

【變式13-1】4.（2020?浙江紹興統考模擬預測）若不等式缶—|x—勿）?sin（%+J）<O.對

XW[0,2TTT恒成立，則sin(a+b)和sin(a-b)分別等于()

A.苧孝B.V2._V2C.V2.V2D.V2._V2

【變式13-1】5.侈選）（2022秋?山西臨汾?高三統考階段練習）已知函婁好（久），尸㈤是其

導函數，Vxe(o,。/(久)3久+/(久)5也%=111%恒成立，貝［］()

A.［慮)+向(非osl>鬲⑴B.(V3-l)/@<V2/(§)

C.V2/g)<W心D.2心>(V3+1)6)

題型14零點相關問題

羊，過重魚

已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數的圖象，利用數形結合的方法，合理轉化求解.

(AAAAAAAA/SAAAA/SAA/WSAAAAAAAAAA/SAAA/WSAA/WW/SAAAAAA/SAAA/VSAA/WSAAAAA/WSAAAA/SAAAA/SAAAAAAAAAA/WSAA/SAAA/XAAAA/WVWXAAA

【例題14】(2023?全國?高三專題練習)已知y=/(x),xeR滿足f(x+2)=/(x—2),「

(0)=o,當xe(0,4)時，f。)=log2±.已知g(x)=2sin&+n),則函數y=/(x)-g(x

),乂6[-4,8]的零點個數為,這些零點的和為

【變式14-1】1.(2023秋?四川南充?高三四川省南充高級中學校考階段練習)已知定義在

R上的奇函數/'(x)滿足/(2-x)+/(%)=0,當(0,1]時，/(%)=-\oQ2X.若函數F(x)=

/(x)-sin?rx在區間[_1,詞上有10個零點，則實數m的取值范圍是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5.5,5]D.[5.5,5)

【變式14-1】2.(2023春?天津南開?高三南開大學附屬中學校考階段練習)已知小>0,

f(x—2)ln(x+1),—1<%<m,

函數fQ)=ccJ%+嗚巾VYVk恰有3個零點，則m的取值范圍是()

A.卜碧)小學B.2制小明C.(0制“2制D.(0涔)“2片

【變式14-1]3.(2023?天津?高三專題練習)已知定義在R上的函數y=/(%)是偶函數，當

psin-%,0<%<1

XN0時，/'(%)=]口+3?，若關于久的方程[/(久)]2+a/(x)+b=o(a,beR),有

C+/>]

且僅有6個不同實數根，則實數a的取值范圍是()

A.(-4,-1)B.(-4,-j)

C.D.(-4,-|)u(-i,-|)

【變式14-1］4.(2023?全國?高三專題練習)已知定義在R上的偶函數久)，當無>。時滿

4cosxsin(x+—)—1,0<%<-

足/(%)=(-6+_3TX6，關于X的方程［f(x)F+2好(久)+2=0有且僅有6

卬+2'X>6

個不同實根，則實數。的取值范圍是.

題型15與數列相關問題

【例題15】(多選)(2023?全國?高三專題練習)如圖，Pi是一塊半徑為1的圓形紙板，在Pi

的左下端前去一個半徑為曲勺半圓后得到圖形P2,然后依次剪去一個更小半圓(其直徑為前

一個前掉半圓的半徑)得圖形「3,「4,…,Pn，…，記紙板外的周長為面積為方,則下列說

法正確的是()

C.=@一0]+(1)D.Sn+i=Sn—嬴7

【變式15-1】1.(2023?上海虹口?上海市復興高級中學校考模擬預測)已知f(x)=sinx+

In%,將y=f(x)的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數列｛久J對于正整數n,甲：

(n-l)n<xn<nn;乙:限—若叫為嚴格減數列，則().

A.甲正確，乙正確B.甲正確，乙錯誤

C.甲錯誤，乙正確D.甲錯誤，乙錯誤

【變式15-1】2.(2023春?上海寶山?高三上海交大附中校考階段練習)將關于x的方程2sin

(2x+tn)=1(t為實常數，0<t<1)在區間［0,+8)上的解從小到大依次記為久1，冷,…,xn

設數列｛功｝的前n項和為〃，若「OWIOOTT,貝！Jt的取值范圍是.

【變式15-1】3.（2023?全國?高三專題練習）數列｛*滿足tanan=懸百，ane（0,^）,Sn

為｛即｝的前n項和，若Sn<k,貝此的范圍為-

【變式15-1]4.（2021福建廈門?廈門一中校考一模）已知f（x）=tan%,數列｛a“｝滿足：

對任意九€N*,ane（0,^）,且f（即+i）=77?，則使得sina】?sig…sinak〈表

成立的最小正整數k為.

【變式15-1】5.（多選）（2023?全國?高三專題練習）已知單位圓。的內接正n邊形4遇2&…

4的邊長、周長和面積分別為即，〃，Sn,則下列結論正確的是（）

AcTC卜LfiIT

A.a=2cos-B.~—=cos-

“nnL2n2n

c.=|D.O+（2_Jn）2=4

1.（2020?北京?統考高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（兀Day）.歷

史上，求圓周率兀的方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術"相似.數學家阿爾?卡西的

方法是：當正整數n充分大時，計算單位圓的內接正671邊形的周長和外切正671邊形（各邊均

與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術平均數作為2兀的近似值.按照阿爾?卡西的方

法，兀的近似值的表達式是（）.

A.3n（sin迎+tan型）B.6n（sin型+tan%）

C.3n（sin%+tanD.6n^sin。+tan

2.（2022?全國?統考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收

錄了計算圓弧長度的"會圓術"，如圖，通是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是AB的

中點，D在而上，CDLAB."會圓術"給出通的弧長的近似值s的計算公式：s=+

巖.當。A=2/AOB=60。時，s=（)

A11-3心o11-4gQ9-36D9-4右

?2?2?-2-?-2-

3.(2023?湖南婁底?統考模擬預測)等腰三角形的底與腰之比是黃金分割比的三角形稱為

黃金三角形，它是一個頂角為36。的等腰三角形.如圖，五角星由五個黃金三角形與一個正

五邊形組成，其中一個黃金△4BC中，篇=年，記五角星中陰影部分的面積是S陰，中間

空白正五邊形的面積是S白，則駕=()

A.2+V5B.2-V5C.D.V5

4.(2020?黑龍江哈爾濱?哈九中校考二模)已知函數｛x)=—gcos2x—a(sinx—cosx),且

對于任意的燈,久2e(-OO,+8),當X1豐尤2時都有<1成立，則實數a的取值范圍是

()

A.[f]B.[一爭1C.[一|閣D.[-1,1]

5.(2023?河南統考三模)已知函數;'(xLasins+bcoss,其中3>0,若函數滿足以

下條件：

①函數/(x)在區間即/n]上是單調函數；②/(久)<|也)的任意xeR