專(zhuān)題06分式方程及應(yīng)用的核心知識(shí)點(diǎn)精講

o復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.了解分式、分式方程的概念，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感.

2.熟練掌握分式的基本性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行分式的約分、通分和加減乘除四則運(yùn)算，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力與

代數(shù)恒等變形能力.

3.能解決一些與分式有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，具有一定的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和應(yīng)用意識(shí).

O考點(diǎn)板理O

一分母中含有未知數(shù)的方程

「1方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程

r2.解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解

13.檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0,則這個(gè)解是原分式方程的解

若最簡(jiǎn)公分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.

解題步驟：審，設(shè)，歹U,解，檢驗(yàn)，答

常見(jiàn)類(lèi)型

?笑典例引領(lǐng)

【題型1：分式方程及其解法】

【典例1】（2024?廣東廣州?中考真題）解方程：白=1

之弓即時(shí)檢測(cè)

2x

1.（2024?陜西?中考真題）解方程：—+—=1.

工”一11

2.（2024?福建?中考真題）解方程：亮+1=^.

3.（2019?上海?中考真題）解分式方程：鳥(niǎo)-二==1

x—Zx^—2x

*弓典例引領(lǐng)

【題型2：分式方程的應(yīng)用】

【典例2】(2024?山東德州?中考真題)某校開(kāi)設(shè)棋類(lèi)社團(tuán)，購(gòu)買(mǎi)了五子棋和象棋.五子棋比象棋的單價(jià)少8

元，用1000元購(gòu)買(mǎi)的五子棋數(shù)量和用1200元購(gòu)買(mǎi)的象棋數(shù)量相等.

⑴兩種棋的單價(jià)分別是多少？

(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購(gòu)買(mǎi)五子棋和象棋共30副，根據(jù)學(xué)生報(bào)名情況，購(gòu)買(mǎi)五子棋數(shù)量不超過(guò)象棋數(shù)量的3

倍.問(wèn)購(gòu)買(mǎi)兩種棋各多少副時(shí)費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？

0力即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?山東青島?中考真題)為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批航空、航

海模型.已知商場(chǎng)某品牌航空模型的單價(jià)比航海模型的單價(jià)多35元，用2000元購(gòu)買(mǎi)航空模型的數(shù)量

是用1800元購(gòu)買(mǎi)航海模型數(shù)量的:

(1)求航空和航海模型的單價(jià)；

(2)學(xué)校采購(gòu)時(shí)恰逢該商場(chǎng)"六一兒童節(jié)”促銷(xiāo)：航空模型八折優(yōu)惠.若購(gòu)買(mǎi)航空、航海模型共120個(gè)，

且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的表請(qǐng)問(wèn)分別購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)航空和航海模型，學(xué)校花費(fèi)最少？

2.(2024,江蘇宿遷?中考真題)某商店購(gòu)進(jìn)N、8兩種紀(jì)念品，已知紀(jì)念品/的單價(jià)比紀(jì)念品8的單價(jià)高10

元.用600元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品/的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品B的數(shù)量相同.

⑴求紀(jì)念品/、3的單價(jià)分別是多少元？

(2)商店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)紀(jì)念品/、3共400件，且紀(jì)念品/的數(shù)量不少于紀(jì)念品2數(shù)量的2倍，若總費(fèi)用不

超過(guò)11000元，如何購(gòu)買(mǎi)這兩種紀(jì)念品使總費(fèi)用最少？

3.（2024?江蘇常州?中考真題）書(shū)畫(huà)裝裱，是指為書(shū)畫(huà)配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國(guó)具有

民族傳統(tǒng)的一門(mén)特殊藝術(shù).如圖，一幅書(shū)畫(huà)在裝裱前的大小是1.2mx0.8m,裝裱后，上、下、左、右

邊襯的寬度分別是am、6m、cm、dm.若裝裱后AB與AD的比是16:10,且a=6,c=d,c=2a,求四

周邊襯的寬度.

4.（2024?四川雅安?中考真題）某市為治理污水，保護(hù)環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長(zhǎng)為3000米的污水排放管道，

為了減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%,結(jié)果提前15天完

成鋪設(shè)任務(wù).

⑴求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米？

⑵負(fù)責(zé)該工程的施工單位，按原計(jì)劃對(duì)工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資為300元，

所有工人的工資總金額不超過(guò)18萬(wàn)元，該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工？

【題型3：與分式方程的解有關(guān)的問(wèn)題】

【典例3】（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）己知關(guān)于x的分式方程之-2=白無(wú)解，貝隈的值為（）

A.k=2或k=-1B.k=-2C./c=2或/c=1D.k=-1

之弓即時(shí)檢浦

1rn

1.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關(guān)于無(wú)的分式方程《-弁=0的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍

是（）

A.TH<1且772。0B.m<1C.m>1D.m<1且THH—1

2.（2024?四川遂寧?中考真題）分式方程二=1-券的解為正數(shù)，則小的取值范圍（）

X—1X—L

A.m>—3B.TH>—3且mW—2

C.m<3D.m<3且mW—2

3.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）若分式方程/=3-%的解為正整數(shù)，則整數(shù)加的值為

X-11-X--------

O好題沖關(guān)O

3碼基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（2024?廣西賀州?三模）下列式子是分式方程的是（）

▲工+151,4%

233x-l3%+1

c.-nX+^3=i.D-3-—X+r2=x——1

2.（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?二模）分式方程三=1的解是（）

A.x=1B.x=2C.x=3D.x=5

3.（23-24八年級(jí)?全國(guó)?隨堂練習(xí)）將分式方程9+昌=1去分母后，得（）

A.3（%—2）+2%（%—2）—1B.3（%—2）+2%（%—2）=x—2

C.3+2%=1D.3+2%=%—2

4.（23-24八年級(jí)上?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期末）李老師參加2023年烏蘭察布市冰雪之戀馬拉松健康跑（15千米）

項(xiàng)目，跑了一半后，他將平均速度提高到原來(lái)的L2倍，結(jié)果提前6分鐘到達(dá)終點(diǎn)，求李老師原來(lái)的平

均速度是多少？設(shè)原來(lái)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意可列方程為（）

7.57.51-7.57.51

A---=—R---=—

x1.2x101.2xx10

_7.57.5/r7.57.5,

C-丁百=6D.而一「6

5.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）若關(guān)于x的分式方程上+言=2無(wú)解，則。的值為（）

A.1B.1或￡

C.-1或：D.以上都不是

6.（23-24八年級(jí)下?山東德州?開(kāi)學(xué)考試）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)400臺(tái)機(jī)

器所需時(shí)間比原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間少1天，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)％臺(tái)機(jī)器，則下列方程正確的

是（）

400450450400y

=1

x%—50B?^-―

400450r450400

=50

C.xx+1D?

7.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）方程言=1的解為.

8.（23-24八年級(jí)上?山東泰安,期末）師傅和徒弟兩人每小時(shí)共做40個(gè)零件，在相同時(shí)間內(nèi)，師傅做了300

個(gè)零件，徒弟做了100個(gè)零件.師傅每小時(shí)做了多少個(gè)零件？若設(shè)師傅每小時(shí)做了x個(gè)零件，則可列方

程為.

9.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）解方程：|+1=就.

10.（2024?廣東清遠(yuǎn)?模擬預(yù)測(cè)）廣東省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年11月在清遠(yuǎn)市舉辦，吉祥物為"清清"，某

商家用1200元購(gòu)進(jìn)了一批運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物，上市后供不應(yīng)求，商家又用2800元購(gòu)進(jìn)了第二批運(yùn)動(dòng)會(huì)吉

祥物，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但單價(jià)貴了5元.求該商家購(gòu)進(jìn)的第一批吉祥物多少個(gè)？

能力提升

1.（23-24七年級(jí)下?安徽亳州?期末）若關(guān)于x的分式方程±-三=2的解為正數(shù)，則機(jī)的取值范圍是

（）

A.m<—2B.2且mH—1

C.m>—2D.mV2且?nW1

2.（24-25八年級(jí)上?重慶?期中）若關(guān)于x的不等式組｛與：金“月無(wú)解，且關(guān)于y的分式方程言+言=2

的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為（）

A.-12B.-11C--10D.-9

3.（24-25八年級(jí)上?山東日照?階段練習(xí)）小東一家自駕車(chē)去某地旅行，手機(jī)導(dǎo)航系統(tǒng)推薦了兩條線路，線

路一全程75km,線路二全程90km,汽車(chē)在線路二上行駛的平均時(shí)速是線路一上車(chē)速的1.8倍，線路二

的用時(shí)預(yù)計(jì)比線路一用時(shí)少半小時(shí)，如果設(shè)汽車(chē)在線路一上行駛的平均速度為xkm/h,則下面所列方程

正確的是（）

.7590,1?75901

x1.8%2%1.8%2

7590,1r75901

C----=-----b-D----=-------

1.8xx21.8xx2

Z7—17

4.（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于x的分式方程三二-2=0的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（）

4X+2

A.aV—3B.a<3

C.a<—3且aW—7D.a<3且aW1

5.（24-25八年級(jí)上?河北唐山?期中）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b,規(guī)定：max{a,6}表示a,b中的較大值,

如max{2,4}=4,按照這個(gè)規(guī)定，方程max{一；,：}=白的解為（）

A.x=-3B.x=3C.%=1或久=—3D.%=1或%=3

6.（22-23七年級(jí)下?安徽合肥?期末）有一并聯(lián)電路，如圖所示，兩電阻阻值分別為/?2,總電阻值為凡

一ill

三者關(guān)系為：五=雨+瓦.若已知R，則％=.

4

7.（22-23八年級(jí)上?湖南岳陽(yáng)?期中）若方程3+4=1有增根，則方程的增根是.

8.（24-25九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）若數(shù)”使關(guān)于x的一元一次不等式組，+:標(biāo)著-2的解集是久＜機(jī)，

且使關(guān)于y的分式方程常+言=1有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)m的值之和為—.

9.（24-25八年級(jí)上?河北唐山?期中）山地自行車(chē)越來(lái)越受到中學(xué)生的喜愛(ài)，各種品牌相繼投放市場(chǎng)，某車(chē)行

經(jīng)營(yíng)的Z型車(chē)去年銷(xiāo)售總額為5萬(wàn)元，今年每輛銷(xiāo)售價(jià)比去年降低400元，若賣(mài)出的數(shù)量相同，銷(xiāo)售

總額將比去年減少20%.

⑴今年4型車(chē)每輛售價(jià)多少元？

（2）該車(chē)行計(jì)劃新進(jìn)一批/型車(chē)和新款2型車(chē)共60輛，要使這批車(chē)獲利不少于33000元，A型車(chē)至多進(jìn)

多少輛？H8兩種型號(hào)車(chē)的進(jìn)貨和銷(xiāo)售價(jià)格如表：

A型車(chē)B型車(chē)

進(jìn)貨價(jià)格（元）11001400

銷(xiāo)售價(jià)格（元）今年的銷(xiāo)售價(jià)格2000

10.（24-25八年級(jí)上?河北承德?階段練習(xí)）定義：如果兩個(gè)分式〃與N的和為常數(shù)上且人為正整數(shù)，則稱(chēng)

M與N互為"和整分式"，常數(shù)k稱(chēng)為"和整數(shù)值例如，M=W，N=言，M+N=W+5=1,

則M與N互為"和整分式"，"和整數(shù)值"k=1.

（1）已知分式4=W，B=（2江）,判斷/與2是否互為"和整分式"，若是，請(qǐng)求出"和整數(shù)值"；若

不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）已知分式。=分，。=三，C與。互為"和整分式"，且"和整數(shù)值"k=3.

①求P所代表的代數(shù)式；

②若分式。的值為正整數(shù)，求正整數(shù)x的值.

真題感知

1.（2024?海南?中考真題）分式方程」y=l的解是（）

X—2

A.x=3B.x=-3C.x=2D.x=-2

2.（2024?寧夏?中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲，乙兩位同學(xué)制作長(zhǎng)方體盒子.已知甲做6個(gè)盒子比乙做4個(gè)

盒子少用10分鐘，甲每小時(shí)做盒子的數(shù)量是乙每小時(shí)做盒子的數(shù)量的2倍.設(shè)乙每小時(shí)做萬(wàn)個(gè)盒子，根

據(jù)題意可列方程（）

,46?64—4610?6410

A-=10B.--=10C.~~=^D.--=

3.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）解分式方程1-高=-含時(shí)，去分母變形正確的是（）

A.2—6%+2=-5B.6x—2—2=-5

C.2—6%—1=5D.6%—2+1=5

4.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）工,2兩種機(jī)器人都被用來(lái)搬運(yùn)化工原料，/型機(jī)器人比5型機(jī)器人

每小時(shí)多搬運(yùn)30千克，A型機(jī)器人搬運(yùn)900千克所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)600千克所用時(shí)間相

等.A,8兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少干克化工原料？（）

A.60,30B.90,120C.60,90D.90,60

5.（2024?四川廣元?中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動(dòng)的有效抓手，從2023

年開(kāi)始通過(guò)拆違建綠、見(jiàn)縫插綠等方式在全域打造多個(gè)小而美的"口袋公園現(xiàn)需要購(gòu)買(mǎi)/、8兩種綠

植，已知/種綠植單價(jià)是3種綠植單價(jià)的3倍，用6750元購(gòu)買(mǎi)的/種綠植比用3000元購(gòu)買(mǎi)的8種綠

植少50株.設(shè)8種綠植單價(jià)是x元，則可列方程是（）

6750廠八3000-3000廠66750

A.———50=-----

3%x3%x

c6750,LC3000r3000,LC6750

C.-^—+50=——D.-^—+50=——

3xx3xx

6.（2024?黑龍江綏化?中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h,它以該航速沿江順流航行120km所

用時(shí)間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時(shí)間相等，則江水的流速為（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

7.（2024?江蘇徐州?中考真題）分式方程8=?的解為.

8.（2024?山東東營(yíng)?中考真題）水是人類(lèi)賴(lài)以生存的寶貴資源，為節(jié)約用水，創(chuàng)建文明城市，某市經(jīng)論證從

今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米水費(fèi)上漲原價(jià)的;?小麗家去年5月份的水費(fèi)是28元，

而今年5月份的水費(fèi)則是24.5元.已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3.設(shè)該

市去年居民用水價(jià)格為x元/n?,則可列分式方程為.

9.（2024?四川達(dá)州?中考真題）若關(guān)于X的方程冷-號(hào)=1無(wú)解，則k的值為.

（vQ

10.（2024?重慶?中考真題）若關(guān)于工的一元一次不等式組）