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文檔簡(jiǎn)介
專(zhuān)題06分式方程及應(yīng)用的核心知識(shí)點(diǎn)精講
o復(fù)習(xí)目標(biāo)O
1.了解分式、分式方程的概念,進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感.
2.熟練掌握分式的基本性質(zhì),會(huì)進(jìn)行分式的約分、通分和加減乘除四則運(yùn)算,發(fā)展學(xué)生的合情推理能力與
代數(shù)恒等變形能力.
3.能解決一些與分式有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,具有一定的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和應(yīng)用意識(shí).
O考點(diǎn)板理O
一分母中含有未知數(shù)的方程
「1方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母,去掉分母,化成整式方程
r2.解這個(gè)整式方程,求出整式方程的解
13.檢驗(yàn):將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母,若最簡(jiǎn)公分母不等于0,則這個(gè)解是原分式方程的解
若最簡(jiǎn)公分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解,原分式方程無(wú)解.
解題步驟:審,設(shè),歹U,解,檢驗(yàn),答
常見(jiàn)類(lèi)型
?笑典例引領(lǐng)
【題型1:分式方程及其解法】
【典例1】(2024?廣東廣州?中考真題)解方程:白=1
之弓即時(shí)檢測(cè)
2x
1.(2024?陜西?中考真題)解方程:—+—=1.
工”一11
2.(2024?福建?中考真題)解方程:亮+1=^.
3.(2019?上海?中考真題)解分式方程:鳥(niǎo)-二==1
x—Zx^—2x
*弓典例引領(lǐng)
【題型2:分式方程的應(yīng)用】
【典例2】(2024?山東德州?中考真題)某校開(kāi)設(shè)棋類(lèi)社團(tuán),購(gòu)買(mǎi)了五子棋和象棋.五子棋比象棋的單價(jià)少8
元,用1000元購(gòu)買(mǎi)的五子棋數(shù)量和用1200元購(gòu)買(mǎi)的象棋數(shù)量相等.
⑴兩種棋的單價(jià)分別是多少?
(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購(gòu)買(mǎi)五子棋和象棋共30副,根據(jù)學(xué)生報(bào)名情況,購(gòu)買(mǎi)五子棋數(shù)量不超過(guò)象棋數(shù)量的3
倍.問(wèn)購(gòu)買(mǎi)兩種棋各多少副時(shí)費(fèi)用最低?最低費(fèi)用是多少?
0力即時(shí)檢測(cè)
1.(2024?山東青島?中考真題)為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),提高學(xué)生的動(dòng)手能力,某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批航空、航
海模型.已知商場(chǎng)某品牌航空模型的單價(jià)比航海模型的單價(jià)多35元,用2000元購(gòu)買(mǎi)航空模型的數(shù)量
是用1800元購(gòu)買(mǎi)航海模型數(shù)量的:
(1)求航空和航海模型的單價(jià);
(2)學(xué)校采購(gòu)時(shí)恰逢該商場(chǎng)"六一兒童節(jié)”促銷(xiāo):航空模型八折優(yōu)惠.若購(gòu)買(mǎi)航空、航海模型共120個(gè),
且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的表請(qǐng)問(wèn)分別購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)航空和航海模型,學(xué)校花費(fèi)最少?
2.(2024,江蘇宿遷?中考真題)某商店購(gòu)進(jìn)N、8兩種紀(jì)念品,已知紀(jì)念品/的單價(jià)比紀(jì)念品8的單價(jià)高10
元.用600元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品/的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品B的數(shù)量相同.
⑴求紀(jì)念品/、3的單價(jià)分別是多少元?
(2)商店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)紀(jì)念品/、3共400件,且紀(jì)念品/的數(shù)量不少于紀(jì)念品2數(shù)量的2倍,若總費(fèi)用不
超過(guò)11000元,如何購(gòu)買(mǎi)這兩種紀(jì)念品使總費(fèi)用最少?
3.(2024?江蘇常州?中考真題)書(shū)畫(huà)裝裱,是指為書(shū)畫(huà)配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏,是我國(guó)具有
民族傳統(tǒng)的一門(mén)特殊藝術(shù).如圖,一幅書(shū)畫(huà)在裝裱前的大小是1.2mx0.8m,裝裱后,上、下、左、右
邊襯的寬度分別是am、6m、cm、dm.若裝裱后AB與AD的比是16:10,且a=6,c=d,c=2a,求四
周邊襯的寬度.
4.(2024?四川雅安?中考真題)某市為治理污水,保護(hù)環(huán)境,需鋪設(shè)一段全長(zhǎng)為3000米的污水排放管道,
為了減少施工對(duì)城市交通所造成的影響,實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%,結(jié)果提前15天完
成鋪設(shè)任務(wù).
⑴求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米?
⑵負(fù)責(zé)該工程的施工單位,按原計(jì)劃對(duì)工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算,工人每天人均工資為300元,
所有工人的工資總金額不超過(guò)18萬(wàn)元,該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工?
【題型3:與分式方程的解有關(guān)的問(wèn)題】
【典例3】(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)己知關(guān)于x的分式方程之-2=白無(wú)解,貝隈的值為()
A.k=2或k=-1B.k=-2C./c=2或/c=1D.k=-1
之弓即時(shí)檢浦
1rn
1.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如果關(guān)于無(wú)的分式方程《-弁=0的解是負(fù)數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍
是()
A.TH<1且772。0B.m<1C.m>1D.m<1且THH—1
2.(2024?四川遂寧?中考真題)分式方程二=1-券的解為正數(shù),則小的取值范圍()
X—1X—L
A.m>—3B.TH>—3且mW—2
C.m<3D.m<3且mW—2
3.(2024?黑龍江牡丹江?中考真題)若分式方程/=3-%的解為正整數(shù),則整數(shù)加的值為
X-11-X--------
O好題沖關(guān)O
3碼基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1.(2024?廣西賀州?三模)下列式子是分式方程的是()
▲工+151,4%
233x-l3%+1
c.-nX+^3=i.D-3-—X+r2=x——1
2.(2024?海南省直轄縣級(jí)單位?二模)分式方程三=1的解是()
A.x=1B.x=2C.x=3D.x=5
3.(23-24八年級(jí)?全國(guó)?隨堂練習(xí))將分式方程9+昌=1去分母后,得()
A.3(%—2)+2%(%—2)—1B.3(%—2)+2%(%—2)=x—2
C.3+2%=1D.3+2%=%—2
4.(23-24八年級(jí)上?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期末)李老師參加2023年烏蘭察布市冰雪之戀馬拉松健康跑(15千米)
項(xiàng)目,跑了一半后,他將平均速度提高到原來(lái)的L2倍,結(jié)果提前6分鐘到達(dá)終點(diǎn),求李老師原來(lái)的平
均速度是多少?設(shè)原來(lái)的平均速度為x千米/小時(shí),根據(jù)題意可列方程為()
7.57.51-7.57.51
A---=—R---=—
x1.2x101.2xx10
_7.57.5/r7.57.5,
C-丁百=6D.而一「6
5.(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末)若關(guān)于x的分式方程上+言=2無(wú)解,則。的值為()
A.1B.1或£
C.-1或:D.以上都不是
6.(23-24八年級(jí)下?山東德州?開(kāi)學(xué)考試)某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器,現(xiàn)在生產(chǎn)400臺(tái)機(jī)
器所需時(shí)間比原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間少1天,設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)%臺(tái)機(jī)器,則下列方程正確的
是()
400450450400y
=1
x%—50B?^-―
400450r450400
=50
C.xx+1D?
7.(24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))方程言=1的解為.
8.(23-24八年級(jí)上?山東泰安,期末)師傅和徒弟兩人每小時(shí)共做40個(gè)零件,在相同時(shí)間內(nèi),師傅做了300
個(gè)零件,徒弟做了100個(gè)零件.師傅每小時(shí)做了多少個(gè)零件?若設(shè)師傅每小時(shí)做了x個(gè)零件,則可列方
程為.
9.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))解方程:|+1=就.
10.(2024?廣東清遠(yuǎn)?模擬預(yù)測(cè))廣東省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年11月在清遠(yuǎn)市舉辦,吉祥物為"清清",某
商家用1200元購(gòu)進(jìn)了一批運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物,上市后供不應(yīng)求,商家又用2800元購(gòu)進(jìn)了第二批運(yùn)動(dòng)會(huì)吉
祥物,所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍,但單價(jià)貴了5元.求該商家購(gòu)進(jìn)的第一批吉祥物多少個(gè)?
能力提升
1.(23-24七年級(jí)下?安徽亳州?期末)若關(guān)于x的分式方程±-三=2的解為正數(shù),則機(jī)的取值范圍是
()
A.m<—2B.2且mH—1
C.m>—2D.mV2且?nW1
2.(24-25八年級(jí)上?重慶?期中)若關(guān)于x的不等式組{與:金“月無(wú)解,且關(guān)于y的分式方程言+言=2
的解為正整數(shù),則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為()
A.-12B.-11C--10D.-9
3.(24-25八年級(jí)上?山東日照?階段練習(xí))小東一家自駕車(chē)去某地旅行,手機(jī)導(dǎo)航系統(tǒng)推薦了兩條線路,線
路一全程75km,線路二全程90km,汽車(chē)在線路二上行駛的平均時(shí)速是線路一上車(chē)速的1.8倍,線路二
的用時(shí)預(yù)計(jì)比線路一用時(shí)少半小時(shí),如果設(shè)汽車(chē)在線路一上行駛的平均速度為xkm/h,則下面所列方程
正確的是()
.7590,1?75901
x1.8%2%1.8%2
7590,1r75901
C----=-----b-D----=-------
1.8xx21.8xx2
Z7—17
4.(2024八年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))關(guān)于x的分式方程三二-2=0的解是負(fù)數(shù),則a的取值范圍是()
4X+2
A.aV—3B.a<3
C.a<—3且aW—7D.a<3且aW1
5.(24-25八年級(jí)上?河北唐山?期中)對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b,規(guī)定:max{a,6}表示a,b中的較大值,
如max{2,4}=4,按照這個(gè)規(guī)定,方程max{一;,:}=白的解為()
A.x=-3B.x=3C.%=1或久=—3D.%=1或%=3
6.(22-23七年級(jí)下?安徽合肥?期末)有一并聯(lián)電路,如圖所示,兩電阻阻值分別為/?2,總電阻值為凡
一ill
三者關(guān)系為:五=雨+瓦.若已知R,則%=.
4
7.(22-23八年級(jí)上?湖南岳陽(yáng)?期中)若方程3+4=1有增根,則方程的增根是.
8.(24-25九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí))若數(shù)”使關(guān)于x的一元一次不等式組,+:標(biāo)著-2的解集是久<機(jī),
且使關(guān)于y的分式方程常+言=1有非負(fù)整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)m的值之和為—.
9.(24-25八年級(jí)上?河北唐山?期中)山地自行車(chē)越來(lái)越受到中學(xué)生的喜愛(ài),各種品牌相繼投放市場(chǎng),某車(chē)行
經(jīng)營(yíng)的Z型車(chē)去年銷(xiāo)售總額為5萬(wàn)元,今年每輛銷(xiāo)售價(jià)比去年降低400元,若賣(mài)出的數(shù)量相同,銷(xiāo)售
總額將比去年減少20%.
⑴今年4型車(chē)每輛售價(jià)多少元?
(2)該車(chē)行計(jì)劃新進(jìn)一批/型車(chē)和新款2型車(chē)共60輛,要使這批車(chē)獲利不少于33000元,A型車(chē)至多進(jìn)
多少輛?H8兩種型號(hào)車(chē)的進(jìn)貨和銷(xiāo)售價(jià)格如表:
A型車(chē)B型車(chē)
進(jìn)貨價(jià)格(元)11001400
銷(xiāo)售價(jià)格(元)今年的銷(xiāo)售價(jià)格2000
10.(24-25八年級(jí)上?河北承德?階段練習(xí))定義:如果兩個(gè)分式〃與N的和為常數(shù)上且人為正整數(shù),則稱(chēng)
M與N互為"和整分式",常數(shù)k稱(chēng)為"和整數(shù)值例如,M=W,N=言,M+N=W+5=1,
則M與N互為"和整分式","和整數(shù)值"k=1.
(1)已知分式4=W,B=(2江),判斷/與2是否互為"和整分式",若是,請(qǐng)求出"和整數(shù)值";若
不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)已知分式。=分,。=三,C與。互為"和整分式",且"和整數(shù)值"k=3.
①求P所代表的代數(shù)式;
②若分式。的值為正整數(shù),求正整數(shù)x的值.
真題感知
1.(2024?海南?中考真題)分式方程」y=l的解是()
X—2
A.x=3B.x=-3C.x=2D.x=-2
2.(2024?寧夏?中考真題)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,甲,乙兩位同學(xué)制作長(zhǎng)方體盒子.已知甲做6個(gè)盒子比乙做4個(gè)
盒子少用10分鐘,甲每小時(shí)做盒子的數(shù)量是乙每小時(shí)做盒子的數(shù)量的2倍.設(shè)乙每小時(shí)做萬(wàn)個(gè)盒子,根
據(jù)題意可列方程()
,46?64—4610?6410
A-=10B.--=10C.~~=^D.--=
3.(2024?山東濟(jì)寧?中考真題)解分式方程1-高=-含時(shí),去分母變形正確的是()
A.2—6%+2=-5B.6x—2—2=-5
C.2—6%—1=5D.6%—2+1=5
4.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)工,2兩種機(jī)器人都被用來(lái)搬運(yùn)化工原料,/型機(jī)器人比5型機(jī)器人
每小時(shí)多搬運(yùn)30千克,A型機(jī)器人搬運(yùn)900千克所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)600千克所用時(shí)間相
等.A,8兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少干克化工原料?()
A.60,30B.90,120C.60,90D.90,60
5.(2024?四川廣元?中考真題)我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動(dòng)的有效抓手,從2023
年開(kāi)始通過(guò)拆違建綠、見(jiàn)縫插綠等方式在全域打造多個(gè)小而美的"口袋公園現(xiàn)需要購(gòu)買(mǎi)/、8兩種綠
植,已知/種綠植單價(jià)是3種綠植單價(jià)的3倍,用6750元購(gòu)買(mǎi)的/種綠植比用3000元購(gòu)買(mǎi)的8種綠
植少50株.設(shè)8種綠植單價(jià)是x元,則可列方程是()
6750廠八3000-3000廠66750
A.———50=-----
3%x3%x
c6750,LC3000r3000,LC6750
C.-^—+50=——D.-^—+50=——
3xx3xx
6.(2024?黑龍江綏化?中考真題)一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h,它以該航速沿江順流航行120km所
用時(shí)間,與以該航速沿江逆流航行80km所用時(shí)間相等,則江水的流速為()
A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h
7.(2024?江蘇徐州?中考真題)分式方程8=?的解為.
8.(2024?山東東營(yíng)?中考真題)水是人類(lèi)賴(lài)以生存的寶貴資源,為節(jié)約用水,創(chuàng)建文明城市,某市經(jīng)論證從
今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格,每立方米水費(fèi)上漲原價(jià)的;?小麗家去年5月份的水費(fèi)是28元,
而今年5月份的水費(fèi)則是24.5元.已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3.設(shè)該
市去年居民用水價(jià)格為x元/n?,則可列分式方程為.
9.(2024?四川達(dá)州?中考真題)若關(guān)于X的方程冷-號(hào)=1無(wú)解,則k的值為.
(vQ
10.(2024?重慶?中考真題)若關(guān)于工的一元一次不等式組)
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