分式方程及應(yīng)用(講義)原卷版-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

專題06分式方程及應(yīng)用的核心知識(shí)點(diǎn)精講

o復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.了解分式、分式方程的概念,進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感.

2.熟練掌握分式的基本性質(zhì),會(huì)進(jìn)行分式的約分、通分和加減乘除四則運(yùn)算,發(fā)展學(xué)生的合情推理能力與

代數(shù)恒等變形能力.

3.能解決一些與分式有關(guān)的實(shí)際問題,具有一定的分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用意識(shí).

O考點(diǎn)板理O

一分母中含有未知數(shù)的方程

「1方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母,去掉分母,化成整式方程

r2.解這個(gè)整式方程,求出整式方程的解

13.檢驗(yàn):將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母,若最簡(jiǎn)公分母不等于0,則這個(gè)解是原分式方程的解

若最簡(jiǎn)公分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解,原分式方程無解.

解題步驟:審,設(shè),歹U,解,檢驗(yàn),答

常見類型

?笑典例引領(lǐng)

【題型1:分式方程及其解法】

【典例1】(2024?廣東廣州?中考真題)解方程:白=1

之弓即時(shí)檢測(cè)

2x

1.(2024?陜西?中考真題)解方程:—+—=1.

工”一11

2.(2024?福建?中考真題)解方程:亮+1=^.

3.(2019?上海?中考真題)解分式方程:鳥-二==1

x—Zx^—2x

*弓典例引領(lǐng)

【題型2:分式方程的應(yīng)用】

【典例2】(2024?山東德州?中考真題)某校開設(shè)棋類社團(tuán),購買了五子棋和象棋.五子棋比象棋的單價(jià)少8

元,用1000元購買的五子棋數(shù)量和用1200元購買的象棋數(shù)量相等.

⑴兩種棋的單價(jià)分別是多少?

(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購買五子棋和象棋共30副,根據(jù)學(xué)生報(bào)名情況,購買五子棋數(shù)量不超過象棋數(shù)量的3

倍.問購買兩種棋各多少副時(shí)費(fèi)用最低?最低費(fèi)用是多少?

0力即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?山東青島?中考真題)為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),提高學(xué)生的動(dòng)手能力,某校計(jì)劃購買一批航空、航

海模型.已知商場(chǎng)某品牌航空模型的單價(jià)比航海模型的單價(jià)多35元,用2000元購買航空模型的數(shù)量

是用1800元購買航海模型數(shù)量的:

(1)求航空和航海模型的單價(jià);

(2)學(xué)校采購時(shí)恰逢該商場(chǎng)"六一兒童節(jié)”促銷:航空模型八折優(yōu)惠.若購買航空、航海模型共120個(gè),

且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的表請(qǐng)問分別購買多少個(gè)航空和航海模型,學(xué)?;ㄙM(fèi)最少?

2.(2024,江蘇宿遷?中考真題)某商店購進(jìn)N、8兩種紀(jì)念品,已知紀(jì)念品/的單價(jià)比紀(jì)念品8的單價(jià)高10

元.用600元購進(jìn)紀(jì)念品/的數(shù)量和用400元購進(jìn)紀(jì)念品B的數(shù)量相同.

⑴求紀(jì)念品/、3的單價(jià)分別是多少元?

(2)商店計(jì)劃購買紀(jì)念品/、3共400件,且紀(jì)念品/的數(shù)量不少于紀(jì)念品2數(shù)量的2倍,若總費(fèi)用不

超過11000元,如何購買這兩種紀(jì)念品使總費(fèi)用最少?

3.(2024?江蘇常州?中考真題)書畫裝裱,是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏,是我國(guó)具有

民族傳統(tǒng)的一門特殊藝術(shù).如圖,一幅書畫在裝裱前的大小是1.2mx0.8m,裝裱后,上、下、左、右

邊襯的寬度分別是am、6m、cm、dm.若裝裱后AB與AD的比是16:10,且a=6,c=d,c=2a,求四

周邊襯的寬度.

4.(2024?四川雅安?中考真題)某市為治理污水,保護(hù)環(huán)境,需鋪設(shè)一段全長(zhǎng)為3000米的污水排放管道,

為了減少施工對(duì)城市交通所造成的影響,實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%,結(jié)果提前15天完

成鋪設(shè)任務(wù).

⑴求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米?

⑵負(fù)責(zé)該工程的施工單位,按原計(jì)劃對(duì)工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算,工人每天人均工資為300元,

所有工人的工資總金額不超過18萬元,該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工?

【題型3:與分式方程的解有關(guān)的問題】

【典例3】(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)己知關(guān)于x的分式方程之-2=白無解,貝隈的值為()

A.k=2或k=-1B.k=-2C./c=2或/c=1D.k=-1

之弓即時(shí)檢浦

1rn

1.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如果關(guān)于無的分式方程《-弁=0的解是負(fù)數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍

是()

A.TH<1且772。0B.m<1C.m>1D.m<1且THH—1

2.(2024?四川遂寧?中考真題)分式方程二=1-券的解為正數(shù),則小的取值范圍()

X—1X—L

A.m>—3B.TH>—3且mW—2

C.m<3D.m<3且mW—2

3.(2024?黑龍江牡丹江?中考真題)若分式方程/=3-%的解為正整數(shù),則整數(shù)加的值為

X-11-X--------

O好題沖關(guān)O

3碼基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2024?廣西賀州?三模)下列式子是分式方程的是()

▲工+151,4%

233x-l3%+1

c.-nX+^3=i.D-3-—X+r2=x——1

2.(2024?海南省直轄縣級(jí)單位?二模)分式方程三=1的解是()

A.x=1B.x=2C.x=3D.x=5

3.(23-24八年級(jí)?全國(guó)?隨堂練習(xí))將分式方程9+昌=1去分母后,得()

A.3(%—2)+2%(%—2)—1B.3(%—2)+2%(%—2)=x—2

C.3+2%=1D.3+2%=%—2

4.(23-24八年級(jí)上?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期末)李老師參加2023年烏蘭察布市冰雪之戀馬拉松健康跑(15千米)

項(xiàng)目,跑了一半后,他將平均速度提高到原來的L2倍,結(jié)果提前6分鐘到達(dá)終點(diǎn),求李老師原來的平

均速度是多少?設(shè)原來的平均速度為x千米/小時(shí),根據(jù)題意可列方程為()

7.57.51-7.57.51

A---=—R---=—

x1.2x101.2xx10

_7.57.5/r7.57.5,

C-丁百=6D.而一「6

5.(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末)若關(guān)于x的分式方程上+言=2無解,則。的值為()

A.1B.1或£

C.-1或:D.以上都不是

6.(23-24八年級(jí)下?山東德州?開學(xué)考試)某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器,現(xiàn)在生產(chǎn)400臺(tái)機(jī)

器所需時(shí)間比原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間少1天,設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)%臺(tái)機(jī)器,則下列方程正確的

是()

400450450400y

=1

x%—50B?^-―

400450r450400

=50

C.xx+1D?

7.(24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))方程言=1的解為.

8.(23-24八年級(jí)上?山東泰安,期末)師傅和徒弟兩人每小時(shí)共做40個(gè)零件,在相同時(shí)間內(nèi),師傅做了300

個(gè)零件,徒弟做了100個(gè)零件.師傅每小時(shí)做了多少個(gè)零件?若設(shè)師傅每小時(shí)做了x個(gè)零件,則可列方

程為.

9.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))解方程:|+1=就.

10.(2024?廣東清遠(yuǎn)?模擬預(yù)測(cè))廣東省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年11月在清遠(yuǎn)市舉辦,吉祥物為"清清",某

商家用1200元購進(jìn)了一批運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物,上市后供不應(yīng)求,商家又用2800元購進(jìn)了第二批運(yùn)動(dòng)會(huì)吉

祥物,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍,但單價(jià)貴了5元.求該商家購進(jìn)的第一批吉祥物多少個(gè)?

能力提升

1.(23-24七年級(jí)下?安徽亳州?期末)若關(guān)于x的分式方程±-三=2的解為正數(shù),則機(jī)的取值范圍是

()

A.m<—2B.2且mH—1

C.m>—2D.mV2且?nW1

2.(24-25八年級(jí)上?重慶?期中)若關(guān)于x的不等式組{與:金“月無解,且關(guān)于y的分式方程言+言=2

的解為正整數(shù),則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為()

A.-12B.-11C--10D.-9

3.(24-25八年級(jí)上?山東日照?階段練習(xí))小東一家自駕車去某地旅行,手機(jī)導(dǎo)航系統(tǒng)推薦了兩條線路,線

路一全程75km,線路二全程90km,汽車在線路二上行駛的平均時(shí)速是線路一上車速的1.8倍,線路二

的用時(shí)預(yù)計(jì)比線路一用時(shí)少半小時(shí),如果設(shè)汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h,則下面所列方程

正確的是()

.7590,1?75901

x1.8%2%1.8%2

7590,1r75901

C----=-----b-D----=-------

1.8xx21.8xx2

Z7—17

4.(2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))關(guān)于x的分式方程三二-2=0的解是負(fù)數(shù),則a的取值范圍是()

4X+2

A.aV—3B.a<3

C.a<—3且aW—7D.a<3且aW1

5.(24-25八年級(jí)上?河北唐山?期中)對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b,規(guī)定:max{a,6}表示a,b中的較大值,

如max{2,4}=4,按照這個(gè)規(guī)定,方程max{一;,:}=白的解為()

A.x=-3B.x=3C.%=1或久=—3D.%=1或%=3

6.(22-23七年級(jí)下?安徽合肥?期末)有一并聯(lián)電路,如圖所示,兩電阻阻值分別為/?2,總電阻值為凡

一ill

三者關(guān)系為:五=雨+瓦.若已知R,則%=.

4

7.(22-23八年級(jí)上?湖南岳陽?期中)若方程3+4=1有增根,則方程的增根是.

8.(24-25九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí))若數(shù)”使關(guān)于x的一元一次不等式組,+:標(biāo)著-2的解集是久<機(jī),

且使關(guān)于y的分式方程常+言=1有非負(fù)整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)m的值之和為—.

9.(24-25八年級(jí)上?河北唐山?期中)山地自行車越來越受到中學(xué)生的喜愛,各種品牌相繼投放市場(chǎng),某車行

經(jīng)營(yíng)的Z型車去年銷售總額為5萬元,今年每輛銷售價(jià)比去年降低400元,若賣出的數(shù)量相同,銷售

總額將比去年減少20%.

⑴今年4型車每輛售價(jià)多少元?

(2)該車行計(jì)劃新進(jìn)一批/型車和新款2型車共60輛,要使這批車獲利不少于33000元,A型車至多進(jìn)

多少輛?H8兩種型號(hào)車的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如表:

A型車B型車

進(jìn)貨價(jià)格(元)11001400

銷售價(jià)格(元)今年的銷售價(jià)格2000

10.(24-25八年級(jí)上?河北承德?階段練習(xí))定義:如果兩個(gè)分式〃與N的和為常數(shù)上且人為正整數(shù),則稱

M與N互為"和整分式",常數(shù)k稱為"和整數(shù)值例如,M=W,N=言,M+N=W+5=1,

則M與N互為"和整分式","和整數(shù)值"k=1.

(1)已知分式4=W,B=(2江),判斷/與2是否互為"和整分式",若是,請(qǐng)求出"和整數(shù)值";若

不是,請(qǐng)說明理由;

(2)已知分式。=分,。=三,C與。互為"和整分式",且"和整數(shù)值"k=3.

①求P所代表的代數(shù)式;

②若分式。的值為正整數(shù),求正整數(shù)x的值.

真題感知

1.(2024?海南?中考真題)分式方程」y=l的解是()

X—2

A.x=3B.x=-3C.x=2D.x=-2

2.(2024?寧夏?中考真題)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,甲,乙兩位同學(xué)制作長(zhǎng)方體盒子.已知甲做6個(gè)盒子比乙做4個(gè)

盒子少用10分鐘,甲每小時(shí)做盒子的數(shù)量是乙每小時(shí)做盒子的數(shù)量的2倍.設(shè)乙每小時(shí)做萬個(gè)盒子,根

據(jù)題意可列方程()

,46?64—4610?6410

A-=10B.--=10C.~~=^D.--=

3.(2024?山東濟(jì)寧?中考真題)解分式方程1-高=-含時(shí),去分母變形正確的是()

A.2—6%+2=-5B.6x—2—2=-5

C.2—6%—1=5D.6%—2+1=5

4.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)工,2兩種機(jī)器人都被用來搬運(yùn)化工原料,/型機(jī)器人比5型機(jī)器人

每小時(shí)多搬運(yùn)30千克,A型機(jī)器人搬運(yùn)900千克所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)600千克所用時(shí)間相

等.A,8兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少干克化工原料?()

A.60,30B.90,120C.60,90D.90,60

5.(2024?四川廣元?中考真題)我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動(dòng)的有效抓手,從2023

年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個(gè)小而美的"口袋公園現(xiàn)需要購買/、8兩種綠

植,已知/種綠植單價(jià)是3種綠植單價(jià)的3倍,用6750元購買的/種綠植比用3000元購買的8種綠

植少50株.設(shè)8種綠植單價(jià)是x元,則可列方程是()

6750廠八3000-3000廠66750

A.———50=-----

3%x3%x

c6750,LC3000r3000,LC6750

C.-^—+50=——D.-^—+50=——

3xx3xx

6.(2024?黑龍江綏化?中考真題)一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h,它以該航速沿江順流航行120km所

用時(shí)間,與以該航速沿江逆流航行80km所用時(shí)間相等,則江水的流速為()

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

7.(2024?江蘇徐州?中考真題)分式方程8=?的解為.

8.(2024?山東東營(yíng)?中考真題)水是人類賴以生存的寶貴資源,為節(jié)約用水,創(chuàng)建文明城市,某市經(jīng)論證從

今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格,每立方米水費(fèi)上漲原價(jià)的;?小麗家去年5月份的水費(fèi)是28元,

而今年5月份的水費(fèi)則是24.5元.已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3.設(shè)該

市去年居民用水價(jià)格為x元/n?,則可列分式方程為.

9.(2024?四川達(dá)州?中考真題)若關(guān)于X的方程冷-號(hào)=1無解,則k的值為.

(vQ

10.(2024?重慶?中考真題)若關(guān)于工的一元一次不等式組)

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